a伴随矩阵的秩的证明
a与a的伴随矩阵秩的关系证明
a与a的伴随矩阵秩的关系证明标题：a与a的伴随矩阵秩的关系文章正文：矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域有着广泛的应用。
矩阵的伴随矩阵是矩阵理论中的一个重要内容，它与原矩阵之间存在一定的关系。
本文将从理论和实际应用两个方面，探讨矩阵a与其伴随矩阵的秩之间的关系。
我们来了解一下矩阵的伴随矩阵。
给定一个n阶方阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，它是由A的代数余子式所构成的矩阵的转置。
伴随矩阵的每一个元素都是A的代数余子式，代数余子式是指在矩阵A 中划去某一行和某一列后所得到的n-1阶子矩阵的行列式乘以(-1)的幂。
现在，我们来证明一下a与其伴随矩阵的秩之间的关系。
设矩阵a 的维度为n×m，其中n表示矩阵的行数，m表示矩阵的列数。
根据矩阵的性质，我们知道矩阵a与其伴随矩阵adj(a)的秩之和等于矩阵的行数n。
我们来证明矩阵a的秩小于等于n。
根据矩阵的定义，矩阵的秩是指矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
假设矩阵a的秩为r，那么存在r个行向量或列向量线性无关。
根据线性代数的知识，任意r个n维向量线性无关的充要条件是它们的行列式不为0。
因此，矩阵a的秩小于等于n。
接下来，我们来证明矩阵adj(a)的秩等于n-r。
假设矩阵adj(a)的秩为s，那么存在s个行向量或列向量线性无关。
根据伴随矩阵的定义，adj(a)的每一个元素都是a的代数余子式。
因此，adj(a)的每一个元素都可以表示为a的某个n-1阶子矩阵的行列式。
假设这s个行向量或列向量对应的子矩阵为A，那么A的秩为s。
根据矩阵的性质，矩阵的行数等于其秩加上零空间的维数。
而矩阵A的行数为n-1，秩为s，因此零空间的维数为n-1-s。
而adj(a)的行数为n，秩为s，因此零空间的维数为n-s。
由于矩阵的行数等于其秩加上零空间的维数，所以矩阵adj(a)的秩为n-s。
矩阵a与其伴随矩阵adj(a)的秩之和等于矩阵的行数n。
即r+s=n，其中r为矩阵a的秩，s为矩阵adj(a)的秩。
伴随矩阵的秩与矩阵的秩的关系的证明
伴随矩阵的秩与矩阵的秩的关系的证明要证明伴随矩阵的秩与矩阵的秩之间的关系，我们先回顾一下伴随矩阵的定义和性质。
设矩阵A是一个n阶方阵，它的伴随矩阵记作Adj(A)，那么Adj(A)的定义是：对于A的每一个元素a_ij，其代数余子式A_ij对应的元素adj(a_ij)构成的矩阵，即Adj(A) = [adj(a_ij)]。
我们知道，对于一个n阶方阵A，A的秩等于其非零行（列）向量组的维数，也等于其行（列）向量组的极大线性无关组的向量个数。
现在我们来证明伴随矩阵Adj(A)的秩与矩阵A的秩之间的关系：证明：设A是一个n阶方阵。
1）如果A是一个非奇异矩阵（即可逆矩阵），那么根据A的可逆性，我们知道A的行（列）向量组的秩等于n，即A的秩为n。
而伴随矩阵Adj(A)是一个n阶方阵，根据伴随矩阵的定义，我们可以得知Adj(A)的每一个元素都是由A的代数余子式构成的。
根据代数余子式的性质，我们知道当A是非奇异矩阵时，其所有的代数余子式都不等于零。
所以Adj(A)中的每一个元素都不等于零，即Adj(A)的秩也为n。
2）如果A是一个奇异矩阵（即非可逆矩阵），那么根据奇异矩阵的定义，A的行（列）向量组一定是线性相关的，即存在非零的线性组合使得线性组合等于零向量。
而伴随矩阵Adj(A)的每一个元素都由A的代数余子式构成，根据代数余子式的性质，我们知道当A的行（列）向量组线性相关时，其某个代数余子式等于零。
所以Adj(A)中的至少有一个元素等于零，即Adj(A)的秩小于n。
综上所述，伴随矩阵Adj(A)的秩与A的秩之间存在如下关系：1）当A是非奇异矩阵时，Adj(A)的秩等于n，即Adj(A)的秩等于A的秩。
2）当A是奇异矩阵时，Adj(A)的秩小于n，即Adj(A)的秩小于A的秩。
这就完成了伴随矩阵的秩与矩阵的秩之间关系的证明。
伴随矩阵的性质探讨
伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵的性质探讨第二章伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．主要研究内容：n阶矩阵A的伴随矩阵的行列式与秩；n阶矩阵A的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．一．伴随矩阵的定义a11a21设Aij是ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n中元素a的代数余子式，称矩阵...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)为A的伴随矩阵． ...Ann相关内容：《高等代数》（王萼芳石生明版）定义９在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式M'称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的K2个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．（1）如果在M'前面加上符号......ik)(j1j2......jk)后称作Ｍ的代数余子式．二．伴随矩阵的性质a11a21A设...an1a12a22...a22............a1n A11a2nA* A12......ann A1nA21A22 (2) (3)...Ann2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1 ｎ阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（即A0），当A可逆时，，其中A*为A的伴随矩阵．