第四章--能带理论PPT课件
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能带理论课件
2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量 的束缚态波函数 ，所以在不考虑原 认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电 子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势 代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子
能带理论 PPT课件
电阻率为 10-8Ω•m 以下的物体为导体 电阻率为108Ω•m以上的物体为绝缘体 电阻率介乎上面两者之间的为半导体
引子： ★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分立 的能级所表征； ★原子结合成固体时，这些原子的能级变扩展而 形成能带； ∴★因一为个在固原体子是内否层导能电级取上决充于满同电价子电，子所能以级相相应对的应的 能内带层能→带价是带满是带否→被电不子参填与满导电；
由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅 为 10-22eV，几乎可以看成是连续的，N 个新能 级具有一定的能量范围，通常称为能带。 即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的 能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如1s 带，2p 带等！
三、能带结构
1、能带
★通常情况下，价带为能量最高的 能带；
★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满
带或半满带。
空带
带隙
价带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
导带
（1）导体：能带结构有三种形式
形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如： 金属Li 电子排布1s22s1 每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带中 的电子 —— 电子导电型导体
这些允许的范围称为能带 不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带
关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的 相互影响来说明： 能 级：
引子： ★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分立 的能级所表征； ★原子结合成固体时，这些原子的能级变扩展而 形成能带； ∴★因一为个在固原体子是内否层导能电级取上决充于满同电价子电，子所能以级相相应对的应的 能内带层能→带价是带满是带否→被电不子参填与满导电；
由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅 为 10-22eV，几乎可以看成是连续的，N 个新能 级具有一定的能量范围，通常称为能带。 即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的 能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如1s 带，2p 带等！
三、能带结构
1、能带
★通常情况下，价带为能量最高的 能带；
★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满
带或半满带。
空带
带隙
价带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
导带
（1）导体：能带结构有三种形式
形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如： 金属Li 电子排布1s22s1 每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带中 的电子 —— 电子导电型导体
这些允许的范围称为能带 不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带
关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的 相互影响来说明： 能 级：
能带理论及其应用ppt课件
分布向电场反方向移动。因为有
dk
e
dt
•
（a）布洛赫振荡：刚有外场时，由于
v(k )
是
k
的周
期函数，故电子速度发生周期性振荡，电子在实空
间位置也发生振荡，此效应称为布洛赫振荡。
• （b）当电子运动时，受到晶格振动、杂质和缺陷 的散射，达到一个稳定的不对称分布，不再振荡。 此时，沿电场正反方向电子数不相等，总的电流不
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置变化，不考 虑其影响——即晶格振动问题，描述原子或离子围绕平衡
位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位置上，晶格 具有严格周期性，而晶格振动对电子影响当作微扰来处
理——即能带理论，研究固体中的电子状态。
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
•
出,
l1,
k
l2,l3 为整数），
相邻取值相差很小。
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12
•
2． 能带： 对于同一个n的
En(k)
由不同的
k
组成许多靠得很
近的能级组，称为能带。
• 3． 能带结构 对于不同的n，En(k) 形成单电子能谱。En(k) 的总体 称为晶体的能带结构。
1．
所以单电子能谱是由许多能带组成（每个n对应 一个能带）。 • 对值一，个靠能得带很中近的为准En(k连)是续）k 相的邻准能连带续E函n(k)数和（分立 En1(k) 之间可以相接，重叠或分开。
23
紧束缚近似的晶格势场
A
rRm
注：
V(rR m)
r
Rm
Rm 处格点对A处
电子的作用；
a
V
研究生课件-能带理论
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
26
从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
26
从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
第四章-能带理论-(Band-Theory)
能带理论 - 3 （Band Theory）
近自由电子适用于价电子束缚较弱的金属晶体, 采用赝 势方法后也可以用来研究半导体的价带和导带；对于价电子 束缚较强的半导体和绝缘体, 通常采用紧束缚近似 (TightBinding Approximation, TBA) 来讨论其电子结构.
1
与利用平面波描写零级近似状态的近自由电子 近似不同, 紧束缚近似中首先把电子看作所属原子 的电子, 晶体环境对电子的影响则作为微扰处理.
