常用矩阵函数
请特别注意红色字体的命令
eye 单位矩阵
zeros 全零矩阵
ones 全1矩阵
rand 均匀分布随机阵genmarkov 生成随机Markov矩阵linspace 线性等分向量
logspace 对数等分向量
logm 矩阵对数运算
cumprod 矩阵元素累计乘cumsum 矩阵元素累计和
toeplitz Toeplitz矩阵
disp 显示矩阵和文字内容
length 确定向量的长度
size 确定矩阵的维数
diag 创建对角矩阵或抽取对角向量find 找出非零元素1的下标matrix 矩阵变维
rot90 矩阵逆时针旋转90度
sub2ind 全下标转换为单下标
tril 抽取下三角阵
triu 抽取上三角阵
conj 共轭矩阵
companion 伴随矩阵
det 行列式的值
norm 矩阵或向量范数
nnz 矩阵中非零元素的个数
null 清空向量或矩阵中的某个元素orth 正交基
rank 矩阵秩
trace 矩阵迹
cond 矩阵条件数
inv 矩阵的逆
rref 求矩阵的行阶梯形
rcond 逆矩阵条件数
lu LU分解或高斯消元法
pinv 伪逆
qr QR分解
givens Givens变换
linsolve 求解线性方程
lyap Lyapunov方程
hess Hessenberg矩阵
poly 特征多项式
schur Schur分解
expm 矩阵指数
expm1 矩阵指数的Pade逼近
expm2 用泰勒级数求矩阵指数
expm3 通过特征值和特征向量求矩阵指数
funm 计算一般矩阵函数
logm 矩阵对数
sqrtm 矩阵平方根
spec 矩阵特征值
gspec 矩阵束特征值
bdiag 块矩阵，广义特征向量
eigenmar- 正则化Markov特征
kov 向量
pbig 特征空间投影
svd 奇异值分解
sva 奇异值分解近似
cumprod 元素累计积
cumsum 元素累计和
hist 统计频数直方图
max 最大值
min 最小值
mean 平均值
median 中值
prod 元素积
sort 由大到小排序
std 标准差
sum 元素和
trapz 梯形数值积分
corr 求相关系数或方差
sparse 稀疏矩阵
adj2sp 邻接矩阵转换为稀疏矩阵
full 稀疏矩阵转换为全矩阵
mtlb_sparse 将scilab稀疏矩阵转换为matlab稀疏矩阵格式sp2adj 将稀疏矩阵转换为邻接矩阵
speye 稀疏矩阵方式单位矩阵
sprand 稀疏矩阵方式随机矩阵
spzeros 稀疏矩阵方式全零阵
lufact 稀疏矩阵LU分解
lusolve 稀疏矩阵方程求解
spchol 稀疏矩阵Cholesky分解
1、将四个顶点的坐标写成如下形式：
1 -1 -1 1
1 1 -1 -1
2、再写成齐次坐标形式，从而构成一个矩阵：
A =
1 -1 -1 1
1 1 -1 -1
1 1 1 1
3、向量缩放：
采用数乘的方法，k = 0.8000
各点齐次坐标为：
A =
0.8 -0.8 -0.8 0.8
0.8 0.8 -0.8 -0.8
0.8 0.8 0.8 0.8
4、旋转：
采用如下的变换矩阵：
X=[cos(fai) -sin(fai) 0
sin(fai) cos(fai) 0
0 0 1]
X*A即为旋转后的齐次坐标。
5、平移：
采用如下的变换矩阵：
P=[1 0 a
0 1 b
0 0 1]
P *X*A即为旋转平移后的齐次坐标。
MATLAB常用矩阵函数
1. 矩阵的构造与操作zeros 生成元素全为0的矩阵ones 生成元素全为1的矩阵eye 生成单位矩阵rand 生成随机矩阵randn 生成正态分布随机矩阵sparse 生成稀疏矩阵full 将稀疏矩阵化为普通矩阵diag 对角矩阵tril 矩阵的下三角部分triu 矩阵的上三角部分flipud 矩阵上下翻转fliplr 矩阵左右翻转MATLAB还能够构造一些常用的特殊矩阵2. 矩阵运算函数norm 矩阵或向量范数normest 稀疏矩阵（或大规模矩阵）的2-范数估计rank 矩阵的秩det 方阵的行列式trace 方阵的迹null 求基础解系（矩阵的零空间）orth 正交规范化rref 矩阵的行最简形（初等行变换求解线性方程组）subspace 计算两个子空间的夹角3. 与线性方程有关的矩阵运算函数inv 方阵的逆cond 方阵的条件数condest 稀疏矩阵1-范数的条件数估计chol 矩阵的Cholesky分解（矩阵的平方根分解）cholinc 稀疏矩阵的不完全Cholesky分解linsolve 矩阵方程组的求解lu 矩阵的LU分解ilu 稀疏矩阵的不完全LU分解luinc 稀疏矩阵的不完全LU分解qr 矩阵的正交三角分解pinv 矩阵的广义逆4. 与特征值或奇异值有关的矩阵函数eig 方阵的特征值与特征向量svd 矩阵的奇异值分解eigs 稀疏矩阵的一些（默认6个）最大特征值与特征向量svds 矩阵的一些（默认6个）最大奇异值与向量hess 方阵的Hessenberg形式分解schur 方阵的Schur分解。
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法矩阵幂和矩阵指数函数是矩阵运算中比较重要的两个概念。