设A*为A的伴随矩阵，则AA*A*A AE 证明：由行列式按一行（列）展开的公式0A..................aA kikj A,k1AA AA 0AE...A注：A可逆时，A*AA 1 证毕．2.2 伴随矩阵的行列式A*(i)若A可逆，则A0，由性质１得，AA*AE,两边同时取行列式得即AA*A，又A0, 则A*A（ii）若A不可逆，则A*A0 综上所述，A* A 证毕．2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵A中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵A的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵A的秩，记做R(r)．求矩阵A1解：由A14的秩．84＝0，A的一个二阶子式8故R(A)2．定理2.3 n n矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.(《高等代数》王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论:设A是n阶矩阵,则R(A*)1,R(A)n;R(A)n1; R(A)n 1.证明:① R(A)n时,显然A0，由性质2知0,故R(A)n.② R(A)n1时,由定理知A0,性质1知AA*AE0, 即AA*0和A*的列向量全都为方程组AX0的解,又R(A)n1, 则其次方程组AX0的解向量组的和为n(n1) 1. 知A*的列秩为1,即R(A*) 1.i,j1,2,......n）③ R(A)n1,A*中任一元素A（都是0, ij因为A中不存在非零的n1阶子式,故R(A*)0. 证毕．2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质为n阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,则有特别情况有:当n2时,（A*）*证明:()i)当A可逆时,A0;又由性质1AA*A*A AE知(两边同时左乘（A*）1A*(AA1) 1 A*(当A不可逆时,A0,(A*)*0.2.5 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的,如果有AB BA E.(E为单位矩阵)．伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系：性质５可逆的充分必要条件是A*可逆．证明：必要性．由性质１知，AA*A*A AE．若A可逆，则A非退化，即A0.（两边同时消去A,得由以上的可逆定义可知 A*是可逆的．充分性．即证A*可逆，则A可逆，此命题与其逆否命题＂若A不可逆，则A*也不可逆＂是等价的．由矩阵不可逆可知A0,则变为证明若A0,则A*0．这里我们用反正法．假设A*0,则A*可逆．由性质１知AA*AE０（两边同时右乘A*）有AA*(A*)1０得A＝0，所以A*=0，所以A*0与假设的A*0矛盾．故假设不成立，原命题成立．综上所述，A可逆的充分必要条件是A*可逆．证毕．2.6 n阶矩阵A的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n为对称矩阵，如果a a，...anni,j1,2,......n，且有A A性质６．若ｎ阶矩阵A是对阵矩阵，则其伴随矩阵A*也为对称矩阵．证明如下：设为对称矩阵，可知A A,aij aji，且Aij Aji，可知A(A).即证得A*为对称矩阵．证毕．性质７．设A非退化，若A*为对称矩阵，则A也为对称矩阵．即证A A'．证明如下：A*对称可知A*(A*)'． A(A1)1(A [(A A'即A为对称矩阵．证毕．2.7 伴随矩阵 A*与原矩阵A的正定性之间的联系A)]((A))矩阵正定的定义：实对称矩阵A为正定的，如果二次型X'AX正定．又有，实二次型f x1,x2,......xn正定，如果对于任意一组不全为零的实数c2,都有f c1,c2,0性质８若ｎ阶矩阵A是正定的，则A*也是正定的．证明：因为A是正定的，所以存在可逆矩阵B，使得 B'AB E, 则(B'AB)*E*E'***'****'又（BAB）BA(B)BA(B)E由正定的定义知A*也是正定矩阵．证毕．2.8 伴随矩阵A*的正交性与其原矩阵n阶矩阵A的正交性的关系矩阵正交的定义：n 阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A E．性质9 若A为正交矩阵，则A*也为正交矩阵．证明：A为正交矩阵，知A'A E， A*(A*)'A*(A')*(A'A)*E* E 由正交的定义知，A*也为正交矩阵．证毕．2.9 伴随矩阵A*的特征值的性质性质10 设为n阶矩阵A（A可逆）的特征值，则其伴随矩阵A*的特征值1与的关系为1证明：设是A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量．则有A两边同时左乘A*有A*A A*A*由性质１AA*AE知上式变为A A*得A*由A的特征值的性质可知证毕．即为A*的特征值．推广：性质11 若1，2，．．．．．．值，则其伴随矩阵的特征值为ｎ为ｎ阶矩阵A（A可逆）的特征，．．．．．．．（i1,2,......n）是A的特征向量）证明：由题意知有A i i i(i1,2,．．．．．．ｎ两边左乘A*，知A*A i A*i i 即A i iA i ，得为A*的特征值．，．．．．．．即A*的特征值是证毕．．（i1,2,......n）2.10 伴随矩阵的运算性质性质12 (A')*(A*)'.a21证明：设ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n则 ...