系数非线性常微分方程的特解表达式
求常系数非齐次线性微分方程的特解
D D (I DT C E F = G H J K L 2 < M N J KO = N M L 2 = 3 1= PQ = 3 1 L J 3 LQ = H P P 2 < 2 H 3 LF 2 3 H J KR 2 P P H K H 3 L 2 J NC S M J L 2 = 3 1 U HV 3 1 L 2 L M L H= P
4 - 因此原方程有特解 再代入整理成的方程有 G 可特解 G & )/ . 2 )04 0+ . )0+ 0 + D G 4 - + !)0 " +% + $ ; < + E " $ )" " $ %: " $ $ 9 + : + > ? @ A + + @ B C %: ! 2 %F !) : " + $ > ? @ A +M ; 4 的一个特解 D 只要我们能分别求出 < + ! ( %: ! 2 %F !) : " + $ > ? @ A +M ; 4
BB +
" @ -% (
-. +
" @ -% (
-0 +
" @ -; (
" @ A% (
1? @ " @A % ( B; 3- ? @A % ( F @D @ A % D"
+
" @ -% ( " @ ( -. + - 0D + 1? @ F @D " @ ( + 1
% ? @ F @D 0 " @ -; ( " @ -% ( " & ( " @ -% ( " @ A% ( 当然 # 此时 + 这样 由 + # 通 过最 后 第二 个式子 可得 + 如此 往上推 # 一直 1+ 1& # G + 到" 式# 可得一个特解 + % ( * 上面这个方法 # 我们称之为升阶法 # 下面举几例说明此法 * 从上面一系列式子中的最后一个 # 我们可令 例H 求+ , AI / -J 1;的特解 + + ; 显然可取 + 1 * J $ 例K 求+ 的特解 , -E / -$ 13 + + 解 由原方程两边求导 # 直到右边为常数止 # 解
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分子解法的若干示例
关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分算子解法的若干示例一、表示符号把某函数对于自变量x 的导数写成D ，即D=dxd 。
例如，函数y 对x 的一阶导数为y dxdy '=，可以表示成Dy ，同理，y ''可以写成2D y ，三阶、四阶….以此类推D1则代表着求积分，如D1x ，就是⎰xdx ，参看复习指导二、 微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：)x (f y a y a ya y a n 1n )1n (1)n (0=+'+++-- (1)当然，你也可以写成：)x (f y p y p y p y n 1n )1n (1)n (=+'+++-- ，本质都一样，这种形式相当于（1）方程两边同时除以a 0（0≠）。
这里我们以（1）式为准。
用微分子形式表示方程（1）：)x (f y a Dy a y D a y D a n 1n 1n 1n 0=++++-- 方程左边把公因子y 提出来：f(x))y a D a D a D (a n 1n 1n 1n 0=++++--上式中，把)a D a Da D (a n 1n 1n 1n0++++-- 看作关于D 的一个函数表达式，表示成F （D ）即F （D ）=)a D a Da D (a n 1n 1n 1n 0++++--则方程（1）最终可以写成：F （D ）y=f （x ）三、 相关结论 F （D ）kxe=kxe·F （k ）甲也可以写成：)F(k ee )D (F 1kxkx=，（分母不为零时），若分母为零，参见指导书表格内的公式证明：F （D ）kxe =kxn 1n 1n 1n0)ea D a Da D (a ++++--=)(ea )(ea )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++--=kxn kx1n kx1-n 1kxn 0ea kea eka e k a ++++-kxn 1n 1-n 1n0-kx=F （k ）kxe甲注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不一样的，左边F （D ）是求导，具体来说左边是kxn 1n 1n 1n0)ea D a D a D (a ++++-- ，即)(ea )(e a )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++-- ，而方程右边则是)(ekx乘于多项式F （k ）其中，左边的带下划线的部分的函数形式与F （D ）一样，因此写成F （k ）形式，只是字母 是常数k ，而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k 的多项式了。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法
黑龙江工业学院学报JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12Dec. 2020第20卷第12期2020年12月文章编号：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的应用领域。
分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、变量变换法 和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。
关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175 文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不可或缺的一个组成部分⑴。
例如,在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存 在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。
因此, 常微分方程是解决实际问题的重要工具。
其中， 形如y" +py' +qy =/(%)(其中p,g 为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。
众所周知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o 本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。
同时,分析了各个二阶常系数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。
1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法1」积分法求解方程设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) =cp (:x - t) dt 。
微分方程的特解形式大全