在矩阵幂和矩阵指数函数的计算过程中，我们需要用到一些特殊的算法和方法。
本文将介绍矩阵幂和矩阵指数函数的概念、计算方法和应用等方面的内容，帮助读者更好地了解和掌握这两个概念。
一、矩阵幂的概念对于一个$n$阶矩阵$A$，设$k$为一个自然数，则$A^k$表示$k$次幂。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k\text{个} A}$其中，当$k=0$时，$A^k$等于$n$阶单位矩阵$I_n$。
矩阵幂的计算过程中，我们需要用到矩阵乘法的定义。
对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$定义为：$AB=[c_{ij}]=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示第$i$行第$k$列的元素和第$k$行第$j$列的元素。
二、矩阵幂的计算方法矩阵幂的计算方法有两种：直接幂法和快速幂法。
1. 直接幂法直接幂法是一种比较简单的计算矩阵幂的方法。
对于一个$n$阶矩阵$A$和一个自然数$k$，我们可以通过$k-1$次连乘的方式计算出$A^k$的值。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k-1\text{个} A} \times A$由此可见，计算矩阵幂的直接幂法需要进行$k-1$次矩阵乘法运算，时间复杂度为$O(kn^3)$。
2. 快速幂法快速幂法是计算矩阵幂的高效方法，它能够有效地减少运算次数，提高计算效率。
该方法基于指数的二进制表示，通过不断地平方和乘以相应的权值，最终计算出矩阵幂的值。
具体步骤如下：（1）将指数$k$转换成二进制数，例如，$k=13$转换成二进制数为$1101$。
matlab产生随机矩阵的函数
随机矩阵在数学和科学领域中有着广泛的应用，在matlab中也提供了一些函数来快速生成随机矩阵。
本文将介绍matlab中几种常用的随机矩阵生成函数，并对它们的使用方法进行说明。
1. rand函数rand函数是matlab中最常用的生成随机矩阵的函数之一。
它可以生成一个指定大小的矩阵，其中的元素都是在0到1之间均匀分布的随机数。
其基本语法为：```A = rand(m,n)```其中m和n分别表示生成矩阵的行数和列数，A为所生成的随机矩阵。
生成一个3行4列的随机矩阵可以使用以下命令：```A = rand(3,4)```该命令将生成一个3行4列的随机矩阵A。
2. randn函数randn函数和rand函数类似，也可以生成指定大小的随机矩阵，不同的是randn生成的是服从标准正态分布的随机数。
其基本语法为：```A = randn(m,n)```其中m和n同样表示生成矩阵的行数和列数，A为所生成的随机矩阵。
生成一个3行4列的服从标准正态分布的随机矩阵可以使用以下命令：```A = randn(3,4)```该命令将生成一个3行4列的服从标准正态分布的随机矩阵A。
3. randi函数randi函数用于生成指定范围内的随机整数矩阵。
其基本语法为：```A = randi([a,b],m,n)```其中[a,b]表示所生成随机整数的范围，m和n表示矩阵的行数和列数，A为所生成的随机整数矩阵。
生成一个3行4列的范围在1到10之间的随机整数矩阵可以使用以下命令：```A = randi([1,10],3,4)```该命令将生成一个3行4列的随机整数矩阵A，其中的元素都在1到10之间。
4. 函数功能比较在实际使用中，我们需要根据具体的需求来选择合适的随机矩阵生成函数。
如果需要生成在0到1之间均匀分布的随机数，可以选择使用rand函数；如果需要生成服从标准正态分布的随机数，可以选择使用randn函数；如果需要生成指定范围内的随机整数矩阵，则可以选择使用randi函数。
总结R语言中矩阵运算的函数
总结R语言中矩阵运算的函数1 创建一个向量在R中可以用函数c()来创建一个向量，例如：> x=c(1,2,3,4)> x[1] 1 2 3 42 创建一个矩阵在R中可以用函数matrix()来创建一个矩阵，应用该函数时需要输入必要的参数值。
> args(matrix)function (data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL)data项为必要的矩阵元素，nrow为行数，ncol为列数，注意nrow 与ncol的乘积应为矩阵元素个数，byrow项控制排列元素时是否按行进行，dimnames给定行和列的名称。