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)An1A11(A*)'21......Ann An1A12A22...An2...............Anna11a12'A (1)a21a22 (2)............an1A11(A')*21......ann An1A12A22...An2...............Ann其Aij(i,j1,2,......n)是A中元素aij的代数余子式，由结果分析知(A')*(A*)'．证毕．性质13 设A为n n1阶方阵，k为任意非零常数,则kA证明设A aij，，可知 kannA. kkn1A11n1性质14 (AB)*B*A* 证明：由性质１知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A* 证毕．......Am(m2)，则推广性质15 ｎ阶矩阵A1,A2，(A1,A2,......Am)(Am)(Am1)......A2A1,证明过程同性质１３的过程．推广性质16 (Am)*(A*)m 证明：令A1A2......Am A，则AA1A2......Am(A1A2......Am)(Am)(Am1)......A2A1(A)．性质１7 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.a11a21a n1a12a22an2,当i j时，aij0.直接计算得，ann证明设A aij n nA0,iA21A220, Ann则A*亦为上三角矩阵.同理可证，若A为下三角矩阵，则A*也为下三角矩阵. 证毕．性质18 若矩阵A与B合同，且A与B可逆，则A*与B*也合同.证明因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P使PTAP B.又A与B可逆，则有 ,即CA1CT B 1.其中C P 1.又PTAP PA B,则PC AA1PC BB1,即QTA*Q B*,其中Q PC是可逆矩阵.故A*与B*也合同.三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用41 例3.1 设A00 求(A3E) 1 5040005001300 21 解：A3E0200A3E111 2 又(A3E)0000E1例3.2 设三阶实数矩阵A(A非退化)的特征值为11,24,3 1. 求①2(A1)23A* ②2A*A2的值.此题目应用知识:A1,f(A),A*与A的特征值的关系．解:由题目条件先知为A的特征值,则性质10可知，A*的特征值为为A1特征值,f()为f(A)的特征值．①设x为A的特征向量，则知Ax x，得（2A）x2x，3Ax3则(2(A1)23A*)x(又有A12,31(4)(1) 4. 然后将４代入()，得到式子(将1，2，3分别代入(*)得2(A1)2-3A*的特征向量分别是110，2②设x为A特征向量，则(2A*)x2所以(2A*A2)x(，可知(2A*)的特征值分别为９，１４，－７．故，2A*A2914（-7）-882．。
a与a的伴随矩阵秩的关系证明
a与a的伴随矩阵秩的关系证明以a与a的伴随矩阵秩的关系为题，我们将探讨伴随矩阵的特性，并证明其与原矩阵的秩之间的关系。
我们需要了解什么是伴随矩阵。
给定一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，是一个与A的行列式有关的矩阵。
具体来说，adj(A)的元素是A的代数余子式，而且这些代数余子式按一定的规律排列在adj(A)的相应位置上。
接下来，我们来证明伴随矩阵adj(A)和原矩阵A的秩之间的关系。
假设A是一个n阶方阵。
首先，我们知道A的伴随矩阵adj(A)的行列式等于A的行列式的n-1次方，即det(adj(A)) = det(A)^(n-1)。
根据线性代数的知识，我们知道一个矩阵的行列式为0，当且仅当该矩阵的秩小于其阶数。
所以，我们可以得出结论：如果A的行列式det(A)不为0，那么adj(A)的行列式det(adj(A))也不为0。
根据矩阵的性质，行列式不为0意味着矩阵是满秩的，也就是说它的行秩和列秩都等于阶数。
那么我们可以推断出，如果A是满秩的，那么adj(A)也是满秩的。
接下来，我们来证明反过来的命题，即如果adj(A)是满秩的，那么A也是满秩的。
假设adj(A)是满秩的，即其行秩和列秩都等于n。
我们知道adj(A)的行列式det(adj(A))不为0，根据前面的推论，我们可以得出结论：det(A)也不为0。
根据行列式的定义，行列式不为0意味着矩阵是可逆的，也就是说它的秩等于阶数。
所以，我们可以推断出，如果adj(A)是满秩的，那么A也是满秩的。
我们可以得出结论：矩阵A和其伴随矩阵adj(A)的秩是相等的。
这个结论的意义在于，我们可以通过求解矩阵A的伴随矩阵adj(A)的秩来确定矩阵A的秩。
这对于矩阵的秩的计算和性质分析非常有用。
我们来总结一下本文的主要内容。
我们首先介绍了伴随矩阵的定义和性质，然后证明了伴随矩阵adj(A)和原矩阵A的秩之间的关系。
具体来说，我们证明了如果A的行列式不为0，那么adj(A)的行列式也不为0，如果adj(A)是满秩的，那么A也是满秩的。
关于伴随矩阵性质的探讨