微分方程的特解形式大全微分方程是数学中一类重要的方程，其解决了许多实际问题。
对于一个微分方程，一般情况下存在通解和特解两种解。
通解是该微分方程的所有解的集合，而特解是满足特定条件或给定初值条件的解。
下面将介绍一些常见微分方程的特解形式。
1. 一阶线性常微分方程:一阶线性常微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。
其特解形式可以通过常数变易法得到。
假设通解为y = c(x)y_1(x)，其中c(x)为未知函数，y_1(x)为已知解。
将这个形式代入方程中可以得到c(x)的微分方程，通过求解这个微分方程可以得到特解。
2. 二阶常系数齐次线性微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = 0。
其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。
通过求解代数方程可以获得特解的形式。
3. 二阶非齐次线性微分方程:二阶非齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = f(x)。
其中f(x)为已知函数。
特解的形式可以通过常数变易法或待定系数法得到。
常数变易法假设特解为y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为未知函数。
待定系数法假设特解为已知函数的线性组合，通过代入方程得到待定系数。
4. 高阶常系数齐次线性微分方程:高阶常系数齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1) y/dx^(n-1) + ... + a_n y = 0。
其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。
通过求解代数方程可以获得特解的形式。
5. 高阶非齐次线性微分方程:高阶非齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_n y = f(x)。
其中f(x)为已知函数。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
【常系数非齐次微分方程的特解怎么设】一、引言在数学的学习中，微分方程是一个重要的分支，在工程、物理等领域有着广泛的应用。
其中，常系数非齐次微分方程的特解是一个颇具挑战性的问题。
本文将围绕这一主题展开讨论，深入探究如何设定常系数非齐次微分方程的特解，以帮助读者更全面地理解这一内容。
二、常系数非齐次微分方程的基本形式我们需要了解常系数非齐次线性微分方程的基本形式。
一般地，常系数非齐次线性微分方程可以表示为：\[ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = F(x) \]其中，\[ y^{(n)} \] 表示 y 的 n 阶导数，\[ a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0 \] 为常数，\[ F(x) \] 为非齐次项。
三、常系数非齐次微分方程特解的设定接下来，我们将探讨如何设定常系数非齐次微分方程的特解。
一种常用的方法是根据非齐次项的形式来设定特解的形式。
具体来说，如果非齐次项为多项式形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的多项式；如果非齐次项为指数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数；如果非齐次项为三角函数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的三角函数等等。
四、具体案例分析为了更好地理解常系数非齐次微分方程特解的设定方法，我们以具体的案例来进行分析。
考虑如下的微分方程：\[ y'' - 3y' + 2y = 4e^x \]我们可以根据非齐次项的形式来设定特解的形式，因为非齐次项为指数形式，所以我们设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数，即\( y_p = Ae^x \)。
将 \( y_p \) 代入原方程，得到：\[ (Ae^x)'' - 3(Ae^x)' + 2Ae^x = 4e^x \]整理化简后，得到 \( A = 2 \)，因此特解为 \( y_p = 2e^x \)。
一类常系数非齐次线性微分方程的特解公式
易 知
（ ） １ 一 （ ） １ 一 （ ） １ 一 （ ） ０ １ 一 ．
但 ㈩（ ） ， １ ≠０ 故 一１为多项 式 （ ） 四重根 ， 的 不难 得 （ ） ）（ 一２ ． 由定 理 １和定理 ３ 一（ 一１ ）故 得
［（ １＝ ＋）＝ ］ ＝
｛ ［（ １｝ ｅ ＋） ］
一 Ｔ ［（ ＋） ｅ一１ ５ ｅ一 ２ 一 （ ． ｚ． ］ ｒ 一 ）
［ 参 考 文 献 ］
［ ］ 卢 宝 莹 ． 化待 定 系数 法 ［］数 学 的 实践 与认 识 ，９２ １ （ ） １ —１ ． １ 简 Ｊ． １ ８ ，２ ３ ：１ ３ ［］ 杨 ２ 继明 关于 ． 差分方 ｎ 一∑ 程Ｕ ｒ ＋
一
厂 ） 任 解 为 方 起 我 以“ 表 复 函 一 （在 —。 的愚 导 ． （ 的 一 ・ 了 便 见，们 Ｊ 示 变 数“ “ ） 处 阶 数
引理 １ 设 （ ） 为 次多项 式 ， ） 实变 数 的复 系数 多项 式 ，。 Ｐ（ 是 为复数 ， 则
ｉ＝ ０
］ ［ １） （
一 ｅ
＋ 丽 ）： （ １ 。
］
ｆ ＋ ０． ｚ ） １
例 ２ 求微 分方程 （ 一６ ４ ４ ａ ６ ２ Ｄ－ ２ —ｅ（ Ｄ ＋１ Ｄ 一１ Ｄ ＋ｇ － ） ＋１ 的一个特 解 ． ）
解 设
（ 一 一 ６ ＋ １ Ａ 一 １ ３ ＋ ９， ２， ） ４。 ６， ９ －
例 １ 求微 分方程 一２ （ ｙ ＋４ —ｅ ＋２ 的一 个特解 ． ）
解
设 （ ） － ２ ＋４ 则 （ ） ， Ａ 一 Ａ ， ３ ≠０ 故 ＝３不 为多项 式 （ ） 的根 ． 由定 理 １得 ， ＋ 一
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
万方数据
万方数据
万方数据
万方数据
三类常系数非线性常微分方程的特解表达式
作者：陈友朋， 钱明忠， 黄娟娟
作者单位：江苏省盐城师范学院数学科学学院,江苏盐城,224051
刊名：
高等数学研究
英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
年，卷(期)：2009，12(4)
被引用次数：0次
1.张建梅.孙志田.崔宁关于y″+py'+qy=Aeαx的特解[期刊论文]-高等数学研究 2005(03)
2.曾菊华.胡小英关于常系数线性微分方程的特解表达式[期刊论文]-高等数学研究 2006(04)
3.Π Э 艾利斯哥尔兹.南开大学数学系编译中队.崔士英微分方程 1959
1.期刊论文刘琳琳非齐次常系数常微分方程特解形式的一个推导-喀什师范学院学报2002,23(3)
考虑n阶非齐次常系数线性常微分方程y(n)+Pn-1y(n-1)+…+p1y1+poy=f(x),当它的右端项f(x)=eλχPm(x)时,给出它的特解形式的推导.