例如：> matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 1 4 7 10[2,] 2 5 8 11[3,] 3 6 9 12> matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)[,1] [,2] [,3][1,] 1 5 9[2,] 2 6 10[3,] 3 7 11[4,] 4 8 12> matrix(1:12,nrow=4,ncol=3,byrow=T) [,1] [,2] [,3][1,] 1 2 3[2,] 4 5 6[3,] 7 8 9[4,] 10 11 12> rowname[1] "r1" "r2" "r3"> colname=c("c1","c2","c3","c4")> colname[1] "c1" "c2" "c3" "c4"> matrix(1:12,nrow=3,ncol=4,dimnames=list(rowname,colname)) c1 c2 c3 c4r1 1 4 7 10r2 2 5 8 113 矩阵转置A为m×n矩阵，求A'在R中可用函数t()，例如：> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)> A[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 1 4 7 10[2,] 2 5 8 11[3,] 3 6 9 12> t(A)[,1] [,2] [,3][1,] 1 2 3[2,] 4 5 6[3,] 7 8 9[4,] 10 11 12若将函数t()作用于一个向量x，则R默认x为列向量，返回结果为一个行向量，例如：> x[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10> t(x)[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10][1,] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10> class(x)[1] "integer"> class(t(x))[1] "matrix"若想得到一个列向量，可用t(t(x))，例如：> x[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10> t(t(x))[,1][1,] 1[2,] 2[3,] 3[4,] 4[5,] 5[6,] 6[8,] 8 [9,] 9 [10,] 10> y=t(t(x)) > t(t(y)) [,1] [1,] 1 [2,] 2 [3,] 3 [4,] 4 [5,] 5 [6,] 6 [7,] 7 [8,] 8[10,] 104 矩阵相加减在R中对同行同列矩阵相加减，可用符号：“＋”、“－”，例如：> A=B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)> A+B[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 2 8 14 20[2,] 4 10 16 22[3,] 6 12 18 24> A-B[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 0 0 0 0[2,] 0 0 0 0[3,] 0 0 0 05 数与矩阵相乘A为m×n矩阵，c>0，在R中求cA可用符号：“*”，例如：> c=2> c*A[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 2 8 14 20[2,] 4 10 16 22[3,] 6 12 18 246 矩阵相乘A为m×n矩阵，B为n×k矩阵，在R中求AB可用符号：“％*％”，例如：> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)> B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)> A%*%B[,1] [,2] [,3][1,] 70 158 246[2,] 80 184 288[3,] 90 210 330若A为n×m矩阵，要得到A'B，可用函数crossprod()，该函数计算结果与t(A)%*%B相同，但是效率更高。
矩阵分析及矩阵函数
xi , 称为1 范数，
i 1
x
max
1in
xi
,
称为 范数，
n
1
x ( p
xi p ) p（, 1 p ）， 称为p 范数，
i 1
n
1
当p=2时，x ( 2
xi 2 )2，称为2 范数，它是酉空间范数；
i 1
n
1
当xi为实数时，x 2 ( xi2 )2 为欧氏空间范数；
i 1
定义 设a1 ( X ), a2 ( X ), , am ( X )对xi的偏导数都存在， 定义向量函数aT ( X )对向量X的导数为
a1( X )
x1
daT ( X ) dX
a1 ( X x2
)
a1( X ) xn
a2 ( X ) x1
a2 ( X ) x2
a2 ( X ) xn
例 设 y 是Cm上的一种向量范数，给定矩阵ACmn ,
且矩阵A的n个列向量线性无关，对任意x (x1, , xn )T
Cn ,规定 x Ax ,则 x 是Cn中的向量范数。
证
(1)设A 1
,
...,
An是矩阵A的n个线性无关的列向量,
那么x=(x1,..., xn )T 0,有
Ax
( A1,..., An )(x1,..., xn )T
dX
dX dX
(2) d ( f ( X )g( X )) g( X ) df (X ) f ( X ) dg( X ) .
