新北师大版八年级上册第四章幂函数
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北师大版八年级数学上册第四章 函数
随着时间的增加而减少，干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万立方米) 的变化情况如图所示，根据图象回答问题． (1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ 解：(1)反映了干旱持续时间与蓄水量之间的关系． (2)根据图象填表：
干旱持续时间t/天 0 10 20 30 40 50 60 蓄水量V/万立方米 1 200 1 000 800 600 400 200 0
例2：下列各曲线中不能表示y是x的函数的是( B )
题型二 自变量的取值范围
例3：函数y＝ x＋1 的自变量x的取值范围是( B )
A．x≠1 B．x≥－1 C．x>－1
D．一切实数
变式：已知函数y＝
1 x－1
，自变量x的取值范围是1 C．x<1且x≠0
D．x≠1
题型三 函数的表示方法 例4：近年来，我国西南部分省市遭遇了严重干旱．某水库的蓄水量
系，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定 的值与之对应； (2)函数不是数，它是指在某一变化过程中两个变量之间的关系．
知识点2：表示函数的三种方法(难点)
表示函数的方法一般有： (1)图象法(用图象来表示函数的方法)； (2)列表法(把自变量x的一系列值和因变量y的对应值列成一个表格
问题导入
问题1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？ 当人坐在摩天轮上 时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律吗？ 摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系， 右图就反映了时间t(分）与摩天轮上一点的高度h（米)之间的关系.你能从上图观 察出，有几个变化的量吗？当t分别取3，6，10时，相应的h是多少？给定一个t值， 你都能找到相应的h值吗？
旧识回顾 1．什么叫常量？
干旱持续时间t/天 0 10 20 30 40 50 60 蓄水量V/万立方米 1 200 1 000 800 600 400 200 0
例2：下列各曲线中不能表示y是x的函数的是( B )
题型二 自变量的取值范围
例3：函数y＝ x＋1 的自变量x的取值范围是( B )
A．x≠1 B．x≥－1 C．x>－1
D．一切实数
变式：已知函数y＝
1 x－1
，自变量x的取值范围是1 C．x<1且x≠0
D．x≠1
题型三 函数的表示方法 例4：近年来，我国西南部分省市遭遇了严重干旱．某水库的蓄水量
系，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定 的值与之对应； (2)函数不是数，它是指在某一变化过程中两个变量之间的关系．
知识点2：表示函数的三种方法(难点)
表示函数的方法一般有： (1)图象法(用图象来表示函数的方法)； (2)列表法(把自变量x的一系列值和因变量y的对应值列成一个表格
问题导入
问题1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？ 当人坐在摩天轮上 时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律吗？ 摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系， 右图就反映了时间t(分）与摩天轮上一点的高度h（米)之间的关系.你能从上图观 察出，有几个变化的量吗？当t分别取3，6，10时，相应的h是多少？给定一个t值， 你都能找到相应的h值吗？
旧识回顾 1．什么叫常量？
北师大版八年级数学上册第四章全部课件
北师大版八年级数学上册第四章主要讲解了一次函数的相关知识。首先引入了函数的概念，通过实例让学生理解自变取值范围，详细阐述了不同类型函数关系式中自变量取值范围的确定方法。通过丰富的课堂讲解和课时流程设计，帮助学生逐步深入理解函数的本质。同时，文档中穿插了多个例题和练习题，旨在巩固和加深学生对函数知识的理解。这些题目涵盖了函数的定义、自变量取值范围的判断以及函数关系的实际应用等多个方面，有助于提高学生的数学思维和解题能力。总之，本章内容结构严谨，讲解细致入微，是学生学习和掌握一次函数知识的重要资料。
(北师大版)简单的幂函数课件
x
例2:判断下列函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) =－ 2 x 5
(2) f ( x) = x 4 + 2
(3) y = x 2 , x ∈ ( 3， ] － 3
(1) f ( x) =－ 2 x 5 的定义域是 R 解： 5 5 －x ∵ f ( ) = － 2( ) = 2x －x
问题1 问题 f ( x ) = x 的 对称。 图象关于原点 对称。 定义1： 定义 ：像这样 图象关于原点 图象关于原点 对称的函数叫 奇函数。 做奇函数。
3
•
••
f ( ) = ( ) = －x = －f ( x) －x －x
3 3
x
探索 ？
f ( ) 与 f (x) 的关系 －x
• 定义2： 的定义域内任意一个x， 任意一个 定义 ：如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 ， f ( ) = －f,(那么函数 －x x) f 叫) (x 奇函数。 奇函数。 都有
y=x
______________
α
幂函数 这样的函数称为_____. 这样的函数称为
特点:① 特点 ①底数是自变量 x ②指数是常量 ③ x 的 系数是1。 系数是 。
α
练习： 下列函数中 是幂函数的有______ 下列函数中， 练习：1.下列函数中，是幂函数的有 ③ ④ ⑤ 2 2 ②y = x +x ① y = 2x
2
