八年级全等三角形知识点归纳及典型习题
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B、F、C、E 在
同一直线上），并写出四个条件： ① AB=DE ，② BF=EC ，③ ∠ B=∠E ，④ ∠ 1=
∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
Leabharlann Baidu
题设：
；结论：
．（均填写序号）
证明：
24．如图，在△ ABC 和△ DEF 中， AB=DE ，BE=CF ，∠ B=∠1． 求证： AC=DF ．（要求：写出证明过程中的重要依据）
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5．如图：点 C 是 AE的中点，∠ A=∠ECD， AB=CD，求证：∠ B=∠ D．
6．如图，已知△ ABC和△ DAE，D 是 AC上一点， AD=AB， DE∥AB，DE=AC．求证： AE=BC．
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7．如图， AB∥CD，E 是 CD上一点， BE交 AD于点 F，EF=BF．求证： AF=DF．
8．如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上， AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证： AB∥ DE．
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9．如图，点 D 是 AB上一点， DF交 AC于点 E，DE=FE，FC∥AB 求证： AE=CE．
10．如图，点 A、C、D、B 四点共线，且 AC=BD，∠A=∠ B，∠ ADE=∠ BCF，求证： DE=CF．
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11．如图，点 A，B，C，D在同一条直线上， CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．
12．已知△ ABN和△ ACM位置如图所示， AB=AC，AD=AE，∠ 1=∠ 2． （1）求证： BD=CE； （2）求证：∠ M=∠N．
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13．如图， BE⊥ AC，CD⊥AB，垂足分别为 E，D，BE=CD．求证： AB=AC．
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29．如图，给出下列论断： ① DE=CE ，② ∠1=∠2，③ ∠ 3=∠4．请你将其中 的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
30．已知：如图，∠ ACB=90 °，AC=BC ，CD 是经过点 C 的一条直线，过点 A、 B 分别作 AE ⊥CD 、BF⊥ CD ，垂足为 E、 F，求证： CE=BF ．
2．如图，已知点 B， E， C， F 在一条直线上， AB=DF， AC=DE，∠ A=∠D． （1）求证： AC∥DE； （2）若 BF=13，EC=5，求 BC的长．
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3．如图， BD⊥AC于点 D，CE⊥ AB于点 E， AD=AE．求证： BE=CD．
4．如图，点 O是线段 AB和线段 CD的中点． （1）求证：△ AOD≌△ BOC； （2）求证： AD∥BC．
14．如图，在△ ABC和△ CED中， AB∥ CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠ B=∠E．
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15．如图，在△ ABC中， AD平分∠ BAC，且 BD=CD， DE⊥AB于点 E，DF⊥ AC于点 F． （1）求证： AB=AC； （2）若 AD=2 ，∠ DAC=30°，求 AC的长．
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19．已知：点 A、C、 B、 D 在同一条直线，∠ M= ∠N，AM=CN ．请你添加一
个条件，使△ ABM ≌△ CDN ，并给出证明．
（ 1）你添加的条件是：
；
（ 2）证明：
．
20．如图， AB=AC ， AD=AE ．求证：∠ B=∠C．
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三、证题的思路：
已知两边
找夹角（ SAS ） 找直角（ HL ） 找第三边（ SSS）
若边为角的对边，则找
任意角（ AAS ）
已知一边一角
边为角的邻边
找已知角的另一边（
SAS ）
找已知边的对角（
AAS ）
找夹已知边的另一角（
ASA ）
已知两角
找两角的夹边（ ASA ） 找任意一边（ AAS ）
7．全等三角形基本图形 翻折法： 找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，
易发现其对应元素
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旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素 平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
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全等三角形经典题型
1．四边形 ABCD中， AD=BC，BE=DF， AE⊥ BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F． （1）求证：△ ADE≌△ CBF； （2）若 AC与 BD相交于点 O，求证： AO=CO．
21．如图，在△ ABC 中， AD 是△ ABC 的中线，分别过点 B、C 作 AD 及其延长 线的垂线 BE 、CF ，垂足分别为点 E、 F． 求证： BE=CF ．
22．一个平分角的仪器如图所示， 其中 AB=AD ，BC=DC ．求证：∠BAC= ∠DAC ．