2.期刊论文张学凌.王志伟求一类常微分方程特解的程序化方法-天中学刊2008,23(5)
通过对常微分方程常规解法的进一步探讨,推导出一类三阶常系数非齐次线性微分方程求特解的统一表达式,并通过C++语言编程,利用计算机直接输出结果,提高了求解的速度和准确性.
3.期刊论文沈彻明.SHEN Che-ming求非齐次高阶常系数线性常微分方程的特解的一般公式-数学的实践与认识2000,30(4)
本文提出了高阶常系数线性常微分方程的第二类特征代数方程,并利用它获得了求非齐次方程的特解的一般公式.
4.期刊论文赵苏串一类常系数非齐次常微分方程的特解的求法-上海大学学报(自然科学版)1999,5(6)
讨论了形如u+αu=f(x),u(4)+αu.+βu=f(x),其中f(x)=(sinωx)2k或(cosωx)2k(k∈Z+),ω≠0ε,α,β均为常数的特解的求法.
5.期刊论文龚东山.刘岳巍.贾筱景.GONG Dong-shan.LIU Yue-wei.JIA Xiao-jing计算一类常微分方程特解的新方法-河北北方学院学报(自然科学版)2008,24(6)
目的 计算高阶常微分方程特解的方法有待定系数法、常数变易法、拉普拉斯变换法、积分法等,它们的计算工作量一般较大,为弥补上述方法的不足,有必要探究另一种简便实用的新方法--特征函数法.方法 先定义该类高阶常微分方程的对应齐次方程的特征函数,再利用特征函数的导数,可得到非齐次项为特殊函数情形时方程的一个特解.结果 只需求出特征方程的根,就可得到该类高阶常微分方程的一个特解.结论 利用特征函数法可以得到一类常微分方程的一个特解,该方法使用简单,所得特解形式直观.
6.期刊论文龚东山.刘岳巍.牛富俊.GONG Dong-shan.LIU Yue-wei.NIU Fu-jun特征函数在高阶常微分方程特解计算中的应用-吉林师范大学学报(自然科学版)2008,29(4)
通过借助特征函数的导数,得到了非齐次项为特殊函数情形的一类高阶常微分方程的一个特解的一种新的计算方法.运用该方法,还得到了非齐次项为常见情形时方程的一个特解.
7.期刊论文陈新一一类二阶常微分方程的特解 -高等数学研究2010,13(1)
研究一类二阶实常系数非齐次微分方程y″+py′+q=(a0+a1x)eαxsinβx的解法,应用叠加原理和Euler公式,将其化为二阶线性非齐次方程,并利用对应的特征方程给出了这一类方程特解的一般公式,简化这一类微分方程的求解过程.
8.期刊论文张学凌二阶非齐次线性常微分方程特解的算法模型-许昌学院学报2003,22(2)
用迭代算法求二阶非齐次线性常微分方程y"+py'+qy=pn(x)eax=(AnXn+…+Aixi+…+Ao)eax的特解是一种新的尝试,借助C++BUILDER编译器成功地实现了该算法,较圆满地解决了此类微分方程求特解时实际计算上的问题.
9.期刊论文王欣欣.郑秉文用微分算子求常微分方程特解的注记-吉林师范大学学报(自然科学版)2003,24(3)
本文给出常系数线性微分方程最简特解的定义,论证了常系数线性微分方程最简特解的形式,同时给出了用微分算子求常系数线性微分方程最简特解的方法.
10.期刊论文陈新一.唐文玲.CHEN Xin-yi.TANG Wen-ling一类三阶常微分方程的特解公式-甘肃联合大学学报（自然科学版）2007,21(1)
利用比较系数法,推导出三阶常系数微分方程y"'+py"+qy'+ry=(a0+a1x+a2x2)eλx的特解的一般公式.利用这个公式可直接得到此类微分方程的特解.
本文链接：/Periodical_gdsxyj200904014.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：0494467a-5728-47be-9cc4-9dcf0154b484
下载时间：2010年8月11日。