北师大版八年级下册数学全套同步练习题
a 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系基础巩固1. 在数学表达式①-3<0；②4x+5>0；③x=3；④x 2+x ； ⑤ x -4；⑥ x+2>x+1是不等式的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个2. x 的2倍减7的查不大于-1,可列关系式为( )A.2x-7≥-1B. 2x-7<-1C. 2x-7=-1D. 2x-7≥-4 3.下列列出的不等关系式中, 正确的是( )A.a 是负数可表示为a>0B. x 不大于3可表示为x<3C. m 与4的差是负数,可表示为m-4<0D. x 与2的和非负数可表示为x+2>0 4. 代数式3x+4的值不小于0,则可列不等式为( )A. 3x+4<0B. 3x+4>0C. 3x+4≥0D. 3x+4<10 5.下列由题意列出的不等关系中, 错误的是( ) A.a 不是负数可表示为a>0 B. x 不大于3可表示为x ≤3C. m 与4的差是非负数,可表示为x-4≥0D.代数式 x 2+3大于3x-7,可表示为x 2+3>3x-7 6．“—x 不大于—2”用不等式表示为（ ）A .—x ≥—2B .—x ≤—2C .—x ＞—2D .—x ＜—2 7.下列按条件列出的不等式中，正确的是（ ）A .a 不是负数，则a ＞0B .a 与3的差不等于1，则a —3＜1C .a 是不小于0的数，则a ＞0D .a 与 b 的和是非负数，则a ＋b ≥0 8.用不等式表示“a 的5倍与b 的和不大于8”为 _______. 9.a 是个非负数可表示为_______. 10. 用适当的符号表示下列关系: （1）x 的31与x 的2倍的和是非正数；________________________________________ （2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；______________________________________ （3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；______________________________ （4）明天下雨的可能性不小于70%；__________________________________________ （5）小明的身体不比小刚轻._________________________________________________ 能力提升11．有理数a 与b 在数轴上的位置如图1—1（1）a 0； （2）b 0； （3）a b ；（4）a＋b0；（5）a－b0．12．一个两位数的十位数字是x，个位数字比十位数字小3，并且这个两位数小于40，用不等式表示数量关系．13．一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m3的土方，在前两天共完成了120 m3后，又要求提前2天完成掘土任务，问以后每天至少要挖多少土方？（只列关系式）14．爸爸为小明存了一个3年期教育储蓄（3年期的年利率为2．7%），3年后希望取得5400元以上，他至少要存如多少元？（只列关系式）15.某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红同学期中数学考了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得多少分?(只列关系式)16.某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不答或答错一题扣2分,某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)17．（1）用适当的符号填空①∣3∣＋∣4∣∣3＋4∣；②∣3∣＋∣－4∣3＋（－4）∣；③∣－3∣＋∣4∣∣－3＋4∣；④∣－3∣＋∣－4∣∣－3＋（－4）∣；⑤∣0∣＋∣4∣∣0＋4∣；（2）观察后你能比较∣a∣＋∣b∣和∣a＋b∣的大小吗？1.2不等式的基本性质基础巩固1.判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×” （1）不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ ） （2）如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ ） （3）如果a 是有理数，那么－8a ＞－5a.（ ） （4）如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ ） （5）如果a 为有理数，则a ＞－a.（ ） （6）如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ ） （7）如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ ） （8）若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ ） 2.若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ ） A ．a ＞０ B ．ａ＜０ C ．ａ≥0 D ．a ≤0 3.若m ＜ｎ，则下列各式中正确的是（ ）A ．m －3＞ｎ－3 B.3m ＞3n C.－3m ＞－3n D.1133m n->- 4.若a ＜0，则下列不等关系错误的是（ ） A ．a ＋5＜a ＋7 B.5a ＞7a C.5－a ＜7－a D.57a a > 5.下列各题中，结论正确的是（ ）A ．若a ＞0，b ＜0，则0ba> B ．若a ＞b ，则a －b ＞0 C ．若a ＜0，b ＜0，则ab ＜0 D ．若a ＞b ，a ＜0，则0ba<6.下列变形不正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则b ＜aB ．－a ＞－b ，得b ＞aC ．由－2x ＞a ，得2a x >-D ．由2xy >-，得x ＞－2y 7.有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ ） A ．小于或等于3的有理数 B ．小于3的有理数 C ．小于或等于－3的有理数 D ．小于－3的有理数 8.若a －b ＜0，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．a ＞bB ．ab ＞0C ．0ba< D ．－a ＞－b 9.绝对值不大于2的整数的个数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 10.若a ＜0，则－2b a +____－2b11.设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：a －1____b －1， a ＋3____b ＋3， －2a____－2b ，3a ____3b12.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b____0， a ＋b____0，ab____0，a 2____b 2，a 1____b1，︱a ︱____︱b ︱ 13.若a ＜b ＜0，则21（b －a ）____0 14.根据不等式的性质，把下列不等式表示为x ＞a 或x ＜a 的形式： （1）10x －１＞9x （2）2x ＋2＜3 （3）5－6x ≥2 能力提升15.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5 元的价格购进同一种商品40件.如果商店销售这些商品时，每件定价为x 元，可获 得大于12％的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验x ＝14（元）是否使 不等式成立？01234-1-2-3图3—101234-1-2-3图3—21.3 不等式的解集基础巩固1．在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x ≥3； （2）x ≤－1；（3）x ＜0； （4）x ＞－1．2．写出图3—1和图3—2所表示的不等式的解集：（1）（2）3.下列不等式的解集,不包括-4的是( )A.X ≤-4B.X ≥-4C.X<-6D.X>-6 4.下列说法正确的是( )A.X=1是不等式-2X < 1的解集B.X=3是不等式-X < 1的解集C.X>-2是不等式-2X < 1的解集D.不等式-X<1的解集是X > —1 5.不等式X-3>1的解集是( )A.X>2B. X>4C.X-2>D. X>-4 6.不等式2X<6的非负整数解为( )A.0,1,2B.1,2C.0,-1,-2D.无数个 7.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )A. X ≥-2B. X>-2C. X<-2D. X ≤-2 8.下列说法中,错误的是( )A.不等式X<5的整数解有无数多个B.不等式X>-5的负整数解有有限个C.不等式-2X<8的解集是X<-4D.-40是不等式2X<-8的一个解 9.-3X ≤9解集在数轴上可表示为( )10．如果不等式ax ≤2的解集是x ≥－4，则a 的值为 （ ）A ．a =21-B ．a ≤21-C ．a ＞21- D ．a ＜2111.不等式X-3<1的解集是_____________. 12.如图所示的不等式的解集是_____________.13.当X_______时,代数式2X-5的值为0,当X_______时,代数式2X-5的值不大于0. 14.在数轴上表示下列不等式的解集.（1）X>2.5； (2) X<-2.5； (3) X ≥3能力提升15.试求不等式X+3≤6的正整数解.16．写出适合不等式－2≤x ≤4的所有整数，即不等式－2≤x ≤4的整数解．其中哪些整 数同时适合不等式－2＜x ＜4？17．当x 取负数时，都能使不等式x －1＜0，能说不等式的解集是x ＜0吗？为什么？1.4 一元一次不等式基础巩固1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A ．4＞1 B ．3x －24＜4 C ．12x< D ．4x －3＜2y －7 2.与不等式321132x x -+<-有相同解集的是（ ） A ．3x －3＜（4x ＋1）－1 B ．3(x-3)＜2（4x ＋1）－1C ．2(x-3)＜3（2x ＋1）－6D ．3x －9＜4x －4 3.不等式13(19)762x x -<--的解集是（ ） A ．x 可取任何数 B ．全体正数 C ．全体负数 D ．无解4.关于x 的方程5－a(1－x)＝8x －(3－a)x 的解是负数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜－4 B ．a ＞5 C ．a ＞－5 D ．a ＜－55.若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且x ＋y ＞0，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞4B ．k ＞－4C ．k ＜4D ．k ＜－46.不等式2x －1≥3x 一5的正整数解的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.不等式732122x x --+<的负整数解有（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.若不等式（3a －2）x ＋2＜3的解集是x ＜2，那么a 必须满足( ) A ．a ＝56 B ．a ＞56 C ．、a ＜56 D ．a ＝－129.不等式10(x －4）＋x ≥－84的非正整数解是_____________ 10.若51)2(12>--+m xm 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为11.已知2R －3y ＝6，要使y 是正数，则R 的取值范围是_______________. 12.若关于x 的不等式(2n －3)x ＜5的解集为x ＞－31，则n ＝ 13.不等式12xx ->与65ax x ->的解集相同，则a =______. 能力提升14.若关于x 的不等式x －1≤a 有四个非负整数解，则整数a 的值为15.不等式3211(43)(76)1526x x x +--=--的非正整数解 _____.16.当k 时，代数式23(k-1)的值不小于代数式1-516k -的值.17.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）3(1)4(2)3x x +<-- （2）215132x x -+-≤1（3）0.4150.52x x ---≤0.030.020.03x - （4）12534x x -+-＞－218.求不等式285-x ≤418-x 的非负数解.19.若关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ，求p 的取值范围.20.若2（x ＋1）－5＜3（x －1）＋4的最小整数解是方程13x －mx ＝5的解，求代数式2211m m --的值.1.5 一元一次不等式与一次函数基础巩固1.已知函数y ＝8x －11，要使y ＞0，那么x 应取( ) A ．x ＞811 B ．x ＜811C ．x ＞0D ．x ＜02.已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像，如图5—1所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ •） A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．－2＜y ＜0 D ．y ＜－23.已知y 1＝x －5，y 2＝2x ＋1．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）． A ．x ＞5 B ．x ＜12C ．x ＜－6D ．x ＞－6 4.已知一次函数y kx b =+的图象如图5—2所示，当x ＜2时，y 的取值范围是（ ） A ．－2＜y ＜0B ．－4＜y ＜0C ．y ＜－2D ．y ＜05.一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图5—3，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x ＜3 时，y 1＜y 2中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.如图5—4，直线y kx b =+交坐标轴于A ，B 两点，则不等式0kx b +>的解集是（ ） A ．x ＞－2B ．x ＞3C ．x ＜－2D ．x ＜37.已知关于x 的不等式ax ＋1＞0（a ≠0）的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是（ ）A ．（0，1）B ．（－1，0）C ．（0，－1）D ．（1，0）图5—33Oy 2=x＋ay 1=kx＋b图5—20 2 －4xy图5—18.直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图5—5所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为（ ） A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定9.若一次函数y ＝(m －1)x －m ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________.10.如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图5-6可知行李的重量只要不超过________千克，就可以免费托运.11.当自变量x 时，函数y ＝5x ＋4的值大于0；当x 时，函数y ＝5x ＋4的值小于0.12.已知2x －y ＝0，且x －5＞y ，则x 的取值范围是________．13.如图5-7，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是_______________。
北师大版数学八年级下册：4.3 公式法 同步练习(附答案)
3公式法第1课时运用平方差公式因式分解知识点1直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．2a－b2C．a2－b2D．－a2－b22．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于（）A．9 B．4 C．－1 D．－23．把多项式(x－1）2－4因式分解的结果是（）A．(x＋3）(x＋1）B．(x＋1）(x－3）C．(x－1）(x＋3）D．(x－5）(x＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x2＝；(2）(2020·张家界）x2－9＝；(3）(2019·黔东南）9x2－y2＝．5．把下列各式因式分解：(1）9m2－4n2；(2）－16＋a2b2；(3）964m2－n2；(4）(x－2y）2－4y2.知识点2先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a2b－b3因式分解，结果正确的是（）A．b(a＋b）(a－b）B．b(a－b）2C．b(a2－b2）D．b(a＋b）27．因式分解：(1）(2020·济宁）a 3－4a ＝ ；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝ ；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝ ．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝ ．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为 .易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝ ．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．(a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b ）＝a 2－abC ．(a －b ）2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b ）(a －b ）14．对于任意整数n ，多项式(n ＋7）2－(n －3）2的值都能（ ）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝；(2）－9x2＋(x－y）2＝；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；(2）0.36x2－49y2；(3）a3b－16ab；(4）3m4－48；(5）x n－x n＋2；(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是（）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是（）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝；(2）a2－2ab＋b2＝．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋14；(2）4x2＋y2－4xy；(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝．9．把下列各式因式分解：(1）－x2＋6xy－9y2；(2）a3＋9ab2－6a2b.