关于伴随矩阵性质的探讨1引言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点．设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n a a a a A 1111，()n j i 2,1,= 是A中元素ij a 的代数余子式，称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n A A A A A 1111*为A 的伴随矩阵[]1(176)P ．在大学本科的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给出了证明过程，得到一系列有意义的结果．从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前．2伴随矩阵的性质2.1伴随矩阵的基本性质 性质1[]2(5253)P P - E A AA A A ==**性质2 若0=A ,则0*=AA . 性质3 1*-=n AA .证明 由性质E A AA =*得E A AA =*， 从而 nA A A =*，两边同时左乘1-A得1*-=n AA ，即为所证．2.2可逆性质性质4 若A 可逆，则1*-=A A A （或*11A A A--=）.证明 由性质1，E A AA =*两边同时左乘1-A 得E A A AA A 1*1--=，即 *111*A A AA A A ---==．性质5 若A 可逆，则*A 可逆且()A A A11*--=.证明 若A 可逆，即0,01*≠=≠-n AA A ，从而*A 可逆又有性质4得()()A A A A A1111*----==．性质6[3](124)P 若A 可逆，则()A A An 2**-=.证明 由性质1得()E A AA ****=，A 可逆，*A 也可逆，两边同时左乘()1*-A 得()()A AAA AA A A n n 2111****----===．性质7[4](181183)P P - 若A 可逆，则()()*11*--=A A .证明 由性质5得()A A A 11*--=, 由性质1得()E A A A 1*11---=. 两边同时左乘A 得()()1*1*1---==A A A A ．2.3运算性质性质8 若A 可逆，k 为非零常数，则()*1*A k kA n -=．证明 由性质1得()()E kA kA kA =*,两边同时左乘()1-kA 得()()()*111111*A k A A k A k A k kA kA kA n n n ------====．性质9 若,A B 均为n 阶可逆方阵，则()***A B AB =．证明 由已知条件可得0≠A ，0≠B ．从而可得0≠AB 也就是AB 可逆得()()()*11*11AB BAAB ABAB ----==，又因为()*1*1111A A B B A B AB -----==，由以上可得()***.AB B A =推论 若1321,,,,-t t A A A A A 均为同阶可逆矩阵,则()*1*2*3*1**1321A A A A A A A A A A t t t t --=．2.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10 若A 对称，则*A 亦对称．证明 因为A 是对称的，即,TA A =从而可得()()()()()**111*A A A A A A A A A TTTTT=====---,所以*A 是对称的．性质11 A 可逆，若*A 为对称矩阵，则A 为对称矩阵． 证明由题中所给条件可得()()()()T TT A A A A AA AA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===--------11*11*1111.性质12 单位矩阵E 和零矩阵O 的伴随矩阵均为本身，即00,**==E E ． 性质13 若A 可逆，则()()TT A A **=．证明 由性质1得()E A A A T T T=*，又由A 可逆，故T A 也可逆，两边同时左乘()1-T A 得()()()()()TTTT T T A A A A A A A A *111*====---．性质14 A 为n 阶反对称矩阵，则当n 为奇数时，*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，*A 为反对称矩阵.证明 因()()*1*1A A n --=-,A A T -=由上一性质可知，()()()()*1***1A A A A n T T--=-==，所以，当n 为奇数时，()**A A T=，此时*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，()**A A T-=，此时*A 是反对称矩阵．2.5伴随矩阵秩的性质性质14 设A 为n ()2≥n 阶方阵，证明 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r nA r n A r ．证明 当秩n A =时，即A 为非奇异时，由于01*≠=-n AA ,故*A 也是非奇异的,即秩 n A =*；当秩1A n =-时，有0A =,于是*0AA A E ==，从而，秩1*≤A ．又秩1A n =-,所以至少有一个代数余子式0,ij A ≠ 从而又有秩* 1.A ≥于是，秩*1.A =当秩1A n <-时, 0*=A ，即此时秩*0A =．性质15 设n 阶方阵A 是可逆的，那么*A 可表示为A 的多项式.证明 A 的多项式为()0111a a a f n n n ++++=--λλλλ ．因A 可逆，所以()010≠-=A a n由哈密顿－凯莱定理知()0=A f ，即00111=++++--E a A a A a A n n n ，故()E A E a A a A a n n n =+++----12111 ， 右乘*A ,得()*1211A E a A a A a A n n n =+++---- ， 故()()E a A a AA n n n n 12111*1+++-=---- ．2.6伴随矩阵特征值的性质性质16 若λ为n n A ⨯的一个特征值，则1A λ-为*A 的特征值．证明 由条件知，有非零向量X 满足X AX λ=．则111,X A X A X X λλ---==. 从而11A A X A X λ--=，*1A X A X λ-=，也就是1A λ-为*A 的一个特征值． 2.7自伴随矩阵定义 若*A A =,则称A 为自伴随矩阵.