长沙九年级期中考试数学试卷含答案
2
一个球是白球的概率是
1 ，则黄球的个数为 3
个．
15．关于 x 的一元二次方程 x 2 mx 2m 1 0 两个实数根 分别是 x1 , x 2 , 且 x1 2 x 2 2 7 ， 则 m 的值是_______. 16 ． 如图，四边形 ABCD 内接于圆，AD=DC ，点 E 在 CD 的延长线上 . 若∠ADE=80° ，则
C．3 个 D．4 个
B．2 个
2．据国家统计局公布，2016 年全国粮食总产量约 12429 亿斤，将数据 12429 亿用科学记数法表示 为（ ） B． 0.12429 1010 ） C． ( xy ) 2 C． 12.429 1011 D． 1.2429 1012
A． 1.2429 10 9
M 号衬衫数 包数 0 7 1 3 4 10 ）. 5 15 7 5 9 4 10 3 11 3
根据以上数据，选择正确选项（ A．M 号衬衫一共有 47 件
B．从中随机取一包，包中 L 号衬衫数不低于 9 是随机事件 C．从中随机取一包，包中 L 号衬衫数不超过 4 的概率为 0.26 D．将 50 包衬衫混合在一起，从中随机拿出一件衬衫，恰好是 M 号的概率为 0.252 6．抛物线 y=
∠ABD 的度数 是________.
17.如图， 已知∠AOB=40°， 在∠AOB 的两边 OA、 OB 上分别存在点 Q、 点 P， 过点 Q 作直线 QR∥OB， 当 OP=QP 时，∠PQR 的度数是 .
第 16 题图
第 17 题图
18.已知，圆锥的底面圆周长为 2 ，母线长为 5，则此圆锥的侧面展开图的面积为
k (k 0) 上.将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单位长 x
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。请把答案填在题中的横线上） 13．因式分解：9a2－81＝____________． 14．在一个不透明的盒子中装有 12 个白球，若干个黄球，这些球除颜色外都相同．若从中随机摸出
1 2 x 向左平移 1 个单位长度得到抛物线的解析式为（ ）. 2 1 1 1 2 1 2 2 2 A．y= x 1 B．y= x 1 C．y= x +1 D．y= x ﹣1 2 2 2 2
7．不等式组
2 x 2 0 的整数解共有（ ）个． 3 x 5 0
3．下列运算中，正确的是（ A． 2 x 2 y 2 xy
B． ( x 2 y 3 ) 2 x 4 y 5
1 ( xy ) 3 xy
D． 2 xy 3 xy xy
4．函数 y
x 4 中自变量 x 的取值范围是（ ）
B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4
A．x＞4
5．在 50 包型号为 L 的衬衫的包裹中混进了型号为 M 的衬衫，每包 20 件衬衫，每包中混入的 M 号 衬衫数如表：
4
23． （9 分）“双 11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌 A、B 两款羽绒服来销售，若购买 3 件 A， 4 件 B 需支付 2400 元，若购买 2 件 A，2 件 B，则需支付 1400 元． （1）求 A、B 两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？ （2）若个体户从淘宝网上购买 A、B 两款羽绒服各 10 件，均按每件 600 元进行零售，销售一段时 间后，把剩下的羽绒服全部 6 折销售完，若总获利不低于 3800 元，求个体户让利销售的羽绒服最多 是多少件？
1
A． 4
B．3
C．2
D． 1 ）
8．一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 180°，那么这个多边形的边数是（ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
9．如图，已知⊙O 的半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若 A B=16cm，CD=6cm，则⊙O 的 半径为（ A． ） B．10cm C．8cm D．
3
21．(8 分)为便于管理与场地安排，松北某中学 校以小明所在班级为例，对学生参加各个体育项目进 行了调查统计．并把调查的结果绘制了如图所示的不完全统计图，请你根据下列信息回答问题：
（1）共有
名学生参加了此次调查。
（2）补全条形统计图。 （3）请计算扇形统计图中“乒乓球”所在扇形的圆心角度数； （4）如果学校有 800 名学生，请估计全校学生中有多少人参加篮球项目．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 19． （6 分）计算： 2
2
3
0
1 3 cos 60 ． 2
20． （6 分）先化简，再求代数式
x2 x x 1 的值，其中 x= 2 - 2 ． 2 x 4x 4 x 2 x 2
2016-2017 学年第二学期九年级期中考试数学试卷
考试时间：120 分钟；总分：120 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）
， 1． 在 3.14， 3 3 ， 2 ，0.12
A． 1 个
4 22 3.14 ， ，0.2020020002…， 3 216 ， 中，无理数有（ ） . 9 7 5
22.（8 分）如图， P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一动点， AE BP ， CF BP ，垂足分别为点
E、F ，已知 AD 4 .
（1）证明： AE 2 CF 2 16 . （2）过点 P 作 PM // FC 交 CD 于点 M ，点 P 在何位置时线段 DM 最长，并求此时 DM 的值.
25 cm 3
19 cm 3
第 9 题图 10．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ A． （4，3） B． （﹣4，3） ）
第 10 题图
C． （﹣4，﹣3） ）
D． （4，﹣3）
11．如图所示的工件的主视图是（
A．B．Βιβλιοθήκη C．D．12.如图，在平面直角坐标系中，直线 y 3 x 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边， 在第一象限作正方形 ABCD ，点 D 在双曲线 y 度后，点 C 恰好落在该双曲线上，则 a 的值是（
湘教版九年级上册数学期中考试试卷含答案解析
湘教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列命题中，是真命题的为（）A．锐角三角形都相似B．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似D．等边三角形都相似2．一元二次方程221x x-=的常数项为（）A．-1B．1C．0D．±13．一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx在同一直角坐标系中的大致图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0 4．在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k＜0)图像的两支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限5．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（）A．＝0B．＞0C．＜0D．≥0 6．x2-5x-6=0的两根为（）A．6和-1B．-6和1C．-2和-3D．2和37．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90º，点A的坐标为(1，2)．将△AOB绕点A逆时针旋转90º，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝kx(x＞0)上，则k＝（）A．2B．3C．4D．6 8．解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是（）A ．直接开平方法．B ．配方法C ．公式法D ．分解因式法9．已知一元二次方程x 2+x ─1=0，下列判断正确的是（）A ．该方程有两个相等的实数根B ．该方程有两个不相等的实数根C ．该方程无实数根D ．该方程根的情况不确定10．若1x ，2x 是方程24x =的两根，则12x x +的值是（）A ．0B ．2C ．4D ．8二、填空题11．已知△ABC 与△DEF 相似且对应的角平分线的比为2:3，则△ABC 与△DEF 的周长比为_____________.12．若点（－2，1）在反比例函数x k y =的图象上，则该函数的图象位于第_______象限．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2,AE=3,BD=4，则AC=______．14．根据反比例函数2y x=-的图象（请先在草稿纸上画图象）回答问题，当函数值为正时，x 取值范围是_______15．如上图，反比例函数k y x=的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A （1，2），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选择的P 点坐标为____．16．某种商品原价是121元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为ｘ，可列方程为____．17．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 边上的点，AED C ∠=∠，6AB =，4AD =，5AC =，则AE =________．18．已知a ，b ，c ，d 是成比例的线段，其中3cm a =，2cm b =，6cm c =，则d =_______cm ．19．在△ABC 中，15AB cm =，20BC cm =，30AC cm =，另一个与它相似的△A B C '''的最短边长为45cm ，则△A B C '''的周长为________.三、解答题20．解方程：(x －5)(x －6)＝x －521．若关于x 的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.22．如图，BE 是△ABC 中∠ABC 的平分线.DE ∥BC ，若AE ＝3，AD ＝4，AC ＝5,求DE 的长.23．已知图中的曲线函数5m y x-=(m 为常数)图象的一支.（1）求常数m 的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数2y x =图象在第一象限的交点为A （2，n ）,求点A 的坐标及反比例函数的解析式.24．已知：正比例函数y=k 1x 的图象与反比例函数xk y 2(x>0)的图象交于点M （a,1），MN ⊥x 轴于点N （如图），若△OMN 的面积等于2，求这两个函数的解析式.25．一块正方形的铁皮，在它的四角各截去边长为4㎝的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是400㎝3，求原铁皮的边长．26．某城市居民最低生活保障在2012年是每月240元，经过连续两年的增加，到2014年将提高到每月345.6元，则该城市两年来最低生活保障的平均增长率是多少？27．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=90o ，AC ⊥BC ，AB=10cm,BC=6cm ，（1）求证：△ACD ∽△BAC ；（2）求DC 的长；28．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A （﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B （2，n ），连接BO ，若S △AOB =4．（1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；（2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积．参考答案1．D ．【解析】试题分析：A 、锐角三角形的三个内角都小于90°，但不一定都对应相等，故A 选项错误；B 、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故B 选项错误；C 、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故C 选项错误；D 、所有的等边三角形三个内角都对应相等（都是60°），所以它们都相似，故D 选项正确；故选：D ．考点：相似三角形的判定．2．A【解析】试题分析：因为一元二次方程221x x -=可化为2210x x --=，所以常数项为-1，故选A ．考点：一元二次方程的常数项3．B ．【解析】试题分析：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、三、四象限，∴k＞0，b＜0又∵比例函数y=kx图象经过一、三象限，∴k＞0，b＜0故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．4．B【解析】试题分析：∵反比例函数y=（k＜0），∴图象的两支分别在第二、四象限．故选B．考点：反比例函数的性质．5．B【详解】试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0．故选B．考点：根的判别式．6．A【分析】把方程左边的式子进行分解因式，利用因式分解法求解．【详解】x2-5x-6=0（x-6）（x+1）=0解得x=6或-1．故选A7．B.【解析】试题分析：∵点A 的坐标为（1，2）．Rt △AOB 绕点A 逆时针旋转90°，∴OB+AD=3，AB-CD=1，故C （3，1），将C （3，1）代入y=k x中，得k=3×1=3．故选B.考点：反比例函数综合题．8．D【详解】解：方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即（10x-5）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D ．9．B【解析】根据题意得：△=2141(1)-⨯⨯-=5＞0，故有两个不相等的实数根．10．A【分析】先把化成一元二次方程的一般形式，然后根据根与系数的关系求解即可.【详解】∵24x =，∴240x -=，∴12x x +=-0=01.故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a⋅=.11．2：3．【解析】试题分析：由于相似三角形的对应角平分线和周长的比都等于相似比，由此可求出两三角形的周长比．试题解析：∵△ABC与△DEF相似且对应角平分线的比为2：3，∴它们的相似比为2：3；故△ABC与△DEF的周长比为2：3．考点：相似三角形的性质．12．二、四【解析】试题分析：先根据函数的解析式确定k=xy=-2，再根据函数图象与系数的特点进行解答．试题解析：∵点（-2，1）在反比例函数y=kx的图象上，∴k=（-2）×1=-2＜0，∴该函数的图象位于第二、四象限．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．13．9.【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理得出AD AEBD EC=，得出CE的长度即可得出AC的长．试题解析：∵DE∥BC，∴AD AE BD EC=，∵AD=2，AE=3，BD=4，∴234EC =，∴CE=6，∴AC=AE+EC=3+6=9．考点：平行线分线段成比例．14．x＜0．【解析】试题分析：此题只需找到x轴上方的图象所对应的自变量的取值即可．试题解析：由函数图象易得在x轴上方的函数图象所对应的值为：x＜0．考点：反比例函数的图象．15．（-1，-2）（答案不唯一）．【详解】试题分析：根据“第一象限内的图象经过点A （1，2）”先求出函数解析式，给x 一个值负数，求出y 值即可得到坐标．试题解析：∵图象经过点A （1，2），∴21k =解得k=2，∴函数解析式为y=2x ，当x=-1时，y=21-=-2，∴P 点坐标为（-1，-2）（答案不唯一）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．16．121（1-x ）2=100．【详解】试题分析：等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=100．试题解析：第一次降价后的价格为121×（1-x ），那么第二次降价后的价格为121×（1-x ）×（1-x ），∴可列方程为121（1-x ）2=100．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．17．103【分析】根据有两角相等的三角形相似先证明△AED ∽△ACB ，再利用相似三角形的对应边的比相等，即可求出AE 的长．【详解】在△AED和△ACB中，∵∠A=∠A，∠AED=∠C，∴△AED∽△ACB，∴AE AD AC AB=，∵AB=6，AD=4，AC=5，∴4 56 AE=，∴AE=10 3．故答案为10 3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用有两角相等的三角形相似证明△AED∽△ACB 是解决本题的关键．18．4【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad＝cb，代入a＝3，b＝2，c＝6，解得：d＝4，则d＝4cm．故答案为4【点睛】本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面．19．195cm．【解析】因为△ABC∽△，所以.又因为在△ABC中，边最短，所以，所以，所以△的周长为20．x1=5，x2=7．【解析】试题分析：先移项得到（x-5）（x-6）-（x-5）=0，然后利用因式分解法解方程．试题解析：（x-5）（x-6）-（x-5）=0，（x-5）（x-6-1）=0，x-5=0或x-6-1=0，所以x1=5，x2=7．考点：解一元二次方程-因式分解法．21．k≤2．0，1，2．【详解】试题分析：根据关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围后，再确定k的非负整数值．试题解析：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，∴△=42﹣4×1×2k=16﹣8k≥0，解得k≤2．∴k的非负整数值为0，1，2．考点:一元二次方程的根的判别式.22．8 3．【详解】试题分析：先根据平行线的性质及角平分线的性质求出△BDE是等腰三角形，即BD=DE，再根据△ADE∽△ABC即可求出BD的长，进而求出DE的长．试题解析：∵BE是△ABC中∠ABC的平分线，DE∥BC，∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BD=DE ，∵DE ∥BC ，AE=3，AD=4，AC=5，∴△ADE ∽△ABC ，AD AE AB AC=，即AD AE AD BD AC=+，4345BD =+，解得BD=83．∴DE=BD=83．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.角平分线的定义；3.平行线的性质．23．（1）m ＞5；（2）y=8x．【解析】试题分析：（1）曲线函数5m y x-=（m 为常数）图象的一支．在第一象限，则比例系数m-5一定大于0，即可求得m 的范围；（2）把A 的坐标代入正比例函数解析式，即可求得A 的坐标，再代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式．试题解析：（1）根据题意得：m-5＞0，解得：m ＞5；（2）根据题意得：n=4，把（2，4）代入函数5m y x -=，得到：4=52m -；解得：m-5=8．则反比例函数的解析式是y=8x．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．视频24．正比例函数的解析式是x y 41=，反比例函数的解析式是xy 4=【解析】解：∵MN ⊥x 轴，点M （a ，1）∴S △OMN=a 21=2∴a=4∴M(4,1)∵正比例函数y=k 1x 的图象与反比例函数xk y 2=(x>0)的图象交于点M （4,1）∴11解得k k 25．18cm ．【详解】试题分析：先设原正方形铁皮的边长为x ，然后根据题意列出方程4（x-8）2=400，再解方程即可求解．试题解析：设原正方形铁皮的边长为xcm则由题意可得4（x-8）2=400解得x 1=18，x 2=-2（不合题意，舍去）．答：原正方形铁皮的边长为18cm ．考点：一元二次方程的应用．26．20%．【详解】试题分析：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是x ，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解．试题解析：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是x ，240（1+x ）2=345.6，1+x=±1.2，x=20%或x=-220%（舍去）．答：该城市两年来最低生活保障的平均增长率是20%．考点：一元二次方程的应用．27．(1)证明见解析；（2）6.4cm ．【解析】试题分析：（1）由CD ∥AB ，得∠DCA=∠CAB ，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理可求得AC 的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC 的长．试题解析：（1）∵CD ∥AB ，∴∠BAC=∠DCA又∵AC ⊥BC ，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD ∽△BAC ．（2）Rt △ABC 中，，∵△ACD ∽△BAC ，∴DC AC AC AB=，即8810DC =，解得：DC=6.4cm ．考点：1.勾股定理；2.相似三角形的判定与性质．28．（1）8y x =；y=x+2；（2）2.【分析】（1）先由A （﹣2，0），得OA=2，点B （2，n ），S △AOB =4，得12OA•n=4，n=4，则点B 的坐标是（2，4），把点B （2，4）代入反比例函数的解析式为()m y m 0x =≠，可得反比例函数的解析式为：8y x=；再把A （﹣2，0）、B （2，4）代入直线AB 的解析式为y=kx+b 可得直线AB 的解析式为y=x+2．（2）把x=0代入直线AB 的解析式y=x+2得y=2，即OC=2，可得S △OCB =12OC×2=12×2×2=2．【详解】解：（1）由A （﹣2，0），得OA=2；∵点B （2，n ）在第一象限内，S △AOB =4，∴12OA•n=4．∴n=4．∴点B 的坐标是（2，4）．设该反比例函数的解析式为()m y m 0x=≠，将点B的坐标代入，得m 42 =，∴m=8．∴反比例函数的解析式为：8 yx =．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A，B的坐标分别代入，得2k b0{2k b4-+=+=，解得，k1{b2==．∴直线AB的解析式为y=x+2．（2）在y=x+2中，令x=0，得y=2，∴点C的坐标是（0，2）．∴OC=2．∴S△OCB =12OC×2=12×2×2=2．。
湖南长沙长郡教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