dX
dX
dX
向量函数对向量的微分
x1
a1( X )
设
X
x2
,
a(
X
矩阵函数及其应用
二、 矩阵函数的初步计算
1. Jordan 标准形法
对于矩阵的多项式，我们曾导出 f(A)= Pf(J)P-1 ， f：多项式
f(J)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(J1)
f(J2 ) %
%
f(Js )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
f(Ji)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(λi)
f′(λi) %
21!f′′(λi) %
A2 = ⎡⎣⎢⎢01 01⎤⎦⎥⎥ = A3 = A4 = "
B2 = ⎡⎣⎢⎢01 -01⎤⎦⎥⎥ = B3 = B4 = "
∑ eA
=I+(
∝ n=1
1 )A n!
=I+(e
- 1)A
=
⎡⎢⎢⎣e0
e
1
1⎤⎥⎥⎦
∑ eB
=I+(
∝ n=1
1 )B n!
=I+(e
- 1)B
=
⎡⎢⎢⎣e0
1-1e⎤⎥⎥⎦
= an1x1(t)+ an2x2(t)+ " + annxn(t)
式中 t 是自变量，xi = xi(t)是 t 的一元函数(i= 1,2,",n),aij(i,j = 1,2,",n)
是常系数。
令
x(t)=[x1(t),x2(t),",xn(t)]T ， A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣aaa#1n2111
1 λi
1 λi
% %
λ01i ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
有非奇异矩阵 P 使得： P-1AP = J
对于函数 f(z)，若下列函数
f(λi),f′(λi),...,f(mi-1)(λi)
第七章 矩阵函数
第七章 矩阵函数在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。
本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。
§7.1 矩阵序列与极限本章中数域F 均指R (或C )，所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。
我们把n n ⨯阶矩阵序列12k ，，，，A A A ，简记为{}k A ，其中()()()11121()()()21222()()()12=k k k nk k k n k k k k n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，1,2,k = 显然，一个n n ⨯阶矩阵序列{}k A ()n n k ⨯∈A C 中各矩阵的所有对应位置构成n n⨯个数列{}()k ij a ，其中()(,1,2,,)k ij a C i j n ∈= 。
定义1 设矩阵序列{}k A (1,2,...k =)，其中()()C k n n k ij a ⨯=∈A ，若n n ⨯个数列(){}(,1,2,...,)k ij a i j n =都收敛，即存在数ij a ∈C ，使得()lim ,,1,2,...,k ij ij k a a i j n →∞== 则称矩阵序列{}k A 是收敛的，并把矩阵()C n n ij a ⨯=∈A 称为{}k A 的极限，或称矩阵序列{}k A 收敛于A ，简记为lim k k →∞=A A 或()k k →→∞A A若这n n ⨯个数列(){}(,1,2,...,)k ij a i j n =中至少有一个不收敛，则称矩阵序列{}k A 是发散的。
例1 讨论22⨯阶矩阵序列{}k A 和{}k B 的敛散性，其中1sin (1)(1)1k k kk k kk⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，1(0.5)2+1021k k k k k e k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣-⎦B 1,2,k = 。
矩阵的函数
矩阵的函数
矩阵的函数指的是对矩阵进行操作或者变换得到新的矩阵的过程。
常见的矩阵函数包括：
1. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
2. 矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。
矩阵B称为A的逆矩阵。