性质17[]5()15P 关于自伴随矩阵的性质：(1) 零矩阵，单位矩阵均为自伴随矩阵；(2) 两自伴随矩阵之积为自伴随矩阵的充分条件为两矩阵可换； (3) 若A 为自伴随矩阵,则()21≥=-n A An ；(4) 若A 为自伴随矩阵,则(1,2,)kA k =也为自伴随矩阵；(5) 若A 为非奇异自伴随矩阵,则1A -也为自伴随矩阵；(6) 若A 为自伴随矩阵，则TA 也为自伴随矩阵． 2.8 伴随矩阵的继承性性质18 设,A B 为n 阶矩阵，则有 （1）若A 与B 等价,则*A 与*B 也等价；（2）若A 与B 合同,且A 与B 可逆,则*A 与*B 也合同；证明 因为矩阵A 与B 合同,则存在可逆矩阵P ,使B AP P T =,又A 与B 可逆,则()1111----=B P A P T,即11--=B C A C T ,其中()TP C 1-=，又B A P =2,则()()11**--=B B C P A A CP T,即**B Q A Q T =,其中C P Q =是可逆矩阵，故*A 与*B 也合同．（3）若A 与B 相似,则*A 与*B 也相似；证明 当A 可逆时,因为A 与B 相似,则B A =,且存在可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.又A 与B 可逆,上式两边取逆,得111---=B P A P ,则有()111---=BB P A A P,即**1B P A P =-,说明*A 与*B 相似.当A 不可逆时,由B AP P =-1知,B 也不可逆,所以必存在0>δ,当()δ,0∈t 时,使0,0≠+≠+B tE A tE ,令.,11B tE B A tE A +=+=那么0,011≠≠B A ,且()()PA PP A tE PAP P P tE P AP P tE B tE B 1111111-----=+=+=+=+=则又由,*11*1P A P B -=即()()P A tE P B tE *1*+=+-,上式两端矩阵的元素都是关于t 的多项式,由于当()δ,0∈t 时,对应的元素相等,所以对于任意t 上式都成立.取0=t 时,**1B P A P =-,即*A 与*B 相似.（4）若A 能相似对角化,则*A 也能相似对角化； （5）若A 是正交矩阵,则*A 也是正交的．证明 因为A 为正交矩阵,则E A A A T==,12,于是()()()()()()EE AA AA A AA A A A A A A A T T TTT======--------1111211211**故*A 也是正交矩阵．3 相关例题例1设A 为三阶矩阵,A 的特征值为1,3,5．试求行列式*2A E -． 解 因为135,A =⨯⨯由性质16知道,*A 的特征值分别为1553.，， 于是*2A E -的特征值分别为15213523,32 1.-=-=-=， 故*2133139A E -=⨯⨯=．例2 求矩阵A 的伴随矩阵*A ，其中110430103A -=-． 解 矩阵A 的特征多项式为：()25423-+-=-=λλλλλA E f因 020a =-≠,所以A 可逆.由性质知()()11302826541213*---=+--=-E A AA ．例３ 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解 由性质５得()A A A11*--=，由()11A A --=用伴随矩阵法或初等行变换易求得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2102101121125A ,又因为23111211111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-A，从而可得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----===---101022125111*A A A A A .例4 若A ,B 均为偶数阶同阶可逆矩阵，且有相同的伴随矩阵，试证A B =.证明 由性质4得，1*-=A A A , 1*-=B B B ,可知11A A B B --=, 也就是11--=B B A A ,11n n A A B B --=, 由11n n AB --=（n 为偶数可得1n -为奇数）从而B A =.例5 已知三阶矩阵()33⨯=ij a A 满足条件:(1)()3,2,1,==j i A a ij ij ,其中ij A 是ij a 的代数余子式;（2）011≠a ，求A .解 由条件（1）和性质3知,T A A =*,则2*A A AA T===,所以0=A 或1=A .又0212132122111112121111≠++++=+++=n n n a a a a A a A a A a A ，故1=A ．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京:高等教育出版，1988 [2] 同济大学数学教研室．线性代数3版[M]．北京：高等教育出版，1999 [3] 钱吉林，高等代数题解精粹[M]．北京：中央民族大学出版社，2002[4] 蔡剑芳，钱吉林，李桃生．高等代数综合题解[M].武汉：湖北科技出版社,1986 [5] 王航平，伴随矩阵的若干性质．中国计量学院学报[J].2004,03 [6] 张禾瑞，高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1979 [7] 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[M]．北京：清华大学出版社,2001 [8] 卢刚,线性代数2版[M].北京：高等教育出版社,2004 [9] 王品超，高等代数新方法[M]．济南：山东教育出版社,2001 [10] 扬子胥，高等代数习题解[M]．济南：山东科学技术出版社,2003 [11] Farkas L,Farkas M.线性代数及其应用[M]．北京：人民教育出版社,1981。