2023年秋季九年级期中限时检测试卷数学注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 12 B. 0 C. 23π D. 3−【答案】C【解析】【分析】根据无理数的概念进行判定即可．【详解】解：A 、12是有理数，不是无理数，不符合题意；B 、0是有理数，不是无理数，不符合题意；C 、23π是无理数，符合题意； D 、3−是有理数，不是无理数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，23π0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 2. 某新闻媒体发布“王亚平成为中国首位出舱的女航天员”，据不完全统计，总播放量超过29600000次，将数据29600000用科学记数法表示为（ ）A. 729.610×B. 72.9610×C. 62.9610×D. 70.29610×【分析】科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤＜，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：29600000用科学记数法表示为72.9610×．故选：B ．【点睛】本题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ×，其中110a ≤＜，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．3. 下列事件是必然事件的是（ ）A. 四边形内角和是360°B. 校园排球比赛，九年一班获得冠军C. 掷一枚硬币时，正面朝上D. 打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、四边形内角和是360°是必然事件，故此选项符合题意；B 、校园排球比赛，九年一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；C 、掷一枚硬币时，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；D 、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不合题意；C ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D 选项合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．5.有意义，则x 的取值范围是（ ）A. 2x ≤−B. 2x ≥−C. 21x ≥−D. 12x ≤− 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数解答即可．∴6120x +≥，解得2x ≥−故选：B .【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．6. 不等式组2201x x +≥ −>−的解集在数轴上表示为（ ） A.B. C. D..【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．【详解】2201x x +≥ −>− ①②，解①得，1x ≥−，解②得，1x <，在数轴上表示为：故选B ．7. 如图，线段CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ，若AB 长为16，OE 长为6，则O 半径是（）A. 5B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】【分析】连接OB ，由垂径定理可得8BE AE ==，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接OB ，∵线段CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ，16AB =， ∴1116822BE AE AB ===×=，∴在Rt OBE中，可有10OB =，∴O 半径是10．故选：D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．8. 已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的面积是（ ）A. 15πB. 10πC. 5πD. 2.5π【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了扇形的面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式．根据扇形面积计算公式：设圆心角是n ，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S =扇形2360n R π进行计算即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为150°，半径是6， ∴2150615360S ×==扇形ππ． 故选：A ．9. 在同一平面内，点P 到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（ ）A 2B. 5C. 1D. 5或1【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：①当点P 在圆外时；②当点P 在圆内时，分别求解即可得到答案．【详解】解：分两种情况讨论：①如图1，当点P 在圆外时，此时6PA =，4PB =， ∴此圆的半径为6412−=； ②如图2，当点P 在圆内时，此时6PA =，4PB =， ∴此圆的半径为6452+=； 综上可知，此圆的半径为1或5，故选：D ．.【点睛】本题考查了求一点到圆上点距离的最值，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．10. 如图所示是抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①<0a b c −+；②30a c +>；③24()b a c n =−；④一元二次方程220ax bx c n ++−−=没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】 x 轴的另一个交点在点(1,0)−和(2,0)−之间，再根据开口方向可判断①；根据对称轴可得2b a =−，当=1x −时，3y a c =+，可判断②；令21y ax bx c n =++-，根据原函数的顶点坐标为(1,)n ，可得1y 的顶点坐标为：()1,0，进而可得方程20ax bx c n ++−=有两个相等的实数根，可判断③；由1y 的顶点坐标为：()1,0及开口方向可得222y ax bx c n =++--与x 轴没有交点，进而可得判断④；熟练掌握函数的图象及性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．【详解】解：由图象可得：抛物线对称轴为直线1x =，抛物线的开口向下，抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(1,0)−和(2,0)−之间，∴当=1x −时，0y a b c =−+>，故①错误；抛物线对称轴为直线12b x a=−=， 2b a ∴=−，22y ax ax c ∴=−+，当=1x −时，()2130y a a c a c =-⨯-+=+>，故②正确；令21y ax bx c n =++-，抛物线顶点坐标为(1,)n ， 21y ax bx c n ∴=++-的顶点坐标为：()1,0，则方程20ax bx c n ++−=有两个相等的实数根，24()0b a c n ∴∆=--=，()24b a c n ∴=−，故③正确；21y ax bx c n =++- 的顶点坐标为()1,0，且开口向下，222y ax bx c n ∴=++--与x 轴没有交点，∴一元二次方程220ax bx c n ++−−=没有实数根，故④正确，则正确的个数有3个，故选C ．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 已知(),3M a 和()4,N b −关于原点对称，则a b +=________． 【答案】1【解析】【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点(),P x y 关于原点O 的对称点是(),P x y ′−−．【详解】解：(),3M a 和()4,N b −关于原点对称，4a ∴=，3b =−，则431a b +=−=．故答案为：1．12. 在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______． 【答案】710##0.7 【解析】【分析】利用概率公式进行计算即可．【详解】解：从袋中任意摸出一个球有7310+=种等可能的结果，其中从袋中任意摸出一个球是红球的结果有7种， ∴710P = 故答案为：710． 【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．13. 一元二次方程2230x mx −+=的一根为3，则另一根为______． 【答案】12【解析】 【分析】根据根与系数的关系：12c x x a=求解即可． 2x ， 根据根与系数的关系得2332x =， 解得212x =， 所以这个方程的另一个根是12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于c a是解题的关键． 14. 如图，在O 中，弦2BC =，点A 是圆上一点，且30BAC ∠=°，则O 的半径是________．【答案】2【解析】【分析】连接OB ，OC ，先由圆周角定理求出BOC ∠度数，再由OB OC =判断出BOC 是等边三角形，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵30BAC ∠=°，∴260BOC BAC ∠=∠=°， ∵OB OC =，∴BOC 是等边三角形，∴2OB BC ==．故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．15. 如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△CDE ，若点A 恰好在ED 的延长线上，若∠ABC ＝110°，则∠ADC 的度数为 _____．【答案】70°##70度【解析】【分析】根据旋转的性质可得EDC ABC ∠=∠，进而根据邻补角的意义，即可求得∠ADC 的度数【详解】解：将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△CDE ，若点A 恰好在ED 的延长线上，∴EDC ABC ∠=∠=110°18011070ADC ∴∠=°−°=°故答案为：70°【点睛】本题考查了旋转的性质，邻补角的意义，掌握旋转的性质是解题的关键．的16. 如图，二次函数2y ax bx c ++的图象与x 轴交于(−2，0)和(4，0)两点，当函数值y>0时，自变量x 的取值范围是________【答案】-2＜x ＜4【解析】【分析】求函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围，就是求当函数图象在x 轴上方时，对应的x 的取值范围．【详解】解：由图象可知：当函数值y>0时，自变量x 的取值范围是-2＜x ＜4故答案为：-2＜x ＜4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围，就是求当函数图象在x 轴上方时，对应的x 的取值范围是关键，体现了数形结合思想．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：20125− −−+．【答案】26【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，化简绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．【详解】解：2015− −−+251=−++ 26=．18. 先化简，再求值2211121x x x x x − −÷ +−+，其中5x =．【答案】11x x −+，23【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 【详解】解：原式()211(1)11x x x x x +−−⋅+−， 11x x −=+ 当5x =时，原式4263==． 19. 如图，在平面直角坐标系内，ABC 三个顶点的坐标分别为(1,2)A −，(4,1)B −，(3,3)C −（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．（1）以坐标原点O 为旋转中心，将ABC 逆时针炭转90°，得到111A B C △，请画出111A B C △，写出1A 点的坐标；（2）求点C 到点1C 经过的路径．【答案】（1）图见解析，1A 点的坐标为(2,1)（2π 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质即可以坐标原点O 为旋转中心，将ABC 逆时针炭转90°，得到111A B C △，进而可以写出1A 点的坐标；（2）根据弧长公式即可求点C 到点1C 经过的路径．【小问1详解】如图，111A B C △即为所求，1A 点的坐标为(2,1)；【小问2详解】∵OC ，190COC ∠=°， ∴点C 到点1C=． 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义及性质及弧长公式．20. 2022年虎年新春，中国女足3:2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；（2）扇形统计图中“羽毛球”对应扇形的圆心角度数是______；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？的【答案】（1）100，图见解析（2）36°（3）1 6【解析】【分析】（1）根据篮球的人数和占所占的百分比求出总人数，用总人数减去其它项目的人数，即可求出足球的人数，从而补全统计图；（2）用“羽毛球”的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数的值；（3）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和同时选中甲和乙的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：根据题意得本次被调查的学生人数3030%100=÷=（人），喜爱足球的人数为：100302010535−−−−=（人），条形图如图所示，故答案为：100；【小问2详解】解：“羽毛球”人数所占比例为：10100=10%÷，所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数36010%=36=°×°，故答案为：36°；【小问3详解】解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，∴P （A 、B 两人进行比赛）21126==． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线24y ax bx +−过点()3,4−，与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，点A 的坐标为()1,0−．（1（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作y 轴平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为234y x x =−−，对称轴为直线32x =（2）当点P 的坐标为()2,6−时，线段PQ 的最大值是4【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由抛物线的对称性求得B 点的坐标，由解析式求得C 点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的解析式为4y x =−，设(P x ，234)(04)x x x −−<<，则(,4)Q x x −，即可得出()()2243424PQ x x x x =−−−−=−−+，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】把()3,4−，()1,0−代入24y ax bx +−得：9344,40,a b a b +−=− −−= 解得1,,3a b = =− ∴抛物线的表达式为234y x x =−−， 对称轴为直线32x =． 【小问2详解】令2340x x −−=，则=1x −或4， ()4,0B ∴．()4,0B ，()0,4C −∴直线BC 的表达式为4BC y x =−．设()2,34P x x x −−，04x <<， PQ y ∥ 轴，(),4Q x x ∴−，()224344PQ x x x x x ∴=−−−−=−+，开口向下，对称轴为直线2x =· ∴当2x =时，max 4PQ =，此时)2,6P −∴当点P 的坐标为()2,6−时，线段PQ 的最大值是4．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质，待定系数法是解题的关键．22. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完．要使总利润不少于6180元，有多少种进货方案？其中利润最大的方案是甲型头盔和乙型头盔各多少个？最大利润是多少？【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元（2）该商场有5种采购方案，购进甲型头盔80个、购进乙型头盔120个时利润最大，最大利润为6200元．【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．（1）设购进1个甲型头盔需要x 元，1个乙型头盔需要y 元，根据“购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元”，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m 个甲型头盔，则购进200m −（）个乙型头盔，根据“进货总费用不超过10200元，且全部售出后获得的总利润不少于6180元”，可列出关于m 的一元一次不等式组，解之可得出m 的取值范围，结合m 为正整数，可得出该商场共有5种进货方案，再求出选择各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．【小问1详解】设购进1个甲型头盔需要x 元，购进1个乙型头盔需要y 元．根据题意，得86630,68700,x y x y += +=解得30,65,x y = =答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元．【小问2详解】设购进甲型头盔m 个，则购进乙型头盔(200)m −个．根据题意，得()()()()306520010200,583098652006180,m m m m +−≤ −+−−≥解得：8084m ≤≤．m 为整数，m ∴可取80、81、82、83、84共5个，所以该商场有5种采购方案．设总利润为W 元，则()283320056600W m m m =+−=−+． 50−< ，W ∴随m 的增大而减小，∴当80m =时，max 6200W =元．答：该商场有5种采购方案，购进甲型头盔80个、购进乙型头盔120个时利润最大，最大利润为6200元．23. 如图，AB 是半圆O 的直径，D 为半圆O 上的点（不与A ，B 重合），连接AD ，点C 为 BD的中点，的过点C 作CF AD ⊥，交AD 的延长线于点F ，连接AC ．（1）求证：FC 是半圆O 的切线；（2）若3AF =，AC =O 的半径及阴影部分的面积．【答案】（1）见解析 （2）半圆O 的半径为223π− 【解析】 【分析】（1）连接OC ，如图，根据点C 为 BD 的中点，则 CD CB =，故DAC CAB ∠=∠，根据OA OC =，由此可证∥OC AF ，根据CF AD ⊥，可得CF OC ⊥，又因为OC 为半圆O 的半径，则可得FC 是半圆O 的切线；（2）连接OD ，BC ，先求出梯形AOCF ，三角形AOD ,扇形ODC 的面积，再根据割补法求出阴影部分面积即可．【小问1详解】证明：连接OC ，如图，点C 为 BD的中点， CD CB∴=， DAC CAB ∴∠=∠，又OA OC = ，CAB ACO ∴∠=∠DAC ACO ∴∠=∠OC AF ∴∥，又CF AD ⊥ ，CF OC ∴⊥，又OC 为半圆O 的半径，FC ∴是半圆O 的切线．【小问2详解】解：连接OD ，BC ，CF AF ⊥90AFC ∴∠=°，CF ∴=，2AC CF ∴=，30CAF CAB ∴∠=°=∠，AB 为半圆O 的直径，90ACB ∴∠=°，2AB BC ∴=AC ∴==，2BC ∴=，4AB =，∴半圆O 的半径为2．30CAF ∠=° ，60DOC COB ∴∠=∠=°60DOA ∴∠=°，OD OA = ，DOA ∴△是等边三角形，OC AF ∥ ，()221602223223603AOD AOCF ODC S S S S ππ×∴=−−=×+−−阴梯扇形△． 【点睛】本题考查三角形与圆形点的综合问题，三角形的切线定理，圆周角定理，勾股定理，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．24. 新定义：已知y 是x 的函数，若函数图象上存在一点(,2)P a a +．则称点P 为函数图象上的“朴实点”．例如：直线21y x =+上存在的“朴实点”是(1,3)P ． （1）判断直线143y x =+上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；（2）若抛物线232y x x k =++−上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为，求k 的值；（3）若二次函数21(1)2228y x m t x n t =+−+++−的图象上存在唯一的“朴实点”，且当23m −≤≤时，n 的最小值为4t +，求t 的值．【答案】（1）直线143y x =+上有“朴实点”，是(3,5) （2）0k =（3）t 的值为7或1−【解析】 【分析】（1）将点P 的坐标代入函数表达式得：1243a a +=+，即可求解； （2）由题意得方程2322x x k x ++−=+有两个根，即方程220x x k +−=有两个根，可得1k >−，且1x =−，可知1P ，2P 的坐标，再根据两点之间的距离为（3）点P 是二次函数的图象上的朴实点，则()21122228x m t x n t x +−+++−=+，由Δ0=，得到2()2n m t t =−−+，该函数图象开口向上，对称轴为直线m t =，再分①当对称轴是直线3m t =≥时，②当对称轴是2m t ≤−时，③当对称轴是23m t −<=<时，三种情况讨论求解即可．【小问1详解】解：有，理由：将点P 的坐标代入函数表达式得：1243a a +=+， 解得：3a =， 即直线143y x =+上有“朴实点”，是(3,5)； 【小问2详解】由题意得方程2322x x k x ++−=+有两个根，即方程220x x k +−=有两个根，Δ440k ∴=+>，1k ∴>−，且1x =−1(1P ∴−++，2(1P−，两个“朴实点”之间的距离为，((((2221111 ∴−−−+−= ，解得：0k =．