f (1) = 1 f (2) = 4
f (3) = 9
2
？
－x 探索 f ( ) 与 f (x) 的关系
f ( ) = ( ) = x = f ( x) －x －x
x
定义2： 定义 ：如果对于函数 f (x ) 的定义域内任意一个 －x 偶函数。 就叫偶函数 都有 f ( ) = f ( x) ,那么函数 f (x ) 就叫偶函数。 那么函数
数学必修Ⅰ北师大版25简单的幂函数PPT课件
10
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
11
x2 6x 9 3
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
6
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
8
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
9
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
简单的幂函数
1
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
11
x2 6x 9 3
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
6
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
8
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
9
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
简单的幂函数
1
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
北师大版八年级数学上册第四章4.1函数课件(共27张PPT)
时间/时
下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变 量看成另一个变量的函数吗？
图1
图2
图1有两个变量，分别是年份和人均收入。 人均收入是年份的函数
图2有两个变量，分别是时间和有效成分的释 放量。 有效成分的释放量是时间的函数。
下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系？ 1、在一定的时间内，汽车所走的路程和速度. 2、在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹
指出下列关系式中的变量与常量
（1）球的表面积Ｓ（cm2）与球半径Ｒ（cm)的关
系式是Ｓ＝４ R2
（2）以固定的速度V0（m／s）向上抛一个球，小 球的高度ｈ（m）与小球运动的时间ｔ（s）之间 的关系式是ｈ＝V0t-４.９t2
巩固练习 下列各式中，ｘ都是自变量，则ｙ是不 是ｘ的函数，为什么？
1.y=x2 +3
填写下表： 层数n 1
物体总数 1
……
2345
n
36
10
15
……
n(n 1) 2
做一做 1、罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。 随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
对于给定的每一个层数n ，物体总数 y对应有几个 值？ 对于给定的每一个层数n ，物体总数 y有唯一的值 与之对应。
2、一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低 到-2730C，则气体的压强为零。因此，物理学中把 -2730C作为热力学温度的零度。热力学温度T（K） 与摄氏温度t（0C）之间有如下数量关系：T=t+273 ，T ≥0. （1）当t分别为-430C，-270C，00C，180C时，相应 的热力学温度T是多少？ 230K,246K,273K,291K。
北师大版八年级数学上册4.1函数 （共26张ppt）
北师大版初中数学八年级上册第四章 一次函数4.1 函数 课件
的热力学温度T是多少？
（2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T
值吗？
探究新知
4.1 函数/
探究新知
（1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的
热力学温度T是多少？
解：当t为-43℃时， T= -43+273=230（℃）;
当t为-27℃时， T= -27+273=246（℃）;
课堂小结
4.1 函数/
概念：函数在某个变化过程中，如果有两 个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变 量，y是x的函数.
函数
函数的关系式：三种表示方法
自变量的取值范围 函数值
1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义
课后作业
作业 内容
4.1 函数/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
系的是 ① ② ③ ．
提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一 个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
巩固练习
4.1 函数/
变式训练
下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎
样改变，才能使y是x的函数？
（1）y 2x 3
（2）y
x
1 1
（3） y x 2
素养目标
4.1 函数/
3. 经历对具体实例的研究过程,进一步发展抽象 思维能力.
2. 了解函数的三种表达方式，并会用含有一个 变量的代数式表示另一个变量. 1. 理解函数及其相关概念，并能判断两个变 量之间的关系是不是函数关系.