线性代数公式总结
同济5版 工程数学—线性代数 公式归总第1章、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 逆序数的计算（奇、偶排列）；3. 对换：（在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．）a. 定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数． b.4. 如果1个n 阶行列式=0的元素比2n -n 还要多，则此行列式=0；5. 证明两个行列式相等（1.有完全相同的项；2.每一项所带的符号相等）；6. 在全部n 阶排列中（n>=2），奇偶排列各占一半；7. D D ,1)T=即式相等行列式与它的转置行列 ；行列式变号列互换行列式的两行),()2；则此行列式等于零完全相同列如果行列式有两行,)()3；. ,)()4乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行k k面以提到行列式符号的外的所有元素的公因子可列行列式中某一行 )( )5 ., )( )6则此行列式为零元素成比例列行列式中如果有两行 ., )( )7列式之和则此行列式等于两个行的元素都是两数之和行若行列式的某一列 行列式的值不变对应的元素上去行然后加到另一列的各元素乘以同一数行把行列式的某一列, )( , )( )8 8.余子式与代数余子式P16-21；9.一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ija 外都为零，那末这行列式等于ija 与它的代数余子式的乘积，即ijij A a D = ;10.行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ ；11. 代数余子式的性质： ①、ijA 和ija 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；12.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i ji j i ji j i jM A A M++=-=-13.设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D-=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D-=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；.,21212121)1(的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式p p p t D D n n n p p p p p p ta aa nn∑-=将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 14.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ =◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BB OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；15.范德蒙德(V andermonde)行列式∏≥>≥----==1112112222121).(111j i n j i n nn n nnn x x x x x x x x x x x D16.对于n 阶行列式A，恒有：1(1)nnk n kk k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；17.证明0A =的方法：①、A A=-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；18.如果1个n 阶行列式=0的元素比2n -n 还要多，则此行列式=0；19.证明两个行列式相等（1.有完全相同的项；2.每一项所带的符号相等）；20.计算证明行列式：①、用定义（行排列乱...;列排列乱...;都乱，看行标与列标逆序数之和）；②、化三角形行列式；③、降阶法；④、数学归纳法；⑤、递推法；⑥、范得蒙行列式； 21.克拉默法则（以下顺序按照①②③④⑤的顺序）①所得到的行列式，换成常数项列中第）是把系数行列式（其中那么它有唯一解的系数行列式如果线性方程组２b b b x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n j jj n n nn n n n n n n j D n j D n j D D D , ,,2,1.,,2,1,,0 .,,122112222212111212111===≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++②唯一那么它一定有解，且解的系数行列式如果线性方程组,0.,,22112222212111212111≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++D b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn n n n n n n③必为零解，则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无④.,0.0,0,0 221122221*********那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++D x a x a x a x a x a x a x a x a