【小问3详解】二次函数()2112228y x m t x n t =+−+++−的图象上存在唯一的“朴实点”， ∴二次方程()21122228x m t x n t x +−+++−=+有两个相同的根， 变形为()2122408x m t x n t +−++−=， ()21Δ()422408m t n t ∴=−−××+−=， 2()2n m t t ∴=−−+，该函数图象开口向上，对称轴为直线m t =，①当对称轴是直线3m t =≥时，函数在3m =时，取得最小值4t +，即：2(3)24n t t t =−−+=+，解得：17t =，21t =（舍去）； ②当对称轴是2m t ≤−时，函数在2m =−时，取得最小值4t +，即：2(2)24n t t t =−−−+=+，2(1)1t ∴+=−，此方程无解；③当对称轴是23m t −<=<时，函数在m t =时，取得最小值4t +，即：2()24n t t t t =−−+=+，解得：1t =−．综上所述，t 的值为7或1−．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图像上点的坐标特征，两点间距离公式，解一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，属于新定义类题目，需要理解新定义，按要求逐步求解，该题涉及的字母多，一定要思路清晰，分清字母代表的含义细心求解．25. 如图，ABC 内接于O ，AC BC =，弦CD 与AB 交于点E ， AB CD =，过点A 作AF BC ⊥于点F ．（1）判断ABC ∠与ABD ∠的大小关系，并说明理由；（2）求证：2AC CF BD =+；（3）若CFA CBD S S =△△，求AF BD的值． 【答案】（1）ABC ABD ∠=∠，理由见解析（2）见解析 （3）AF BD= 【解析】【分析】（1）由 AB CD =判断出ABD BAC ∠=∠，再判断出BAC ABC ∠=∠，即可得出结论； （2）过点C 作CH DB ⊥交DB 的延长线于H ，先判断90AFC CHB ∠=∠=°，再判断出ACF CBH ∠=∠，进而判断出ACF CBH ≌，得出,CF BH AF CH ==，再判断出Rt ABF Rt CDH ≌，判断出DH BF =，即可得出结论；（3）过点C 作CH DB ⊥交DB 的延长线于H ，由CFA CBD S S =△△，判断出=CF BD ，设BD x =，则CF x =，得出3AC x =，根据勾股定理得，AF =，即可得出结论．【小问1详解】解：ABC ABD ∠=∠；理由：,AB CD= ∴AAAA ⌢+BBAA ⌢=BBBB ⌢+BBAA ⌢, ,AD BC∴= ,ABD BAC ∴∠=∠,AC BC =,BAC ABC ∴∠=∠;ABC ABD ∴∠=∠【小问2详解】证明：过点C 作CH DB ⊥交DB 的延长线于H ，∵AF BC ⊥，∴90AFC CHB ∠=∠=°，∵AC BC =，∴BAC ABC ∠=∠， ∴1801802ACF BAC ABC ABC ∠=°−∠−∠=°−∠，由（1）知，ABC ABD ∠=∠，1801802,CBH ABD ABC ∴∠=°−∠=°−∠,ACF CBH ∴∠=∠,AC BC =∴()ACF CBH AAS ≌，,,CF BH AF CH ∴==,AB CD = ,AB CD ∴=∴()Rt ABF Rt CDH HL ≌，,DH BF ∴=AC BC CF BF CF ∴==+=2DH CF BD BH CF BD CF CF BD +=++=++=+，即2AC CF BD =+；【小问3详解】过点C 作CH DB ⊥交DB 的延长线于H ，,CFA CBD S S =11,22AF CF BD CH ∴⋅=⋅ 由（2）知，AF CH =，,CF BD ∴=设,BD x =则,CF x =23,AC CF BD x ∴+根据勾股定理得，AF =,=AF BD ∴= 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆中弧、弦、圆心角之间关系，全等三角形的判定和性质，常见全等三角形判定方法：“,,,,SSS SAS AAS ASA HL ”，三角形的面积公式，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．。
湖南省长沙市明德教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷24-25学年第一学期时量：120分钟 满分：120分一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.近年来，新能源行业迎来了爆发式增长，新能源不仅环保，而且发展潜力巨大.下列能源产业图标中，是中心对称图形的是（ ）.A. B. C. D.2.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）.A. B. C. D.3.图形经过旋转变换后所具有的性质是（ ）.A.形状不变，大小改变B.大小不变，形状改变C.形状和大小都不变D.形状和大小都改变4.如图，绕点A 逆时针旋转60°得到，若，则（）.A.90° B.100° C.110° D.120°5.已知二次函数解析式为，则抛物线的顶点坐标是（ ）.A. B. C. D.6.如图，在中，，则的度数为（ ）.A.130°B.135°C.140°D.150°7.下列函数关系中，是二次函数的是（ ）.A.生产100吨钢材，工作效率x 和工作时间y 之间的关系B.当速度为100km/h 时，汽车行驶的距离s 与时间t 之间的关系C.长方形的周长一定时，长方形的长y 与宽x之间的关系y x =22310x x -+=258x +=1x x=ABC △ADE △10CAD ∠=︒E BA ∠=()2419y x =++()1,9-()1,9()1,9--()9,1-O 70BAC ∠=︒BOC ∠D.圆的面积s 与半径r 之间的关系8.已知一正多边形的一个外角等于72°，则该正多边形的中心角等于（）.A.144° B.120° C.108° D.72°9.关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是（）.A.且 B. C.且 D.10.已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（）.A.若直线与函数图象至少有3个公共点，则m 的取值范围是B.图象与坐标轴的交点为和C.当或时，函数值y 随x 值的增大而减小D.当时，函数有最大值是4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.若是方程的根，则______.12.若点与点关于原点对称，则______.13.已知的半径为5，若点P 在外，则OP _______5（填“＞”、“<”、“=”）.14.如图，抛物线与直线交于和两点，则不等式的解集是______.15.如图，AB 、BC 、CD 、DA 都是的切线，，，则______.16.学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的2410kx x -+=4k <0k ≠4k ≤4k ≤0k ≠4k ≤-223y x x =--y m =04m <<()1,0-()3,01x <-13x <<1x =2x =20x a -=a =(),3A m ()2,3B n -mn =O O 2y ax c =+y kx b =+()1,A m -()4,B n 20ax c kx b +--<O 8BC =6CD =AB AD -=物体离地面的高度h （单位：m ）满足关系式，其中t （单位：s ）是物体运动的时间，（单位：m/s ）是物体被发射时的初始速度.若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为21m 时，t 的值为______s.三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.解下列方程：（1）（2）18.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径.19.已知二次函数的图象关于y 轴对称，且经过点和点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该抛物线与x 轴的交点坐标.20.如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.（1）绕点O 旋转180°后得到，则点的坐标为______，点的坐标为______；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出绕点A 逆时针旋转90°后得到的；（3）在第（2）问的条件下，计算点C 的运动轨迹的长度.21.已知关于x 的一元二次方程.（1）求证：无论m 取何值，此方程总有实数根；（2）若方程有两个实数根，，且，求m 的值.22.美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.长沙市近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加.该市某城区2023年底时绿化面积约为10万亩，计划到202520h t v t =-+0v 010m/s v =20x x -=2430x x -+=6m AE =4m CD =()1,3A -()3,5B ABC △()1,2A -()3,4B -()2,6C -ABC △111A B C △1A 1B ABC △222A B C △()2440x m x m +++=1x 2x 12128x x x x ++=年底时绿化面积达到14.4万亩.若每年的年平均增长率相同，试解决下列问题：（1）求该城区绿化面积的年平均增长率；（2）按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到17万亩，请通过计算说明该目标能否实现.23.如图，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，点D 在弧AC 上，点P 为线段AB 延长线上一点，连接AC 、BD 、CD 、BC 、PC ，已知.（1）求证：PC 为半圆O 的切线；（2）若四边形CDBP 为平行四边形，求的度数.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知的半径为2，且与y 轴、x 轴的正半轴分别交于点A 、B ，点P 是该坐标平面内一点，给出如下的定义：①若在上存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称点P 为的“集团点”；②若点P （点P 不在直线AB 上）关于直线AB 的对称点在上或其内部，则称点P 为的“明德点”；③若点P 同时满足条件①②，则称点P 为的“明德集团点”.（备用图）（1）在点，，中，的“明德集团点”是______；（2）若点P 是的“集团点”，点P 所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积：当点P 在直线上时，求点P 的纵坐标的取值范围；（3）若点P 是的“明德点”，且，求点P 的横坐标的最大值.25.已知二次函数（b ，c 是常数）.D PCB ∠=∠D ∠O O O O P 'O O O ()11,0P ()21,2P ()32,4P O Oy x =O 90APB ∠=︒23y x bx c =++（1）当是二次函数图象上的点时，求代数式的值；（2）若二次函数的表达式可以写成（h 是常数）的形式，求的最大值；（3）若二次函数的表达式可以写成（m 是常数，且）的形式，该函数图象与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），已知点D 、点E 都是该抛物线对称轴上的点，点D 位于第一象限，且，点F 是点O 关于该抛物线的对称轴对称的点，连接FD 并延长交y 轴于点G ，连接BG .当的周长的最小值等于时，求此时m 的值.()3,2A -23y x bx c =++24381b c -23y x bx c =++()232y x h =--b c -23y x bx c =++()()31y x x m =--10m -<<90ODC ∠=︒BEG △94九年级期中考试参考答案数学试卷24-25学年第一学期1-5 BBCCA 6-10 CDDCC11.4； 12.； 13.> 14.； 15.2； 16.3或717.解：（1） ，，（2），，，18.解：OE 为高，且OE 过圆心，OE 平分CD ，又，.设圆的半径是x 米，则，在中，，即：，解得：即此门洞的半径OC的长度是米.19.（1）解：设这个二次函数的解析式为把分别代入中得：解得，，这个二次函数的解析式为（2）解：当时，，解得或这个二次函数与x 轴的交点为和20.（1）、（2）2-14x -<<20x x -= ()10x x ∴-=10x ∴=21x =2430x x -+= ()()130x x ∴--=11x ∴=23x = ∴4CD = 2CE ∴=OE AE x =-Rt OEC △222OC OE CE =+()22226x x =+-103x =1032y ax c=+()1,3A -()3,5B 2y ax c =+3,95,a c a c +=-⎧⎨+=⎩1a =4c =-∴24y x =-0y =240x -=2x =2-∴()2,0-()2,0()11,2A -()13,4B -（3）弧长21.解：（1）恒成立，此方程总有实数根（2）根据韦达定理得：，，有：解得：22.（1）解：设年平均增长率为x ，依题意得：，解得： 答：绿化面积的平均增长率为20%；（2）解：2026年的绿化面积为万亩，该目标能实现.23.（1）如图，连接OC ， AB 是圆O 的直径 PC 为半圆O 的切线（2）四边形CDBP 是平行四边形 设为 又，且 即为30°24.解：（1）由点P 是的“集团点”得：点P 在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内，即.，，，是的“集团点”根据对称性，由点P 是的“明德点”得点P 必在关于直线AB 的对称圆上或其内部（不含A 、B 两点），，只有是的“明德集团点”，故答案为：；AC = ∴2180n r CC π===()()2222441681640b ac m m m m m ∆=-=+-=-+=-≥ ∴()124x x m +=-+124x x m =()448m m -++=4m =()210114.4x +=10.2x =2 2.2x =-()14.410.217.28+=17.2817> ∴BC BC = 弧弧D A ∴∠=∠OA OC= A ACO ∴∠=∠D ACO∴∠=∠D PCB ∠=∠ ACO PCB∴∠=∠ 90ACB ∴∠=︒90ACO OCB ∴∠+∠=︒90OCB PCB∴∠+∠=︒90OCP ∴∠=︒∴ D BPC ∴∠=∠A D BPC PCB∴∠=∠=∠=∠D ∠x ︒180A ACB BCP BPC ∠+∠+∠+∠=︒90ACB ∠=︒390180x ∴+︒=︒30x ∴=︒D ∠O 13OP ≤≤11OP = 2OP=33OP =>1P ∴2P O O O O ' 2O P '∴≤12O P '=> 212O P '=<∴2P O 2P（2）“集团辐射区域”为以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内部区域点P 在直线上设，令，解得：令，解得：点P 的纵坐标的取值范围为：（3）取AB 中点为H ，连接DH ，，，点P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆上 又点P 是的“明德点”点P 位于AB 上方的半圆上运动（不包括端点A 、B ），当过点P 作平行于y 轴的切线时，即轴时，点P 横坐标最大，点P 的横坐标的最大值为故答案为：.25.解：（1）把代入，得：，即 22318S πππ∴=⨯-⨯= y x =∴,P y y ⎫⎪⎪⎭1OP =y =3OP =y =∴y ≤≤y ≤≤90APB ∠=︒ HP HA HB ∴==∴ O ∴H ∴H //PH x ∴112P H H x x PH x AB =+=+=+1+()3,2A -23y x bx c =++2732b c -+=325b c -=()243818132025b c b c ∴-=-=（2）把化成一般式得，.，..把的值看作是h 的二次函数，则该二次函数开口向下，有最大值，当时，的最大值是5.（3）由题意得：、，抛物线对称轴为直线，则设点，由得：从而得：又由对称轴垂直平分线段OF ，且平行于y 轴，则由三角形中位线逆定理得：在中，，点C 是点B 关于函数对称轴的对称点，连接CG 交对称轴于点E ，即C 、E 、G 三点共线时，则点E 即为所求点.理由是：，即则，解得，故()232y x h =--223632y x hx h =-+-6b h ∴=-232c h =-()22362315b c h h h ∴-=--+=-++b c -∴1h =-b c -(),0B m ()1,0C 12m x +=()1,0F m +m 1,2D y +⎛⎫ ⎪⎝⎭90ODC ∠=︒1OD CD k k ⋅=-12m D ⎛+ ⎝(G Rt BOG △2222211BG BO OG m m =+=+-= BE CE∴=11BEG BG GE BE GE CE CG =++=++≥+的周长△914CG +=2222291114CG OC OG m ⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭m =10m -<<m =。
2022-2023学年湖南省长沙一中集团九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年湖南省长沙一中集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 电影《万里归途》从宏观主义和细微的情怀方面揭示了反对战争和热爱和平的主题．影片用相当篇幅细致地刻画了我国外交人员的工作内容、职业精神以及面临的困境，让人真切感受，赢得观众的钦佩．根据相关数据显示，截至10月7日9点44分，《万里归途》以954000000的票房位居国庆档第一．其中，数字954000000用科学记数法表示为( )A. 954×106B. 9.54×107C. 9.54×108D. 9.54×1092. 把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是( )A. B. C. D.3. 已知一元二次方程x2−4x−m=0有一个根为3，则m值为( )A. −3B. 2C. −2D. 34. 2022年国庆期间长沙市在外省来长人员中发现2例新冠病毒无症状感染者，长沙市某医院紧急抽调20位90后医护人员积极参与社区志愿者工作，充分展示了新时代青年的责任担当，这20位志愿者的年龄统计如表，则他们年龄的中位数是( )年龄(岁)2425262728人数25832A. 8B. 25C. 26D. 275. 已知P1(−3,y1)，P2(2,y2)是一次函数y=2x+k的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是( )A. y1>y2B. y1<y2C. y1=y2D. 不能确定6. 如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC=30°，则∠BDC=( )A. 30°B. 60°C. 50°D. 70°7. 关于二次函数y=−12(x−1)2+5，下列说法正确的是( )A. 函数的图象开口向上B. 该函数有最大值，最大值是5C. 函数图象的顶点坐标是(−1,5)D. 当x>1时，y随x的增大而增大8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于( )A. 1B. √3C. 32D. 3√329. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作一个三角形，则该三角形是( )A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形10. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB 于点C、D，若△PCD的周长为18，则PA的长度为( )A. 7B. 9C. 12D. 14二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 在平面直角坐标系中，点P(1,−2)关于原点对称的点的坐标为______ ．12. 大课间以轩轩为首的学习小组的几名同学在观察某个一次函数图象，轩轩说：“函数图象经过点(0,1)”蓓蓓说：“y随x的增大而增大”凡凡说：“函数图象不经过第四象限”.请你根据他们的叙述，写出一个满足上述性质的一次函数表达式______．13. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD 于点E，ED=4，AB=16，则直径CD的长是______．14. 将抛物线y=−2(x+2)2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为______．15. 自党的十六届五中全会以来，国家大力倡导建设资源节约型和环境友好型的“两型社会”，建设节约型社会的核心是节约资源，作为中学生，我们可以从“变废为宝”做起．数学老师发现家里有一块直径是40厘米的圆形废纸(如图所示)，老师打算在这个废纸上剪出一个圆心角为90°的最大扇形用来制作教具，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______厘米．16. 素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”.几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见．现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形(可以作辅助线)能证明勾股定理的网友是______(填写数字序号即可)．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
湘教版九年级上册数学期中考试试卷含答案解析
