柳铁一中组合高中数学竞赛同步讲义

高中数学竞赛同步讲义——组合数学基础一、基础知识梳理1、集合覆盖、分类、拆分2、分类原理3、容斥原理4、加法原理5、极端原理6、抽屉原理7、平均量重叠原则8、面积的重叠原理一、基础题型例析1、抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：（1）13个人中至少有两个人出生在相同月份；（2）某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日；（3）2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11；（4）把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数. 这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。

在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。

这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也称“鸽巢原理”（一）抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。

例1．（1978年广东省数学竞赛题）已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。

证明：至少有两个点之间的距离不大于1/2.例2 （第14届1M0试题）一个集合含有10个互不相同的两位数，试证明：这两个集合必有两个无公共元素的子集合，此两子集的各元素之和相等.例3．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。

例4．从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。

例4说明：（2）如果我们按照（1）中的递推方法依次造“抽屉”，则第7个抽屉为{26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39}；第8个抽屉为：{40，41，42，…，60}；第9个抽屉为：{61，62，63，…，90，91}；……那么我们可以将例3改造为如下一系列题目：（1）从前16个自然数中任取6个自然数；……（2）从前39个自然数中任取8个自然数；……（3）从前60个自然数中任取9个自然数；……（4）从前91个自然数中任取10个自然数；……上述第（4）个命题，就是前苏联基辅第49届数学竞赛试题。

例5：在坐标平面上任取五个整点（该点的横纵坐标都取整数），证明：其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点.例5说明：我们可以把整点的概念推广：如果（x1,x2,…xn）是n维（元）有序数组，且x1,x2,…xn 中的每一个数都是整数，则称（x1,x2,…xn）是一个n 维整点（整点又称格点）。

如果对所有的n 维整点按每一个xi 的奇偶性来分类，由于每一个位置上有奇、偶两种可能性，因此共可分为2×2×…×2=2n个类。

这是对n 维整点的一种分类方法。

当n=3时，23=8，此时可以构造命题：“任意给定空间中九个整点，求证它们之中必有两点存在，使连接这两点的直线段的内部含有整点”。

这就是1971年的美国普特南数学竞赛题。

（二）抽屉原理的其它形式:定理2、把m 个元素分成n 个集合（m＞n）(1)当n能整除m 时，至少有一个集合含有m/n 个元素；(2)当n不能整除m 时，则至少有一个集合含有至少[m/n]+1个元素，（[m/n]表示不超过的最大整数）说明：定理2有时候也可叙述成：把m×n+1个元素放进n 个集合，则必有一个集合中至少放有m+1个元素。

例6．（1963年北京市数学竞赛题）在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8。

例6．说明：以下两个题目可以看作是本例的平凡拓广：（1）在边长为2的正方形内，随意放置9个点，证明：必有3个点，以它们为顶点的三角形的面积不超过1/2。

（2）在边长为1的正方形内任意给出13个点。

求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1/4。

例7．（北京市高中一年级数学竞赛1990年复赛试题）910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。

证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：1．至少三行完全相同；2．至少有两组（四行），每组的两行完全相同。

（三）抽屉原理的无限形式定理3.如果把无穷多个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都至少存在一个集合，其中有无穷多个元素。

例8．在坐标平面上给出无限多个矩形，它们的顶点的直角坐标都具有如下形式：(0，0)，(0，m)，(n，0)，(n，m)。

其中m，n是正整数，并且m＞3，n＜6，求证：在这些矩形中一定存在无限多个矩形，其中任意两个矩形必有一个被包含在另一个之中。

（四）抽屉原理的多次应用例9．有苹果、梨、桔子若干个，任意分成9堆，求证一定可以找到两堆，其苹果数、梨数、桔子数分别求和都是偶数。

例10．（根据1995年全国高中数学联赛试题改编）将平面上每个点以红蓝两色之一着色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2009，并且每一个三角形的三个顶点同色。

例10．说明：（1）这里连续用了两次抽屉原理（以染色作抽屉）。

也可以一开始就取位似比为2009的9个位似点组（Ai,Bi）i=1,2,3,…,9），对4个抽屉（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝）应用抽屉原理，得出必有3个位似点属于同一抽屉，（2）从题目的证明过程中可以看出，位似比2009可以改换成另外一个任意的正整数、正实数。

（3）一般地可以证明，在这个二染色的平面上存在无数个内角为30°，60°，90°的直角三角形三顶点同色。

（4）进一步还可得到：对任何a∈R+，可得到两个相似比为a的顶点同色的相似三角形。

对于多染色的情形，还可以得出多个相似三角形的结论：用红、黄、蓝三种颜色对平面上的点染色，对任意的a,b∈R+，必存在三个三角形，它们彼此相似，相似比为1∶a∶b，且每个三角形的三顶点同色。

（五）抽屉原理的拓广形式面积重叠定理：设平面上给定r个面积分别为S1，S2,…Sr 的图形，S1+S2+…+Sr=m.将这r个图形以任意方式移植到一个已知面积为n的平面图形F的内部，则至少有(m/n)个图形在F中有公共点（(x)表示不小于x的最小整数）。