x a n nn n n n n n n⑤它的系数行列式必为零组有非零解，则如果上述齐次线性方程第2章、矩阵1 两张表a表矩阵加法数乘矩阵矩阵乘法定义(), ()ij m n ij m n A a B b ⨯⨯==()ij ij m n A B a b ⨯+=+ ()ij m n A a ⨯=，λ是一个数 ()ij m n A A a λλλ⨯==(), ()ij m s ij s n A a B b ⨯⨯== ()ij m n AB C c ⨯==，其中1sij ik kj k c a b ==∑交换律A B B A +=+A A λλ=不一定成立（课本P.35例5）结合律()()A B C A B C ++=++ ()()A A λμλμ=()()AB C A BC = ()()()AB A B A B λλλ==分配律/()A A A λμλμ+=+ ()A B A B λλλ+=+()A B C AB AC +=+()B C A BA CA +=+其它负矩阵与矩阵减法 ()A B A B -=+-/•不能由AB O =推出A O =或B O =• m m n m n m n n E A A A E ⨯⨯⨯==• ()()n n n n n E A A A E λλλ==•方阵的幂b 表矩阵的转置方阵的行列式方阵求逆定义设()ij m n A a ⨯=，则 ()T ij n m A b ⨯=，其中ij jib a = 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），记作||A 或det An 阶方阵A 的逆矩阵1*1||A A A -=性质 • ()T TA A = • ()TTTA B A B +=+ •()TTA A λλ= •()T T T AB B A =• ||||T A A =• ||||nA A λλ=•||||||AB A B =⋅，其中A 、B必为同阶方阵•**||AA A A A E ==11()A A --=111()A A λλ--=111()AB B A ---=2.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；伴随矩阵T ij nn n n n n A A A A A A A AA A A )(212222111211*=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=若 A 是 n 阶矩阵,记ijA 是A 的),(j i 位元素 ij a 的代数余子式,规定A 的伴随矩阵为3.对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；4.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；6.关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 第3章、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-； 6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）第4章、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）第5章、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
伴随矩阵和原矩阵的秩关系
伴随矩阵和原矩阵的秩关系1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个看起来有点“高大上”的话题——伴随矩阵和原矩阵的秩关系。
这听上去可能有点让人挠头，但别担心，我会用最简单的方式给你捋顺。
说到底，这就像你在厨房里做菜一样，先得把材料准备齐全，然后一步一步来，绝对不会让你觉得无聊。
2. 矩阵的世界2.1 矩阵是什么？首先，咱们得搞清楚什么是矩阵。
简单来说，矩阵就像一个整齐的数字表格，横着和竖着排列得整整齐齐。
想象一下，你在上班的时候，前面摆着一张图表，里面满是数据，哎呀，那就是矩阵的感觉了。
矩阵不仅能让数据看起来清晰，而且还能帮我们进行各种复杂的计算，简直是数学界的小帮手。
2.2 秩的概念接下来，让我们聊聊“秩”这个词。
它其实就像矩阵的“身价”，秩越高，说明这个矩阵能表示的信息就越多，反之亦然。
就像一个公司的总裁，能力强，手下的人越多，能够决定的事情也就越多。
所以，秩很重要，咱们在矩阵的世界里可不能忽视它。
3. 伴随矩阵3.1 什么是伴随矩阵？好了，进入正题，伴随矩阵就是个神奇的东西。
它是通过原矩阵的行列式来构造的，听上去好像有点复杂，但实际上就像做蛋糕一样，都是一步一步来的。
你先从原矩阵中取出一些小矩阵（叫做代数余子式），然后再把这些小矩阵的行列式整理好，最后转置一下，就得到了伴随矩阵。
3.2 秩的关系那么，伴随矩阵和原矩阵的秩到底是什么关系呢？简单来说，如果原矩阵的秩是r，那么它的伴随矩阵的秩通常也会和 r 有关。
具体来说，如果原矩阵是方阵，并且秩等于n（就是矩阵的行数或列数），那么它的伴随矩阵的秩也是 n。
但是，如果原矩阵的秩小于 n，那伴随矩阵的秩就会有些“黯然失色”，可能就变成零了。
这就像一位明星，红的时候大家都追着，但一旦风头不再，连个影子都没了。
4. 应用与实际意义4.1 为什么重要？听到这里，可能有小伙伴会问，这些秩和矩阵的关系到底有什么用呢？这可大有讲究！在实际应用中，比如在工程、经济学和计算机科学中，矩阵的运用非常广泛。
伴随矩阵的若干性质
刊ｊ（Ｔ）ａｄｊ（Ｑｘ一０））
以ｊ（Ｘ）ａｄ胭）ｎ咖＼㈢０。。０／ ）嘶（蹦由第５步）
＝ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ）
所以ａｄｊ（ＡＢ）一ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ） 证毕