湘教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列函数：①y ＝2x ，②y ＝15x，③y ＝x ﹣1，④y ＝11x +．其中，是反比例函数的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，则下列各式正确的是（）A ．AC ABBC AC =B ．BC ACAB BC =C ．AC ABAB BC=D ．BC ACAB AB=3．若250y x -=，则x y ：等于（）A ．2：5B ．4：25C ．5：2D ．25：44．若反比例函数y=1k x-的图象位于第二、四象限，则k 的取值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．以上都不是5．已知sin =αα是锐角，则α∠的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．关于反比例函数y ＝2x的图象，下列说法正确的是（）A ．图象经过点（1，1）B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小C ．图象的两个分支关于x 轴成轴对称D ．图象的两个分支分布在第二、四象限7．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AP ABAB AC=D ．AB ACBP CB=8．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)9．如图，双曲线y=kx与直线y=﹣12x交于A、B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（12，﹣1）D．（﹣1，12）10．关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝kx(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是()A．B．C．D．11．反比例函数y＝6x与y＝3x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）A．32B．2C．3D．112．若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值是（）A．m＝﹣1B．m＝1C．m＝﹣1或m＝1D．m＝﹣2或m＝2二、填空题13．若反比例函数y＝kx的图象经过点(－1，2)，则k的值是________．14．（1）在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝12，则cos B＝_____；（2）已知α为锐角，且cos（90°﹣α）＝12，则a＝_____；（3（α+10°）＝1，则锐角a＝_____．15．在△ABC中，若2sin cos02A B⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为_______.16．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米．17．如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是________（请用“＜”表示出来）18．在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是______．三、解答题19．计算（1）0112()2-++（2）cos45sin301cos60tan452︒︒︒︒-+．20．如图，O是CD的中点．以O为位似中心，用直尺和圆规作四边形ABCD的一个位似图形，使四边形ABCD的边长放大到原来的2倍．（保留作图痕迹，不必写出作法）21．以点O为位似中心，作出四边形ABCD的位似图形，使得所作图形与原图形的位似比为2：1．22．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（1）已知a＝6，b＝3（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形（3）已知sin A＝12，c＝6，解这个直角三角形．23．如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B′(6,2).(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：①若点A(52,3),则A′的坐标为______；②△ABC与△A′B′C′的相似比为______；(2)若△ABC的面积为m,求△A′B′C′的面积.(用含m的代数式表示)24．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝AD 的长．25．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与周长．26．如图，已知反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出y 2＞y 1时自变量x 的取值范围．27．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 是安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪AB 的高为1.5米，求拉线CE ，结果精确到0.1米）28．如图，一次函数5y kx =+（k 为常数，且0k ≠）的图像与反比例函数8y x=-的图像交于()2,A b -，B 两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB 向下平移(0)m m >个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求m 的值.参考答案1．C 【解析】此题应根据反比例函数的定义，解析式符合()0ky k x=≠的形式为反比例函数．【详解】解：①是正比例函数，故A 选项错误；②是反比例函数，故B 选项正确；③是反比例函数，故C 选项正确；④y 是x+1的反比例函数，故D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般()0ky k x=≠转化为y=kx -1（k≠0）的形式．2．B 【分析】根据黄金分割性质即可解题.【详解】∵点C 是线段AB 的黄金分割点，由图可知,AC 为较短边,∴BC ACAB BC=故选B 【点睛】本题考查了黄金分割的性质,属于简答题,熟悉黄金分割的性质是解题关键.3．A 【详解】∵250y x -=，∴25y x =，∴:2:5=x y ．故选A ．4．A 【详解】∵反比例函数y=1k x-的图象位于第二、四象限，∴k﹣1＜0，即k＜1．故选A．5．C【分析】根据60°角的正弦值等于2解答．【详解】解：∵sinα=α是锐角，∴α=60°，故选C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，是需要熟记的知识点．6．B【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积=k可得A错误；根据反比例函数y=k x（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得B正确、D错误；根据反比例函数图象关于原点成中心对称可得C 错误．【详解】解：A、1×1=1≠2，因此反比例函数y=2x的图象不过（1，1），故此选项错误；B、∵k=2＞0，∴在图象每一支上，y随x的增大而减小，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故此选项正确；C、图象的两个分支关于原点对称，故此选项错误；D、图象的两个分支分布在第一、三象限，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握（1）反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．7．D【详解】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当AP ABAB AC=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选D．考点：相似三角形的判定．8．A【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是1 3，∴OD DC OB AB=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．9．A【分析】利用待定系数法求出点A的坐标，再连立方程组求出点B的坐标即可判断．【详解】解：当x=﹣2时，y=1(2)2-⨯-=1，即A （﹣2，1），将A 点坐标代入k y x=，得k=﹣2×1=﹣2，反比例函数的解析式为2y x-=，联立双曲线、直线，得212y xy x -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1121x y =-⎧⎨=⎩，2221x y =⎧⎨=-⎩，B （2，﹣1）．故选A ．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．D 【详解】试题分析：当k ＞0时，函数y=kx的图像在一三象限，函数y=k （x+1）=kx+k 的图像经过一二三象限，所以选项A 、C 错误；当k ＜0时，函数y=kx的图像在二四象限，函数y=k （x+1）=kx+k 的图像经过二三四象限，所以选项B 错误，选项D 正确，故选D.考点：1.一次函数图像；2.反比例函数的图像.11．A 【分析】分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，由反比例函数系数k 的几何意义可知，S 四边形OEAC ＝6，S △AOE ＝3，S △BOC ＝32，再利用面积相减的关系求出答案.【详解】分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，∵由反比例函数系数k 的几何意义可知，S 四边形OEAC ＝6，S △AOE ＝3，S △BOC ＝32，∴S △AOB ＝S 四边形OEAC ﹣S △AOE ﹣S △BOC ＝6﹣3﹣32＝32．故选：A ．【点睛】此题考查反比例函数的系数k 的几何意义，根据函数图象作出对应的三角形或矩形，利用系数k 求出对应图象的面积是解题的关键.12．A【分析】令x 的指数为-1，系数不为0列式求值即可．【详解】解：由题意得：2110m m ⎧-=-⎨-≠⎩，解得m=-1，故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y ＝k x（k≠0），也可转化为y=kx -1（k≠0）的形式；注意不要忽略k≠0．13．-2【分析】由反比例函数k y x=可得=k xy ，将坐标(－1，2)代入即可得出答案.【详解】∵反比例函数y ＝k x 的图象经过点(－1，2)∴=12=2=-⨯-k xy 故答案为：2-.【点睛】本题考查求反比例函数系数，熟练掌握反比例函数上的点横纵坐标之积即为k是关键.14．1230°20°【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出即可；（2）根据特殊角的三角函数值求出90°-α的度数，即可求出答案；（3）求出tan（α+10°）=3，根据特殊角的三角函数值求出α+10°=30°，即可得出答案．【详解】解：（1）∵sinA=12，∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=60°，∴cosB=12．故答案为：12；（2）∵cos（90°-α）=12，∴90°-α=60°，∴α=30°．故答案为：30°；（3（α+10°）=1，∴tan（α+10°）∴α+10°=30°，∴α=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键．15．105°【分析】已知2sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，根据非负数的性质可得sin 0A =cos 0B =，即可得sin 2A =，cos 2B =．根据特殊角的三角函数值求得∠A 、∠B 的度数，再利用三角形的内角和定理求∠C 得度数即可.【详解】∵2sin cos 0A B ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，∴sin 02A -=，cos 02B -=即sin 2A =，cos 2B =．又∵∠A 、∠B 均为锐角，∴∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴∠C ＝105°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出sin 2A =，cos 2B =，解决问题时还要熟知特殊角的三角函数值．16．5【详解】根据题意，易得△MBA ∽△MCO ，根据相似三角形的性质可知AB AM OC OA AM =+，即1.6AM 820AM=+，解得AM=5．∴小明的影长为5米．17．y 2＜y 1＜y 3【分析】利用反比例函数的增减性可比较y 1、y 2，再利用函数值的正负可得出y 3为正数，可求得答案．【详解】∵y=k x （k ＞0），∴函数图象在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵A （-2，y 1），B （-1，y 2），∴y2＜y1＜0，∵C（2，y3），∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3，故答案为y2＜y1＜y3．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在y=kx中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大．18．（-2，1）或（2，-1）．【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．【详解】解：∵顶点E的坐标是（-4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△EFO缩小得到它的位似图形△E′F′O，∴点E′的坐标是：（12×（-4），12×2），[-12×（-4），-12×2]，即（-2，1）或（2，-1）．故答案为（-2，1）或（2，-1）．【点睛】本题考查位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k得出是解题的关键．19．（1）4-2；（2）1 22【分析】（1）先进行幂的计算，然后按照实数的混合运算顺序计算即可．（2）将特殊角的三角函数值代入，然后按照实数的混合运算顺序计算即可．【详解】解：（1）原式=4-2；（2）原式=122 1122+=122-【点睛】本题考查实数的运算能力．关键是熟记特殊角的三角函数值，并注意细心运算．20．见解析【分析】根据题意位似中心已知为O，则延长OD，OA，0B，OC，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点D'，A'，B'，C'，再顺次连接所作各点，即可得到放大一倍的图形四边形A'B'C'D'．【详解】解：如图所示．【点睛】本题主要考查了位似图的画法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．21．见解析【分析】根据画位似图形的一般步骤，画出图形即可．【详解】解：如图，连接DO延长DO到D′，使得OD′=2OD，连接AO，延长AO到A′，使得OA′=2OA，连接BO，延长BO到B′，使得OB′=2OB，连接CO，延长CO到C′，使得OC′=2OC，则四边形A′B′C′D′就是所1求作的四边形．【点睛】本题考查作图-位似图形，解题的关键是记住画位似图形的一般步骤，利用相似三角形的性质解决问题2倍关系，属于中考常考题型．22．（1）43c =（2）3a b ==，32c =（3）3a =，33b =【分析】（1）直角三角形中知两边，求第三边，运用勾股定理即可（2）45B ∠=︒，即a b =，6a b +=，即可知3a b ==．再运用勾股定理即可（3）1sin 2a A c ==，其中6c =，即可求解．【详解】解：依题意（1）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6a = ，23b =∴根据勾股定理222+=a b c 得，22226(23)43c a b +=+=43c ∴=；（2）45B ∠=︒ ，Rt ABC ∴ 为等腰直角三角形，6a b += ，3a b ∴==，∴根据勾股定理得，22223332c a b ++=∴32c =∴此三角形的三边分别为：a =，b =6c =；（3） 在ABC 中，90C ∠=︒，1sin 2a A c ∴==，6c = ，132a c ∴==，根据勾股定理得．b =，∴此三角形的三边分别为：3a =，b =6c =．【点睛】此题主要考查直角三角形勾股定理的运用，要掌握三角形“知二求三”的技巧，熟练运用勾股定理．23．（1）①（5，6），②1：2；（2）4m 【分析】（1）①观察点B 点和B′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A′的坐标（5，6）；②利用对应点坐标的变化即可得出相似比；（2）利用位似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案．【详解】解：（1）①∵△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，∵点B （3，1），B′（6，2），∴位似比为2，∴若点A （52，3），则A′的坐标（5，6）；②△ABC 与△A′B′C′的相似比为1：2；故答案为（5，6），1：2；（2）∵△ABC 与△A'B'C'的相似比为1：2∴ABC 1A'B'C'4S S = ，而△ABC 的面积为m ，∴△A′B′C′的面积=4m ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．24．6【分析】延长DA 交CB 的延长线于E ，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：延长DA 交CB 的延长线于E ，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90°，∵∠DAB=120°，∴∠EAB=60°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=24，∵∠D=90°，∴∠C=60°，∴CD=30，∴AD=DE-AE=6．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（1）见解析；（2）边长为1207cm ，周长为4807cm 【分析】（1）根据四边形EFGH 是正方形，得到//EH BC ，进而得出AEH B ∠=∠，AHE C ∠=∠，即可判定AEH ABC ∽△△；（2）设正方形EFGH 的边长为x ，则DM x =，30AM x =-，根据AEH ABC ∽△△，得出D EH BC AM A =，即304030x x -=，进而解得1207x =，即可得出正方形的边长与周长．【详解】解：（1） 四边形EFGH 是正方形，//EH BC ∴，AEH B ∠∠∴=，AHE C ∠=∠，AEH ABC ∴ ∽；（2）如图，设AD 与EH 交于点M ，90EFD FEM FDM ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形EFDM 是矩形，EF DM ∴=，设正方形EFGH 的边长为x ，则DM x =，30AM x =-，AEH ABC ∽，∴D EH BC AM A =，即304030x x -=，解得1207x =，∴正方形EFGH 的边长为1207cm ，周长为4807cm ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是运用相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比列方程求解．26．（1）反比例函数解析式为y 1＝4x，一次函数得到解析式为y 2＝x +3；（2）7.5；（3）当﹣4＜x ＜0或x ＞1时，y 2＞y 1【分析】（1）由题意把点A坐标代入反比例函数求出m的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）根据题意先求出直线与x轴的交点坐标，从而x轴把△AOB分成两个三角形，结合点A、B的纵坐标分别求出两个三角形的面积，进而相加即可；（3）根据函数的图象结合函数图象的性质进行分析求得即可．【详解】解：（1）点A（1，4）在反比例函数y1＝kx的图象上，∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的表达式为y1＝4 x，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y1＝4x的图象上，∴n＝44-＝﹣1，即B（﹣4，﹣1），把点A（1，4），点B（﹣4，﹣1）代入一次函数y2＝kx+b中，可得441k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得13kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的表达式为y2＝x+3；故反比例函数解析式为y1＝4x，一次函数得到解析式为y2＝x+3；（2）设直线与x轴的交点为C，在y2＝x+3中，当y＝0时，得x＝﹣3，∴直线y2＝x+3与x轴的交点为C（﹣3，0），∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，∴S△AOB ＝S△AOC+S△BOC＝12×3×4+12×3×1＝7.5；（3）从图象看，当﹣4＜x＜0或x＞1时，y2＞y1．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，注意掌握此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式．27．5.7米【分析】由题意可先过点A 作AH CD ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，可求出CH ，进而CD CH HD CH AB =+=+，再在Rt CED ∆中，求出CE 的长．【详解】解：过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ，由题意可知四边形ABDH 为矩形，30CAH ∠=︒，1.5AB DH ∴==，6BD AH ==，在Rt ACH ∆中，tan CH CAH AH∠=，tan CH AH CAH ∴=∠ ，·tan 6tan 306CH AH CAH ∴=∠=︒==（米)，1.5DH =Q ，1.5CD ∴=，在Rt CDE ∆中，60CED ∠=︒Q ，sin CD CED CE ∠=，4 5.7sin 60CD CE ∴==+︒（米)，答：拉线CE 的长约为5.7米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．28．（1）152y x =+；（2）1或9.【详解】试题分析：（1）把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，求得k 、b 的值，即可得一次函数的解析式；（2）直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝12x＋5－m，根据平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，把两个解析式联立得方程组，解方程组得一个一元二次方程，令△=0，即可求得m 的值.试题解析：(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得2582b kb=-+⎧⎪⎨-=⎪-⎩，解得412 bk=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以一次函数的表达式为y＝12x＋5.(2)将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝12x＋5－m.由8152yxy x m⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩得，12x2＋(5－m)x＋8＝0.Δ＝(5－m)2－4×12×8＝0，解得m＝1或9.点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．。