易错点对完全平方式理解不透10．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为（）A．100 B．150C．10 000 D．22 50012．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有．①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.13．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a，b的多项式的因式分解：．15．把下列各式因式分解：(1）(a－b）2＋4ab；(2）－2a3b2＋8a2b2－8ab2；(3）4x2－(x2＋1）2；(4）25－30(x－y）＋9(x－y）2；(5）(x2－2xy＋y2）＋(－2x＋2y）＋1.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果 ；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x ）(x 2－2x ＋2）＋1进行因式分解．18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x 2＋4x ＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2）2＋1.∵(x ＋2）2≥0，∴当x ＝－2时，(x ＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x ＋2）2＋1≥1.∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x ＝ 时，代数式x 2－6x ＋12的最小值是 ；(2）知识运用：若y ＝－x 2＋2x －3，当x ＝1时，y 有最大值(填“大”或“小”），这个值是 ；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝；(2）x2－6x＋8＝；(3）x2＋2x－3＝；(4）x2－6x－27＝．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝；(2）3x2－5x＋2＝．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝；(2）2x2－10x－12＝．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋）－(b3＋）＝a2( ）－(a＋b）＝( ）(a＋b）＝．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；(2）a2＋b2－9＋2ab.4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是．参考答案：第1课时 运用平方差公式因式分解知识点1 直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C ）A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22．已知多项式x 2＋a 能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于(C ）A ．9B ．4C ．－1D ．－23．把多项式(x －1）2－4因式分解的结果是(B ）A ．(x ＋3）(x ＋1）B ．(x ＋1）(x －3）C ．(x －1）(x ＋3）D ．(x －5）(x ＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x 2＝(1－x ）(1＋x ）；(2）(2020·张家界）x 2－9＝(x ＋3）(x －3）；(3）(2019·黔东南）9x 2－y 2＝(3x ＋y ）(3x －y ）．5．把下列各式因式分解：(1）9m 2－4n 2；解：原式＝(3m ＋2n ）(3m －2n ）．(2）－16＋a 2b 2；解：原式＝(ab ＋4）(ab －4）．(3）964m 2－n 2； 解：原式＝(38m ＋n ）(38m －n ）．(4）(x －2y ）2－4y 2.解：原式＝(x －2y ＋2y ）(x －2y －2y ）＝x(x －4y ）．知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a 2b －b 3因式分解，结果正确的是(A ）A ．b(a ＋b ）(a －b ）B ．b(a －b ）2C ．b(a 2－b 2）D ．b(a ＋b ）27．因式分解： (1）(2020·济宁）a 3－4a ＝a(a ＋2）(a －2）；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝3(x ＋3y ）(x －3y ）；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝mn(m ＋n ）(m －n ）．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；解：原式＝m(4m ＋n ）(4m －n ）．(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．解：原式＝(a －b ）(a ＋2）(a －2）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为3a －4.易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －2）．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D ）A．(a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b）＝a2－abC．(a－b）2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b）(a－b）14．对于任意整数n，多项式(n＋7）2－(n－3）2的值都能(A）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝(x＋4）(x－4）；(2）－9x2＋(x－y）2＝－(4x－y）(2x＋y）；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝(a－2）(m＋1）(m－1）．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为12．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3）(x－3）．(2）0.36x2－49y2；解：原式＝(0.6x）2－(7y）2＝(0.6x＋7y）(0.6x－7y）．(3）a3b－16ab；解：原式＝ab(a2－16）＝ab(a＋4）(a－4）．(4）3m4－48；解：原式＝3(m4－16）＝3(m2＋4）(m2－4）＝3(m2＋4）(m＋2）(m－2）．(5）x n－x n＋2；解：原式＝x n(1－x2）＝x n(1＋x）(1－x）．(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；解：原式＝[(y＋2x）＋(x＋2y）][(y＋2x）－(x＋2y）]＝(y＋2x＋x＋2y）(y＋2x－x－2y）＝(3x＋3y）(x－y）＝3(x＋y）(x－y）．(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．解：原式＝a2(a－b）－b2(a－b）＝(a2－b2）(a－b）＝(a－b）2(a＋b）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？解：36和2 020都是和谐数．理由如下：设a＝(n＋2）2－n2＝(n＋2－n）(n＋2＋n）＝2(2n＋2）＝4(n＋1），令36＝4(n＋1），解得n＝8.∴36＝102－82.同理：令2 020＝4(n＋1），解得n＝504.∴2 020＝5062－5042.第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是(D）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝(m＋2）2；(2）a2－2ab＋b2＝(a－b）2．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋1 4；解：原式＝(y＋1 2）2.(2）4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x）2＋y2－2·2x·y＝(2x－y）2.(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.解：原式＝(m－n－3）2.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝12(2x－1）2；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝n(m＋n）2；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝3a(a－1）2．9．把下列各式因式分解：(1）－x 2＋6xy －9y 2；解：原式＝－(x 2－6xy ＋9y 2）＝－(x －3y ）2.(2）a 3＋9ab 2－6a 2b.解：原式＝a(a 2＋9b 2－6ab ）＝a(a －3b ）2.易错点 对完全平方式理解不透10．在多项式4x 2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是±4x 或4x 4.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为(C ）A ．100B ．150C ．10 000D ．22 500 12．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．①－a 2＋b 2；②4x 2＋4x ＋1；③－x 2－y 2；④－x 2＋8x －16；⑤x 4－1；⑥m 2＋4m －4.13．若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2的值是1．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a ，b 的多项式的因式分解：ab ＋12(a 2＋b 2）＝12(a ＋b ）2．15．把下列各式因式分解：(1）(a －b ）2＋4ab ；解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b ）2.(2）－2a 3b 2＋8a 2b 2－8ab 2；解：原式＝－2ab 2(a 2－4a ＋4）＝－2ab 2(a －2）2.(3）4x 2－(x 2＋1）2；解：原式＝(2x ＋x 2＋1）(2x －x 2－1）＝－(x ＋1）2(x －1）2.(4）25－30(x －y ）＋9(x －y ）2；解：原式＝52－2×5×3(x －y ）＋[3(x －y ）]2＝[5－3(x －y ）]2＝(5－3x ＋3y ）2.(5）(x 2－2xy ＋y 2）＋(－2x ＋2y ）＋1.解：原式＝(x －y ）2－2(x －y ）＋1＝(x －y －1）2.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：当a ＋b ＝－3，ab ＝1时，原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2） ＝12ab(a ＋b ）2 ＝12×1×(－3）2 ＝92.17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果(x－2）4；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x）(x2－2x＋2）＋1进行因式分解．解：原式＝(x2－2x）2＋2(x2－2x）＋1＝(x2－2x＋1）2＝(x－1）4.18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.∵(x＋2）2≥0，∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x＋2）2＋1≥1.∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是3；(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝1时，y有最大值(填“大”或“小”），这个值是－2；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝(x＋1）(x＋4）；(2）x2－6x＋8＝(x－2）(x－4）；(3）x2＋2x－3＝(x＋3）(x－1）；(4）x2－6x－27＝(x－9）(x＋3）．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝(2x＋1）(x＋1）；(2）3x2－5x＋2＝(x－1）(3x－2）．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝(x＋2）(x－4）；(2）2x2－10x－12＝2(x＋1）(x－6）．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b）－(b3＋ab2）＝a2(a＋b）－b2(a＋b）＝(a2－b2）(a＋b）＝(a－b）(a＋b）2．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；解：原式＝(4x2－y2）－(2x＋y）＝(2x－y）(2x＋y）－(2x＋y）＝(2x＋y）(2x－y－1）．(2）a2＋b2－9＋2ab.解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝(a＋b）2－32＝(a＋b＋3）(a＋b－3）．4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有(D）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；解：原式＝x(x2－7x－30）＝x(x＋3）(x－10）．(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；解：原式＝(a－1）2＋4(a－1）＝(a－1）(a－1＋4）＝(a－1）(a＋3）．(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；解：原式＝(m2＋2m－8）(m2＋2m＋1）＝(m＋4）(m－2）(m＋1）2.(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.解：原式＝[(a－b）－2(a＋b）][(a－b）＋5(a＋b）]＝(－a－3b）(6a＋4b）＝－2(a＋3b）(3a＋2b）．6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b）2＋(b－c）2＝0.∴(a－b）2＝0，(b－c）2＝0，得a＝b且b＝c，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是直角三角形．。
北师大版八年级数学下册 同步练习题提公因式法
《提公因式法》◆ 基础题1.多项式8m 2n ＋2mn 中各项的公因式是( )A ．2mnB ．mnC ．2D ．8m 2n2.多项式-6ab 2+18a 2b 2-12a 3b 2c 的公因式是（ ）A ．-6ab 2cB ．-ab 2C ．-6ab 2D ．-6a 3b 2c3.下列各式中,没有公因式的是( )A.ab-bcB.y 2-yC.x 2+2x+1D.mn 2-nm+m 24.下列各式成立的是（ ）A ．－x －y ＝－（x －y ）B ．y －x ＝x －yC ．（x －y ）2＝（y －x ）2D ．（x －y ）3＝（y －x ）35.(x+y-z )(x-y+z )和(y+z-x )(z-x-y )的公因式是( )A.x+y-zB.x-y+zC.y+z-xD.不存在6.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是( )A ．x 2－yB ．x 2＋2xC ．x 2＋y 2D ．x 2－xy ＋y 27. 下列各式从左到右的变形中，是提公因式法因式分解的为（） A .bx ax b a x -=)-(B .222+)1+)(1-(=+1-y x x y x C .)1-)(1+(=1-2x x x D .)+(=+b a x bx ax 8.指出下列多项式中各项的公因式：(1)3a 2y －3ay ＋6y ；(2)πr 2h ＋πr 3；(3)－27a 2b 3＋36a 3b 2＋9a 2b.9.把下列各式因式分解：(1)2a(b ＋c)－3(b ＋c)；(2)6(x －3)＋x(3－x)(3)9a(x －y)2＋3b(y －x)2◆ 能力题1.若a ,b ,c 为△ABC 的三边长,且(a-b )b+a (b-a )=a (c-a )+b (a-c ),则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.要使式子-7ab-14abx+49aby=-7ab ( )成立,括号内应填入的式子是( )A.-1+2x+7yB.-1-2x+7yC.1-2x-7yD.1+2x-7y3.下列多项式中可以用提公因式法因式分解的有( )①11a 2b －7b 2；②5a 2(m －n)－10b 2(n －m)；③x 3－x ＋1；④(a ＋b)2－4(a －b)2.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.下列因式分解正确的是( )A ．mn(m －n)－m(n －m)＝－m(n －m)(n ＋1)B ．6(p ＋q)2－2(p ＋q)＝2(p ＋q)(3p ＋q －1)C ．3(y －x)2＋2(x －y)＝(y －x)(3y －3x ＋2)D ．3x(x ＋y)－(x ＋y)2＝(x ＋y)(2x ＋y)5.将－12a 2b －ab 2提公因式后，另一个因式是 ) A ．a ＋2b B ．－a ＋2bC ．－a －bD ．a －2b6.把(－2)2 017＋(－2)2 018因式分解的结果是( )A ．22 018B ．－22 018C ．－22 017D ．22 0177.若m －n ＝－1，则(m －n)2－2m ＋2n 的值是( )A ．3B ．2C ．18.已知当x=1时,2ax 2+bx=3,则当x=2时,ax 2+bx= .9.多项式-ab (a-b )2+a (b-a )2-ac (a-b )2因式分解时,所提公因式应是 .10.已知(2x －21)(3x －7)－(3x －7)·(x －13)可因式分解为(3x ＋a)(x ＋b)，其中a ，b 均为整数，则a ＋3b ＝________．11.分解因式(1)x (x -y )-y (y -x )(2)-12x3＋12x2y-3xy2(3)(x＋y)2＋mx＋my(4)a(x-a)(x＋y)2-b(x-a)2(x＋y)12.19992+1999能被2000整除吗?提升题1.求满足下列等式的x的值．①5x2-15x＝0②5x(x-2)-4(2-x)＝02.利用因式分解进行计算：5×34＋4×34＋9×32.3.利用因式分解计算:(1)(-3)201+(-3)200+6×3199;(2)-2 122-2 1222+2 1232.4.