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23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点
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4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
二、知识网络
全等形
全等三角形
对应角相等 性质
对应边相等
判定
边边边
SSS
边角边
SAS
角边角
ASA
角角边
AAS
斜边、直角边
HL
角平分线
作图 性质与判定定理
应用
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命题的条件是
和 ，命题的结论是
和 （均填序号）；
（ 2）证明你写出的命题．
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27．如图，已知 AB ∥DE ， AB=DE ，AF=DC ，请问图中有哪几对全等三角形并 任选其中一对给予证明．
28．如图所示， 在梯形 ABCD 中，AD ∥BC，∠B=∠ C，点 E 是 BC 边上的中点． 求证： AE=DE ．
16．如图， Rt△ ABC ≌ Rt △DBF ，∠ ACB= ∠DFB=90 °，∠ D=28°，求∠ GBF 的 度数．
第 12 页 共 12 页
17．如图，已知 AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与 BD 交于 O，AC=BD ．求证：△ ABC ≌△ BAD ．
18．已知：如图，点 B、F、C、E 在一条直线上， BF=CE ，AC=DF ，且 AC ∥ DF ． 求证：△ ABC ≌△ DEF ．
全等三角形
一、基本概念 1、全等的图形必须满足：
（ 1）形状相同的图形； （2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （ 2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（ SSS） （1）三边对应相等的两个三角形全等。 (ASA) （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (AAS) （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (SAS) （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (HL) （ 5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
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25．如图，已知 AB=DC ，AC=DB ．求证：∠ 1=∠ 2．
26．如图，D、E 分别为△ ABC 的边 AB、AC 上的点， BE 与 CD 相交于 O 点．现
有四个条件： ① AB=AC ； ② OB=OC ；③ ∠ABE= ∠ ACD ；④ BE=CD ．
（1）请你选出两个条件作为题设， 余下的两个作为结论， 写出一个正确的命题：
B、F、C、E 在
同一直线上），并写出四个条件： ① AB=DE ，② BF=EC ，③ ∠ B=∠E ，④ ∠ 1=
∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
Leabharlann Baidu
题设：
；结论：
．（均填写序号）
证明：
24．如图，在△ ABC 和△ DEF 中， AB=DE ，BE=CF ，∠ B=∠1． 求证： AC=DF ．（要求：写出证明过程中的重要依据）
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5．如图：点 C 是 AE的中点，∠ A=∠ECD， AB=CD，求证：∠ B=∠ D．
6．如图，已知△ ABC和△ DAE，D 是 AC上一点， AD=AB， DE∥AB，DE=AC．求证： AE=BC．
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7．如图， AB∥CD，E 是 CD上一点， BE交 AD于点 F，EF=BF．求证： AF=DF．
8．如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上， AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证： AB∥ DE．
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9．如图，点 D 是 AB上一点， DF交 AC于点 E，DE=FE，FC∥AB 求证： AE=CE．
10．如图，点 A、C、D、B 四点共线，且 AC=BD，∠A=∠ B，∠ ADE=∠ BCF，求证： DE=CF．
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11．如图，点 A，B，C，D在同一条直线上， CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．
12．已知△ ABN和△ ACM位置如图所示， AB=AC，AD=AE，∠ 1=∠ 2． （1）求证： BD=CE； （2）求证：∠ M=∠N．
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13．如图， BE⊥ AC，CD⊥AB，垂足分别为 E，D，BE=CD．求证： AB=AC．
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29．如图，给出下列论断： ① DE=CE ，② ∠1=∠2，③ ∠ 3=∠4．请你将其中 的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
30．已知：如图，∠ ACB=90 °，AC=BC ，CD 是经过点 C 的一条直线，过点 A、 B 分别作 AE ⊥CD 、BF⊥ CD ，垂足为 E、 F，求证： CE=BF ．
2．如图，已知点 B， E， C， F 在一条直线上， AB=DF， AC=DE，∠ A=∠D． （1）求证： AC∥DE； （2）若 BF=13，EC=5，求 BC的长．