2022-2023学年湖南省长沙实验教育集团九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年湖南省长沙实验教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列是关于x的一元二次方程的是( )A. x2−1=2021 B. x(x+6)=0 C. a2x−5=0 D. 4x−x3=2x2. 二次函数y=x2−2x+3的一次项系数是( )A. 1B. 2C. −2D. 33. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为( )A. 4B. −4C. 3D. −34. 在平面直角坐标系中，点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称，则a+b的值为( )A. −3B. −1C. 1D. 35. 若x1，x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，则x1+x2的值是( )A. 2B. −2C. 3D. −36. 将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是( )A. y=2(x−1)2−5B. y=2(x+1)2−5C. y=2(x−1)2+5D. y=2(x+1)2+57. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是( )A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°8. 如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是( )A. 1B. 2C. 2.5D. 39. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是( )A. 35°B. 55°C. 60°D. 70°10. 若关于x的一元二次方程(m−1)x2+5x+(m−1)(m−3)=0的常数项为0，则m的值等于( )A. 1B. 3C. 1或3D. 0二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 二次函数y=−x2+2x−3图象的顶点坐标是______．12. 二次函数y=x2−2x−3的图象如图所示．当y<0时，自变量x的取值范围是______．13. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，若P是AB⏜上一点，则∠BPC=______°.14. 如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC =1，AB=1，∠BAC=90°，则AE的2长是______．15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠BAC=28°，则∠D=______°.16. 如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A(−4,0)，B(−2,0)，定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”.若抛物线y=2x2−nx−n2−1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 解方程：(1)x2−3x+1=0；(2)(x+3)(x−1)=5．四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。
湘教版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解
湘教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．反比例函数7y x=的图象分布在（）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限2．若()2223a a x --=是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（）A ．0B ．2C ．-2D ．±23．若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一坐标系中的大致图象可能是A ．B ．C ．D ．4．如右图：直线3y x =-+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象交于点C ，过点C 作CB ⊥x 轴于点B ，AO =3BO ，则反比例函数的表达式为()A ．4y x=B ．4y x=-C ．2y =D ．1y x=-5．若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=有一个根为0，则m 的值（）A ．0B ．1或2C ．1D ．26．一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0的一个根是x ＝1，则k 的值为（）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣37．如图，在宽度为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m 2，求道路的宽．如果设小路宽为xm ，根据题意，所列方程正确的是（）A．（20+x）（32﹣x）＝540B．（20﹣x）（32﹣x）＝100C．（20﹣x）（32﹣x）＝540D．（20+x）（32﹣x）＝5408．若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3B．1：9C．3：1D．139．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．10．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m二、填空题11．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为_______.12．若点A (-2，-2)在反比例函数ky x=的图象上，则当函数值y ≥-2时，自变量x 的取值范围是_________________13．一元二次方程x 2+5x +6=0的根是_______________14．若关于x 的一元二次方程x 2+2x +a =0有两个不同的实数根，则a 应满足的条件_________________15．如图，两个反比例函数4y x =和2y x=在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PA ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为_____．16．如图，点E 在线段AB 上，CA ⊥AB 于点A ，DB ⊥AB 于点B ，AC=1，AB=5，EB=2，点P 是射线BD 上的一个动点，则当BP=_____时，△CEA 与△EPB 相似．三、解答题17．解下列方程：(1)2x 2-x =0(2)x 2-4x =4(3)6x +9=2x 2(4)4y 2-4y -2=018．已知等腰三角形的一边长为3，它的其它两边长恰好是关于x 的一元二次方程x 2-8x+m=0的两个实数根，求m 的值.19．新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？20．如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由．21．如图，BD 、AC 相交于点P ，连接BC 、AD ，且∠1＝∠2，求证：△ADP ∽△BCP ．22．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且满足AB BC ACAD DE AE==，求证：△ABD ∽△ACE ．23．（1）如图，过反比例函数(0)ky x x=>图象上任意一点P （x ，y ），分别向x 轴与y 轴作垂线，垂线段分别为PA 、PB ，证明：OAPB S k =矩形，12OAP S k ∆=，12OPB S k ∆=．（2）如图，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，求k 的值．24．反比例函数ky x=在第一象限上有两点A ，B ．(1)如图1，AM ⊥y 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，求证：△AMO 的面积与△BNO 面积相等;(2)如图2，若点A(2,m),B(n,2)且△AOB 的面积为16，求k 值.参考答案1．B 【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数7y x=中，70k =>，∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．故选B ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．2．C 【详解】由题意得：222,20a a -=-≠，解得：a=-2.故选C.3．B 【分析】根据ab ＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两方面分类讨论得出答案．【详解】解：∵ab ＜0，∴分两种情况：（1）当a ＞0，b ＜0时，正比例函数y ax =的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a ＜0，b ＞0时，正比例函数y ax =的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B 符合．故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．4．B 【分析】先求出点A 的坐标，然后表示出AO 、BO 的长度，根据AO ＝3BO ，求出点C 的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．【详解】解：∵直线y＝−x＋3与y轴交于点A，∴A（0，3），即OA＝3，∵AO＝3BO，∴OB＝1，∴点C的横坐标为−1，∵点C在直线y＝−x＋3上，∴点C（−1，4），∴反比例函数的解析式为：4 yx =-．故选：B.【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．5．D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【详解】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．6．A【详解】将1x =代入方程230x kx +-=有130k +-=，解得2k =，故选A 7．C 【分析】设小路宽为x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x ）（20﹣x ）米2，进而即可列出方程，求出答案．【详解】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x 米，根据题意得：（20﹣x ）（32﹣x ）＝540．故选：C ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．8．B 【分析】由相似△ABC 与△DEF 的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC 与△DEF 的面积比．【详解】相似△ABC 与△DEF 的相似比为1：3∴△ABC 与△DEF 的面积比为1：9故答案为B 9．B 【详解】根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．故选B．10．B【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC．∴△EAB∽△EDC．∴CE CD BE AB=．又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴102020AB=，解得：AB＝40（m）．故选B．11．2 yx =-．【解析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|，又反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0．则由1=12|k|得k=－2．所以这个反比例函数的解析式是2 yx =-．12．x≤-2或x>0【分析】先将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值，然后画出函数图象，利用反比例函数的性质及数形结合的思想即可求出x的取值范围．．【详解】解：∵点A（−2，−2）在反比例函数kyx=的图象上，∴k＝（−2）×（−2）＝4，∴反比例函数的解析式为4y x=，其图象如图所示：由函数图象可知，在第一象限，函数值y 都是正数，所以x ＞0时，y≥−2；在第三象限，函数值y 随x 的增大而减小，所以x≤−2时，y≥−2，综上所述，函数值y≥−2时，自变量x 的取值范围是x≤−2或x ＞0．故答案为：x≤−2或x ＞0．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，以及由反比例函数值求自变量，本题关键在于要分两个象限求解x 的取值范围．13．122,3x x =-=-.【分析】把一元二次方程x 2+5x +6=0分解因式得到()()230x x ++=，进而推出20,30x x +=+=，求出方程的解即可.【详解】解：x 2+5x +6=0，分解因式得：()()230x x ++=，即：20,30x x +=+=，解方程得：122,3x x =-=-，故答案为：122,3x x =-=-.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法.14．a <1【分析】若一元二次方程x 2+2x +a =0有两个不同的实数根，则根的判别式240b ac =-> ，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不同的实数根，a ＝1，b ＝2，c ＝a ，∴2242410b ac a =-=-⨯⨯> ，解得：1a <，故答案为：1a <．【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根的判别式24b ac =-△：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．15．1．【解析】∵PA ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，∴S △POA =12×4=2，S △BOA =12×2=1，∴S △POB =S △POA ﹣S △BOA =2﹣1=1．16．23或6．【分析】先根据已知条件得出AE=3，再分△CAE ∽△PBE 和△CAE ∽△EBP 两种情况，利用相似三角形的对应边成比例分别求解可得．【详解】解：∵CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴∠A=∠B=90°，又∵AB=5，EB=2，∴AE=AB ﹣EB=3，①当△CAE ∽△PBE 时，CA AE PB BE =，即132PB =，解得：PB=23；②当△CAE ∽△EBP 时，CA AE BE BP =，即13=2BP，解得：BP=6；综上，当BP=23或6时，△CEA 与△EPB 相似．故答案为：23或6．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．17．(1)x1=0,x 2=12;(2)x 1,x 2;(3)12x x ==12y y ==【分析】（1）把方程左边提公因式分解因式可得()210x x -=，进而可得两个一元一次方程x =0或2x -1=0，再解即可；（2）方程两边同时加上4，可得（x -2）2=8，再开方即可；（3）首先移项6x +9=2x 2，然后将二次项系数化为1，配方可得(x －32)2＝274，再开方即可求；（4）先计算出b 2－4ac ，再利用求根公式即可解得.【详解】（1）解：2x 2-x =0，x (2x -1)=0，x =0或2x -1=0，则x 1=0,x 2=12.（2）解：方程两边同时+4，得x 2-4x +4=4+4，（x -2）2=8，根据平方根的意义，得x -2=±2∴x 1，x 2（3）移项，得2x 2－6x －9＝0.将二次项系数化为1，得x 2－3x －92＝0.配方，得x 2－3x ＋(32)2－(32)2－92＝0，(x －32)2＝274.根据平方根的意义，得x －32＝±2，∴x 1＝32+，x 2＝32-.（4）4y 2－4y －2＝0.∵a ＝4，b ＝－4，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－2)＝48，∴y ＝424±⨯＝12，∴y 1y 2【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．m=15或16.【分析】由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出m 的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断出的值是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出m 的值，再求出方程的两个根进行判断即可．【详解】因为三角形是等腰三角形，所以3可能是腰，或者两腰都是方程的根.分两种情况：①3是腰时，3是方程的一个根，代入得出m=15，此时另一根为5，三角形存在；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，即左边是完全平方公式，则m=16，此时两根都为4，三角形也存在，所以m=15或16.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．19．2750元．【详解】试题分析：设每台冰箱降价x 元，根据题目中的等量关系“每台冰箱的利润×销售的数量=总利润”可列方程（2900-x-2500）（8+4×）=5000，解得x 即可．试题解析：解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得（2900-x-2500）（8+4×）=5000解这个方程，得x1=x2=150定价=2900-150=2750（元）因此，每台冰箱的定价应为2750元．考点：一元二次方程的应用．20．经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．【解析】【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP＝2xcm，BQ＝4xcm，BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从BP BQBA BC=与BP BQBC BA=分析，即可求得答案．【详解】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当BP BQBA BC=，即824816x x-=时，△PBQ∽△ABC，解得：x＝2；②当BP BQBC BA=，即824168x x-=时，△QBP∽△ABC，解得：x＝0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．21．见解析【分析】根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB ，∴△ADP ∽△BCP ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．22．见解析．【分析】根据已知条件证明△ADE ∽△ABC ，得到∠DAB=∠EAC ，即可得到结果；【详解】∵AB BC AC AD DE AE==，∴△ADE ∽△ABC ，∴∠DAE=∠BAC ，∴∠DAB=∠EAC ，∵AB AD AC AE =，∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确判断是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）由矩形面积和三角形面积公式计算即可提证；（2）本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、矩形OABC 的面积与|k|的关系，列出等式求出k 值．【详解】（1）∵P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）∴PB=x ，PA=y∵四边形PBOA 是矩形∴OB=PA=x ，OA=PB=y∴OAPB S PA PB x y k矩形=⨯=⨯=111222OAP S OA PA x y k ∆=⨯=⨯=111222OPB S OB PB x y k ∆=⨯=⨯=．（2）由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则，S △OCE =2k，S △OAD =2k，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S ONMG =|k|，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴S 矩形ABCO =4S ONMG =4|k|，由于函数图象在第一象限，k ＞0，则9=422k k k ++解得：k=3．24．(1)见解析；(2)12.【分析】(1)根据反比例函数的k 值的含义即可证明，（2）过点A 作AC ⊥x 轴，则AM=2，AC=m ，BN=2，CN=n-2,根据S △AOB =S 四边形ACOM +S 梯形ACBN -S △AOM -S △BON ，列出其面积的表示式子又m=n,即可化简得21182m =，得m=6，故求出k 值【详解】（1）设某点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)∵A ，B 都在反比例函数k y x=上，∴x 1y 1=x 2y 2,∴S △AMO=12x 1y 1=S △BNO=12x 2y 2即△AMO 的面积与△BNO 面积相等;（2）过点A 作AC ⊥x 轴，则AM=2，AC=m ，BN=2，CN=n-2,S △AOB =S 四边形ACOM +S 梯形ACBN -S △AOM -S △BON ，即16=2m+12(2+m)(n-2)-12×2×2m∵m=n ∴可化简为21182m ，∴m=6，（-6舍去）∴k=2m=12.【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.。
