解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型

类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状

2 2 2

例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C

由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2

c 2

三角形为等腰直角三角形.

例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状.

解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120

A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1

二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形

2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2)

0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2

即三角形为等腰三角形或直角三角形

例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状.

cosB cosC

解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC

整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC

，结合正、余弦定理得

例3:在厶ABC 中，已知

tan A tan B

2

，试判断厶ABC 的形状.

b 2

解：法1:由题意得 sin AcosB

sin B cos A ■ 2 A

sin A ■ 2 - sin B

,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B

??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A

a

2

a

2 ,2

c b 法2：由已知得sinAcosB sin B

cos A

2

a

2

结合正、余弦定理得

b 2

2ac b b 2 2 2 c a

a 2

b 2

B

i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.

为等腰直角三角形.

类型二求范围与最值

1、在中，角所对的边分别为满足

，”则的取值范围是_

2 2 2 2 2 2

a — c - a a - c

b

c ，化简整理得 (a 2 b 2 c 2

2ac 2ab

)(b c) 0

2 2

b c 即三角形为直角三角形.

例5： （2

在厶ABC 中，（1）已知a — b=ccosB — ccosA ，判断△ ABC 的形状. 若 b=asinC,c=acosB,判断△ ABC 的形状. 解: （1）由已知结合余弦定理可得

a b c

a 2 c 2

b 2

c 2

(a

b)(a 2 b 2 c 2) 0 ??? a b 或a 2 b 2 (2)

b=as inC

可知b sinC 哑, a sin A

2ac

b 2

c - 2bc

2

a

，整理得

c 2，?/三角形为等腰三角形或直角三角形 2 2 ,2

a c

b 亠

c=acosB 可知c a

整理得

2ac

b 2

c 2

a 2，即三角形 ，定是直角三角形，Z A=90 , /? sinC=sinB /-Z B=Z C,「.A ABC

例6:已知△ ABC 中, cos A -，且(a 2): b : (c 2) 5 1:2:3， 判断三角形的形状. 解：由题意令a 2 k,b 2k,c 2 3k(k 0)，则 a k 2,b 2k, c 3k 2 4

??? cos A —,由余弦定理得k

5

角三角形.

2

4 ?/ a 6,b

8, c 10 ?/ a

b c 即厶ABC 为直

7.在厶 ABC 中, a 、 b 、c 分别为 A B C 的对边，cos

2

-

匕工，则△ ABC 的形状为

2c

8.在 ABC 中，若

tan A 2c b

,，则 A=

tan B b

2、在厶ABC 中, AD 为BC 边上的高线， AD= BC 角代 B ， C 的对边为a ， b c

b ，

c ，则齐的最

大值是

1 1

解析 因为AD= BC= a ,由尹2 = ?bc sin A,解得sin A =

2

bc 再由余弦定理得

.2 2 2

b +

c — a

cos A='

2bc

1 b

2 c

值为.5

2

a bc

1 b c

b c

1(b b sinA)，得 c +2cos A + sin A 又

A € (0 ,n )，最大

解析几何或者几何法

1解析几何法： ABC,BC 2,AB 、、3AC,求 ABC 面积的最大值。 2几何法： ABC ，知道BC=4, AC=2 3,求B 的范围。 方程有解，利用判别式求范围。 附例：

4、 已知 ABC 中，B=—,b 3，且 ABC 有两解，则边a 的取值范围是

3

5、 借力打力型求取值范围

附例：钝角三角形中， B ―，若最大边和最小边长的比为

m 则m 的取值范围是

3

设钝角三角形的另外两个角是 + ， -—

3 3

6、 已知△ ABC 中, AB= 1, BO 2,则角C 的取值范围是 _________

A

/

b

c

J F

/

B

C

a

AB

7、 在厶ABC 中若 C 2 B ,则竺 的取值范围 ____________________

AC

8、 已知 ABC 中，B=—,b 3，且 ABC 有一解，则边a 的取值范围是

3

9、 已知 ABC 中，a x,b 2,B 45o ,若该三角形有两解，则x 的取值范围是 ________________ 10、钝角三角形 ABC 的三边长为 a , a +1, a +2( a 11、在锐角 ABC 中，BC 1 , B 2A ，则 12、设 ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 2C ，则 si nA : si n B : sin C 为

取值范围

C 一

N

），则 a=

AC 的取值范围为

a,b,c ，若三边的长为连续的三个正整数,

且 ABC , A 14、在锐角三角形

ABC 中,

黑)

15、在锐角三角形

ABC 中,

A 2

B ，则一「的取值范围是 b c

2 2

S

c (a b)

, C 既不是最大角，也不是最小角，求

k 值

k

k 4tan ,C （45 ,90 ）, k （4、2 4,4）2

45°

11、在 ABC 中，若 A = 600, a 2.3，则

a 2

b 3

c sin A 2sin B 3sin C

16.在钝角三角形 ABC 中，已知a 1,b 2,则c 的取值范围为 _ (1,、.3) (..5,3)_

类型三求值专题

1、 在厶ABC 中，若BC=5 CA=7, AB=8,则厶ABC 的最大角与最小角之和是

.

2、 在厶 ABC 中,已知(b + c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6，则 sin A ： sin B ： sin C = _____ .

3、 在厶 ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC= 3BD AD=^2,/ ADB= 135°,若 AC={2AB 则 BD= .

解析：T (b + c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6,二设 b + c = 4k , c + a = 5k , a + b = 6k (k > 0), 7 5

3

解得 a = q k , b = q k , c = q k , — sin A : sin B : sin C= a : b : c = 7 : 5 : 3.答案：7 : 5 : 3 4、钝角三角形边长为 a , a + 1, a + 2,其最大角不超过120°,则a 的取值范围是 ______________ . 5、 在厶ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b 且最大内角为 120°，贝U a= .

6、 如果满足/ ABC= 60°,AC = 12 , BC= k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是 _________ .

7、 在厶 ABC 中，若 C = 30°, AC= 3寸3, AB= 3,则厶 ABC 的面积为 ______ . 、

AB AC

AC 疝 1 J 3

解析：由正弦定理得：

= ,sin B = sin C = ?7=二_，所以B= 60 °或120° . sin C sin B AB 3 2 2

1

1

厂叭用

1

当 B = 60° 时，S A = 2ABX AC= 2 - 3 - 3 .3=丁 ；当 B = 120。时，S A = ^AB X AC- sin30 ° =症

=4 '

答案：攀或攀 8、

仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入

b a

tan C

附例：在锐角△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若-+匚=6cos

C,贝U

-

a b

tan A

誓的值是 tan B

9海上有 A B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60o 的视角，从B 岛望C 岛 和A 岛成

75o 的视角；贝U B 、C 间的距离是 ___________________________ 海里.

10?某渔轮在航行中不幸遇险， 发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，测得该渔轮在方

位角450、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角 105o 的方向、以每小时9海里 的速度向附近的小岛靠拢。我海军舰艇立即以每小时 21海里的速度前去营救；则舰艇靠 近渔轮所需的时间是 _______________ 小时?

4

cos A — , A .

2

3

13、在 ABC 中，在

ABC 中,若 tan A 2c b ,，求 A .

tan B

b

sin A

解：由正弦定理知

c 2Rs inC ，b sinB ，

cosA 2si n C sinB

2s inC

sin B sin B

sin B

cosB

sin AcosB 2s inC sin (A B) 2si nC sin C 2sin C I cos As in B

sin B ' sin B cos A sin B '

sin BcosA

sin B '

12、在 ABC 中，三边a,b,c 与面积s 的关系式为s —(a 2 b 2 c 2)则角C 为

4

，

---------

1