2019北师大版八年级下册第一章 三角形证明 三角形的证明-知识点汇总
概念
证明的一般步骤
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果
知识点3等边三角形的性质定理
内容
性质定理
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度
解读
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”
【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形
知识点4等腰三角形的判定定理
三角形的证明知识点汇总讲解
知识点1全等三角形的判定及性质
判定定理简称
判定定理的内容
性质
SSS
三角形分别相等的两个三角形全等
全等三角形对应边相等、对应角相等
SAS
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
ASA
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
AAS
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
HL（Rt△）
知识点8角平分线的性质及判定
内容
性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
实例应用：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等（交点是内切圆圆心）
在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，则AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC
条件：等腰三形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一
结论：该线也是其他两线
等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等
巧计乐背
三种方法证等边，定义与两个判定，判定2可先证等腰，再找60°角
知识点7线段的垂直平分线的性质及判定
内容
性质定理
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
实例应用：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等（交点是外接圆圆心）
知识点6等边三角形的判定定理
内容
判定定理1
三个角都相等的三角形是等边三角形
判定定理2
有一角是60度的等腰三角形是等边三角形
解读
应用判定定理2时，证三角形是等腰三角形，且三角形中有一角为60°
拓展
判定一个三角形是等边三角形的方法有三个：（1）三边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。注意要更根据条件和特征灵活选择判定方法
（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题正确
解读
【要点提示】（1）对于一个数学命题，当用直接证法比较困难甚至不能证明时，往往采用间接证法，反证法就是其中一种，当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明
（2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
知识点2等腰三角形的性质定理及推论
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角
在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C
条件：边相等，即AB=AC
结论：角相等，即∠B=∠C
推论
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边
在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC
条件：角相等，即∠B=∠C
结论：边相等，即AB=AC
解读
对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”
拓展
判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”
(完整word版)北师大8下数学第一章三角形的证明
第一章三角形的证明知识点一：等腰三角形1、等腰三角形的性质定理：①等腰三角形,两底角相等（等边对等角)。
②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合.( “三线合一”）③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。
2、等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。
知识点二：等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等,三个内角都相等,且都等于60°。
2、等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点三：反证法步骤：①假设：假设结论不成立;②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论;③假设不成立；④原命题成立.知识点四：直角三角形1、直角三角形性质定理：①角：直角三角形，两锐角互余。
②边：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、直角三角形的判定定理：①角：两锐角互余的三角形是直角三角形。
②边：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形。
）3、特殊的直角三角形：在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。
4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等.(注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角.)知识点五:垂直平分线（点到点）1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定定理:到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
知识点六：角平分线（点到边）1、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、角平分线判定定理：在一个角的内部,到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
北师大版数学八年级下册各章节知识点汇总
围 直线 y ax b 在直线 y cx d 的上方对应的点的横坐标范围．
六、一元一次不等式组
※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说 这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax b ＞0 或 ax b ＜0 或 ax b ≥0 或 ax b ≤0（ a 、b 为常数，a ≠0） 的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y ax b 的值大于 0（或小于 0 或大于等于 0 或小于等于
0）时求相应的自变量的取值范围.
①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集; ⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五、一元一次不等式与一次函数 1、一次函数与一元一次不等式
一、不等关系 ※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <=> 大于等于 0(≥0) <=> 0 和正数 <=> 不小于 0 非正数 <=> 小于等于 0(≤0) <=> 0 和负数 <=> 不大于 0 二、不等式的基本性质 性质 1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.
最新新编八年级数学下册第一章三角形的证明知识点归纳新版北师大
第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。
北师大版八年级下数学第一章-三角形的证明-1
情景创设
等腰三角形知识回顾
❖ 1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义） ❖ 2、等腰三角形有哪些性质？ 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（等腰三角形的三线合一）。
3、上述性质你是怎么得到的？
情景创设
等腰三角形知识回顾
❖ 1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义） ❖ 2、等腰三角形有哪些性质？ 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（等腰三角形的三线合一）。
求证：∠B＝∠C． 怎么想：常见辅助线做法 （3）作底边上的中线；
BD C
探索活动 合作与讨论
证明：等腰三角形的两个底角相等
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
A
怎么想
怎么写
要证∠B＝∠C． 只需证△ABD≌ △ACD 只需有 AB＝AC
∠ BAD＝ ∠CAD AD＝ AD
怎么想：常见辅助线做法 12
（1）作顶角的平分线
BD C
探索活动 合作与讨论
证明：等腰三角形的两个底角相等
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．源自求证：∠B＝∠C．A
怎么想：常见辅助线做法
（2）作底边上的高；
BD C
探索活动 合作与讨论
证明：等腰三角形的两个底角相等
A 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
小结
❖ 在等腰三角形中，顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高是常用的辅助线， 通过添画辅助线，把一个等腰三角形分 成一对全等三角形。 ❖证明中常用的一种思考方法：从需要 的证明的结论出发，逆推出要使结论成 立所需要的条件，再把这样的“条件” 看作“结论”，一步一步逆推，直至归 结为已知条件。
北师大版八年级数学下册同步精品第一章 三角形的证明(单元小结)(课件)
知识专题
二.与直角三角形有关的结论
1.直角三角形的性质定理 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 （勾股定理）． 性质2：直角三角形的两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半；
知识专题
2.直角三角形的判定定理 （1）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形．
①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；
②AD上任一点到AB，AC的距离相等；
③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2.