2023-2024学年湖南省长沙市九年级上学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖南省长沙市九年级上学期期中数学质量检测模拟试题一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中，是无理数的是A ．12B ．0C ．23πD ．3-2．某新闻媒体发布“王亚平成为中国首位出舱的女航天员”，据不完全统计，总播放量超过次，将数据用科学记数法表示为A ．729.610⨯B ．72.9610⨯C ．62.9610⨯D ．70.29610⨯3．下列事件是必然事件的是A ．四边形内角和是360︒B ．校园排球比赛，九年一班获得冠军C ．掷一枚硬币时，正面朝上D ．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况4．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“大雪”、“芒种”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．5x 的取值范围是A ．2x ≤-B ．2x ≥-C ．12x ≥-D ．12x ≤-6．不等式组2201x x +⎧⎨->-⎩的解集在数轴上表示为A ．B ．C ．D ．7．如图，线段CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ，若弦AB 长为16，OE 长为6，则O 的半径是A ．5B ．6C ．8D ．108．已知一个扇形的圆心角为150︒，半径是6，则这个扇形的面积是A ．15πB ．10πC ．5πD ．2.5π9．在同一平面内，点P 到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为A ．2B ．5C ．1D ．5或110．如图所示是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①0a b c -+<；②30a c +>；③24()b a c n =-；④一元二次方程220ax bx c n ++--=没有实数根．其中正确的结论个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．已知(,3)M a 和(4,)N b -关于原点对称，则a b +=________．12．在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是________．13．一元二次方程2230x mx -+=的一根为3，则m 的值为________．14．如图，在O 中，弦2BC =，点A 是圆上一点，且30BAC ∠=︒，则O 的半径是________．15．如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转得到CDE △，若点A 恰好在ED 的延长线上，110ABC ∠=︒，则ADC ∠的度数为________．16．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于(2,0)-和(4,0)两点，当函数值0y >时，自变量x 的取值范围是________．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：201|5|(20232022)205-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭．18．先化简，再求值2211121x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中5x =．19．如图，在平面直角坐标系内，ABC △三个顶点的坐标分别为(1,2)A -，(4,1)B -，(3,3)C -（网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）（1）以坐标原点O 为旋转中心，将ABC △逆时针旋转90︒，得到111A B C △，请画出111A B C △，写出点1A 的坐标；（2）求旋转过程中点C 经过的路径长．20．2022年虎年新春，中国女足3:2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军。
湖南省长沙市长沙第一中学教育集团2023-2024学年九年级(上)期中考试数学试卷
23年秋初三长沙一中教育集团期中考试数学试卷1．（3一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项）分）下列实数中，是无理数的是( ) A ．−21B ．πC ．3.14D ．02．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列各式计算正确的是( ) A ．=393B ．−=−a b a b ()222 C．+=D ．=a b a b (2)823834．（3分）已知O 的半径是10，圆心O 到直线l 的距离是13，则直线l 与O 的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5．（3分）10月8日，第19届亚运会闭幕，杭州亚运会赛事中核心系统采用云计．算作为亚运会算力基础设施，从底层支持赛事系统群，向上支撑云上转播、亚运钉等智能应用，实现核心系统和应用服务的云上打通，为亚运各类智能应用提供云底座支持．其中杭州亚运会面向全球推出首个大型国际综合体育赛事元宇宙，全球首创亚运数字人平台及线上火炬传递，“数字火炬手”突破了1.2亿人，1.2亿可用科学记数法表示为( ) A ．⨯1.2107B ．⨯0.12108C ．⨯1.2108D ．⨯1.21096．（3分）如图所示，已知AC ED //，∠=︒C 20，∠=︒CBE 43，∠BED 的度数是( )A ．︒63B ．︒83C ．︒73D ．︒537．（3分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组的人数为( ) A ．75 B ．90 C ．108D ．1208．（3分）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A ．+=x 402B ．−+=x x 44102C ．−+=x x 302D ．+−=x x 21029．（3分）关于二次函数=−+y x (2)62的图象，下列结论不正确的是( ) A ．抛物线的开口向上 B ．<x 2时，y 随x 的增大而减小 C ．对称轴是直线=x 2D ．抛物线与y 轴交于点(0,6)10．（3分）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为( )A ．121B ．61 C ．31D ．4111．（3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）分）分解因式：−=n 42 ．12．（3分）已知样本x 1、x 2、x 3、x 4的平均数是2，则+x 31、+x 32、+x 33、+x 34的平均数是 ．13．（3分）如图，BC 是O 的弦，AD 过圆心O ，且⊥AD BC ．若∠=︒COD 40，则∠A 的度数为 ．14．（3分）二次函数=−−y x (2)12的顶点坐标为 ．15．（3分）已知圆锥的侧面积为πcm 152，底面半径为cm 3，则圆锥的高是 ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0)，点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 逆时针旋转︒90至线段CB ，连接BO ，则BO 的最小值是 ．17．（6三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分）分）计算：−−−+−+−−π3(1)|3|()( 3.14)1202320．18．（6分）先化简，再求值：−+++a a a 4(21)(31)2，其中=−a 21．19．（6分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：如图，O 和点P ． 求作：过点P 的O 的切线． 小明的主要作法如下：如图：（1）连接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ； （2）以A 为圆心，OA 长为半径作圆，交O 于点B ，C ； （3）作直线PB 和PC ； 所以PB 和PC 就是所求的切线． 老师说：“小明的作法正确．” 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：OP 是A 的直径，∴∠=︒PBO 90，∠=︒PCO 90； （填推理的依据） ∴⊥OB PB ，⊥OC PC ，又OB ，OC 是O 的半径，∴PB ，PC 是O 的切线． （填推理的依据）20．（8分）已知：如图，一次函数14y x=−与22y x=−−的图象相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若一次函数14y x=−与22y x=−−的图象与x轴分别相交于点A、B，求ABC∆的面积；（3）结合图象，直接写出12y y时的取值范围．21．（8分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．22．（9分）如图，利用长度为48m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度15)a m =，墙体侧不多围篱笆． （1）如果所围成的花圃的面积为2144m ，试求宽AB 的长度；（2）按题目的设计要求，能围成面积比2144m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．23．（9分）如图，在四边形ABCD 中，6AB CD ==，10BC =，8AC =，ABC BCD ∠=∠．过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，连接BF ，CF ． （1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）求DE 的长．24．（10分）我们约定：若关于x 的二次函数21y ax bx c =++与关于x 的一次函数2y mx n =+||0b n −=，则称函数1y 与2y 互为“同一函数”，根据约定，解答下列问题： （1）若关于x 的二次函数2131y x rx =++与关于x 的一次函数21y sx =+互为“同一函数”，求r ，s 的值；（2）关于x 的二次函数21y ax bx c =++与关于x 的一次函数2y mx n =+互为“同一函数”，当11x −时，1||1y ．①求证：||1c ；②当11x −时，2y 的最大值为2，求1y 的解析式．25．（10分）如图，平面直角坐标系中，以(2,0)M为圆心的M交x轴于A、B两点，点A在点B左侧，且过(2,4)C．（1）求M的半径及点A、B的坐标；（2）如图一，点(10,0)P，连接PC并延长，交y轴于点D，线段CD绕点C顺时针旋转90︒得CE，连接EB、AD，过点C作AD的垂线交AD于点F，反向延长CF交BE于点G，求ECG∆的面积；（3）以BC为直径画圆，记为N，x轴正半轴一动点Q坐标记为(,0)m．①如图二，6=；m>时，连接CQ交M于点R，交N于点S，作AT CQ⊥于T，求证：TC RS②如图三，26m−<<时，①中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．23年秋初三长沙一中教育集团期中考试数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正1．（3分）下列实数中，是无理数的是( )A ．−21B ．πC ．3.14D ．0【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A 、−21是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；B 、π是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意；C 、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；D 、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；故选：B ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，π2等；开方开不尽的数；以及像⋯0.1010010001，等有这样规律的数．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转︒180与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．【解答】解：A ．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；B ．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C ．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D ．图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．3．（3分）下列各式计算正确的是( ) A ．339=B ．222()a b a b −=−C ．+=D ．2383(2)8a b a b =【分析】根据乘方的意义，完全平方公式，合并同类二次根式以及幂的乘方与积的乘方逐项进行判断即可．【解答】解：3.327A =，因此选项A 不符合题意；B ．222()2a b a ab b −=−+，因此选项B 不符合题意；(2C =+=C 符合题意； D ．2363(2)8a b a b =，因此选项D 不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查乘方的意义，完全平方公式，合并同类二次根式以及幂的乘方与积的乘方，理解同类二次根式的意义，掌握合并同类二次根式的方法是得出正确答案的前提． 4．（3分）已知O 的半径是10，圆心O 到直线l 的距离是13，则直线l 与O 的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合1013<，即可解决问题． 【解答】解：O 的半径为10，圆心O 到直线l 的距离是13，而1013<，∴点O 到直线l 的距离大于半径，∴直线l 与O 相离．故选：A ．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．5．（3分）10月8日，第19届亚运会闭幕，杭州亚运会赛事中核心系统采用云计．算作为亚运会算力基础设施，从底层支持赛事系统群，向上支撑云上转播、亚运钉等智能应用，实现核心系统和应用服务的云上打通，为亚运各类智能应用提供云底座支持．其中杭州亚运会面向全球推出首个大型国际综合体育赛事元宇宙，全球首创亚运数字人平台及线上火炬传递，“数字火炬手”突破了1.2亿人，1.2亿可用科学记数法表示为( ) A ．71.210⨯B ．80.1210⨯C ．81.210⨯D ．91.210⨯【分析】将一个数表示成10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1.2亿8120000000 1.210==⨯， 故选：C ．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．6．（3分）如图所示，已知//AC ED ，20C ∠=︒，43CBE ∠=︒，BED ∠的度数是( )A ．63︒B ．83︒C ．73︒D ．53︒【分析】先利用外角与内角的关系求出CAE ∠，再利用平行线的性质求出BED ∠． 【解答】解：CAE ∠是ABC ∆的外角， CAE CBE C ∴∠=∠+∠4320=︒+︒63=︒． //AC ED ，63CAE BED ∴∠=∠=︒．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的内角和定理的推论和平行线的性质，掌握三角形外角与内角的关系及平行线的性质是解决本题的关键．7．（3分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组的人数为( )A ．75B ．90C ．108D ．120【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数． 【解答】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：6020%300÷=（人)， 劳动实践小组有：30030%90⨯=（人)， 故选：B ．【点评】本题考扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，求出本次参加兴趣小组的总人数．8．（3分）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A ．240x +=B ．24410x x −+=C ．230x x −+=D ．2210x x +−=【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据△0>，方程有两个不相等的实数根；△0=，方程有两个相等的实数根；△0<，方程没有实数根，进行判断． 【解答】解：A 、△160=−<，方程没有实数根；B 、△0=，方程有两个相等的实数根； C 、△112110=−=−<，方程没有实数根；D 、△440=+>，方程有两个不相等的实数根．故选：D ．【点评】本题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法． 9．（3分）关于二次函数2(2)6y x =−+的图象，下列结论不正确的是( ) A ．抛物线的开口向上 B ．2x <时，y 随x 的增大而减小 C ．对称轴是直线2x =D ．抛物线与y 轴交于点(0,6)【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标和对称轴，将0x =代入抛物线解析式可得抛物线与y 轴交点坐标．【解答】解：2(2)6y x =−+，∴抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为(2,6)， 2x ∴<时，y 随x 增大而减小，将0x =代入2(2)6y x =−+得10y =，∴抛物线与y 轴交点坐标为(0,10)， 故选：D ．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．10．（3分）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为( )A ．112B ．16 C ．13D ．14【分析】根据已知中三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子，我们模拟骰子的翻动过程，我们可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性及满足条件（即点数为2)的基本事件个数，代入古典概型公式即可得到答案．【解答】解：计三行三列的方格棋盘的格子坐标为a b (,)，其中开始时骰子所处的位置为(1,1)，则图2所示的位置为(3,3)则从(1,1)到(3,3)共有6种走法，其结果分别为：2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为==P 6321， 故选：C ．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种可能，那么事件A 的概率P （A ）=nm ．11．（3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）分）分解因式：−=n 42 +−n n (2)(2) ． 【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：−=+−n n n 4(2)(2)2， 故答案为：+−n n (2)(2)．【点评】本题考查了因式分解−运用公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（3分）已知样本x 1、x 2、x 3、x 4的平均数是2，则+x 31、+x 32、+x 33、+x 34的平均数是 5 ．【分析】只要运用求平均数公式：=++⋯+nx x x x n12即可求出．【解答】解：+x 31、+x 32、+x 33、+x 34的平均数是+++++++=x x x x 4(3333)11234++++=+=x x x x 4(12)23511234． 故填5．【点评】本题考查平均数的求法，熟记公式=++⋯+nx x x x n12是解决本题的关键，及平均数计算的综合运用．13．（3分）如图，BC 是O 的弦，AD 过圆心O ，且⊥AD BC ．若∠=︒COD 40，则∠A 的度数为 ︒20 ．【分析】由垂径定理得到BM CM =，因此40BOD COD ∠=∠=︒，由圆周角定理得到1202A BOD ∠=∠=︒．【解答】解：连接OB ，延长AD 交圆于M ， 直径AM BC ⊥，∴BM CM =，40BOD COD ∴∠=∠=︒，1202A BOD ∴∠=∠=︒．故答案为：20【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆心角、弧、弦的关系得到40BOD COD ∠=∠=︒，由圆周角定理即可求解．14．（3分）二次函数2(2)1y x =−−的顶点坐标为 (2,1)− ．【分析】因为顶点式2()y a x h k =−+，其顶点坐标是(,)h k ，对照求二次函数2(2)1y x =−−的顶点坐标．【解答】解：二次函数2(2)1y x =−−是顶点式，∴顶点坐标为(2,1)−．【点评】顶点式2()y a x h k =−+，顶点坐标是(,)h k ，对称轴是直线x h =，此题考查了学生的应用能力．15．（3分）已知圆锥的侧面积为215cm π，底面半径为3cm ，则圆锥的高是 4cm ． 【分析】圆锥的母线、底面半径、圆锥的高正好构成直角三角形的三边，求圆锥的高就可以转化为求母线长．圆锥的侧面的展开图是扇形，扇形的半径就等于母线长．【解答】解：侧面展开图扇形的弧长是6cm π，设母线长是r cm ，则16152r ππ⨯⋅=，解得：5r =，根据勾股定理得到：圆锥的高4cm =． 故答案为4cm ．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的母线，高，底面半径的关系，以及圆锥侧面展开图与圆锥的关系，是解题的关键．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A ，点C 是y 轴上的动点，线段CA绕着点C 逆时针旋转90︒至线段CB ，连接BO ，则BO 的最小值是．【分析】设C m (0,)，过点B 作⊥BH y 轴，垂足为点H ，证明∆≅∆AOC CHB AAS ()，推出=HC OA ，=HB OC ，可得点B 的坐标为+m m (,1)，推出点B 的运动轨迹是直线=+y x 1，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：设C m (0,)，过点B 作⊥BH y 轴，垂足为点H ， ∴∠=︒BHC 90，∴∠+∠=︒HCB B 90，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转︒90至线段CB ，∴∠=︒BAC 90，=CB CA ，∴∠+∠=︒HCB ACO 90，∴∠=∠B ACO ， AOC ∠=︒90，∴∆≅∆AOC CHB AAS ()，∴=HC OA ，=HB OC ，点C m (0,)，点A (1,0)，∴点B 的坐标为+m m (,1)， ∴点B 的运动轨迹是直线=+y x 1，直线=+y x 1交x 轴于−E (1,0)，交y 轴于F (0,1)，∴==OE OF 1，=EF ， 过点O 作⊥OT EF 于T．则==OT EF 221， 根据垂线段最短可知，当点B 与点T 重合时，OB的值最小，最小值为2，． 【点评】本题考查坐标与图形变化−旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B 的运动轨迹，属于中考常考题型．17．（6三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每分）计算：−−−+−+−−π3(1)|3|()( 3.14)1202320．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：−−−+−+−−π3(1)|3|()( 3.14)1202320=−−++1391=6．【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的加减混合运算，有理数的乘方，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（6分）先化简，再求值：−+++a a a 4(21)(31)2，其中=−a 21．