3. 矩阵的迹：矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。
4. 矩阵的行列式：行列式是一个标量值，用于判断矩阵是否可逆。
若行列式为0，则矩阵不可逆。
5. 矩阵的特征值和特征向量：矩阵A的特征值是一个标量λ，特征向量是指一个非零向量x，使得Ax = λx。
6. 矩阵的幂：将矩阵A自乘n次得到的新矩阵。
7. 矩阵的加法和减法：对应位置上的元素相加或相减得到新矩阵。
除了以上常见的矩阵函数，还有许多其他的矩阵函数，如矩阵的行列变换、矩阵的分解（如LU分解、QR分解等）、矩阵的范数（如F范数、L1范数、L2范数等）等。
这些函数在矩阵计算和应用中都有广泛的应用。
excel矩阵函数
excel矩阵函数
Excel中的矩阵函数是一组用于对矩阵操作进行计算的函数，它们可以用于向量、矩
阵和数组的计算。
以下是一些常见的矩阵函数及其中文介绍。
1. 矩阵乘积函数
矩阵乘积函数是最常用的矩阵函数之一，用于计算两个矩阵相乘的结果。
在Excel中，矩阵乘积函数为 MMULT，其语法为：
MMULT(matrix1, matrix2)
其中，matrix1 和 matrix2 是需要相乘的两个矩阵。
注意，在使用 MMULT 函数时，
矩阵1 的列数要等于矩阵2 的行数。
行列式是一个标量值，代表了矩阵的某些性质。
在Excel中，可以使用 DET 函数来计算矩阵的行列式，其语法为：
DET(matrix)
矩阵逆是一个方阵的逆矩阵，它能够将与其相乘的矩阵还原成原始矩阵。
在Excel中，可以使用 MINVERSE 函数来计算一个方阵的逆矩阵，其语法为：
5. 矩阵最小特征值函数
总结：
矩阵函数在 Excel 中具有重要的地位，它们允许我们对矩阵的加、减、乘、转置、
求逆、求特征值等进行操作。
熟练掌握这些函数的使用，可以为我们解决许多计算上的难
题提供便利。
矩阵函数及函数矩阵矩阵函数及函数矩阵
第六章矩阵矩阵函数及函数矩阵函数及函数矩阵第一节矩阵多项式、最小多项式定义：设nn m m mm CA a a a a p ⨯--∈++++=,)(0111λλλλ m m1-则称E a A a A a A a A p m m 011)(++++=- 为A 的矩阵多项式.块i ⎥⎤⎢⎡λλ1例1：设J i 为d i 阶Jordan ii J ⎥⎥⎥⎢⎢⎢=1 iidd i ⨯⎦⎣λJ d di ()例2：设J 为Jordan 标准形, J =diag(J 1, J 2, , J r ), 则:diag J J J J =))(,),(),((g )(21r p p p p 例3：设A 为n 阶矩阵, J 为其Jordan 标准形, A =PJP -1=P diag(J 1, J 2, , J r )P -1,则:11--== (以上表达式称为p (A )的Jordan 表示)21))(,),(),((diag )()(PJ p J p J p P P J Pp A p r 例4：设34,12)(-+-=p λλλλ1020*********-⎥⎥⎤⎢⎡=⎥⎥⎤⎢⎡=PP A 200311⎦⎢⎣⎦⎢⎣-⎥⎤⎢⎢⎡-=⎥⎤⎢⎡=-111010,0011101P P 其中:⎥⎥⎦⎢⎣-⎥⎥⎦⎢⎢⎣-110101则:=-)()(1PJ Pp A p ⎤⎡-⎤⎡'⎤⎡0100)2()2(0110p p ⎥⎥⎦⎢⎢⎣-⎥⎥⎦⎢⎢⎣⎥⎥⎦⎢⎢⎣-=0110111)2(000)2(010101p p ⎥⎤⎢⎡--=⎥⎥⎤⎢⎢⎡''-'''-'=98901)2()2()2()2(00)2(p p p p p ⎥⎦⎢⎣⎦⎣+1099)2()2()2()2(p p p p定义：设0111)(,a a a a p C A m m m m nn ++++=∈--⨯λλλλ 若-满足则称(λ)为A 的化零多项式.0)(0111=++++=-E a A a A a A a A p m m mm p 定理：设是A 的化零多项)det()(,A E D CA nn -=∈⨯λλ则式,即D (A ) =0. (Hamilton Hamilton--Cayley 定理)))))证明：设J =diag(J 1(λ1), J 2(λ2), , J r (λr )) 是A 的若当标准型,即A =PJP -1=P diag(J 1, J 2, , J r )P -1, 则:1211))(,),(),((diag )()(--==PJ D J D J D P P J PD A D r)()()(λλλλf p id i i -=⇒id 即: Jordan 块的最小多项式为其初等因子.ii J )()(λλλψ-=⇒定理：设, 则:的任一化零多项式都能被nn CA ⨯∈(1)A 的任化零多项式都能被ψA (λ)整除;(2)A 的最小多项式ψA (λ)是唯一的;(3)相似矩阵的最小多项式相同证明：(1) 设f (λ)为A 的化零多项式, 则∃多项式q (λ)及次数小于ψA (λ)次数的多项式r (λ),使)()()()(λλλψλr q f A +=⇒)()()()(=+=A r A q A A f A ψ即: r (λ)也是A 的化零多项式. 