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述因式分解的方法是________；(2)因式分解：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2 018＝__________；(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n因式分解的结果是________．(n为正整数)解析和答案◆基础题1.A2.C3.C4.C5.A6.B7.D8.解：(1)3a2y－3ay＋6y的公因式是：3y.(2)πr2h＋πr3的公因式是：πr2.(3)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b的公因式是：9a2b.9.(1)解：原式＝(b＋c)(2a－3)．(2)解：原式＝6(x－3)－x(x－3)＝(x－3)(6－x)．(3)解：原式＝3(3a＋b)(x－y)2.◆能力题1.B2.D3.B4.A5.A6.D7.A8.69.-a(a-b)2 10.-3111.解：(1)x(x-y)-y(y-x)＝(x-y)(x＋y)(2)-12x3＋12x2y-3xy2＝-3x(4x2-4xy＋y2)＝-3x(2x-y)2(3)(x＋y)2＋mx＋my＝(x＋y)2＋m(x＋y)＝(x＋y)(x＋y＋m)(4)a(x-a)(x＋y)2-b(x-a)2(x＋y)＝(x-a)(x＋y)［a(x＋y)-b(x-a)］＝(x-a)(x＋y)(ax＋ay-bx＋ab)12.解：因19992+1999=1999×（1999+1）=1999×2000，所以19992+1999能被1999整除，也能被2000整除◆提升题1.①5x(x-3)＝0，则5x＝0，x-3＝0，∴x＝0或x＝3②(x-2)(5x＋4)＝0，则x-2＝0或5x＋4＝0，4∴x＝2或x＝-52.解：原式＝5×34＋4×34＋34＝(5＋4＋1)×34＝10×81＝810.3.(1)(-3)201+(-3)200+6×3199=(-3)199×[(-3)2-3-6]=(-3)199×0=0;(2)-2 122-2 1222+2 1232=-2 122×(1+2 122)+2 1232=-2 122×2 123+2 1232=2 123×(-2 122+2 123)=2 123.4.(1)提公因式法(2)(1＋x)2019(3)(1＋x)n＋1。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步选择专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步选择专项练习题（附答案）1．等腰三角形一边为6，另一边是方程4x﹣5＝7的根，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC 上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+αC．90°﹣αD．30°+α4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（）A．20°B．50°或70°C．70°D．20°或70°5．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC、BC于点D、点E．若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．4C．6D．86．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，BD＝AD，AC＝DC，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．46°7．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，则图中一共有（）个等腰三角形．A．3B．4C．5D．68．如图，已知点A（2，2），在x轴上确定一点P，使得△AOP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为（）A．8B．9C．10D．1110．如图，△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，DE过点I，且DE∥BC，若AB＝A．8B．9C．10D．1111．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，BD＝2，CD＝7，则AB长为（）A．4B．5C．6D．712．如图，DE＝11，FG＝3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．则BD+CE＝（）A．3B．11C．7D．813．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③14．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．615．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，A．B．4C．D．4.516．如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB＝120°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E．若AD＝2，则BE的长为（）A．2B．3C．4D．617．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE ＝2，下列结论错误的是（）A．∠ADE＝30°B．BD＝4C．△EFC的周长为18D．△ABC的周长为2118．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°．DE垂直平分AB，交BC于点E．若BE＝10cm．则AC＝（）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，点M，N在边AB上，CM＝CN．若MN＝2，则AM＝（）A．1B．2C．3D．420．用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作EF ∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝8，CF＝6，则EF的长是（）A．4B．2.5C．2D．1.522．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个23．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定参考答案1．解：∵4x﹣5＝7，∴x＝3，当腰3时，三角形的三边为3、3、6，此时构不成三角形；当腰为6时，三角形三边的长为3、6、6，此时周长为15；综上，该等腰三角形的周长为15．故选：B．2．解：∵BD为△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵∠CBD＝20°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣20°＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝70°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．3．解：∵∠A＝α，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠D＝∠B＝90°﹣，∵∠AGE＝∠DGF，∴∠A+∠1＝∠D+∠2，∵∠1＝2∠2，∴α+2∠2＝90°﹣+∠2，∴∠2＝90°﹣α，∴∠EGF＝∠D+∠2＝90°﹣+90°﹣α＝180°﹣2α，故选：A．4．解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．故选：D．5．解：设∠C＝x，∵ED是AC的垂直平分线，∴∠EDA＝90°，EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝x，∵∠BAE＝45°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+x，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°+x，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴2（x+45°）+x＝180°，解得：x＝30°，∴∠EAC＝∠C＝30°，∵DE＝2，∴AE＝2DE＝4，故选：B．6．解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x，∵DB＝DA，∴∠B＝∠BAD＝x°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，∵CD＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝2x°，∵∠C+∠ADC+∠CAD＝180°，∴5x°＝180°，∴x＝36，∴∠B＝36°，故选：B．7．解：∵AB＝AC＝BD，∴△ABD和△ABC是等腰三角形，∵∠D＝∠C＝∠DEA＝∠BEC，∴AD＝AE，BC＝BE，∴△ADE和△BEC是等腰三角形，∵AD＝BC，∴AE＝BE，∴△AEB是等腰三角形，故选：C．8．解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA 为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的，故符合条件的点有4个．故选：B．9．解：如图所示：满足条件的点C有9个，故选：B．10．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点I，∴∠DBI＝∠CBI，∠ECI＝∠BCI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠CBI，∠BCI＝∠EIC，∴∠DBI＝∠DIB，∠ECI＝∠EIC，∴DB＝DI，EI＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DI+EI+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．故选：B．11．解：在CD上取一点E，使BD＝DE＝2，∵CD＝7，∴CE＝5，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠AEB＝∠B＝2∠C，∵∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C，∴∠C＝∠EAC，∴AE＝CE＝5，∴AB＝5，故选：B．12．解：∵BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECG＝∠BCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EGC＝∠ECG，∴∠DBF＝∠DFB，∠EGC＝∠ECG，∴BD＝DF，EG＝CE，∴BD+CE＝DF+EG＝DE﹣FG＝11﹣3＝8，故选：D．13．解：∵有两个角等于60°，则第三个角为180°﹣60°﹣60°＝60°，∴这个三角形是等边三角形，故①选项符合题意；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故②选项符合题意；∵三个外角都相等，∴三个内角也都相等，∴这个三角形是等边三角形，故③选项符合题意；∵一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，∴腰和底边相等，∴这个三角形是等边三角形，故④选项符合题意，∴正确的选项有①②③④，故选：A．14．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．15．解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．又∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，于是DE＝，∴CD＝DE＝4．故选：B．16．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°．∵AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∵DE⊥AB于E，∴在△ADE中，∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝2，∴AE＝1，在△ABD中，AB＝2AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝3．故选：B．17．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝30°∵AE＝2，∴AD＝2AE＝BD＝4，故选项A，B正确，∴AB＝BC＝AC＝8，∴△ABC的周长为24，故选项D错误．∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴△EFC的周长＝3×（8﹣2）＝18，故选项C正确，故选：D．18．解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA＝10cm，∴∠B＝∠BAE＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AE＝5（cm），故选：C．19．解：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵CM＝CN，且MN＝2，∴DM＝MN＝1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC，∵AC＝4，∴AD＝2，∴AM＝2﹣1＝1．故选：A．20．解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先假设∠B ≥90°，故选：A．21．解：∵BD平分∠ABC，BE＝8，CF＝6，∴∠ABD＝∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴EB＝ED＝8，同理可得FD＝FC＝6，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC＝8﹣6＝2．故选：C．22．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．23．解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（）A．3B．4C．5D．62．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（）A．2B．3C．4D．53．如图，已知S△ABC＝10，CD是△ABC的角平分线，S△BDC＝6，AC＝4，则BC的长为（）A．7B．6C．5D．44．如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC的长是（）A．3B．4C．6D．55．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（）A．2m B．3m C．4m D．6m6．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（）A．1B．1.5C．2D．2.57．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（）A．S1+S2＝S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＞S3D．无法确定8．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC 于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（）A．4B．5C．9D．109．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC ＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△P AC＝S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题10．已知点O是△ABC内一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等，连接OB、OC，若∠A＝50°，则∠BOC的大小是．11．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，P是△MON外角平分线的交点，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是7．则△MON的周长是．12．如图，在△ABC中，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的周长是20，且△ABC的面积为60，OD＝．13．如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为11，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝．14．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝18cm，AB＝11cm，那么DE的长度为cm．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3cm，AB＝12cm，那么△ABD 的面积是cm2．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA 交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，则△CDE的周长为．三．解答题18．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．19．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF ⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．20．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH ⊥BA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．21．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．22．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，则△ABE的面积＝（直接写出结果，不需要过程）参考答案一．选择题1．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，解得：DE＝3，∴CD＝3．故选：A．2．解：连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，∵点I为△ABC各内角平分线的交点，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC，∴IH＝IM＝IN，∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，∴S△ABC＝＝＝24，∵S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，∴24＝，∵AB＝8，BC＝6，AC＝10，IH＝IM＝IN，∴24＝++，∴IH＝2，故选：A．3．