【分析】先算单项式乘多项式的法则，完全平方公式，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可．【解答】解：24(21)(31)a a a −+++2284961a a a a =−−+++221a a =++， 当12a =−时，原式211()2()122=−+⨯−+1114=−+14=．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 19．（6分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：如图，O 和点P ． 求作：过点P 的O 的切线． 小明的主要作法如下：如图：（1）连接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ； （2）以A 为圆心，OA 长为半径作圆，交O 于点B ，C ； （3）作直线PB 和PC ； 所以PB 和PC 就是所求的切线． 老师说：“小明的作法正确．” 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：OP 是A 的直径，90PBO ∴∠=︒，90PCO ∠=︒； 直径所对的圆周角是直角 （填推理的依据） OB PB ∴⊥，OC PC ⊥，又OB ，OC 是O 的半径，PB ∴，PC 是O 的切线． （填推理的依据）【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据圆周角定理得到90PBO ∠=︒，90PCO ∠=︒，根据垂直的定义得到OB PB ⊥，OC PC ⊥，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：补全图形如图所示； （2）证明：OP 是A 的直径，90PBO ∴∠=︒，90PCO ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）， OB PB ∴⊥，OC PC ⊥，又OB ，OC 是O 的半径，PB ∴，PC 是O 的切线（经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 20．（8分）已知：如图，一次函数14y x =−与22y x =−−的图象相交于点C ． （1）求点C 的坐标；（2）若一次函数14y x =−与22y x =−−的图象与x 轴分别相交于点A 、B ，求ABC ∆的面积；（3）结合图象，直接写出12y y 时的取值范围．【分析】（1）求出两函数的解析式组成的方程组的解，即可得出交点C 的坐标；（2）分别求出两函数的图象与x 轴的交点坐标，求出AB 的值，再求出ABC ∆的面积即可； （3）根据两函数的图象和交点C 的坐标得出答案即可．【解答】解：（1）解方程组42y x y x =−⎧⎨=−−⎩得：13x y =⎧⎨=−⎩，所以点C 的坐标是(1,3)−；（2）14y x =−，当10y =时，40x −=，解得：4x =，即4OA =； 22y x =−−，当20y =时，20x −−=，解得：2x =−，所以426AB =+=，C 点的坐标是(1,3)−，ABC ∴∆的面积是16392⨯⨯=；（3）12y y 时的取值范围是1x ．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交与平行问题，一次函数的图象等知识点，能求出点C的坐标是解此题的关键．21．（8分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是20，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得样本容量，总人数乘以C类别对应百分比，再减去男生人数可得C类别中女生人数；由条形图可直接得出D类男生人数；用360︒乘以D类别人数占总人数的比例即可得；（2）根据以上所求结果可补全图形；（3）由条形图可知，A类别1男2女，D类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）这次随机抽取的样本容量是(12)15%20+÷=，C类女生有2025%32⨯−=（名)，D类男生有1名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为23603620︒⨯=︒，故答案为：20，36；（2）补全图形如下：（3）画树状图如下：一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为3162=． 【点评】此题主要考查了条形统计图，以及概率，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．22．（9分）如图，利用长度为48m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度15)a m =，墙体侧不多围篱笆． （1）如果所围成的花圃的面积为2144m ，试求宽AB 的长度；（2）按题目的设计要求，能围成面积比2144m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【分析】（1）利用矩形的面积公式列出方程求解即可；（2）求出花圃面积与AB 长度的函数关系式，根据二次函数的性质和AB 长度取值范围求出面积的最大值．【解答】解：（1）设AB 的长为x 米，根据题意列方程得：(483)144x x −=，解得14x =，212x =，当4x =时，4833615BC x =−=>，不合题意，舍去， 当12x =时，48312BC x =−=，如果要围成面积为144米2的花圃，AB 的长是12米； （2）设花圃的面积为S ，由题意可得：(483)S x x =−2348x x =−+23(8)192x =−−+，墙体的最大可用长度15a m =，048315x ∴<−，1116x ∴<， 对称轴8x =，开口向下，∴当11x =时，花圃面积最大，2165S m =．【点评】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．23．（9分）如图，在四边形ABCD 中，6AB CD ==，10BC =，8AC =，ABC BCD ∠=∠．过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，连接BF ，CF ． （1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）求DE 的长．【分析】（1）根据垂直的定义得到90DEC FEC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到CF CD =，推出四边形ABFC 是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，根据全等三角形的性质得到AH DE =，根据三角形的面积公式得到684.810AB AC AH BC ⋅⨯===．于是得到结论． 【解答】（1）证明：DE BC ⊥，90DEC FEC ∴∠=∠=︒，在DEC ∆与FEC ∆中，DE EFDEC FEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEC FEC SAS ∴∆≅∆，CF CD ∴=，DCE FCE ∠=∠， ABC BCD ∠=∠，ABC FCE ∴∠=∠，//AB CF ∴， AB CD =，CF AB ∴=，∴四边形ABFC 是平行四边形，6AB =，10BC =，8AC =，222AB AC BC ∴+=，90BAC ∴∠=︒， ∴四边形ABFC 是矩形；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，90AHB DEC ∴∠=∠=︒， 在ABH ∆与DCE ∆中，ABH DCE AHB DEC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABH DCE AAS ∴∆≅∆，AH DE ∴=， 1122ABC S AB AC BC AH ∆=⋅=⋅，68 4.810AB AC AH BC ⋅⨯∴===． 4.8DE AH ∴==．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得ABH DCE ∆≅∆是解题的关键．24．（10分）我们约定：若关于x 的二次函数21y ax bx c =++与关于x 的一次函数2y mx n =+||0b n −=，则称函数1y 与2y 互为“同一函数”，根据约定，解答下列问题： （1）若关于x 的二次函数2131y x rx =++与关于x 的一次函数21y sx =+互为“同一函数”，求r ，s 的值；（2）关于x 的二次函数21y ax bx c =++与关于x 的一次函数2y mx n =+互为“同一函数”，当11x −时，1||1y ．①求证：||1c ；②当11x −时，2y 的最大值为2，求1y 的解析式．【分析】（1）由非负数的性质可得a m =，b n =，根据互为“同一函数”的定义，即可求解． （2）①当0x =时，二次函数21y ax bx c c =++=，根据当11x −时，1||1y ，可得||1c ． ②分两种情况：当0a >时，当0a <时，根据二次函数的性质解决问题即可．【解答】（1）解：||0b n −=，0a m ∴−=，0b n −=，a m ∴=，b n =，关于x 的二次函数2131y x rx =++与关于x 的一次函数21y sx =+互为“同一函数”， 3s ∴=，1r =；（2）①证明：关于x 的二次函数21y ax bx c =++，当11x −时，1||1y ， 当0x =时，二次函数21y ax bx c c =++=，||1c ∴；②解：当11x −时，2y mx n =+的最大值为2，a m =，b n =，2y ax b ∴=+， 当0a >，1x =时，2y ax b =+的最大值为2，∴此时，2a b +=， 在21y ax bx c =++，当1x =时，1||||1y a b c =++，|2|1c ∴+，31c ∴−−，由①知，||1c ，1c ∴=−，211y ax bx ∴=+−， 1||1y ，111y ∴−，0a >，21y ax bx c ∴=++开口向上， ∴当0x =时，21y ax bx c =++的最小值为1−，(0,1)∴−是抛物线的顶点，∴对称轴是y 轴， 0b ∴=，2a ∴=，1y ∴的解析式为221y x =−；当0a <，1x =−时，2y ax b =+的最大值为2，∴此时，2a b −+=，在21y ax bx c =++，当1x =−时，1||||1y a b c =−+，|2|1c ∴−+，13c ∴，由①知，||1c ，1c ∴=，211y ax bx ∴=++，1||1y ，111y ∴−，0a <，21y ax bx c ∴=++开口向下，∴当0x =时，21y ax bx c =++的最大值为1，(0,1)∴是抛物线的顶点，∴对称轴是y 轴，0b ∴=，2a ∴=−，1y ∴的解析式为2121y x =−+；综上，1y 的解析式为2121y x =−或2121y x =−+．【点评】本题是二次函数综合题，考查了非负数的性质，一次函数的性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活应用二次函数或一次函数的性质解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考常考题型．25．（10分）如图，平面直角坐标系中，以(2,0)M 为圆心的M 交x 轴于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，且过(2,4)C ．（1）求M 的半径及点A 、B 的坐标； （2）如图一，点(10,0)P ，连接PC 并延长，交y 轴于点D ，线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得CE ，连接EB 、AD ，过点C 作AD 的垂线交AD 于点F ，反向延长CF 交BE 于点G ，求ECG ∆的面积；（3）以BC 为直径画圆，记为N ，x 轴正半轴一动点Q 坐标记为(,0)m ．①如图二，6m >时，连接CQ 交M 于点R ，交N 于点S ，作AT CQ ⊥于T ，求证：TC RS =； ②如图三，26m −<<时，①中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由题意得M 的半径4MC =，即可求得点A 、B 的坐标；（2）过点C 作CT y ⊥轴于T ，过点E 作//EK y 轴，交CT 于L ，交FG 于K ，连接CM ，可证得CPM DPO ∆∆∽，可求得5OD =，即(0,5)D ，利用待定系数法可得直线AD 、PD 的解析式分别为552y x =+或152y x =−+，再由CF AD ⊥，可得直线CF 的解析式为22455y x =−+，由旋转可得90ECF ∠=︒，CE CF =，进而可得()CDT ECL AAS ∆≅∆，得出1CL DT ==，2EL CT ==，18(3,)5K ，再运用待定系数法可得直线BE 的解析式为212y x =−+，联立直线CF 与直线BE 的解析式可得9(2G ，3)，再运用三角形面积公式即可求得答案；（3）①连接BS 、BR ，可证得ABC ∆是等腰直角三角形，得出45ABC ∠=︒，由AB 是M 的直径，可得90ACB ARB ∠=∠=︒，再由BC 是N 的直径，可得90BSC ∠=︒，推出BSR ∆是等腰直角三角形，可得BS RS =，再证得()ACT CBS AAS ∆≅∆，得出TC BS =，即可证得结论；②TC RS =仍然成立．证明方法与①相同．【解答】（1）解：(2,0)M ，(2,4)C ，M ∴的半径4MC =，M ∴的直径8AB =，(2,0)A ∴−，(6,0)B ；（2）解：如图一，过点C 作CT y ⊥轴于T ，过点E 作//EK y 轴，交CT 于L ，交FG 于K ，连接CM ，则4CM =，90CTD CLE CMP DOP ∠=∠=∠=︒=∠，CPM DPO ∠=∠，CPM DPO ∴∆∆∽， ∴OD OP CM MP=，即1048OD =，5OD ∴=， (0,5)D ∴，又(10,0)P ，设直线AD 、PD 的解析式分别为15y k x =+，25y k x =+，则1250k −+=，21050k +=，111205k b b −+=⎧⎨=⎩或2221005k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：152k =，212k =−， ∴直线AD 、PD 的解析式分别为552y x =+或152y x =−+， CF AD ⊥，∴设直线CF 的解析式为25y x b =−+，把(2,4)C 代入得：2245b −⨯+=， 解得：245b =，∴直线CF 的解析式为22455y x =−+， 由旋转得：90ECF ∠=︒，CE CF =，。
长沙初中数学九年级下期中经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11122]如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ：DB ＝2：3，则下列结论中正确的（ ）A ．23DE BC = B ．25DE BC = C ．23AE AC = D ．25AE EC = 2．(0分)[ID ：11119]如图，123∠∠∠==，则图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．(0分)[ID ：11118]已知线段a 、b ，求作线段x ，使22b x a=，正确的作法是（ ）A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：11115]在Rt ABC ∆中，90,2,1C AC BC ∠=︒==，则cos A 的值是( ) A 25B 5C 5D ．125．(0分)[ID ：11107]如图，平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x轴，分别交y=3x （x ＞0）、y=kx（x ＜0）的图象于B 、C 两点，若△ABC 的面积为2，则k 值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．12-D ．126．(0分)[ID ：11103]如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x=-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．(0分)[ID ：11099]已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正确的是（ ） A ．AB 2＝AC •BCB ．BC 2＝AC •BCC ．AC ＝51-BC D ．BC ＝51-AC 8．(0分)[ID ：11096]如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，且k ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：11086]如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，∠A ＝α，∠C ＝β，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1和S 2，△OAB 与△OCD 的周长分别是C 1和C 2，则下列等式一定成立的是( )A．32OBCD=B．32αβ=C．1232SS=D．1232CC=10．(0分)[ID：11067]如图，在△ABC中，cos B＝22，sin C＝35，AC＝5，则△ABC的面积是()A．212B．12C．14D．2111．(0分)[ID：11055]若反比例函数2yx=-的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是（）A．22m＞B．-22m＜C．22-22m m＞或＜D．-2222m＜＜12．(0分)[ID：11053]若△ABC∽△A′B′C′且34ABA B='',△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）cm.A．18B．20 C．154D．80313．(0分)[ID：11049]如图，在ABC∆中，//DE BC，9AD=，3DB=，2CE=，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．914．(0分)[ID：11046]在△ABC中，若|sinA-32|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是( ) A．45°B．60°C．75°D．105°15．(0分)[ID：11033]给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=3x；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③二、填空题16．(0分)[ID ：11199]已知反比例函数21k y x+=的图像经过点(2,1)-，那么k 的值是__．17．(0分)[ID ：11185]如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．18．(0分)[ID ：11151]如图，点A 在双曲线1y=x 上，点B 在双曲线3y=x上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 ．19．(0分)[ID ：11143]已知点(,)P m n 在直线2y x =-+上，也在双曲线1y x=-上，则m 2+n 2的值为______．20．(0分)[ID ：11141]如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为__时，△ADP 和△ABC 相似．21．(0分)[ID ：11135]如图，直立在点B 处的标杆AB ＝2.5m ，站立在点F 处的观测者从点E 看到标杆顶A ，树顶C 在同一直线上(点F ，B ，D 也在同一直线上)．已知BD ＝10m,FB ＝3m,人的高度EF ＝1.7 m,则树高DC 是________．(精确到0.1 m)22．(0分)[ID：11195]如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P 到射线OB的距离为n，则m __________ n．（填“>”，“=”或“<”）>),其中AP是23．(0分)[ID：11194]如果点P把线段AB分割成AP和PB两段(AP PBAP AB的值为________．AB与PB的比例中项,那么:=，请你添加一个条件，使得24．(0分)[ID：11178]如图，已知AD AE△≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）ADC AEB25．(0分)[ID：11188]小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m．三、解答题26．(0分)[ID：11316]由一些大小相同，棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，数字表示该位置的正方体个数．（1）请画出它的主视图和左视图；（2）给这个几何体喷上颜色（底面不喷色），需要喷色的面积为；（3）在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加块小正方体．27．(0分)[ID：11290]如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC为边作△ACE，∠ACE=90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD=5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．28．(0分)[ID ：11279]如图，已知反比例函数11k y x=（k 1＞0）与一次函数2221(0)y k x k =+≠相交于A 、B 两点，AC ⊥x 轴于点C . 若△OAC 的面积为1，且tan ∠AOC ＝2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值.29．(0分)[ID ：11273]在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A 4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为2：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点 P 为 AB 边上的定点，且 AP ＝AD ． （1）求证：PD ＝AB ．（2）如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边 BC 上有一动点 E ，当BECE的值是多少时，△PDE 的周长最小？（3）如图（3），点 Q 是边 AB 上的定点，且 BQ ＝BC ．已知 AD ＝1，在（2）的条件下连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F ，连接 CF ，G 为 CF 的中点，M 、N 分别为线段 QF 和 CD 上的动点，且始终保持 QM ＝CN ，MN 与 DF 相交于点 H ，请问 GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．30．(0分)[ID ：11237]如图，G 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，作GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，垂足分别为点E 、F.