正确的有( C ) A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
考点专练
考点2 等腰三角形的判定
例2.将一副直角三角板如图摆放，等腰直角三角板ABC的 斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相 同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连 接CD. 求证：△CDO是等腰三角形．
∴∠FGD＝180°-70°＝110°.
∵GE平分∠FGD， ∴∠EGD= 12∠FGD＝55°. ∵AB∥CD， ∴∠EHB＝∠EGD＝55°.
A
F
C
G
E B
H
D
考点专练
A
D
E
B
C
考点专练
考点5 直角三角形
例5. 如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，
CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，
∠EFH＝20°，求∠EHB的度数．
A
F
E
B H
北师版初二下册第一章三角形的证明
八年级下第一章三角形的证明【基础知识】1、全等三角形（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。
（2）性质：全等三角形的 、 相等。
（3）判定：“SAS ”、 、 、 、 。
三边 ：边边边（SSS ）两边: 边角边（SAS ）一边 边角边（ASA ）角角边（AAS ）※※注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角※※证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的角）2、等腰三角形（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的 相等。
（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。
（3）判定：①定义②“ ”3、等边三角形（1） 定义： 的三角形是等边三角形。
（2）性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。
（3）判定：①定义②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角 是等边三角形。
4、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(2)勾股定理及其逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（3）“斜边、直角边”或“HL ”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等【巩固训练】1、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm2、（2011江苏宿迁）如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CDC ．∠B ＝∠CD ．∠ BDA ＝∠CDA3 、（2011广东湛江19,4分）如图，点,,,B C F E 在同一直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠ （填“是”或“不是”） 2∠的对顶角，要使ABC DEF ∆≅∆，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）．4、（2012攀枝花）已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对5、（2010湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6B ．7C ．8D ．96、（2012哈尔滨）一个等腰三角形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ．7、（2012随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________。
新北师大版八年级下册《三角形的证明》
【知识点一：全等三角形的判定与性质】1 •判定和性质2 •证题的思路:找夹角（SAS）已知两边找直角（HL）找第三边（SSS）若边为角的对边，则找任意角（AAS）找已知角的另一边（SAS）边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA ）已知两角找两角的夹边（ASA ）【典型例题】1 •用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明/AOC= / BOC的依据是（）A • SSSB • ASA /"C • AASD •角平分线上的点到角两边距离相等気"2. 下列说法中，正确的是（）o /S7 sA .两腰对应相等的两个等腰三角形全等B .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等三角形的证明C .两锐角对应相等的两个直角三角形全等D .面积相等的两个三角形全等3. 如图，△ ABC^A ADE，若/ B= 80 ° / C = 30 ° / DAC = 35 °则/ EAC的度数为（）D.A. 40 °B. 35 °C. 30°4. 已知：如图，在△ MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ = NQ.求证：HN = PM.第1页共20页5.用三角板可按下面方法画角平分线：在已知/ AOB 的两边上，分别取 0M =ON (如图5-7),再分别过点 M 、N作OA 、0B 的垂线，交点为 P ,画射线0P ，贝U OP 平分/ AOB ，请你说出其中的道理.【巩固练习】1 .下列说法正确的是()A . —直角边对应相等的两个直角三角形全等B .斜边相等的两个直角三角形全等C .斜边相等的两个等腰直角三角形全等D .一边长相等的两等腰直角三角形全等2.如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ ADB 也△ EDB 也△ EDC ,贝U / C 的度数为( A . 15 °B . 20 °C . 25 °D . 30 °3.如图，已知△ ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△A ABC BA A'B'C', AD 、A'D'分别是 (1)请证明 AD = A'D';(2)把上述结论用文字叙述出来; (3)你还能得出其他类似的结论吗4.如图4— 9,已知A ABC 和 从'BC 的角平分线.B£ABC 全等的图形是图4 — 95. 如图4—10,在厶ABC中，/ ACB = 90° AC = BC,直线I经过顶点C,过A、B两点分别作I的垂线AE、BF, E、F为垂足.（1）当直线I不与底边AB相交时，求证：EF = AE+ BF .图4—10（2）如图4—11,将直线I绕点C顺时针旋转，使I与底边AB交于点D，请你探究直线I在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系.①AD > BD :②AD = BD :③AD V BD .【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；②等腰三角形三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等.【典型例题】1 .等腰三角形的两边长分别为3和6 ,则这个等腰三角形的周长为（）A. 12 B . 15 C . 12 或15 D . 182 .等腰三角形的一个角是80 °则它顶角的度数是（）A . 80 °B . 80。