解：过D分别作AC⊥DM于M，BC⊥DN于N，∵CD是△ABC的角平分线，∴DM＝DN，∵S△BDC＝6，AC＝4，S△ABC＝10，∴，∴DM＝DN＝2，∵，∴BC＝6．故选：B．4．解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵DE＝4，∴DF＝DE＝4，由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∵AB＝7，∴7×4+×AC×4＝24，解得AC＝5．故选：D．5．解：过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD，∵AC＝8m，DC＝AD，∴CD＝AC＝2m，∴DE＝2m，即点D到AB的距离是2m，故选：A．6．解：过P点作PH⊥OC于H，如图，∵点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，PH⊥OC，∴PH＝PD＝2，∵点M是射线OC上一动点，∴PM的最小值为2．故选：C．7．解：∵点I是△ABC三条角平分线的交点，∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等，∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，∴S1+S2＝，S3＝，由△ABC的三边关系得：AB+AC＞BC，∴S1+S2＞S3，故选：C．8．解：作GM⊥AB于M，如图，由作法得AG平分∠BAC，而GH⊥AC，GM⊥AB，∴GM＝GH＝2，∴S△ABG＝×5×2＝5．故选：B．9．解：过P作PQ⊥AC于Q，∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PQ，PQ＝PN，∴PM＝PN，∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，在Rt△PMA和Rt△PQA中，，∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），∴∠MP A＝∠QP A，同理Rt△PQC≌Rt△PNC，∴∠QPC＝∠NPC，∵∠PMA＝∠PNC＝90°，∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，∴S△P AC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；即正确的个数是4，故选：D．二．填空题10．解：如图所示，∵点O是△ABC内一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等，∴点O是△ABC三角平分线的交点，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB，∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠CB＝180°﹣∠A＝130°，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115°．11．解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，∵P是△MON外角平分线的交点，∴PF＝PG＝PE，∵MN＝2，△PMN的面积是2，∴MN•PF＝2，∴PF＝2，∴PG＝PE＝2，∵△OMN的面积是7，∴△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝7，∴OM•PG+ON•PE﹣2＝7，∴OM+ON＝9，∴△MON的周长＝OM+ON+MN＝11，故答案为：11．12．解：过O点作OE⊥AB于E点，OF⊥AC于F点，连接OA，如图，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OD，OF＝OD，即OD＝OE＝OF，∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC，∴•AB•OE+•AC•OF+•BC•OD＝60，即•OD（AB+AC+BC）＝60，∴×20×OD＝60，解得OD＝6．故答案为：6．13．解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP，∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，PE＝2，∴PF＝PG＝PE＝2，∵S△BPC＝2，∴BC×2＝2，解得：BC＝2，∵△ABC的周长为11，∴AC+AB＝11﹣2＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BPC＝AC•PE+AB•PG﹣S△BPC＝×9×2﹣2＝7，故答案为：7．14．解：过C点作CF⊥AB于F，如图，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF＝CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF＝AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠CBF＝∠D，在△CBF和△CDE中，，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE，∵AF＝AE，∴AB+BF＝AD﹣DE，即11+DE＝18﹣DE，∴DE＝3.5cm．故答案为：3.5．15．解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．16．解：过D点作DE⊥AB于点E，如图，∵∠C＝90°，∴AC⊥BD，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵CD＝3cm，∴DE＝3cm，∵AB＝12cm，∴，故答案为：18．17．解：延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N ∵OB是∠ABC的平分线，∴∠OBE＝∠OBN．∵OE⊥OB，∴∠BOE＝∠BON＝90°．在△BOE与△BON中，，∴△BOE≌△BON（ASA）．同理可得，△AOD≌△AOM，∴OE＝ON，OD＝OM，BE＝BN，AD＝AM．在△EOD与△NOM中，，∴△EOD≌△NOM（SAS），∴DE＝MN．∴CE+CD+DE＝BC﹣BE+AC﹣AD+MN＝BC﹣（BM+MN）+AC﹣（AN+MN）+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN﹣MN+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN＝BC﹣（BM+MN+AN）+AC＝BC+AC﹣AB＝4+3﹣5＝2．故答案为：2．三．解答题18．解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，∴∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点．19．解：（1）过点P作PD⊥BC于D，∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PE，PD＝PF，∴PE＝PF；（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠EAP＝＝30°．20．（1）解：过P作PF⊥BE于F，如图，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH＝PF＝5cm，∴点P到直线BC的距离为5cm；（2）证明：连接AP，如图，∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF＝PD，∴PD＝PH，∴AP平分∠HAD．21．证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．22．（1）解：∵∠BAD＝100°，∴∠DAF＝180°﹣∠BAD＝80°，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴∠EAE+∠AEF＝90°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°，∴∠CAD＝∠DAF﹣∠EAF＝80°﹣40°＝40°；（2）证明：如图所示，过点E作EN⊥AD于点N，EM⊥CD于点M，∵∠ABC的平分线交AC于点E，EM⊥CD，EF⊥AB，∴EM＝EF，由（1）可得，∠CAD＝∠CAF＝40°，∴CA平分∠DAF，又∵EN⊥AD，EF⊥AF，∴EF＝EN，∴EM＝EN，∵EN⊥AD，EM⊥CD，∴DE平分∠ADC；（3）解：由（2）可知，EF＝EN＝EM，∵S△ADE+S△CDE＝S△ACD，∴•AD•EN+•CD•EM＝15，即2EF+4EF＝15，∴EF＝，∴S△ABE＝•AB•EF＝．。
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 1.3-1.4 同步练习题
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 1.3-1.4 同步练习题一、选择题1．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若OP＝4，则PQ的最小值为( )A．2 3 B．4 C．2 D. 32．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP ＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( ) A．80°B．75°C．65° D．45°4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝1，M，N分别是AB，AC上的任意一点，则MN＋NB的最小值为( )A．1.5 B．2 C.32＋34D.325．已知正方形桌子桌面边长为80 cm，要买一块正方形桌布，如图铺设时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，那么要买桌布的边长是(精确到个位，备用数据：2≈1.4，3≈1.7)( )A．56 cm B．112 cm C．124 cm D．136 cm二、填空题6．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是_______．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是_______．8．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为_______．9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(2，0)，在第一象限内的点C，使△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为_______．三、解答题10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.11．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC 上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．13.如图，∠CAB＝40°，点D为∠CAB的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，连接CD，试求∠DCB的度数．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别在AC，AB 上，且DE⊥DF.试判断DE，DF的数量关系，并说明理由．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别为AB，CA 延长线上的点，且BE＝AF，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．16．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.17.已知，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．(1)如图1，若∠A＝100°，∠C＝50°，求证：BC＝BA＋AD;(2)如图2，若∠BAC＝100°，∠C＝40°，求证：BC＝BD＋AD.18．如图，在四边形ABCD中，若对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22，求CD的长和四边形ABCD的面积．19．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交直线AC于点D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于点E.(1)请直接写出线段BD与CE的数量关系_______；(2)在(1)中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变(如图2)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．20．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：(1)如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC；(2)如图3，AD平分∠BAC，BD＝DC，AC≠AB，求证：∠ABD＋∠ACD＝180°.21．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D是斜边BC的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF.(1)若设BE＝a，CF＝b，满足a－12＋|b－5|＝m－2＋2－m，求BE及CF的长；(2)求证：BE2＋CF2＝EF2；(3)在(1)的条件下，求△DEF的面积．参考答案2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 1.3-1.4 同步练习题一、选择题1．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若OP＝4，则PQ的最小值为(C)A．2 3 B．4 C．2 D. 32．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP ＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为(D) A．80°B．75°C．65° D．45°4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝1，M，N分别是AB，AC上的任意一点，则MN＋NB的最小值为(A)A．1.5 B．2 C.32＋34D.325．已知正方形桌子桌面边长为80 cm，要买一块正方形桌布，如图铺设时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，那么要买桌布的边长是(精确到个位，备用数据：2≈1.4，3≈1.7)(B)A．56 cm B．112 cm C．124 cm D．136 cm二、填空题6．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是3＜BC＜23．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是1．8．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为6．9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(2，0)，在第一象限内的点C，使△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为(6，2)或(4，6)或(3，3)．三、解答题10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.证明：过点A作AF⊥AE交BE于点F，得等腰直角△AFE，△ABF≌△ACE(SAS)．∴∠ABE＝∠ACE.∴∠BEC＝∠BAC＝90°，即CE⊥BD.11．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.证明：在BE上截取BF＝CE，连接AF.易证∠ABF＝∠ACE，△ABF≌△ACE(SAS)，得等腰Rt△AFE，∴∠AEB＝45°.12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC 上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为BC 中点，∴AD ＝BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ＝45°，AD ⊥BC. 在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠B ＝∠DAF ，BE ＝AF ，∴△BDE ≌△ADF(SAS)．∴DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF. ∵∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠ADF ＋∠ADE ＝90°，即∠EDF ＝90°. ∴△EDF 为等腰直角三角形．13.如图，∠CAB ＝40°，点D 为∠CAB 的平分线与线段BC 的垂直平分线的交点，连接CD ，试求∠DCB的度数．解：过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，连接BD. ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ， ∴DE ＝DF ，∠DEC ＝∠DFB ＝90°. ∵∠CAB ＝40°，∴∠EDF ＝140°. ∵点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴DC ＝DB.∴Rt △DEC ≌Rt △DFB(HL)． ∴∠EDC ＝∠FDB.∴∠CDB ＝∠CDF ＋∠FDB ＝∠CDF ＋∠EDC ＝∠EDF ＝140°. ∴∠DCB ＝12×(180°－40°)＝20°.14．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别在AC ，AB 上，且DE ⊥DF.试判断DE ，DF 的数量关系，并说明理由．解：DE ＝DF ，理由如下：连接AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴CD ＝AD ，∠C ＝∠DAF ＝45°，AD ⊥BC. ∴∠CDE ＋∠EDA ＝∠ADF ＋∠EDA ＝90°. ∴∠CDE ＝∠ADF.在△CDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠DAF ，CD ＝AD ，∠CDE ＝∠ADF ，∴△CDE ≌△ADF(ASA)．∴DE ＝DF.15．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且BE ＝AF ，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．解：△DEF 仍为等腰直角三角形． 证明：连接AD ， ∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形．