求证：四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．C4．A5．A6．D7．D8．B9．D10．A11．C12．B13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k的值【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以17．【解析】【分析】认真审题根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短分别求出PBOBOAAB的长度利用△PBM∽△ABO即可求出本题的答案【详解】解：如图过点P作PM⊥AB则：∠PMB=90°当PM⊥18．2【解析】【分析】【详解】如图过A点作AE⊥y轴垂足为E∵点A在双曲线上∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上且AB∥x轴∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形则它的面积为3－1＝219．6【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值再利用完全平方公式将原式变形得出答案详解：∵点P（mn）在直线y=-x+2上∴n+m=2∵点P（m20．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似21．2m【解析】【详解】解：过点E作EM⊥CD交AB与点N∴故答案为52m【点睛】本题是考查相似三角形的判定和性质关键是做出辅助线构造相似三角形利用相似三角形的性质得出结论即可这类题型可以作垂直也可以作22．>【解析】【分析】由图像可知在射线上有一个特殊点点到射线的距离点到射线的距离于是可知利用锐角三角函数即可判断出【详解】由题意可知：找到特殊点如图所示：设点到射线的距离点到射线的距离由图可知【点睛】本23．【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可【详解】∵点把线段分割成和两段()其中是与的比例中项∴点P是线段AB的黄金分割点∴=故填【点睛】此题考察黄金分割是与的比例中项即点P是线段AB的黄24．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS；添加条件此时满足ASA；添加条件此时满足AAS故25．5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例求出举起手臂之后的身高与身高做差即可解题【详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得：17:085=x：11解得x=22则小刚举起的手臂超出头顶的高度为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】∵AD：DB=2：3，∴ADAB=25．∵DE∥BC，∴DEBC=ADAB=25，A错误，B正确；AE AC =ADAB=25，C错误；AE EC =ADDB=23，D错误．故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定定理，找出题中存在的相似三角形即可.【详解】∵∠1＝∠2，∠C＝∠C，∴△ACE∽△ECD，∵∠2＝∠3,∴DE∥AB，∴△BCA∽△ECD，∵△ACE∽△ECD，△BCA∽△ECD，∴△ACE∽△BCA，∵DE∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠1＝∠2，∴△AED∽△BAE，∴共有4对，故此选D 选项.【点睛】本题考查学生对相似三角形判断依据的理解掌握，也考察学生的看图分辨能力.3．C解析：C【解析】【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a、b和2b，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x．【详解】解：由题意，22b xa =∴2a bb x =，∵线段x没法先作出，根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．故选C．4．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得22=5AC BC+∴cosA=2555ACAB==，故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A解析：A【解析】【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB=S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到12×|3|+12•|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．【详解】连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，∴S△ACB=S△OCB，而S△OCB=12×|3|+12•|k|，∴12×|3|+12•|k|=2，而k＜0，∴k=﹣1，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．6．D解析：D 【解析】因为直线12y x b=-+与x轴交于点A,所以令y=0,可得:12x b-+=,解得2x b=,则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 7．D解析：D【解析】【分析】根据黄金分割的定义得出12BC AC AC AB ==，从而判断各选项． 【详解】∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴BC AC AC AB ==，即AC 2=BC•AB，故A 、B 错误；AB ，故C 错误；AC ，故D 正确； 故选D ．【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．8．B解析：B【解析】当k ＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A 、C 选项错误； ∵一次函数y=kx-1与y 轴交于负半轴，∴D 选项错误，B 选项正确，故选B ．9．D解析：D【解析】A 选项，在△OAB ∽△OCD 中，OB 和CD 不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A 选项不一定成立；B 选项，在△OAB ∽△OCD 中，∠A 和∠C 是对应角，因此αβ=，所以B 选项不成立； C 选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C 选项不成立；D 选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D 选项一定成立.10．A解析：A【解析】【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．【详解】解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BDAB，∴∠B=45°，∵sinC=35=ADAC=5AD，∴AD=3，∴2253-，∴BD=3，则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选：A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．11．C解析：C【解析】【分析】根据题意可知反比例函数2yx=-的图象上的点关于y轴的对称的点在函数2yx=上，由此可知反比例函数2yx=的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，继而可得关于x的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案.∵反比例函数2y x =-上有两个不同的点关于y 轴对称的点在一次函数y =-x +m 图象上， ∴反比例函数2y x=与一次函数y =-x +m 有两个不同的交点， 联立得2y x y x m⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 得：2x m x =-+， 整理得：220x mx -+=，∵有两个不同的交点∴220x mx -+=有两个不相等的实数根，∴△=m 2-8＞0，∴m ＞m ＜故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟练掌握相关内容、正确理解题意是解题的关键.12．B解析：B【解析】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34ABC AB A B C A B ''=''='的周长的周长， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．13．C解析：C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可 【详解】∵//DE BC ，∴AD AE DB EC =，即932AE =， ∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选：C ．【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE14．C解析：C【解析】【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】∵|sin A B)2=0，∴tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C．【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°.15．B解析：B【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；②y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确．故选B．点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k的值【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以解析：32 k=-【解析】【分析】将点的坐标代入，可以得到-1=212k+，然后解方程，便可以得到k的值．【详解】∵反比例函数y＝21kx+的图象经过点（2，-1），∴-1=21 2 k+∴k＝− 32；故答案为k＝−32．【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答17．【解析】【分析】认真审题根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短分别求出PBOBOAAB的长度利用△PBM∽△ABO即可求出本题的答案【详解】解：如图过点P作PM⊥AB则：∠PMB=90°当PM⊥解析：28 5【解析】【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB 的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，22345+=，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴PB PM AB AO=，即：754PM =，所以可得：PM=285．18．2【解析】【分析】【详解】如图过A点作AE⊥y轴垂足为E∵点A在双曲线上∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上且AB∥x轴∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形则它的面积为3－1＝2解析：2【解析】【分析】【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线1y=x上，∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝219．6【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值再利用完全平方公式将原式变形得出答案详解：∵点P（mn）在直线y=-x+2上∴n+m=2∵点P（m解析：6【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．详解：∵点P（m，n）在直线y=-x+2上，∴n+m=2，∵点P（m，n）在双曲线y=-1x上，∴mn=-1，∴m2+n2=（n+m）2-2mn=4+2=6．故答案为6．点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m ，n 之间的关系是解题关键．20．4或9【解析】当△ADP∽△ACB 时需有∴解得AP ＝9当△ADP∽△ABC 时需有∴解得AP ＝4∴当AP 的长为4或9时△ADP 和△ABC 相似解析：4或9．【解析】当△ADP ∽△ACB 时，需有AP AD AB AC =，∴6128AP =，解得AP ＝9．当△ADP ∽△ABC 时，需有AP AD AC AB =，∴6812AP =，解得AP ＝4．∴当AP 的长为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．21．2m 【解析】【详解】解：过点E 作EM ⊥CD 交AB 与点N ∴故答案为52m【点睛】本题是考查相似三角形的判定和性质关键是做出辅助线构造相似三角形利用相似三角形的性质得出结论即可这类题型可以作垂直也可以作 解析：2m【解析】【详解】解：过点E 作EM ⊥CD,交AB 与点N.∴,EN AN EAN ECM EM CM~∴= 30.82.5, 1.7,0.8,10,313AB m EF m AN m BD m FB m CM ==∴===∴= ,()3.47CM m ∴≈ ()1.7 3.47 5.2.CD m ∴=+≈故答案为5.2m ．【点睛】本题是考查相似三角形的判定和性质．关键是做出辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出结论即可.这类题型可以作垂直也可以作平行线，构造相似三角形．22．>【解析】【分析】由图像可知在射线上有一个特殊点点到射线的距离点到射线的距离于是可知利用锐角三角函数即可判断出【详解】由题意可知：找到特殊点如图所示：设点到射线的距离点到射线的距离由图可知【点睛】本 解析：>【解析】【分析】由图像可知在射线OP 上有一个特殊点Q ,点Q 到射线OA 的距离2QD =Q 到射线OB 的距离1QC =，于是可知AOP BOP ∠>∠ ,利用锐角三角函数sin sin AOP BOP ∠>∠ ,即可判断出m n >【详解】由题意可知：找到特殊点Q ，如图所示：设点Q 到射线OA 的距离QD ，点Q 到射线OB 的距离QC 由图可知2QD =1QC =∴ 2sin QD AOP OP ∠==1sin QC BOP OP OP ∠== ∴sin sin AOP BOP ∠>∠, ∴m n OP OP> ∴m n >【点睛】本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.23．【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可【详解】∵点把线段分割成和两段()其中是与的比例中项∴点P 是线段AB 的黄金分割点∴=故填【点睛】此题考察黄金分割是与的比例中项即点P 是线段AB 的黄 51- 【解析】【分析】 根据黄金分割的概念和黄金比是512解答即可. 【详解】∵点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段(AP PB >),其中AP 是AB 与PB 的比例中项， ∴点P 是线段AB 的黄金分割点，∴:AP AB 51-，故填12. 【点睛】此题考察黄金分割，AP 是AB 与PB 的比例中项即点P 是线段AB 的黄金分割点，即可得到:AP AB . 24．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.【解析】【分析】根据图形可知证明ADC AEB ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．【详解】∵A A ∠∠= ，AD AE =，∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．25．5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例求出举起手臂之后的身高与身高做差即可解题【详解】解：设举起手臂之后的身高为x 由题可得：17:085=x ：11解得x=22则小刚举起的手臂超出头顶的高度为解析：5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.【详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得：1.7:0.85=x ：1.1,解得x=2.2,则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m【点睛】本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.三、解答题26．(1)见解析；（2）32.（3）1.【解析】试题分析：（1）根据图示可知主视图有3列，每列小正方形的个数依次为3、1、3，左视图有两列，每列小正方形的个数依次为3、2，据此即可画出；（2）根据三视图画出几何体，根据几何体即可得；（3）要不改变主视图和俯视图的情况下，根据题意画出添加小正方体后的图形（如图2）即可.试题解析：（1）它的主视图和左视图，如图所示，（2）如图1，给这个几何体喷上颜色(底面不喷色)，根据图形可知需要喷色的面有32个，所以喷色的面积为32；（3）如图2，在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加1个小正方体，27．证明见解析【解析】【分析】由已知易证∠BAC=∠ECD，在Rt△ABC中由已知可得2225AB BC+=，结合AB=4，CD=5，可证得AB CEAC CD=，由此即可由“两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”得到△ABC∽△CED．【详解】∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴ 2225 AC AB BC=+=∵ CE=AC，∴ 5CE=∵ CD=5，∴ AB AC CE CD=. ∵ ∠B=90°，∠ACE=90°，∴ ∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°. ∴ ∠BAC=∠DCE.∴ △ABC ∽△CED.28．（1）12y x =；21y x =+；（2）B 点的坐标为（－2，－1）；当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2.【解析】【分析】（1）根据tan ∠AOC ＝AC OC＝2，△OAC 的面积为1，确定点A 的坐标，把点A 的坐标分别代入两个解析式即可求解；（2）根据两个解析式求得交点B 的坐标，观察图象，得到当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值．【详解】解：（1）在Rt △OAC 中，设OC ＝m ．∵tan ∠AOC ＝AC OC ＝2，∴AC ＝2×OC ＝2m ． ∵S △OAC ＝12×OC×AC ＝12×m×2m ＝1，∴m 2＝1．∴m ＝1（负值舍去）． ∴A 点的坐标为（1，2）．把A 点的坐标代入11k y x=中，得k 1＝2． ∴反比例函数的表达式为12y x =． 把A 点的坐标代入221y k x =+中，得k 2＋1＝2，∴k 2＝1．∴一次函数的表达式21y x =+．（2）B 点的坐标为（－2，－1）．当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2．【点睛】本题考查反比例及一次函数的的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键．29．（1）证明见解析（2）22- （3 【解析】【分析】（1）根据题中“完美矩形”的定义设出AD与AB，根据AP=AD，利用勾股定理表示出PD，即可得证；（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，表示出AB与CD，由AB-AP表示出BP，由对称的性质得到BP=BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；（3）GH=2，理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，由等式的性质得到MF=DN，利用AAS得到△MFH≌△NDH，利用全等三角形对应边相等得到FH=DH，再由G为CF中点，得到HG为中位线，利用中位线性质求出GH的长即可．【详解】（1）在图1中，设AD=BC=a，则有AB=CD=2a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵PA=AD=BC=a，∴PD=22AD PA+=2a，∵AB=2a，∴PD=AB；（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，则有2，∵BP=AB-PA，∴2a-a，∵BP′∥CD，∴22222BE BP aCE CD a===；（3）2，理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，∵AP=AD，∴BF=AB-AD，∵BQ=BC，∴AQ=AB-BQ=AB-BC，∵BC=AD，∴AQ=AB-AD，∴BF=AQ，∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB ，∵AB=CD ，∴QF=CD ，∵QM=CN ，∴QF-QM=CD-CN ，即MF=DN ，∵MF ∥DN ，∴∠NFH=∠NDH ，在△MFH 和△NDH 中，{MFH NDHMHF NHD MF DN∠∠∠∠＝＝＝ ，∴△MFH ≌△NDH （AAS ），∴FH=DH ，∵G 为CF 的中点，∴GH 是△CFD 的中位线，∴GH=12CD=12×． 【点睛】 此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．30．证明见解析.【解析】【分析】由正方形的性质可知；AC 平分∠DAB ，然后由角平分线的性质可知GE=GF ，从而可证明四边形EGFA 为正方形，故此四边形AFGE 与四边形ABCD 相似；【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°. 又∵GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，∴EG ＝FG ，且AE ＝EG ，AF ＝FG .∴AE ＝EG ＝FG ＝AF ，∴四边形AFGE 为正方形． ∴AF AB ＝FG BC ＝GE CD ＝AE AD， 且∠EAF ＝∠DAB ，∠AFG ＝∠ABC ，∠FGE ＝∠BCD ，∠AEG ＝∠ADC.∴四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．。