N
2
V
2
3
4
3
kF2
kF
3 2n 1/3 .
Fermi 球的表面称为 Fermi 面, Fermi 面的能量
称为Fermi 能 (级). Fermi 能对应的动量和速度分称
为 Fermi 动量和 Fermi 速度.
15
一方面, 三维晶体的能量作为简约波矢的函数, 随波矢方向变换而性质有所变化; 另一方面, 三维BZ 构造复杂, 讨论起来比较困难.
由于对称性的存在, 实际上人们并不需要研究整 个BZ (FBZ). 利用对称性, 人们可以通过研究部分 FBZ的情况来了解整个FBZ.
16
晶体全部对称操作的集合构成空间群.
26
原子中的电子能级是分立的, 可以具体表明各能 级的能量. 固体中, 电子能级形成准连续的能带, 标明 每个能级很困难也没有必要. 这时通常引入能态密度 来描写能级的分布：
状态数
能态密度： N E lim Z
E0 E
能量间隔
27
k 空间等能面 E 和 E + ΔE 之间的状态数为
Z
2V
V
当 取遍晶体所属点群中的所有对称操作, 得到一组
k , 它们是等价的, 称为 k*.
近自由电子适用于价电子束缚较弱的金属晶体, 采用赝 势方法后也可以用来研究半导体的价带和导带；对于价电子 束缚较强的半导体和绝缘体, 通常采用紧束缚近似 (TightBinding Approximation, TBA) 来讨论其电子结构.
1
与利用平面波描写零级近似状态的近自由电子 近似不同, 紧束缚近似中首先把电子看作所属原子 的电子, 晶体环境对电子的影响则作为微扰处理.
N
2
V
2
3
4
3
kF2
kF
3 2n 1/3 .
Fermi 球的表面称为 Fermi 面, Fermi 面的能量
称为Fermi 能 (级). Fermi 能对应的动量和速度分称
为 Fermi 动量和 Fermi 速度.
15
一方面, 三维晶体的能量作为简约波矢的函数, 随波矢方向变换而性质有所变化; 另一方面, 三维BZ 构造复杂, 讨论起来比较困难.
由于对称性的存在, 实际上人们并不需要研究整 个BZ (FBZ). 利用对称性, 人们可以通过研究部分 FBZ的情况来了解整个FBZ.
16
晶体全部对称操作的集合构成空间群.
26
原子中的电子能级是分立的, 可以具体表明各能 级的能量. 固体中, 电子能级形成准连续的能带, 标明 每个能级很困难也没有必要. 这时通常引入能态密度 来描写能级的分布：
状态数
能态密度： N E lim Z
E0 E
能量间隔
27
k 空间等能面 E 和 E + ΔE 之间的状态数为
Z
2V
V
当 取遍晶体所属点群中的所有对称操作, 得到一组
k , 它们是等价的, 称为 k*.
固体物理晶体能带的对称性PPT课件
—— 成键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的价带 —— 反键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的导带
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YOU
SUCCESS
2019/4/4
04_06 晶体能带的对称性 1 能带关于k的周期性
2 电子波矢 k k n 的布洛赫函数 a
2 E (k ) E (k n ) a
能量本征值
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
ikR E (k ) i J ( Rs )e s s
E (k ) i J 0
Rs Nearest
ikR s J ( R ) e s
2 原子能级与能带的对应
2 E (k ) E (k n ) a
2 k' k n a
—— 三维情况中表示
E(k ) E(k Gn )
2 能带的时间反演对称性 可以证明
E ( k ) E ( k )
3 能带的3种表示图式 1) 扩展能区图式 第一能带 E1 (k )
k
a
~
固体物理 Solid State Physics
第四章 能带理论
§4.6晶体能带的对称性
1 模型与微扰计算
—— 紧束缚近似方法的思想
—— 电子在一个原子(格点)附近时 主要受到该原子势场的作用 —— 将其它原子势场的作用看作是微扰
对于确定的 k
晶体中电子的波函数
1 k (r ) N
a
第二能带 E2Hale Waihona Puke (k )2 k ~ a a
2 ~ a a
2) 简约能区图式 —— 对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性
固体物理-第四章 能带理论-1(新疆大学李强老师课件)概要
… 禁带
1s
N个钠原子
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
允带
N个
钠晶体
2018/11/27
…
第四章 能带理论
讨论固体中电子的运动，能带理论基于以下近似：