∵∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点， ∴AD ＝BD ，AD ⊥BC. ∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°. ∴∠DAF ＝∠DBE ＝135°. 又∵AF ＝BE ，∴△DAF ≌△DBE(SAS)． ∴FD ＝ED ，∠FDA ＝∠EDB.∴∠EDF ＝∠EDB ＋∠FDB ＝∠FDA ＋∠FDB ＝∠ADB ＝90°. ∴△DEF 仍为等腰直角三角形．16．如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF. ∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ， ∴∠ABE ＝∠FBE ，∠FCE ＝∠DCE. 在△ABE 和△FBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE(SAS)．∴∠A ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°.∴∠BFE ＋∠D ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠D.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠D ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE(AAS)．∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.17.已知，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线．(1)如图1，若∠A ＝100°，∠C ＝50°，求证：BC ＝BA ＋AD;(2)如图2，若∠BAC ＝100°，∠C ＝40°，求证：BC ＝BD ＋AD.图1 图2证明：(1)在边BC 上截取BE ＝BA ，连接DE.∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBE.又∵BA ＝BE ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD(SAS)．∴AD ＝DE ，∠A ＝∠BED.∵∠A ＝100°，∴∠BED ＝100°.∵∠C ＝50°，∴∠CDE ＝50°.∴∠C ＝∠CDE.∴DE ＝CE.∴AD ＝CE.∵BC ＝BE ＋CE ，∴BC ＝BA ＋AD.(2)以BC 为边作等边△A ′BC ，在A ′C 上截取CD ′＝BD ，连接AA ′，AD ′. ∵∠BAC ＝100°，∠ACB ＝40°，∴∠ABC ＝40°.∴∠ABC ＝∠ACB.∴AB ＝AC.∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝20°.∴△A ′BC 为等边三角形． ∴A ′B ＝A ′C ＝BC ，∠A ′BC ＝∠A ′CB ＝∠BA ′C ＝60°.∴∠A ′CA ＝∠A ′CB －∠ACB ＝20°.∵A ′B ＝A ′C ，AB ＝AC ，A ′A ＝A ′A ，∴△A ′BA ≌△A ′CA(SSS)．∴∠BA ′A ＝∠CA ′A ＝30°.∵AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACD ′，BD ＝CD ′，∴△ABD ≌△ACD ′(SAS)．∴∠BAD ＝∠CAD ′＝100°，AD ＝AD ′.∴∠AD ′C ＝180°－∠CAD ′－∠ACD ′＝60°.∴∠D ′AA ′＝∠AD ′C －∠D ′A ′A ＝30°.∴∠D ′AA ′＝∠DA ′A.∴A ′D ′＝AD ′.∴A ′D ′＝AD.∴BC ＝A ′C ＝A ′D ′＋CD ′＝AD ＋BD.18．如图，在四边形ABCD 中，若对角线AC ，BD 交于点E ，∠BAC ＝90°，∠CED ＝45°，∠DCE ＝30°，DE ＝2，BE ＝22，求CD 的长和四边形ABCD 的面积．解：过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵∠CED ＝45°，∴△DEH 是等腰直角三角形．∴EH ＝DH.∵EH 2＋DH 2＝ED 2＝2，∴EH ＝DH ＝1.又∵∠DCE ＝30°，∴DC ＝2，HC ＝ 3.∵∠AEB ＝∠DEC ＝45°，∠BAC ＝90°，BE ＝22，∴AB ＝AE ＝2.∴AC ＝AE ＋EH ＋CH ＝3＋ 3.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92. 19．如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于点E.(1)请直接写出线段BD 与CE 的数量关系BD ＝2CE ；(2)在(1)中，如果把BD 改为∠ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变(如图2)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．解：结论BD ＝2CE 仍然成立．证明：延长CE ，AB 交于点G .∵BD 平分∠ABF ，∴∠DBF ＝∠DBA.又∵∠DBF ＝∠CBE ，∠DBA ＝∠GBE ，∴∠CBE ＝∠GBE.∵CE ⊥BD ，∴∠GEB ＝∠CEB ＝90°.又∵BE ＝BE ，∴△GBE ≌CBE(ASA)．∴GE ＝CE.∴CG ＝2CE.∵∠D ＋∠DCG ＝∠G ＋∠DCG ＝90°，∴∠D ＝∠G.又∵∠DAB ＝∠GAC ＝90°，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△GAC(AAS)．∴BD ＝CG.∴BD ＝2CE.20．感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°，易知：DB ＝DC. 探究：(1)如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°，求证：DB ＝DC ；(2)如图3，AD 平分∠BAC ，BD ＝DC ，AC ≠AB ，求证：∠ABD ＋∠ACD ＝180°.图1 图2图3证明：(1)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠F ＝∠DEB ＝90°.∵∠EBD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠EBD ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠EBD ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB(AAS)．∴DC ＝DB.(2)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝∠DEB ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DB ＝DC ，DE ＝DF ， ∴Rt △DEB ≌Rt △DFC(HL)．∴∠ABD ＝∠DCF.∵∠DCF ＋∠ACD ＝180°，∴∠ABD ＋∠ACD ＝180°.21．如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF.(1)若设BE ＝a ，CF ＝b ，满足a －12＋|b －5|＝m －2＋2－m ，求BE 及CF 的长；(2)求证：BE 2＋CF 2＝EF 2；(3)在(1)的条件下，求△DEF 的面积．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥0，2－m ≥0， 解得m ＝2. ∴a －12＋|b －5|＝0.∴a －12＝0，b －5＝0.∴a ＝12，b ＝5，即BE ＝12，CF ＝5.(2)证明：延长ED 到P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△BED 和△CPD 中，∵ED ＝PD ，∠EDB ＝∠PDC ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CPD(SAS)．∴BE ＝CP ，∠B ＝∠DCP.在△EDF 和△PDF 中，∵DE ＝DP ，∠EDF ＝∠PDF ＝90°，DF ＝DF ，∴△EDF ≌△PDF(SAS)．∴EF ＝FP.∵∠BAC ＝90°，∠B ＋∠ACB ＝90°，∠B ＝∠DCP ，∴∠ACB ＋∠DCP ＝90°，即∠FCP ＝90°.在Rt △FCP 中，根据勾股定理，得CF 2＋CP 2＝PF 2.又∵BE ＝CP ，PF ＝EF ，∴BE 2＋CF 2＝EF 2.(3)连接AD ，∵△ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠FCD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，AD ⊥BC.∴∠ADF ＋∠FDC ＝90°.∵ED ⊥FD ，∴∠EDA ＋∠ADF ＝90°.∴∠EDA ＝∠FDC.在△AED 和△CFD 中，∵∠EAD ＝∠FCD ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，∴△AED ≌△CFD(ASA)．∴AE ＝CF ＝5，DE ＝DF.∴△EDF 为等腰直角三角形．∴AB ＝AE ＋EB ＝5＋12＝17.∴AF ＝AC －FC ＝AB －CF ＝17－5＝12.在Rt △EAF 中，根据勾股定理，得EF ＝AE 2＋AF 2＝13.设DE ＝DF ＝x ，在Rt △DEF 中，根据勾股定理，得x 2＋x 2＝132，解得x ＝1322，即DE ＝DF ＝1322， 则S △DEF ＝12DE ·DF ＝12×1322×1322＝1694.。
最新北师大版八年级数学下册第二章同步测试题及答案全套
最新北师大版八年级数学下册第二章同步测试题及答案全套第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组1 不等关系知能演练提升能力提升1.下面给出了6个式子:①3>0;②4x+3>0;③x=3;④x -1;⑤x+2≤3;⑥2x ≠0. 其中不等式共有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个2.根据下列数量关系列出相应的不等式,其中错误的是( ) A.a 与3的和大于1:a+3>1 B.a 与2的差不小于3:a -2≥3C.b 与1的和的3倍是一个非负数:3(b+1)>0D.b 的2倍与3的差是负数:2b -3<03.如图,对a ,b ,c 三种物体的质量判断正确的是( )A.a<cB.a<bC.a>cD.b<c4.在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度为0.5 cm/s,人跑开的速度是4 m/s,为了使放炮的人在爆破时能安全跑到100 m 以外(不包括100 m)的安全区,导火索的长度x (cm)应满足的不等式是( ) A.4×x0.5≥100 B.4×x0.5≤100 C.4×x 0.5<100D.4×x0.5>1005.如图,左托盘物体x 的质量与右托盘两个砝码的质量之间的大小关系是:x 80.6.某饮料瓶上有这样的字样:保质期18个月.如果用x (月)表示保质期,那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 .7.某班同学外出春游,要拍照合影留念,若一张彩色底片需0.57元,冲印一张需0.35元.每人预定一张,出钱不超过0.45元.设合影的同学有x 人,则可列不等式为 .8.在“庆祝世界反法西斯战争胜利70周年”知识竞赛中,一共有25道题,答对一题得10分,答错(或不答)一题扣5分.设小明同学在这次竞赛中答对x 道题. (1)根据所给条件,完成下表:答题情况 答对 答错或不答 题 数 x每题分值 10 -5得 分 10x(2)小明同学的竞赛成绩超过100分,写出满足关系的不等式.创新应用9.如图,用锤子以相同的力将铁钉钉入木块,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力也越来越大.当铁钉进入木块部分长度足够时,每次钉入木块的铁钉长度是前一次的13.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚),且第一次敲击后,铁钉进入木块的长度是a cm .若铁钉总长度是 6 cm,试求a 的取值范围.答案： 能力提升1.C2.C3.C4.D5.>6.x ≤187.0.57+0.35x ≤0.45x8.解 (1)25-x -5(25-x )(2)根据题意,得10x -5(25-x )>100. 创新应用9.解 若敲击2次后铁钉恰好全部进入木块,则有a+13a=6,解得a=92,而实际这个铁钉被敲击3次后全部进入木块,所以a<92.若敲击 3次后恰好全部进入木块,则有 a+13a+19a=6,解得a=5413.综上可知,a 的取值范围是5413≤a<92.2 不等式的基本性质知能演练提升能力提升1.已知a ,b ,c 均为实数,若a>b ,c ≠0,则下列结论不一定正确的是( )A.a+c>b+cB.c -a<c -bC.a c2>b c2D.a 2>ab>b 22.已知实数a ,b 在数轴上的位置如图,则a -ba+b 0.(填“>”“<”或“=”)3.下列四个判断:①若ac 2>bc 2,则a>b ;②若a>b ,则a|c|>b|c|;③若a>b ,则b a<1;④若a>0,则b -a<b.其中正确的是 .(填序号)4.已知-m+5>-n+5,试比较10m+8与10n+8的大小.5.如图,有四个小朋友在公园玩跷跷板,他们的体重分别为P ,Q ,R ,S.请你根据图中的情境确定他们的体重大小关系.(用“>”连接起来)6.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,请问在哪家超市购买这种商品更合算?创新应用7.阅读下列材料:试判断a 2-3a+7与-3a+2的大小.分析:要判断两个数的大小,我们往往使用作差法,即若a -b>0,则a>b ;若a -b<0,则a<b ;若a -b=0,则a=b. 解:∵(a 2-3a+7)-(-3a+2)=a 2-3a+7+3a -2=a 2+5,且a 2≥0, ∴a 2+5>0.∴a 2-3a+7>-3a+2.阅读后,应用这种方法比较a 2-b 2+22与a 2-2b 2+13的大小.答案：能力提升 1.D2.< 由数轴知0<a<1,b<-1,故a -b>0,a+b<0.由不等式的基本性质3,a -b>0两边除以a+b ,得a -b a+b<0.3.①④4.解 根据不等式的基本性质1,不等式-m+5>-n+5的两边都减去5,得-m>-n ,根据不等式的基本性质3,不等式的两边都乘-1,得m<n ;根据不等式的基本性质2,不等式的两边都乘10,得 10m<10n ,根据不等式的基本性质1,不等式的两边都加上8,得10m+8<10n+8.5.解 由题中第一个图知S>P ;由题中第二个图知P>R ,故S>P>R.又由题中第三个图知P+R>S+Q ,而由S>P ,得S+Q>P+Q ,所以P+R>P+Q ,故R>Q.因此,S>P>R>Q.6.解 设这种商品的价格为a (a>0)元,在甲超市购买需付款a (1-10%)·(1-10%)元,即0.81a 元.在乙超市购买需付款a (1-20%)元,即0.8a 元.∵0.81>0.8,且a>0,∴0.81a>0.8a ,∴在乙超市购买更合算. 创新应用 7.解a 2-b 2+22−a 2-2b 2+13=3a 2-3b 2+66−2a 2-4b 2+26=3a 2-3b 2+6-2a 2+4b 2-26=a 2+b 2+46,由a 2≥0,b 2≥0,得a 2+b 2≥0, 故a 2+b 2+4≥4.故a 2+b 2+46≥46.∵46>0,∴a 2-b 2+22>a 2-2b 2+13.3 不等式的解集知能演练提升能力提升1.下列数值不是不等式5x ≥2x+9的解的是( )A.5B.4C.3D.22.如果式子√2x +6 有意义,那么x 的取值范围在数轴上表示出来正确的是( )3.若关于x 的不等式x -b>0恰有两个负整数解,则b 的取值范围是( ) A.-3<b<-2 B.-3<b ≤-2C.-3≤b≤-2D.-3≤b<-24.已知关于x的不等式的解集如图,则这个不等式的非负整数解是.5.如果a与12的差小于a的9倍与8的和,那么请写出一个符合题意的a的值.6.已知x=3是方程x=x-a-1的解,求关于x的不等式ax+5<0的解集.27.是否存在整数m,使关于x的不等式mx-m>3x+2的解集为x<-4?若存在,求出整数m的值;若不存在,请说明理由.创新应用8.现有A,B两种型号的钢管,每根A型钢管的长度比每根B型钢管的长度的2倍少5 cm.现取这两种型号的钢管分别做长方形的钢框的长与宽,焊成周长大于2.9 m的长方形钢框.(1)B型钢管至少有多长才合适?列出不等式.(2)如果每根B型钢管的长度有以下四种选择:45 cm,55 cm,48 cm,50 cm,那么哪些合适?哪些不合适?答案：能力提升1.D2.C3.D4.0,1,2题中数轴表示的解集是x<3,满足x<3的非负整数有0,1,2,故这个不等式的非负整数解是0,1,2.5.答案不唯一,如0,1,2.只要满足a>-5即可.26.分析本题是方程与不等式的综合运用,通过解方程求出a的值,把a的值代入不等式,然后求不等式的解集.解由x=x-a-1,得2x=x-a-2,2∵x=3是原方程的解,∴a=-x-2=-3-2=-5.∴不等式ax+5<0可化为-5x+5<0,利用不等式的性质,得x>1.7.解∵mx-m>3x+2,∴(m-3)x>m+2.=-4,要使x<-4,必须m-3<0,且m+2m-3解得m<3,m=2,∴存在整数m=2,使关于x 的不等式mx -m>3x+2的解集为x<-4.创新应用8.解 (1)设B 型钢管的长为x cm,则A 型钢管的长为(2x -5) cm .根据题意,得2(x+2x -5)>290.(2)把45 cm,55 cm,48 cm,50 cm 分别代入(1)中的不等式,得x=55是该不等式的解,所以 55 cm 合适,45 cm,48 cm ,50 cm 不合适.4 一元一次不等式第1课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.不等式2(x+1)<3x 的解集在数轴上表示为 ( )2.不等式x -72+1<3x -22的负整数解有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.若不等式ax>b 的解集是x<ba,则a 的取值范围是( )A.a ≤0B.a<0C.a ≥0D.a>04.定义新运算:对于任意实数a ,b 都有:a b=a (a -b )+1,其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,如:2 5=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-5.则不等式3 x<13的解集为 .5.若(m -2)x 2m+1-1>5是关于x 的一元一次不等式,则该不等式的解集是 .6.解不等式x -1≤1+x3,并把解集在数轴上表示出来.7.已知不等式x+8>4x+m (m 是常数)的解集是x<3,求m 的值.8.当1≤x ≤2时,ax+2>0,试求a 的取值范围.创新应用9.已知关于x ,y 的方程组{x -y =3,2x +y =6a的解满足不等式x+y<3,求实数a 的取值范围.答案： 能力提升1.D2.A3.B4.x>-15.x<-3 根据一元一次不等式的定义,可知2m+1=1,且m -2≠0,即m=0.把m=0 代入不等式,得-2x -1>5.解这个不等式,得x<-3.6.解 去分母,得3(x -1)≤1+x.去括号,得3x -3≤1+x.移项、合并同类项,得2x ≤4. 两边同除以2,得x ≤2.该不等式的解集用数轴表示如图所示:7.解 移项,得4x -x<8-m.合并同类项,得 3x<8-m.