推论：设Ａ，。Ａ∥．．．Ａ。为仟意咒阶锚阵
万方数据
第３期
王航平：伴随矩阵的若干性质
２４９
（１）ａｄｊ（Ａ１Ａ２…Ａ，）
＝ａｄｊ（Ａ，）ａｄｊ（Ａ，．１）…ａｄｊ（Ａ１）； （２）ａｄｊ（Ａ＋）＝（ａｄｊ（Ａ））‘． 定理６： （１）ａｄｊ（Ａ叫）＝（ａｄｊ（Ａ））一１； （２）『ａｄｊ（Ａ）Ｉ＝』ＡＩ一１；（咒≥２）
特别，有ａｄｊ（ａｄｊ（Ａ））一ＩＡ Ｉ”一２Ａ．
证明：（１）可直接由定义计算出，这里只证明
当愚一１时，结论成立，当ｋ＝２时：ｒａｎｋ（Ａ） ＝７＂１，由定理２有ａｄｊ（Ａ）一ＩＡＩＡ～，
所以ａｄｊ‘２］（Ａ） 一 ａｄｊ（ａｄｊ（Ａ）） ＝ Ｉａｄｊ（Ａ）Ｉａｄｊ－１（Ａ）＝Ｉ ＩＡ ＩＡ＿１ ｌ（１ Ａ ｌＡ叫１）－１ 一Ｉ Ａ Ｉ一２Ａ ｋ＝２时，结论成立，
设Ａ为挖（规＞１）阶方阵，记
ａｄｓ‘１（Ａ）为ａｄｊ（ａｄｊ（…ａｄｊ（Ａ）…）），则有 —————了Ｋ了————一
（１）ａｄｊ（ｋＡ）＝ｋ．－１ａｄｊ（Ａ）；
（２）ａｄｊＥ‘３（Ａ）＝
ｆ
。０
１
ｌ
ｆＡ
ｆ尘型粤口ｄｊ（Ａ）
ｌＡｌ毕Ａ
对Ｖ ｋ∈Ｎ．
竺艇：二麓：
ｒａｎｋ（Ａ）一咒，志为奇数 ｒａｎｋ（Ａ）＝，２，ｋ为偶数
ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｆ）））＝ＩＰ（ｉ（ｃ））ＩＰ叫（ｉ（ｃ））
＝ｃＰ（ｉ（１／ｃ））；
ａｄｊＰ（ｉ，Ｊ（忌））＝ｌＰ（ｉ，歹（是））ｌＰ一１（ｉ，＿ｆ（忌））
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a伴随矩阵的秩的证明
引言
在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
矩阵的秩是一个重要的概念，它可以告诉我们矩阵的线性相关性和方程组的解个数。
本文将探讨a伴随矩阵的秩，并给出其证明过程。
a伴随矩阵的定义
首先，我们来定义a伴随矩阵。
对于一个n×n方阵A，它的a伴随矩阵记作
adj(A)，定义如下：
adj(A) = (C1, C2, …, Cn)
其中，Ci表示A中第i列对应的余子式乘以(-1)^(i+j)，j为任意固定值。
a伴随矩阵与原矩阵之间的关系
a伴随矩阵与原矩阵之间有着密切的联系。
事实上，如果A是一个可逆方阵（即det(A)≠0），那么有以下等式成立：
A × adj(A) = adj(A) × A = det(A) × I
其中I表示单位矩阵。
a伴随矩阵的性质
在证明a伴随矩阵的秩之前，我们先介绍一些a伴随矩阵的性质。
1.adj(adj(A)) = det(A)^(n-2) × A
这个性质可以通过直接计算来证明。
首先，我们有adj(A) × A = det(A) × I，两边同时乘以adj(A)，得到adj(A) × adj(A) × A =det(A) ×
adj(A)。
由于A是可逆方阵，所以det(A)≠0，我们可以将上式两边同时除以det(A)，得到adj(A) × A = adj(adj(A))。
再次利用adj(A) × A =
det(A) × I，我们可以得到adj(adj(A)) = det(A)^(-1) × adj(adj(A)) = det(A)^(-1) × adj(adj(A)) × A。
比较两个等式的右边部分可得
det(adj(A))×A=det(adj(adj（A）)),即：adj(adj（A）)=det（A）(-1)adj（A）A=det（A）(n-2)I A=det（A）^(n-2)*A。
2.如果B是一个n×n方阵，则有：rank(B)=rank(adj(B))
这个性质可以通过利用矩阵的行变换和列变换来证明。
首先，我们知道行变换和列变换都不改变矩阵的秩。
然后，我们可以将B进行初等行变换或初等
列变换，使其变为上（下）三角矩阵或对角矩阵。
在这个过程中，B的秩不
变，而adj(B)也会进行相应的行变换或列变换，保持与B相同的秩。
因此，rank(B)=rank(adj(B))。
a伴随矩阵的秩证明
现在我们开始证明a伴随矩阵的秩。
设A是一个n×n方阵，我们来证明rank(adj(A))=n-1。
首先，我们知道adj(adj(A)) = det(A)^(n-2) × A。
由于A是一个n×n方阵，
所以det(A)≠0。
根据性质1，我们可以得到adj(adj(A)) = det(A)^(n-2) × A。
因此，adj(adj(A))和A具有相同的秩。
然后，我们知道rank(adj(adj(A)))= rank(det(A)^(n-2) × A) =
rank(det(A)^(n-2)) + rank(A) - n + 2。
根据性质2可得rank(det(A)^(n-2)) = 1。
因为det(A)^(-1) ≠ 0。
综上所述，我们有rank(adj(adj(A)))= 1 + rank(A)- n + 2 = rank(A)+3-n。
由于adj(adj(A))和A具有相同的秩，所以rank(adj(adj(A))) = rank(adj(A))。
将上述等式代入可得：rank(adj(A))=rank(A)+3-n
由于rank(A) ≤ n，所以rank(A)+3-n ≤ n+3-n = 3。
因此，我们得到rank(adj(A)) ≤ 3。
综上所述，a伴随矩阵的秩不会超过3。
结论
通过以上证明，我们得到了a伴随矩阵的秩不会超过3的结论。
这个结论在实际问题中具有重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和行为。
参考文献
1.Gilbert Strang. (2005). Linear Algebra and Its Applications.
2.Howard Anton, Chris Rorres. (2010). Elementary Linear Algebra:
Applications Version.。