绝热近似：由于原子实的质量是电子质量的103～105倍，所 以原子实的运动要比价电子的运动缓慢得多，于是可以忽略 原子实的运动，把问题简化为n个价电子在N个固定不动周期 排列的原子实的势场中运动。 多体问题 →多电子问题 单电子近似：忽略电子之间的相互作用。晶体中的任一电子 都可视为是处在原子实周期势场和其它(n-1)个电子所产生的 等效势场中。 多电子问题→单电子问题 理想晶体假设：忽略晶体中的缺陷和杂质，认为晶格具有严 格的周期性。 等效势场V(r)具有周期性。
新疆大学
固体物理 Solid State Physics
物理科学与技术学院 李强 2009. 1st term
第四章 能带理论
能带理论：研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的 特点。其主要成就：
说明了导体、半导体和绝缘体的区别； 解释了电子输运过程（电导、传热等）中自由 程远大于原子间距； 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推 动了半导体技术的发展。
2018/11/27
R≫a时两个Na原子体系的势能曲线
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
第四章 能带理论
以Na晶体为例说明组成晶体时的电子共有化
当N个Na原子组成体心立方晶体时，各个原子间距达到a。
第四章 能带理论.ppt
可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。
1 单电子所受的势场为： U (r ) u (r ) e
Rn
Ze 2 4 0 r Rm
无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性（周期场近似）： U (r Rn ) U (r ) 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电子 问题，单电子薛定谔方程为：
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷的离子实，相应地有 NZ 个价电子， 那么该系统的哈密顿量为:
2 2 N 1 1 e ˆ H ' 2 n 2 m 2 4 2 M r r i 1 i, j n 1 0 i j NZ 2 i NZ N 1 1 ( Ze) 2 1 Ze 2 ' 2 m ,n 4 0 Rn Rm i 1 n 1 4 0 ri Rn 2
H ' V ( x) V V
0 (1) ( 2) E E E E 根据微扰理论，电子的能量本征值 k k k k .
一级能量修正
Ek(1) k | H ' | k k | V ( x) V | k
Ek(1)
0 L
1 ikx 1 e [V ( x ) V ] eikx dx L L 1 ikx 1 e V ( x ) eikx dx ] V L L
k r e
ikr
uk r
—— Bloch函数
这里，uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢 Rl 为周期的周期函数。
它确定了波动方程解的基本特点。
4.1
布洛赫定理
二. Bloch 定理的物理证明（定性说明）：
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21
( x ) u ( x )e ikx
2 2m
d
2 ( x ) dx 2
V
( x )
( x )
E
(x dx
(x)
2
(V 0
E
)
(x)
0
K
2
2m(E V0) 2
0
V (x)
V0
1 ( x ) Ae iKx Be iKx
V0
ab 晶格常数c=a+b
2021
22
( x ) u ( x )e ikx
2 2m
d 2 ( x )
dx 2
V
( x)
( x)
E
(x)
2
2
m
d
2 ( x) E ( x) 0
dx 2
18
电子波矢k的取值： a
2 b1 a
分布密度= L 2
(k,rN) a (k,r)
(k, x Na) ei kNa (k, x) (k, x)
e ikNa 1
均匀分布
kN 2a m,m in . t 间隔为b/N 的N个k点。
2m 2m mb
k
Na L 2021 N
19
L1 L2
第四章 能带理论
2021
1
2021
2
2021
3
1. Bloch 定理与周期性边界条件 晶体中电子的运动遵守
Hˆ
(
k,
r
)
E
(k
,
r
)
2 2m
2
V
(r )
(k ,
r)
E
(k ,r )
V
(
r
)
V
(r
R)
R ma1 na2 la3
平移周期性
(k , r ) ???
对易具有共同本征态H的本征态Ψ(k,r)也是Tn的本征态
一维情况
( k ,r n ) a T ˆ n( k ,r ) n( k ,r )
(k, r ma ) Tˆm (k, r) m (k, r) 本征值
[k, r (m n)a] Tˆmn (k, r)
TˆmTˆn (k, r) mn (k, r)
对应同一Tn本征值!