两边同除以3,得x<8-m 3.∵不等式的解集为x<3,∴8-m 3=3,解得m=-1.8.解 由题可知,当1≤x ≤2时,ax+2>0恒成立.①当a>0时,得x>-2a ,故-2a <1,故a>-2,又∵a>0,∴a>0;②当a=0时,原不等式为2>0,故当1≤x ≤2时,不等式恒成立;③当a<0时,得x<-2a ,故-2a >2,故a>-1,又∵a<0,∴-1<a<0.综上所述,a 的取值范围是a>-1. 创新应用9.解 把方程组中的两个方程相加,得3x=3+6a ,得x=1+2a,代入x-y=3,得y=x-3=2a-2.故x+y=4a-1,于是有4a-1<3,解得a<1.第2课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.某种商品的进价为800元,出售标价为1 200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于5%,最多可打()A.6折B.7折C.8折D.9折2.老王家上个月付电话费31元以上,其中月租费21元.已知市内通话如果每次不超过3分钟,则话费为0.18元.如果老王家上个月打的全部是市内电话,且每次都不超过3分钟,那么老王家上个月通话次数最少为()A.55次B.56次C.57次D.58次3.小宏准备用50元买甲、乙两种饮料共10瓶,已知甲饮料每瓶7元,乙饮料每瓶4元,则小宏最多能买甲饮料.4.一只纸箱的质量为1 kg,放入一些苹果(每个苹果的质量约为0.25 kg)后,箱子和苹果的总质量不超过10 kg.这只箱子内最多能装个苹果.5.为绿化校园,某校计划购进A,B两种树苗,共21棵.已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买B 种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.(1)y与x的函数关系式为:;(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.6.某超市有甲、乙两种商品,甲商品每件进价10元,售价15元;乙商品每件进价30元,售价40元.(1)若该超市一次性购进两种商品共80件,且恰好用去1 600元,问购进甲、乙两种商品各多少件?(2)若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1 640元,且总利润(利润=售价-进价)不少于600元,请你帮助该超市设计相应的进货方案,并指出使该超市利润最大的方案.7.某城市平均每天产生垃圾700 t,由甲、乙两个处理厂处理.已知甲厂每小时可处理垃圾55 t,需费用550元;乙厂每小时可处理垃圾45 t,需费用495元.问:(1)甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾,每天需多长时间完成?(2)如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7 370元,那么甲厂每天处理垃圾至少需要多长时间?创新应用8.为了提倡低碳经济,某公司为了更好地节约能源,决定购买节省能源的10台新机器.现有甲、乙两种型号的设备供选择,其中每台的价格、工作量如下表:(1)经预算:该公司购买的节能设备的资金不超过110万元,请列式解答有几种购买方案可供选择;(2)在(1)的条件下,若每月要求产量不低于2 040吨,为了节约资金,请你设计一种最省钱的购买方案.答案：能力提升1.B2.B3.3瓶 设小宏买x 瓶甲饮料.列不等式为7x+4(10-x )≤50,解得x ≤313,即最多能买3瓶甲饮料.4.36 设这只纸箱内装x 个苹果.根据题意得0.25x+1≤10,解得x ≤36, 所以x 的最大值是36.5.解 (1)y=-20x+1 890 y=90(21-x )+70x=-20x+1 890.(2)由题意,得x<21-x ,解得x<10.5.又∵x ≥1,∴1≤x<10.5,且x 为整数.由(1)中一次函数知,y 随x 的增大而减小,故当x=10时,y 取最小值-20×10+1 890=1 690,因此,费用最省的方案是购买B 种树苗10棵,A 种树苗11棵,所需费用为1 690元.6.解 (1)设该超市购进甲商品x 件,乙商品(80-x )件.由题意,得10x+30(80-x )=1 600.解得x=40,80-x=40.因此,购进甲、乙两种商品各40件.(2)设该超市购进甲商品x 件,乙商品(80-x )件.由题意,得{10x +30(80-x )≤1 640,(15-10)x +(40-30)(80-x )≥600.解得38≤x ≤40.∵x 为整数,∴x=38,39,40,相应的y=42,41,40.从而利润分别为5×38+10×42=610,5×39+10×41=605,5×40+10×40=600. 因此,使该超市利润最大的方案是购进甲商品38件,乙商品42件.7.解 (1)设甲、乙两厂同时处理垃圾,每天需x h .依题意,得(55+45)x=700.解这个方程,得x=7.所以,甲、乙两厂同时处理垃圾,每天需7 h 完成. (2)设甲厂每天处理垃圾需要y h . 依题意,得55y×55055+(700-55y )×49545≤7 370,解得y ≥6.所以,甲厂每天处理垃圾至少需要6 h . 创新应用8.解 (1)设购买节省能源的甲型新设备x 台,乙型新设备(10-x )台.根据题意得12x+10(10-x )≤110, 解得x ≤5,∵x 取非负整数, ∴x=0,1,2,3,4,5, ∴有6种购买方案.(2)由题意得240x+180(10-x )≥2 040, 解得x ≥4, 则x 为4或5.当x=4时,购买资金为12×4+10×6=108(万元), 当x=5时,购买资金为12×5+10×5=110(万元),则最省钱的购买方案为选购甲型设备4台,乙型设备6台.5 一元一次不等式与一次函数第1课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.如图,已知直线y=kx+b 交坐标轴于A (-3,0),B (0,5)两点,则不等式-kx -b<0 的解集为( ) A.x>-3 B.x<-3 C.x>3 D.x<3 2.如图,函数y 1=|x|和y 2=13x+43的图象相交于(-1,1),(2,2)两点.当y 1>y 2时,x 的取值范围是( ) A.x<-1 B.-1<x<2 C.x>2 D.x<-1或x>23.如图,已知直线y 1=x+b 与y 2=kx -1相交于点P ,点P 的横坐标为-1,则关于x 的不等式x+b>kx -1的解集在数轴上表示正确的是( )4.在一次800 m 的长跑比赛中,甲、乙两人所跑的路程s (m)与各自所用时间t (s)之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ,下列说法正确的是( )A.甲的速度随时间的增加而增大B.乙的平均速度比甲的平均速度大C.在起跑后180 s 时,两人相遇D.在起跑后50 s 时,乙在甲的前面5.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则下列说法:①y随x的增大而减小;②b>0;③关于x的方程kx+b=0的解为x=2.其中说法正确的有.(把你认为说法正确的序号都填上)6.若直线y=kx+b经过A(-2,-1)和B(-3,0)两点,则不等式2x<kx+b的解集为.7.当x为何值时,一次函数y=-2x+3的值小于一次函数y=3x-5的值?(1)一变:当x为何值时,一次函数y=-2x+3的值等于一次函数y=3x-5的值?(2)二变:当x为何值时,一次函数y=-2x+3的图象在一次函数y=3x-5的图象的上方?(3)三变:已知一次函数y1=-2x+a,y2=3x-5a,当x=3时,y1>y2,求a的取值范围.8.x+3的图象,观察图象回答下列问题:如图,直线l是函数y=12(1)当x取何值时,1x+3>0?2x+3<5?(2)当x取何值时,12x+3,则点P的坐标可能是(-2,1)吗?(3)若点P(x,y)满足x<5,且y>129.我边防局接到情报,在离海岸5海里处有一可疑船只A正向公海方向行驶,边防局迅速派出快艇B追赶.如图,l A,l B分别表示两船相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(min)之间的关系.(1)A,B哪个速度更快?(2)B能否追上A?创新应用10.甲有存款600元,乙有存款2 000元,从本月开始,他们进行零存整取储蓄,甲每月存款500元,乙每月存款200元.(1)列出甲、乙的存款额y1,y2(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式,并画出函数图象;(2)请问到第几个月,甲的存款额超过乙的存款额?答案：能力提升1.A2.D3.A4.D5.①②③6.x<-1易知y=-x-3,所以2x<-x-3,解得x<-1.7.解由题意,可知-2x+3<3x-5,.即-5x<-8,得x>85(1)由题意,可知-2x+3=3x-5,.即-5x=-8,得x=85(2)由题意,可知-2x+3>3x-5,.即-5x>-8,得x<85(3)当x=3时,y1=-6+a,y2=9-5a,∵y1>y2,∴-6+a>9-5a,.即6a>15,得a>528.解由题图可以看出函数与x轴的交点为(-6,0).x+3>0.(1)当x>-6时,12(2)由题图可以看出,当y=5时,x=4,x+3<5.所以当x<4时,12(3)由题意,得点P 满足横坐标x<5的同时,对应的点P 的位置要在直线的上方,而点(-2,1)在直线的下方, 故点P 的坐标不可能是(-2,1).9.分析 根据题图提供的信息,分别求出l A ,l B 的关系式,根据k 值的大小来判断谁的速度快,B 能否追上A.实际上,根据图象就可以直接作出判断.解 (1)∵直线l A 过(0,5),(10,7)两点,设直线l A 的函数表达式为s=k 1t+b ,则{5=b ,7=10k 1+b ,∴{k 1=15,b =5.∴s=15t+5. ∵直线l B 过(0,0),(10,5)两点,设直线l B 的函数表达式为s=k 2t ,则5=10k 2,∴k 2=12.∴s=12t.∵k 1<k 2,∴B 的速度快. (2)∵k 1<k 2,∴B 能追上A.创新应用10.解 (1)y 1=600+500x ;y 2=2 000+200x.函数图象如图.(2)令600+500x>2 000+200x ,解得x>423, 所以到第5个月甲的存款额超过乙的存款额.第2课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.某市打市话的收费标准是:每次3 min 以内(含3 min)收费0.2元,以后每 min 收费0.1元(不足1 min 按1 min 计).某天小芳给同学打了一个6 min 的市话,所用电话费为0.5元;小刚现准备给同学打市话6 min,他经过思考以后,决定先打3 min,挂断后再打3 min,这样只需电话费0.4元.若你想给某同学打市话,准备通话10 min,则你所需要的电话费至少为( ) A.0.6元 B.0.7元 C.0.8元 D.0.9元2.声音在空气中的传播速度y (m/s)(简称音速)与气温x (℃)满足关系式:y=35x+331.当音速超过340 m/s 时,气温 .3.某医药公司要把药品运往外地,现有两种运输方式可供选择.方式一:使用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另外每千米再加收4元;方式二:使用铁路运输公司的火车运输,装卸收费820元,另外每千米再加收2元.当运输路程时,选择邮车运输较好.4.某单位需刻录一批光盘,若在电脑公司刻录每张需8元(包括空白光盘费);若单位自制,除租用刻录机需120元外,每张还需成本4元(包括空白光盘费).问刻录这批光盘是到电脑公司刻录费用省,还是自制费用省?请说明理由.5.某商场计划投入一笔资金采购一批商品,经市场调研发现,如果本月初出售,那么可获利10%,然后将本利再投资其他商品,到下月初又可获利10%;如果下月初出售,那么可获利25%,但要支付仓储费8 000元.请你根据商场的资金情况,向商场提出合理化建议,说明何时出售获利较多.6.光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.现将这50台联合收割机派往A,B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求y与x 之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元,说明有多少种分配方案;(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议.7.甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,球拍每副定价60元,乒乓球每盒定价10元.世界乒乓球锦标赛期间,两家商店都搞促销活动:甲商店规定每买1副乒乓球拍赠2盒乒乓球;乙商店规定所有商品9折优惠.某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍,乒乓球若干盒(不少于4盒).设该校要买乒乓球x盒,所需商品在甲商店购买需用y1元,在乙商店购买需用y2元.(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围);(2)对x的取值情况进行分析,试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜;(3)若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球,在不考虑其他因素的情况下,请你设计一个最省钱的购买方案.创新应用8.新农村社区改造中,有一部分楼盘要对外销售,某楼盘共23层,销售价格如下:第八层楼房售价为4 000元/m2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高50元;反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元.已知该楼盘每套楼房面积均为120 m2.若购买者一次性付清所有房款,则开发商有两种优惠方案:方案一:降价8%,另外每套楼房赠送a元装修基金;方案二:降价10%,没有其他赠送.(1)请写出售价y(元/m2)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数关系式;(2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算.答案：能力提升1.B2.超过15 ℃3.小于210千米4.解设需刻录x张光盘,单位自制的总费用为y1元,电脑公司刻录的总费用为y2元.由题意,得y1=4x+120,y2=8x.(1)当y1>y2,即4x+120>8x时,解得x<30;(2)当y1=y2,即4x+120=8x时,解得x=30;(3)当y1<y2,即4x+120<8x时,解得x>30.所以,当刻录光盘少于30张时,到电脑公司刻录费用省;当刻录光盘等于30张时,两个地方都行;当刻录光盘多于30张时,单位自制费用省.5.解设商场投入资金x元,如果本月初出售,到下月初可获利y1元,则y1=10%x+(1+10%)x·10%=0.1x+0.11x=0.21x;如果下月初出售,可获利y2元,则y2=25%x-8 000=0.25x-8 000.当y1=y2,即0.21x=0.25x-8 000时,x=200 000;当y1>y2,即0.21x>0.25x-8 000时,x<200 000;当y1<y2,即0.21x<0.25x-8 000时,x>200 000.所以,若商场投入资金20万元,两种销售方式获利相同;若商场投入资金少于20万元,本月初出售获利较多;若商场投入资金多于20万元,下月初出售获利较多.6.解(1)派往A地区的乙型收割机为x台,则派往A地区的甲型收割机为(30-x)台,派往B地区的乙型收割机为(30-x)台,派往B地区的甲型收割机为(x-10)台.则y=1 600x+1 800(30-x)+1 200(30-x)+1 600(x-10)=200x+74 000(10≤x≤30,x是正整数).(2)由题意,得200x+74 000≥79 600,解得x≥28.由于10≤x≤30,所以,x取28,29,30三个值.因此有三种分配方案.(3)由于一次函数y=200x+74 000的值是随着x的增大而增大的,故当x=30时,y取最大值.建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区,20台甲型收割机全部派往B地区,可使公司获得的租金最高.7.解(1)y1=10(x-4)+120=10x+80,y2=(10x+120)×90%=9x+108,x≥4,且x是整数.(2)若y1>y2,即10x+80>9x+108,解得x>28;若y1=y2,即10x+80=9x+108,解得x=28;若y1<y2,即10x+80<9x+108,解得x<28.故当x>28时,在乙商店购买所需的商品比较便宜;当4≤x<28时,在甲商店购买所需的商品比较便宜;当x=28时,在两家商店购买所需商品价钱一样.(3)若所需商品全部在一家商店购买,由(2)知,购买2副球拍和20盒乒乓球时,在甲商店购买比乙商店购买便宜,需10×20+80=280(元).若所需商品在两家商店购买,可以到甲商店购买2副乒乓球拍,需要2×60=120(元),同时获得4盒乒乓球;到乙商店购买16盒乒乓球,需16×10×90%=144(元),共需120+144=264(元).∵264元<280元,∴最佳的购买方案是:到甲商店购买2副乒乓球拍,获赠4盒乒乓球,到乙商店购买16盒乒乓球. 创新应用8.解 (1)当1≤x ≤8时,每平方米的售价应为y=4 000-(8-x )×30=30x+3 760(元/m 2),当9≤x ≤23时,每平方米的售价应为y=4 000+(x -8)×50=50x+3 600(元/m 2).故y={30x +3 760(1≤x ≤8),50x +3 600(9≤x ≤23).(2)第十六层楼房的每平方米的价格为50×16+3 600=4 400(元/m 2), 按照方案一所交房款为W 1=4 400×120×(1-8%)-a=485 760-a (元), 按照方案二所交房款为W 2=4 400×120×(1-10%)=475 200(元), 当W 1>W 2时,即485 760-a>475 200,解得0<a<10 560, 当W 1<W 2时,即485 760-a<475 200,解得a>10 560,故当0<a<10 560时,方案二合算;当a>10 560时,方案一合算;当a=10 560时,两种方案一样合算.6 一元一次不等式组第1课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.若一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图,则该不等式组的解集是( )A.-2<x<1B.-2<x ≤1C.-2≤x<1D.-2≤x ≤12.如图,天平右盘中的每个砝码的质量都是1 g,则物体A 的质量m (g)的取值范围在数轴上可表示为 ( )3.不等式组{4x -3>2x -6,25-x ≥-35的整数解的个数为( )A.1B.2C.3D.44.已知不等式组{x >2,x <a 的解集中共有5个整数,则a 的取值范围为( )A.7<a ≤8B.6<a ≤7C.7≤a<8D.7≤a ≤85.如果不等式组{3-2x ≥0,x ≥m ①②有解,那么m 的取值范围是 .6.不等式组{3x +4≥0,12x -24≤1的所有整数解的积为 .7.将一箱苹果分给若干名小朋友,若每名小朋友分5个苹果,则还剩12个苹果,若每名小朋友分8个苹果,则有一名小朋友分到了苹果但不足5个,则有小朋友 名,苹果 个.8.已知三个一元一次不等式:2x>6,2x ≥x+1,x -4<0,请从中选择你喜欢的两个不等式,组成一个不等式组,求出这个不等式组的解集,并把解集在数轴上表示出来.9.解不等式组{4(x +1)≤7x +10,x -5<x -83,并写出它的所有非负整数解.创新应用10.一个长方形足球场的长为x m,宽为70 m.如果它的周长大于350 m,面积小于7 560 m 2,求x 的取值范围,并判断这个足球场是否可以用作国际足球比赛.