探究新知
知引识入点新1知 函数及相关概念
4.1 函数/
新北师大版八上第四章41函数精品PPT课件
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温 度T是多少？
230，246, 273，291
自变量t的取值范围 t≥-273℃ 。
想一想
1、上述的三个问题中，自变量能取哪些值？ 注意：对于实际问题中，自变量的 取值应使实际问题有意义。
2、什么叫函数值？如何求函数值？
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间 t(min) 之间的关系。
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温 度T是多少？
230k， 246k, 273k， 291k
(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你能求出相应的T值吗？
议一议
1、上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；②层数n、物体总数y；
③热力学温度T、摄氏温度t。
自变量t的取值范围
234
37 45 37
t≥0 。
5 ……
11 ……
问题二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。 随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
层数n
1 2 3 4 5 ……
物体总数y 1 3 6 10 15 ……
自变量n的取值范围 n取正整数 。
问题三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作 为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃) 之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温 度T是多少？
230，246, 273，291
(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你能求出相应的T值吗？
函数的表示法： 关系式法
230，246, 273，291
自变量t的取值范围 t≥-273℃ 。
想一想
1、上述的三个问题中，自变量能取哪些值？ 注意：对于实际问题中，自变量的 取值应使实际问题有意义。
2、什么叫函数值？如何求函数值？
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间 t(min) 之间的关系。
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温 度T是多少？
230k， 246k, 273k， 291k
(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你能求出相应的T值吗？
议一议
1、上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；②层数n、物体总数y；
③热力学温度T、摄氏温度t。
自变量t的取值范围
234
37 45 37
t≥0 。
5 ……
11 ……
问题二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。 随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
层数n
1 2 3 4 5 ……
物体总数y 1 3 6 10 15 ……
自变量n的取值范围 n取正整数 。
问题三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作 为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃) 之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温 度T是多少？
230，246, 273，291
(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你能求出相应的T值吗？
函数的表示法： 关系式法
4.2简单幂函数的图象和性质课件(北师大版)
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w
的函数.
②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
③如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
④如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方形的边长 a= ,这里 a 是 S 的函数.
(2)已知幂函数 f(x)=
-
(m∈N+)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满
-
足(a+1) <(3-2a) 的 a 的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:幂函数的图象与性质.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
-
解:(1)0. =( )
由(1)知函数 f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以 f(2-a)>f(a-1)等价于
2-a>a-1≥0,
解得 1≤a< .
故实数 a 的取值范围为[1, ).
备用例题
[例 1] 已知函数 y= (p,q 是互质的整数)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是增函
数,则(
-+
[例 2] 已知幂函数 f(x)=(m-1)
2
在(0,+∞)上单调递增.
(1)求 m 的值;
解:(1)因为f(x)为幂函数,所以(m-1)2=1,
所以m=0或2.
当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,满足题意.
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新北师大版八年级上册第四章幂函数
幂函数是数学中常见且重要的一类函数形式。
在八年级上册的第四章中，我们将研究幂函数的定义、性质和图像特征，以及一些幂函数的应用。
1. 幂函数的定义
幂函数的形式为 $y = ax^b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，且
$b$ 是正整数。
它是由底数 $x$ 与指数 $b$ 的正整数次幂的乘积构成。
2. 幂函数的性质
幂函数有许多特点和性质，其中一些重要的性质包括：
- 当指数 $b$ 为正奇数时，幂函数的图像在坐标平面中关于原点对称。
- 当指数 $b$ 为正偶数时，幂函数的图像在坐标平面中关于$y$ 轴对称。
- 当 $a > 0$ 时，幂函数的图像在坐标平面中上升，且在 $x$ 轴
右侧趋近于正无穷大。
- 当 $a < 0$ 时，幂函数的图像在坐标平面中下降，且在 $x$ 轴
右侧趋近于负无穷大。
3. 幂函数的图像特点
幂函数的图像特点与指数 $b$ 的值密切相关。
以下是不同指数$b$ 对应的幂函数的图像特点：
- 当 $b > 1$ 时，幂函数的图像在坐标平面中从左下方逐渐上升。
- 当 $b = 1$ 时，幂函数为一次函数，其图像为一条直线。
- 当 $0 < b < 1$ 时，幂函数的图像在坐标平面中从左上方逐渐
下降。
- 当 $b = 0$ 时，幂函数为常数函数，其图像为一条水平直线。
4. 幂函数的应用
幂函数在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的幂函数
应用：
- 物体的自由落体运动的距离、速度和加速度与时间的关系可以通过幂函数来描述。
- 金融市场中的复利计算可以用幂函数进行模拟和分析。
- 自然界中的某些生长现象，如细胞数量的增长、植物高度的增长等，也可以使用幂函数来表示。
总结
幂函数是一类重要的函数形式，它的图像特点和性质与指数$b$ 的值有密切关系。
通过研究幂函数的定义、性质和图像特征，我们能够更好地理解和应用幂函数。