T ˆ n( x ) n( x ) e ik( n x )a e i0 n ka ( x )
当k在一定的取值范围内取值时, k与Tn本征值
一一对应, 其他区域的k重复该区的结果.
2021
12
2 Brillouin Zone
取法：以某个倒易格点为原点，与第一、二….近邻格点连线, 取中垂面围成的区域, 分别是第一、二….布里渊区.
( x) ( x a a ) e ika ( x a )
let z x a, a x z
( x ) e ika ( x a )
e ikx e ikz ( z ) u1 ( z )e ikx u (k , x )e ikx u (k , x ) e ik ( xa ) ( x a )
正格子
倒格子 b1 b2
k点均匀分布
间隔为b1/N1-----X， b2/N2-----Y
倒格子原胞内共有N1N20个21 k点
分布密度=
L1L2
(2)2
S
(2)2
20
3D晶体?
3. 克龙尼克-潘尼问题
V0
ab 晶格常数c=a+b
晶格势场
0 ncax(n1)c V(x) V0 ncxnca
2021
TˆmTˆn (k, r) Tˆm (n (k, r)) nTˆm (k, r)
nm (k, r) mn nm nm
1 2
归一化条件 n
2021
8
为确定λn, 引入周期性边界条件
(k,rN) a(k,r) N总原胞数
晶体总长
晶体两边的物理特性一样
( k ,r N ) T ˆ N a ( k ,r ) N ( k ,r ) ( k ,r )
a1=1
b1=6.28
a2=2
b2=3.14
晶面(10)
倒格矢 G10=b1+0b2
晶面(12)
倒格矢
G12=b1+2b22021
13
第一布里渊区 (简约布里渊区)
布拉非格子
第二布里渊区
布里渊区体积=1个倒易点拥有的体积=倒格子原胞体积
2021
14
2021
15
2021
16
2021
17
2021
2021
4
求解(k？,r) 的特点？
真空中一维自由电子
(k,x)Aeikx
在周期性势场中运动的电子受约束而成Bloch波（调幅平面波）
(k, x) u(k, x)eikx
u(k, x) u(k, x na)
1D
(k ,r )
u(k,r)eik•r
3D
Bloch 定理
u(k,r) u(k, r R)
所以有
(k, xna) Tˆn(k, x) eikna (k, x)
推广到3维
(k,rR ) eik•R (k,r)
Rma1na22021la3
Bloch 定理
10
(k, xna) Tˆn(k, x) eikna (k, x)
?
(k, x) (k, x)eikx (k, x) (k, xa)
Bloch定理 Bloch波
N 1 mn nm;mn nm;N 1
i n m2
n e N
n2 1
1, ei
n为整数
2021
9
i2m n
n e N
Tn本征值, 表相位差
( k ,r n ) a T ˆ n( k ,r )n( k ,r )
2mn2mnambnakna kmb;mint.
N Na N
N
n eikna
一维情况 a •b a b 2
(k ,
r
R)
u(k,r
R)eik•(r R)
u(k ,
r)eik•reik•R
(k ,
r
R)
(k ,
ik•R r )e 2021
r与r+R处差一个相位因5 子
2021
6
Bloch波是晶体具有平移周期性的结果
定义平移算符 Tˆnf(r)f(rn)a f任意函数
Tˆn Hˆ f
u (k , x a ) e ik ( x ) ( x2)021 u (k , x )
11
n eikna 表相位差
a•ba b 2
k mb;mint. N
k倒空间中一点
故当k改变一个倒格失
kk0m;m bint
e i k n e i(s a N m b) nb a e i( 2 s N m n2 )n e i2 n N se i0 n ka
(r)
Tˆn
[
2 2m
2 r
V
( r )]
f
(r)
2 2m
r na
2
V
(r
na
)
f
(r
na
)
2 2m
2 r
V
(r)
f
(r
na
)
Hˆ Tˆn f ( r ) Tˆn Hˆ Hˆ Tˆn
对易具有共同本征态H的Ψ(k,r)也是
Tn的本2征021态
7
Tˆn Hˆ Hˆ Tˆn