(注:用于国际足球比赛的足球场地的长在100 m 到110 m 之间,宽在64 m 到75 m 之间)答案： 能力提升1.C2.A3.C4.A5.m ≤32 首先将不等式组化简,由不等式①解得x ≤32,∵不等式组有解,∴m 的取值范围为m ≤32.6.07.6 428.解 答案不唯一,如(1)2x>6与x -4<0结合,组成不等式组{2x >6,x -4<0.①②解不等式①,得x>3;解不等式②,得x<4. 故不等式组的解集为3<x<4.不等式组的解集在数轴上表示如图.(2)2x ≥x+1与x -4<0结合,组成不等式组{2x ≥x +1,x -4<0.①②解不等式①,得x ≥1;解不等式②,得x<4.故不等式组的解集为1≤x<4.不等式组的解集在数轴上表示如图.9.解 {4(x +1)≤7x +10,x -5<x -83.①②由①得4x+4≤7x+10,-3x ≤6,x ≥-2. 由②得3x -15<x -8,2x<7,x<72.把不等式①②的解集在数轴上表示如图.所以不等式组的解集为-2≤x<72,其非负整数解为0,1,2,3. 创新应用10.解 由题意,得{2(x +70)>350,70x <7 560,解得105<x<108.所以可以用作国际足球比赛.第2课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.不等式组{2x +12<12x -4,3x -1≤2x的解集在数轴上表示正确的是( )2.关于x 的不等式组{3x -1>4(x -1),x <m的解集为x<3,则m 的取值范围为( )A.m=3B.m>3C.m<3D.m ≥33.生物兴趣小组要在温箱里培养A,B 两种菌苗.已知A 种菌苗的生长温度x (℃)的范围是35≤x ≤38,B 种菌苗的生长温度y (℃)的范围是34≤y ≤36.则温箱里的温度T (℃)的范围是( ) A.34≤T ≤38 B.35≤T ≤38C.35≤T ≤36D.36≤T ≤384.若不等式组{x <m +1,x >2m -1无解,则m 的取值范围是 . 5.若ab>0,根据学过的知识可将其转化为{a >0,b >0或{a <0,b <0.若x -2与x -3的乘积为正数,则x 的取值范围是 .6.关于x 的不等式组{x+152>x -3,2x+23<x +a 只有4个整数解,求a 的取值范围.7.一种药品的说明书上写着:“每日用量60~120 mg,分3~4次服用.”一次服用这种药品的剂量在什么范围?创新应用8.南海地质勘探队在一次勘探中发现了很有价值的A,B 两种矿石,A 矿石大约565 t,B 矿石大约500 t .要一次性将两种矿石运往冶炼厂,需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘,甲货船每艘运费1 000元,乙货船每艘运费1 200元.(1)设运送这些矿石的总运费为y 元,若使用甲货船x 艘,请写出y 和x 之间的函数关系式.(2)如果甲货船最多可装A 矿石20 t 和B 矿石15 t,乙货船最多可装A 矿石15 t 和B 矿石25 t,装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船,共有几种安排方案?哪种安排方案运费最低并求出最低运费.答案：能力提升1.C2.D3.C4.m ≥2 不等式组{x <m +1,x >2m -1无解, 因此,2m -1≥m+1,解这个不等式得m ≥2.5.x>3或x<2 由(x -2)(x -3)>0得{x -2>0,x -3>0或{x -2<0,x -3<0.解第一个不等式组得x>3,解第二个不等式组得x<2.故x 的取值范围是x>3或x<2.6.解 解不等式组{x+152>x -3,2x+23<x +a ,得{x <21,x >2-3a . 由不等式组有4个整数解,可知这4个解应是20,19,18,17,则 16≤2-3a<17,解得a 的取值范围为-5<a ≤-143.7.解 设一次服用的剂量为x mg .若分3次服用,则{3x ≥60,3x ≤120,解得20≤x ≤40; 若分4次服用,则{4x ≥60,4x ≤120,解得15≤x ≤30. 创新应用8.解 (1)y=1 000x+1 200(30-x ).(2){20x +15(30-x )≥565,15x +25(30-x )≥500,解得23≤x ≤25.因为x 为整数,所以x 可取23,24,25.因此共有3种方案. 方案一:甲货船23艘、乙货船7艘,运费y=1 000×23+1 200×7=31 400元; 方案二:甲货船24艘、乙货船6艘,运费y=1 000×24+1 200×6=31 200元; 方案三:甲货船25艘、乙货船5艘,运费y=1 000×25+1 200×5=31 000元. 所以,方案三运费最低,最低运费为31 000元.。
北师大版八年级下册数学 1.4角平分线 同步练习题(含解析)
1.4角平分线同步练习一.选择题1. 已知，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，下列结论：（1）CD＝BD, (2)AE＝CE (3)OA＝OB＝OD＝OE (4)AE＋BD＝AB，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.42.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A．4 B．3 C．6 D．53. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB＝（）A.50°B.45°C.40° D .35°4. 如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（）A.①③B.②③C.①②D.①②③5.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A ．△ABC 的三条中线的交点B ．△ABC 三边的中垂线的交点C ．△ABC 三条高所在直线的交点D ．△ABC 三条角平分线的交点6．ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=.若ο60=∠BAC ，则 ABC ∠的大小为 （ ）A ．ο40B ．ο60C ．ο80D ．ο100二.填空题7. 在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3.折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长为 .8. 如图，已知在ABC △中，90,,A AB AC CD ∠=︒=平分ACB ∠，DE BC ⊥于E ，若15BC cm =，则DEB △的周长为 cm ．9.如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．10.如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为．11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，若∠CBD＝20°，则∠CED＝__________.三.解答题13．已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD 于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．14.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．15．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．16．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．17．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．18. 已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．参考答案一.选择题1.【答案】C；【解析】（1）（2）（4）是正确的.2.【答案】B；【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故选：B．3.【答案】B；【解析】可证EA是∠CAB外角平分线.过点E作EF、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并且交点分别为F、M、N，所以EF＝EM＝EN.所以EA是∠CAB的外角平分线.4.【答案】C；【解析】依据角平分线的判定定理知AP平分∠BAC，①正确，因AQ＝PQ，∠PAQ＝∠APQ ＝∠BAP，所以②正确.5.【答案】D；【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选D．6.【答案】A；【解析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，2∠B＝∠C，所以∠B＝40°.二.填空题7. 【答案】1；【解析】由题意设DE＝CE＝x，BC＝BD＝AD＝3x，AE＝2x，AC ＝3x＝3，x＝1.8. 【答案】15；【解析】BC＝CE＋BE＝AC＋BE＝AB＋BE＝AD＋BD＋BE＝DE＋BD＋BE＝15cm.9. 【答案】30【解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=20×3=3010.【答案】； 【解析】解：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DF ，∵AB=4，△ABD 的面积为3，∴S △ABD =AB•DE=×4×DE=3，解得DE=；∴DF=，∵AC=2，∴S △ACD =AC•DF=×2×=． 故答案为：．11.【答案】35°；【解析】作EF ⊥AD 于F ，证△DCE ≌△DFE （HL ），再证△AFE ≌△ABE （HL ），可得∠FEB ＝180°－70°＝110°，∠AEB ＝55°，∠EAB ＝35°.12.【答案】10°；【解析】考虑△BDC 中， EC 是∠C 的平分线， EB 是∠B 的外角平分线， 所以E 是△BDC 的一个旁心， 于是ED 平分∠BDA. ∠CED ＝ ∠ADE － ∠DCE ＝12∠ADB － 12∠DCB ＝12∠DBC ＝ 12×20°＝ 10°. 三.解答题13.【解析】证明：∵OD 平分∠POQ∴∠AOD ＝∠BOD在△AOD 与△BOD 中OA OB AOD BOD OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOD （SAS ）∴∠ADO ＝∠BDO又∵CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.∴CM ＝CN （角平分线上的点到角两边的距离相等）.14.【解析】证明：过C 作CF ⊥AD 于F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠FAC=∠EAC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC ≌△AEC ，∴AF=AE ，CF=CE ，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC ，∴△FDC ≌△EBC∴DF=EB ，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD15.【解析】DE ＝DF.证明：过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DM ＝DN∵∠EDF ＋∠EAF ＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF ＝180° 又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF ＝180°∴∠1＝∠4在Rt △DEM 与Rt △DFN 中14DM DN EMD FND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △DEM ≌Rt △DFN （ASA ）∴DE ＝DF16.【解析】（1）证明：作ME⊥AD 于E ，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD 平分∠ADC，∴ME=MC，∵M 为BC 中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．17.【解析】解：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E∴DE＝CD可证Rt△BCD≌Rt△BED（HL）设△BCD的面积＝△BED的面积＝3x，△BCA的面积为8x，△ADE的面积为8x－6x＝2x，∴△ADE与△BCA的面积之比为2x：8x＝1:4．18.【解析】证明：过F点作FM⊥AD，FN⊥AE，FP⊥BC∵ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.∴FM ＝FP， FN＝FP（角平分线上的点到角两边的距离相等）∴FM ＝ FN∴点F必在∠DAE的平分线上.（到角两边的距离相等的点在角的平分线上）。
北师大版八年级数学下册利用四边形对角线的性质判定平行四边形同步练习题
D A CB 6.2 平行四边形的判定第2课时 平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离【学习内容】平行四边形的判定（P143—P145页）【学习目标】1、理解平行四边形的另一种判定方法，并学会简单运用。
2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力。
【学习重难点】重点：平行四边形判定方法理解运用；难点：平行四边形判 定方法运用【自研课】定向导学 （15分钟）复习引入1．平行四边形的定义是什么？平行四边形的定义： 的四边形，叫做平行四边形2．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形. （2）两组对边 的四边形是平行四边形.(3)一组对边 的四边形是平行四边形.探究 活动：工具:两根不同长度的细木条.动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？ 思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？已知:如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD 是平行四边形.已知：如图,在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O,点E 、F 在对角线AC 上，并且AE=CF ．求证:四边形BFDE 是平行四边形【训练课】（时段：晚自习，时间20分钟）基础题：1、如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是______ ___ ,根据是。
A DOB C2、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA=OC，如果要使四边形ABCD 是平行四边形，则还需补充的条件是（）A．AC⊥BD B. OA=OB C.OC=OD D.OB=OD3、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对角相等 B. 对角线互相平分C．一组对边相等 D. 对角线互相相等4、如图，在平行四边形ABCD中，O是AC，BD的交点，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？说说你的理由.A DE O HF GB C发展题5、下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC6、A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种提高题：7、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 2. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是 A.这个方程是一元二次方程 B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是 ①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形 ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是 7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342 D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________. 16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.(1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式;(2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。
北师大版八年级下册数学 1.1---1.3基础同步练 (含答案)