第一章-三角形的证明(单元小结)-八年级数学下册同步精品课堂(北师版)
1、性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
考点专练
1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A．20° B．40° C．50° D．80°
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
考点专练
7.如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=∠ACE，求证：BF=CF．
解：连接BC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB．∴FB=FC．
考点专练
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
∴ ∠CAD ＝ ∠CBD
考点专练
1、如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是_______。
2．如下右图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（ ）A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、性质定理的逆定理（判定定理）：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
要点梳理
4．常见的基本作图(1)过已知点作已知直线的 ；(2)作已知线段的垂直 线．
垂线
平分
3、三角形三边的垂直平分线的性质：
三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝_____。
北师大版数学八年级下册：第一章《三角形的证明》 章节全部知识框架
全等三角形 性质等腰三角形 等边三角形 判定 对应边相等对应角相等 一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS 两直角三角形全等的判定定理： HL 定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
SSS ：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS ：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA ：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS ：两角及一组内角的对边对应相等的两个三角形全等。
可利用全等三角形的这一性质 证明线段或角相等。
性质 判定 ①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。
②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。
③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。
④“三线合一”：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。
⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。
（对称性全等） ①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。
前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角。
可用于证明线段或角相等（等腰三角形） ③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形. A 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合B 、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 C 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
（不能直接使用结论证性质 判定 ①轴对称图形，内角平分线（各边中线，各边高线）都是对称轴。
②三边都相等，三内角都相等且为60度。
③“三线合一”且三角形三条中线高线角平分线交于一点O, 这点到三顶点的距离相等（OA=OB=OC ），到三边的距离相等（OD=OE=OF ）。
①有三边相等的三角形是等边三角形 ②有三内角相等的三角形是等边三角形。
③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
北师大版三角形的证明综合知识点
北师大版三角形的证明综合知识点一、知识概述《三角形的证明综合知识点》①基本定义：三角形的证明就是要用一些已知的条件和定理去证实三角形具有某些性质或者关系。
比如说证明两个三角形全等，就是要证实这两个三角形在形状和大小上完全一样。
②重要程度：在北师大版的数学里，这可太重要了。
就像是建房子的基石一样，三角形的证明很多时候是解决更复杂几何问题的前提，很多四边形、多边形的性质研究啥的最后都能归结到三角形的证明。
③前置知识：你得先知道三角形的基本性质，像三角形的内角和是180度呀，三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）这种。
还得对线段、角这些基本的几何概念很熟悉。
④应用价值：在建筑设计里，如果要做那种三角架，就得用到三角形稳定的这个性质的证明啊，好使这个架子打得牢固。
还有测量的时候，如果知道某些三角形的关系，也能通过证明算出一些我们不好直接测量的距离或者角度。
二、知识体系①知识图谱：三角形的证明在几何知识体系里可是核心部分。
就像一个大树的树干一样，很多几何知识都从这里“长”出来或者和它有关联。
②关联知识：和角平分线、线段垂直平分线等知识点联系超紧密。
例如，角平分线性质定理在证明三角形边角关系时可能会用到。
还有勾股定理这种关于直角三角形三边关系的定理也和三角形的证明息息相关。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话，有点难。
因为要注意的细节很多，得从给出的条件里准确找到能用来证明的线索。
- 关键点：对定理、定义的理解和灵活运用。
比如说三角形全等的判定定理有好几个（SSS、SAS、ASA、AAS等），要清楚啥时候用哪个。
④考点分析：- 在考试中的重要性：相当重要，每次考试的几何部分基本都会有涉及三角形证明的题。
- 考查方式：可能是直接让证明三角形全等或者相似，也可能是把三角形的证明作为解决其他更大问题（比如计算面积、求线段长度）中的一个步骤。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 三角形全等：就是两个三角形能完全重合。