2022年高中数学选择性必修第二册第四章 数列的概念及通项公式

2022年高中数学§4.1数列的概念第1课时数列的概念及通项公式学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．知识点一数列及其有关概念1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用a n 表示．其中第1项也叫做首项．2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案不是．顺序不一样．知识点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列知识点三函数与数列的关系数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项a n，记为a n＝f(n)．知识点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列1．如果数列{a n}的第n项a n与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．思考 既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？ 答案 还可以用列表法、图象法．1．1,1,1,1是一个数列．( √ )2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．( × )3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × ) 4．a n 与{a n }表达不同的含义．( √ )一、数列的有关概念和分类例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)13，19，127，181，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，－1,2，－3,4，－5，….解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列．反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021； (2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(5)1,0，－1，…，sin n π2，…； (6)9,9,9,9,9,9.解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列． 二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－1，12，－13，14；(2)12，2，92，8； (3)0,1,0,1； (4)9,99,999,9 999.解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n n，n ∈N *.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *.(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，由第(1)题也可以写成a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)．(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 或(－1)n＋1处理符号．(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－12，14，58，1316；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.解 (1)各项分母分别为21,22,23,24，易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，则原数列可化为21－321，22－322，23－323，24－324，所以它的一个通项公式为a n ＝2n －32n ，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1，n ∈N *.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)， 79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)， 79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n －1)，n ∈N *.三、数列通项公式的简单应用例3 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2－n ，n ∈N *. (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{a n }中的项，3是否为数列{a n }中的项． 解 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为1,6,15.(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项．令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，故3不是数列{a n }中的项．反思感悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n 项，然后列出关于n 的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝q n ，n ∈N *，且a 4－a 2＝72. (1)求实数q 的值；(2)判断－81是否为此数列中的项． 解 (1)由题意知q 4－q 2＝72， 则q 2＝9或q 2＝－8(舍去)， ∴q ＝±3.(2)当q ＝3时，a n ＝3n .显然－81不是此数列中的项； 当q ＝－3时，a n ＝(－3)n . 令(－3)n ＝－81，无解， ∴－81不是此数列中的项． 延伸探究已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.问当n 为何值时，a n 取得最小值？并求出最小值．解 ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， ∴当n ＝2或3时，a n 取得最小值，为a 2＝a 3＝－2.数列单调性的应用典例 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，n ∈N *.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．解 方法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝(9－n )⎝⎛⎭⎫1011n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10且a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.方法二 根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119. [素养提升] (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n }这一条件．(2)可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项．(3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养.1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7，…，2n －1可以表示1,3,5,7，…B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n } 答案 C解析 数列1,3,5,7，…，2n －1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列，故A 中说法错误；数的顺序不同就是两个不同的数列，故B 中说法错误； 在C 中，a k ＝1＋k k ＝1＋1k ，故C 中说法正确；在D 中，a n ＝2n －2，故D 中说法错误．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，n ∈N *，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12， 0 D ．2,0,2,0答案 A解析 把n ＝1,2,3,4依次代入通项公式，得a 1＝1＋(－1)1＋12＝1，a 2＝1＋(－1)2＋12＝0，a 3＝1＋(－1)3＋12＝1，a 4＝1＋(－1)4＋12＝0. 3．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…，1n，…B ．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…，sin n π7，…C ．