1.1等腰三角形一．选择题1．用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（）A．8cm B．12cm C．8cm或14cm D．14cm2．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．84．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对5．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE 的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．10°6．满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝α，则∠EDF等于（）A．90°﹣αB．45°+αC．90°﹣αD．45°+α8．如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.89．如图，E为△ABC的边AB上一点，AC＝BC＝BE，AE＝EC，BD⊥AC的延长线于点D，则∠CBD的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．15°10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二．填空题11．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝．12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是．13．等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC 的大小为度．15．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠A n+1B n B n+1＝θn，则θn＝．（用含α的式子表示）三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．17．如图，在△ABC中，点D在AC的垂直平分线上．（1）若AB＝AD，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数；（2）若AB＝AD，AC＝BC，求∠C的度数；（3）若AC＝8cm，△ABD的周长为15cm，求△ABC的周长．18．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD＝α，求∠ACD的度数．（2）在（1）的条件下，求∠BCF的大小；（用含α的式子表示）（3）判断△ACF的形状，并说明理由．参考答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．D6．B 7．A 8．A 9．A 10．A11．312．∠1＝2∠2．13．12cm．14．72．15．．16．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAE＝∠BAD＝28°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．17．（1）∵点D在AC的垂直平分线上，∴AD＝DC，在三角形ABD中，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣24°）×＝78°，在三角形ADC中，AD＝DC，∴∠C＝78°×＝39°；（2）设∠B＝x°．∵CA＝CB，∴∠A＝∠CAB＝x°，∵AB＝AD＝DC，∴∠B＝∠ABD＝x°，∠C＝x°，在△ABC中，x+x+x＝180，解得：x＝72，∴∠C＝×72°＝36°．故∠C的度数是36°；（3）如图，∵DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，∴DA＝DC，CE＝AE＝4（cm），∵△ABD的周长为15cm∴AB+BD+AD＝15（cm），即AB+BD+DC＝15（cm），∴AB+BC+AC＝15+8＝23（cm），∴△ABC的周长为23cm．18．（1）∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠CAD＝α，∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝90；（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：∴∠DAG+∠ADG＝90°，∵AD＝AC，∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，∵CF⊥AD于点E，∴∠DCE+∠ADG＝90°，∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，即∠BCF＝α；（3）△ACF是等腰三角形．理由：∵∠B＝45°，AG⊥BC，∴∠BAG＝45°，∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，∴∠BAC＝∠AFC，∴AC＝FC，∴△ACF是等腰三角形．1.2 勾股定理及其逆定理1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为( )A．40° B．30° C．20° D．10°3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )A ．48B ．60C ．76D ．80 5. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A ．30,40,50B ．7,12,13C ．5,9,12D ．3,4,6 6. 如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53 B ．52C ．4D ．5 7. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 8. 下列命题的逆命题是真命题的有( )①对顶角相等；②在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边的对角也相等；③不相交的两条直线叫做平行线；④有三个角对应相等的两个三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和10. 直角三角形两个锐角 (互余；互补)；有两个角互余的三角形是三角形．11. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；若三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是三角形．12. 下列命题中，其逆命题成立的是 (只填写序号)．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．13．命题“两个全等直角三角形的面积相等”的逆命题是．，这个命题是．14．命题“对顶角相等”的逆命题是，该逆命题是(填“真”或“假”)命题．15．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为或 cm2.16．有一个三角形两边长为4和5，若使三角形为直角三角形，则第三边长为或 .17. 写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a 是偶数，b 是偶数，那么a ＋b 是偶数．18. 如图所示，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC ＝14BC.求证：∠EFA ＝90°.19. 如图，∠MAN ＝60°，若△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，求BC 的取值范围.20. 如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h.问：多长时间后这个人距B送奶站最近？答案：1---9 BCDCA CCCC10. 互余直角11. 斜边平方直角12. ①④13. 如果两个直角三角形的面积相等 那么它们全等 假命题14. 相等的角是对顶角 假15. 126 66 16. 3 4117. 解：(1)逆命题为：同位角相等，两直线平行(真命题)；(2)逆命题为：如果a ＋b 是偶数，那么a 为偶数，b 为偶数(假命题)．18. 证明：设正方形边长为4a ，则有AE 2＝AB 2＋BE 2，EF 2＝EC 2＋CF 2，AF 2＝DF 2＋AD 2，即AE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a 2，EF 2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，AF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a 2，∴AE 2＝AF 2＋EF 2，∴∠AFE＝90°.19. 解：3＜BC ＜2320. 解：过B 作BD⊥CD 于D ，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝15，AB ＝17， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形．∵∠1＝30°，∴∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝12BC ＝7.5km ，∴时间为7.5÷2.5＝3h.1.3《线段的垂直平分线》一．选择题1．到△ABC 三个顶点的距离相等的点是△ABC （ ）A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条高的交点2．如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处3．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm5．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠BCE 等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°6．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°7．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB 于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对二．填空题8．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝cm．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝20°，则∠C＝．10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，AB+AC＝20cm，则△ABD的周长为cm．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为．三．解答题13．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．14．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，添加什么条件可得AD垂直平分BC？证明你的判断．15．已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点P．求证：点P在BC 的垂直平分线上．16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．18．在△ABC中，DE，HG分别为AB、AC的垂直平分线，与BC交于E、G两点，D、H 分别为垂足，直线DE、HG交于点F．（1）若BC＝12，求△AEG的周长；（2）若∠DFH＝80°，求∠EAG的度数．参考答案一．选择题1．解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点．故选：C．2．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC 的垂直平分线上，故选：B．3．解：连接CE，∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，∵DE垂直平分BC，∴∠BCE＝∠B＝15°，BE＝CE，∴∠ACE＝∠BCA﹣∠BCE＝75°﹣15°＝60°，∵Rt△AEC中，∠ACE＝∠BCA＝60°，AC＝8cm，∴∠AEC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝2AC＝16cm，∵BE＝CE，∴BE＝16cm．故选：C．4．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），∵△ADC的周长为9cm，∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），故选：D．5．解：∵∠A＝30°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠ECA＝∠A＝30°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝80°﹣30°＝50°，故选：C．6．解：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣35°＝60°，故选：A．7．解：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，又∵OE＝OE，∴Rt△AOE≌Rt△COE，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD轴对称，∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，综上所述，全等三角形共有4对．故选：D．二．填空题8．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA，∵PA＝4cm，∴PB＝4cm．故答案为4cm．9．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，∴∠AEB＝70°，∴∠C+∠CAE＝70°，故答案为：35°．10．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．11．解：∵l是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20（cm），故答案为：20cm．12．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，连接AM，AN，∵ME是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，∴CM＝2AM＝2BM，∴3BM＝BC＝12cm，∵BM＝4cm，同理可得，CN＝4，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案为：4cm．三．解答题13．解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．14．解：添加：AB＝AC，理由：∵∠1＝∠2，∴BD＝CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴当A在线段垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．15．证明：连接PA、PB、PC，∵l1是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∵l2是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，∴PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上．16．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，∵△ABC的周长为21cm，∴AB+BC+AC＝21cm，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，∴AC＝8cm，∴AE＝4cm．17．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．18．解：（1）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC＝12，∴△AEG的周长是12．（2）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴∠DAE＝∠B，∠HAG＝∠C，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠DFH＝80°，∴∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠DAE+∠HAG＝80°，∵∠DAE+∠HAG+∠EAG＝∠BAC＝100°，∴∠EAG＝40°．。
北师大版八年级数学下册1
1.4.2 三角形三条内角的平分线 同步练习题 2022-2023学年北师大版八年级数学下册一、选择题1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在( )A.△ABC 的三条中线的交点B.△ABC 三边的垂直平分线的交点C.△ABC 三条角平分线的交点D.△ABC 三条高所在直线的交点2.下列关于三角形三个内角平分线的说法中，正确的个数为( )①三条角平分线上的点到三边的距离都相等；②三角形的三条内角平分线相交于一点；③三角形的内角平分线位于三角形的内部；④三角形任意一条内角平分线可以将三角形分成面积相等的两部分，A.1B.2C.3D.43.如图，在△ABC 中，AB=BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF ，若BE=AC=2，则△CEF 的周长为( ) A.31+ B.53+ C.51+ D.44.如图，BM 是∠ABC 的平分线，点D 是BM 上一点，点P 为直线BC 上的一个动点，若△ABD 的面积为9，AB=6，则线段DP 的长不可能是( )A.2B.3C.4D.5.55.如图，直线l 1，l 2，l 3，表示三条交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A.1处B.2处C.3处D.4处6.如图，△ABC 的周长是20，BO 和CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于点D ，且OD=3，则△ABC 的面积是( )A.20B.25C.30D.357.如图，在△ABC 中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=2，则△ABC 的面积是（ ) A.223+ B.21+ C.22 D.22+8.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，AD⊥BE 于点D ，下列结论：①AC -BE=AE;②点E 在线段BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C;④BC=4AD.其中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.4二、填空题9.如图，在△ABC 中，O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，∠BOC=134°，则∠A 的度数为_____.10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC.若BC=6，则点D到线段AB的距离等于______.11.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD:S△ACD=_______.12.如图，D是∠ABC平分线上一点，E，F分别在AB，BC上，且DE=DF.若∠BED=130°，则∠BFD 等于____.13.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P.若∠BPC=40°，则∠CAP=____.三、解答题14.如图，有三条公路两两相交于A，B，C处，先计划修建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，那么该如何选择加油站的位置？请在图中确定加油站的位置O.15.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.(1)求证：∠EBD=∠EDB.(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.16.已知OM是∠AOB的平分线,点P是射线OM上一点,OP=3√2,点C、D分别在射线OA、OB上,连接PC、PD.(1)如图①,当PC⊥OA,PD⊥OB时,PC与PD的数量关系是.(2)如图②,点C、D在射线OA、OB上滑动,且∠AOB=90°,当PC⊥PD时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.(3)在(2)中,四边形ODPC的面积S是否会发生变化?若不会发生变化,请直接写出面积S的值;若发生变化,请说明理由.17.如图，已知在△ABC中，CP平分∠ACB，E，F分别是边AC，BC上的两点，连接PE，PF，已知∠CEP+∠CFP=180°，点D为AC延长线上一点，连接PD，且DE=BF.(1)当∠CEP=90°时，如图①，求证：DP=BP.(2)若∠CEP≠90°，如图②，(1)中结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，下点E 请说明理由.(3)在(2)的条件下，已知AB=AE+BF，若∠ACB=82°，求∠APB的度数.。