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3．如图， BD⊥AC于点 D，CE⊥ AB于点 E， AD=AE．求证： BE=CD．
4．如图，点 O是线段 AB和线段 CD的中点． （1）求证：△ AOD≌△ BOC； （2）求证： AD∥BC．
14．如图，在△ ABC和△ CED中， AB∥ CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠ B=∠E．
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15．如图，在△ ABC中， AD平分∠ BAC，且 BD=CD， DE⊥AB于点 E，DF⊥ AC于点 F． （1）求证： AB=AC； （2）若 AD=2 ，∠ DAC=30°，求 AC的长．
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19．已知：点 A、C、 B、 D 在同一条直线，∠ M= ∠N，AM=CN ．请你添加一
个条件，使△ ABM ≌△ CDN ，并给出证明．
（ 1）你添加的条件是：
；
（ 2）证明：
．
20．如图， AB=AC ， AD=AE ．求证：∠ B=∠C．
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三、证题的思路：
已知两边
找夹角（ SAS ） 找直角（ HL ） 找第三边（ SSS）
若边为角的对边，则找
任意角（ AAS ）
已知一边一角
边为角的邻边
找已知角的另一边（
SAS ）
找已知边的对角（
AAS ）
找夹已知边的另一角（
ASA ）
已知两角
找两角的夹边（ ASA ） 找任意一边（ AAS ）
7．全等三角形基本图形 翻折法： 找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，
易发现其对应元素
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旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素 平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
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全等三角形经典题型
1．四边形 ABCD中， AD=BC，BE=DF， AE⊥ BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F． （1）求证：△ ADE≌△ CBF； （2）若 AC与 BD相交于点 O，求证： AO=CO．
21．如图，在△ ABC 中， AD 是△ ABC 的中线，分别过点 B、C 作 AD 及其延长 线的垂线 BE 、CF ，垂足分别为点 E、 F． 求证： BE=CF ．
22．一个平分角的仪器如图所示， 其中 AB=AD ，BC=DC ．求证：∠BAC= ∠DAC ．
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23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点
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4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
二、知识网络
全等形
全等三角形
对应角相等 性质
对应边相等
判定
边边边
SSS
边角边
SAS
角边角
ASA
角角边
AAS
斜边、直角边
HL
角平分线
作图 性质与判定定理
应用
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命题的条件是
和 ，命题的结论是
和 （均填序号）；
（ 2）证明你写出的命题．
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27．如图，已知 AB ∥DE ， AB=DE ，AF=DC ，请问图中有哪几对全等三角形并 任选其中一对给予证明．
28．如图所示， 在梯形 ABCD 中，AD ∥BC，∠B=∠ C，点 E 是 BC 边上的中点． 求证： AE=DE ．
16．如图， Rt△ ABC ≌ Rt △DBF ，∠ ACB= ∠DFB=90 °，∠ D=28°，求∠ GBF 的 度数．
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17．如图，已知 AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与 BD 交于 O，AC=BD ．求证：△ ABC ≌△ BAD ．
18．已知：如图，点 B、F、C、E 在一条直线上， BF=CE ，AC=DF ，且 AC ∥ DF ． 求证：△ ABC ≌△ DEF ．
全等三角形
一、基本概念 1、全等的图形必须满足：
（ 1）形状相同的图形； （2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （ 2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（ SSS） （1）三边对应相等的两个三角形全等。 (ASA) （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (AAS) （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (SAS) （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (HL) （ 5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
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25．如图，已知 AB=DC ，AC=DB ．求证：∠ 1=∠ 2．
26．如图，D、E 分别为△ ABC 的边 AB、AC 上的点， BE 与 CD 相交于 O 点．现
有四个条件： ① AB=AC ； ② OB=OC ；③ ∠ABE= ∠ ACD ；④ BE=CD ．
（1）请你选出两个条件作为题设， 余下的两个作为结论， 写出一个正确的命题：