例11、半径为19的圆C内有650个点，证明：存在内半径为2，外半径为3的圆环，它至少盖住其中的10个点平均值重叠原理1（1）若n个实数x1,x2,…xn满足x1＋x2＋…＋xn≥A（或≤A），则至少有一个xi≥A/n （或≤A/n）。

（2）若n个实数x1,x2,…xn满足x1＋x2＋…＋xn=A，则至少有xi、xj，满足xi≥A/n≥xj。

平均值重叠原理2（1）若n个正数x1,x2,…xn，满足x1x2…xn≥An（或≤An），则至少有一个xi≥A（或≤A）。

（2）若n个正数x1,x2,…xn，满足x1x2…xn=An，则至少有xi、xj，满足xi≥A ≥xj。

2、容斥原理容斥原理的基本形式定义：所谓容斥，是指我们计算某类物的数目时，要排斥那些不应包含在这个计数中的数目，但同时要包容那些被错误地排斥了的数目，以此补偿。

这种原理称为容斥原理（The Principle of Inclusion-exclusion），又称为包含排斥原理。

（1）加法原理加法原理：设M为非空有限集，A1，A2 ，…，An是M的两两不交的子集，且A1 ∪A2 ∪…∪An=M，那么|M|=|A1|+|A2|+…+|An|.注：i) |M|即card(M),表示集合M中元素的个数，简称为集合M的阶。

ii) 加法原理是组合数学中的一个基本的计数原理，在实际运用中可根据问题的不同背景赋予有限集M的元素不同的含义。

（2）容斥原理的基本形式定理1：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|.例1、对24名科技人员进行掌握外语情况的调查，其统计资料如下：会英、日、德、法语的人数分别为13、5、10和9。

其中同时会英语、日语的人数为2；同时会英语和德语、同时会英语和法语、同时会德语和法语两种语言的人数均为4；会日语的人既不会法语也不会德语。

试求只会一种语言的人数各为多少？又同时会英、德、法语的人数为多少？例2、求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数.（3）容斥原理的一般形式定理3：设A1,A2,…,An是任意有限集合，有定理4：例3、（匈牙利数学竞赛试题）由数字1、2和3组成n位数，要求n位数中1、2和3的每一个至少出现一次，求所有这种n位数的个数.例4、计算不超过120的合数和素数的个数。

例5、将与105互质的所有正整数从小到大排列，求这个数列的第1000项. 思路分析：先研究较简单情况：在（0，105]中有多少个数与105互质；而105=3×5×7……例6、如果记小于正整数n且与n互质的数的个数为φ(n)，则在数论上叫函数φ(n)为欧拉函数.试求φ(n).例7、（1960-1961波兰数学竞赛试题）某人给6个不同的收信人写了6封信，并且准备了6个写有收信人地址的信封，有多少种投放信笺的方法，使每份信笺于信封上的收信人不相符？例8、（贝努力-欧拉错装信封问题）某人写了n封信及n个相应收信人地址的信封，现把所有的信一一装进信封，求所有的信全都装错信封的装法总数.例9、已知集合A、B、C满足：（1）|A|+|B|+|C|=|A∪B∪C|，（2）|A|=|B|=100.求|A∩B∩C|的最小值.3、极端原理例1、（鸡兔同笼问题）鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看足却有一百整，不知多少鸡和兔？例2、（智力游戏）一张圆桌，两人轮流往上方大小相等的硬币，只许平放，不许重叠，谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就是最后的胜利者，你选择先下还是后下，为什么？集合理论重要性的一个侧面是它的方法论意义．我们知道，有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不平衡的，其中的某个极端元素往往具有优于其它元素的特殊性质，能为解题提供方便，而利用这种极端性的依据之一就是下面所要介绍的有关集合的一条简单性质．最小数原理1：设M是正整数集的一个有非空子集，则M中必有最小数．最小数原理2：设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最小数．推论：设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最大数．例3、设S为整数的非空集，满足：①如果x,y∈S，那么x-y ∈S ；②如果x∈S ，那么kx ∈S,k ∈Z. 求证：在S中存在一个整数d，使得S由d的所有倍数组成．例4、若干人聚会，其中某些人彼此认识．已知：若某两人在聚会者中有相同数目的熟人，则他俩便没有共同的熟人，证明：若聚会者中有人至少有20 个熟人，则必然也有人恰好有20 个熟人．例5、在平面上任给2n个点，其中任意三点不共线，并把其中n个点染成红色，n个点染成蓝色.求证：可以一红一蓝地把它们连成n条线段，使这些线段互不相交．例6、一次10名选手参加的循环赛中无平局，胜者得1 分，负者得O分．证明：各选手得分的平方和不超过285 .例7、某地区网球俱乐部有20 名成员，举行14 场单打比赛，每人至少上场一次．求证：必有 6 场比赛，其12 个参赛者各不相同．例8、（第24届莫斯科数学奥林匹克）在平面上有100个点，其中任何两点的距离都不超过1，并且任何3点为顶点都构成钝角三角形。