－1，－12，－14，－18，…，－12n －1，…D ．1，2，3，…，n ，… 答案 CD解析 选项C ，D 既是无穷数列又是递增数列．4．已知数列3，7，11，15，…，则该数列的一个通项公式是________________，53是该数列的第________项．答案a n＝4n－1(n∈N*)19解析由给出的前几项可归纳出a n＝4n－1(n∈N*)．故由4n－1＝53＝75，得4n－1＝75，所以n＝19，即53是该数列的第19项．5．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是__________________．答案a n＝2n＋1，n∈N*1．知识清单：(1)数列及其有关概念．(2)数列的分类．(3)函数与数列的关系．(4)数列的单调性．(5)数列的通项公式．2．方法归纳：观察、归纳、猜想．3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．1．(多选)下列说法正确的是()A．数列可以用图象来表示B．数列的通项公式不唯一C．数列中的项不能相等D．数列可以用一群孤立的点表示答案ABD解析数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确．2．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是()A．a n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*B．a n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C．a n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*D．a n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*答案 A解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)，n ∈N *. 3．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223 答案 C解析 由题意知数列的通项公式是a n ＝2n 2n ＋1(n ∈N *)，所以a 10＝2×102×10＋1＝2021.4．设a n ＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2(n ∈N *)，则a 2等于( )A.14B.12＋13 C.12＋13＋14 D.12＋13＋14＋15答案 C解析 ∵a n ＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2(n ∈N *)，∴a 2＝12＋13＋14.5．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为( ) A ．a n ＝19(10n －1)，n ∈N *B ．a n ＝29(10n －1)，n ∈N *C ．a n ＝13⎝⎛⎭⎫1－110n ，n ∈N * D ．a n ＝310(10n －1)，n ∈N *答案 C解析 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－110n ，而数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的每一项都是上面数列对应项的13，所以a n ＝13⎝⎛⎭⎫1－110n ，n ∈N *. 6．323是数列{n (n ＋2)}的第________项． 答案 17解析 由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}的第17项．7．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，n ∈N *则a 2n ＝________；a 2a 3＝________.答案 3－4n 15解析 因为a n ＝3－2n ，所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ， a 2a 3＝3－223－23＝15. 8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的正整数n 的最大值为________． 答案 673解析 由a n ＝2 020－3n >0，得n <2 0203＝67313，又因为n ∈N *，所以正整数n 的最大值为673. 9．写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，85，－157，249，….解 (1)各项是从4开始的偶数，所以a n ＝2n ＋2，n ∈N *.(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为a n ＝2n －12n ，n ∈N *.(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n .又第1项可改写成分数－33，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n ＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n (n ＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·n (n ＋2)2n ＋1，n ∈N *.10．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2 020；(3)2 020是否为数列{a n }中的项？解 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2，n ∈N *.(2)a 2 020＝4×2 020－2＝8 078.(3)令2 020＝4n －2，解得n ＝50512∉N *，∴2 020不是数列{a n }中的项．11．(多选)数列2，0，2，0，…的通项公式可以是( ) A ．a n ＝22[1－(－1)n ](n ∈N *) B ．a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)C ．a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数0，n 为偶数(n ∈N *)D ．a n ＝22(1－cos n π)(n ∈N *) 答案 ACD解析 经代入检验，A ，C ，D 均可以作为已知数列的通项公式． 12．已知a n ＝n 2－21n2，则数列{a n }中相等的连续两项是( )A ．第9项，第10项B ．第10项，第11项C ．第11项，第12项D ．第12项，第13项 答案 B解析 假设a n ＝a n ＋1，则有n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫94，3 B.⎣⎡⎭⎫94，3 C ．(1,3) D ．(2,3)答案 D解析 结合函数的单调性，要使数列{a n }递增，则应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，a 7＝(3－a )×7－3<a 8＝a 8－6，解得2<a <3，选D. 14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (6)＝________.答案 61解析 f (1)＝1＝2×1×0＋1，f (2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f (3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f (4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f (n )＝2n (n －1)＋1.当n ＝6时，f (6)＝2×6×5＋1＝61.15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为( )A ．a n ＝n ，n ∈N *B ．a n ＝n ＋1，n ∈N *C ．a n ＝n ，n ∈N *D ．a n ＝n 2，n ∈N *答案 C解析 ∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n ，….16．在数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1.(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；(2)区间⎝⎛⎭⎫13，23内有没有数列中的项？若有，有几项？(1)证明 因为a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1(n ∈N *)， 所以0<a n <1，故数列的各项都在区间(0,1)内．(2)解 令13<n 2n 2＋1<23，则12<n 2<2，n ∈N *， 解得n ＝1，即在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有且只有1项a 1.。