从而r (λ) =0, 否则与ψA (λ)为A 0)(=A r 再由⇒)(=A A ψ的最小多项式矛盾,因为r (λ)的次数<ψA (λ)的次数.(2)(2)设ψA (λ)及ξA (λ)都为A 的最小多项式, 则ψA (λ)能被ξA (λ)整除, ξA (λ)也能被ψA (λ)整除,从而ψA (λ) =ξA (λ).(3) 设B =P -1AP , A 和B 的最小多项式为p (λ)和q (λ). 由B =-1)=-1=0,P AP 知:p (B ) P p (A )P 0, 从而p (λ)是B 的化零多项式, p (λ)的次数≥q (λ)的次数.同理, q (λ)的次数≥p (λ)的次数.))所以p (λ)的次数=q (λ)的次数.从而, p (λ) =q (λ).定理：定理：设分别是的最小多项式,则A 的最小多项式是)(,),(),(),,,,(diag 2121λψλψλψs s A A A A =s A A A ,,,21 的最低公倍式.)(,),(),(21λψλψλψs 证明：设是A 的最小多项式, 则:)(λψA 0))(,),(),((diag )(21==s A A A A A A A A ψψψψ 于是: , 即0)(,,0)(,0)(21===s A A A A A A ψψψ )(λψA ))是的化零多项式⇒是的公倍式.s A A A ,,,21 )(,λψs )(λψA ),(),(21λψλψ⇒若不是的公倍式,:)(,),(),(21λψλψλψs )(λψA 则0)(≠A A ψ另一方面, 若是的最低公倍式,则: .从而是A 的化零多项式. 次数)(λψA )(,),(),(21λψλψλψs 0)(=A A ψ)(λψA 更低的多项式必定不是的公倍式，从而不是A 的化零多项式.定理得证.)(,),(),(21λψλψλψs ⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎤⎢⎡---=11621例5:⎥⎥⎦⎢⎣→⎥⎥⎦⎢⎢⎣--11411301)1(J A 2)1()(-=λλψA ⇒⎤⎡-⎤⎡-1111⎥⎥⎦⎢⎢=→⎥⎥⎢⎢--=01017215)2(J A ⎥⎢⎣⎥⎦⎢⎣-212662)1()(λλλψ+=A ⇒J d 第二节矩阵函数及其Jordan 表示定义：设A 的最小多项式为,)()()()(2121sd s d d A λλλλλλλψ---= 其中为A 的互异特征值. 若函数f (x )具有足够多且下列s λλλ,,,21 d d d m +++= 阶的导数值,个值),,2,1(),(,),(),()1(s i ff f i d i i i ='-λλλs 21都有确定的值,则称f (x )在A 的影谱上有定义.-⎡-111例1：⎥⎥⎤⎢⎢⎡--=⎥⎥⎤⎢⎢-=112103,0340B A ⎥⎦⎢⎣-⎥⎦⎢⎣30201p(x)不唯一例2：⎤⎡⎤⎡⎥⎤⎡11012002⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢-=⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢==⎥⎥⎢⎢⎢-=-101001,22,3111111P J PJP A ⎣⎣⎦⎣⎤⎡⎤⎡'010)2()2(f f ⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢--=⎥⎥⎥⎢⎢⎢=-110111,)2()2()(1P f f J f ⎣⎦⎣⎤⎡00)2(f ⎥⎥⎥⎢⎢⎢'+'-'''-'==-2222)2()2()2()2()()(1f f f f P J Pf A f ⎦⎣)()()()(f f f fA e At cos 例3：求f (A )的Jordan 表示, 并计算e , e , cos A⎡50⎥⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎡==⎥⎥⎤⎢⎢--=-13000120,2123,130903025171P J PJP A ⎦⎣⎣⎦⎣⎡1⎥⎥⎤⎢⎢⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢'=-50320100,2()2()2()3()(1P f f f J f ⎡''⎦⎣⎣)f ⎥⎥⎤⎢⎢'-'-+==-21520290)3(0)2(250)2(15)2()()(1f f f f P J Pf A f ⎦⎣)()()(f f f⎡⎥⎥⎤⎢⎢--+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎡--=1510900250)151(,140900250162232222322t e te e te t e e e e ee e e tt t t t At A ⎥⎦⎢⎣⎣)(⎤⎡-()2sin(250)2sin(15)2cos((⎥⎥⎦⎢⎢⎣+-=)2sin(15)2cos(0)2sin(90)3cos(0)cos(A •用矩阵函数Jordan 表示计算f (A )的一般步骤:(1) 求A 的Jordan 标准形J ; (2) 求f (J );(3) 由AP =PA 计算变换矩阵P ; (4) 求f (A ) =Pf (J )P -1;(5) x Pf J P -1A ).()将具体f ()代入f ()即可求出f ()定理：设f (x )与g (x )在A 的影谱上有定义, 则:f (A ) =g (A ) ⇔f (x )与g (x )在A 的影谱上有相同的值第三节矩阵函数的多项式表示定义:设n 阶矩阵A 的最小多项式为,)()()()(2121sd s d d A λλλλλλλψ---= , 函数f (x )在A 的影谱上有定义, m -1次多项式s d d d m +++= 21满足1110)(--+++=m m a a a p λλλ 为什么是m -1次？1,,1,0;,,2,1),()()()(-===i i k i k d k s i fp λλ从而:1110)()(--+++==m m Aa A a E a A p A f 称f (A )的以上表达式为f (A )的多项式表示.⎡0例1: 设, 求矩阵函数f (A )的多项式表示,⎥⎤⎢=11102A 并计算e At⎥⎥⎦⎢⎢⎣-311解：前已求得, A 的Jordan 标准形为:⎥⎥⎤⎢⎢⎡=020012J 因此, 其最小多项式为(x ) =(x -2)2⇒m =2 ⇒⎥⎦⎢⎣200ψA 110)()(a x p x a a x p ='⇒+=满足:⎨⎧''-=⇒⎨⎧''=+=)2(2)2()2(2)2(010a f f a f a a p ⎩=⎩==)2()2()2(11f f a p从而:AE A a E a A 2222'+'-=+=f f f f )()]()([)(10此即f (A )的多项式表示. 将E 和A 代入, 可得:⎤⎡⎥⎢''-'=)2()2()2()2(00)2()(f f f f f A f ⎥⎥⎦⎢⎢⎣'+'-')2()2()2()2(f f f f 与第一节例4t 的结果相同⎡当f (x ) =e tx时, f (2) =e 2t , f'(x ) =t e 2t , 从而⎥⎥⎤⎢⎢-=t t t t e et At110012⎥⎦⎢⎣+-t t⎡1例2: 设, 求矩阵函数f (A )的多项式表示.⎥⎤⎢--=03401A 解)⎥⎥⎦⎢⎢⎣201解：前已求得, A 的最小多项式为ψA (x ) =(x -1)2(x -2)xa a x p x a x a a x p m 2122102)(,)(312+='++=⇒=+=⇒满足:'⎧⎪⎨⎧-'+=-=⇒⎪⎨'=+='=++=)2(2)1(3)1(2)1(2)2()1(2)1()1()1(1021210f f f a f f a f a a p f a a a p ⎪⎩'--=⎪⎩=++=)1()1()2()2(42)2(2210f f f a f a a a p=++=2210)(A a A a E a A f(m -1次)sd s )λ1-i d因此:⎤⎡+-+sk k k E A a E a 21)(λ ∑=-⎥⎥⎦⎢⎢⎣-+==k k d k kd A E A a A p A f kk11)()()()(ϕλsk k d s d k d k d k E A E A E A E A A )()()()()(111111λλλλϕ----=+-+- 称以上f (A )的表达式为f (A )的Lagrange-Selvester 内插多项式表示.3:设⎥⎤⎢⎡002例3: , 求矩阵函数f (A )的Lagrange-⎥⎥⎦⎢⎢⎣-=311111A Selvester 内插多项式表示.•与例1得到的多项式表示Af E f f A a E a A f )2()]2(2)2([)(10'+'-=+=相比, 结果是一致的, 只是表示方式不一样.第四节矩阵函数的幂级数表示第五章定义过矩阵幂级数. 设A 的Jordan 标准 -1∑∞=0k kk A c 形J =diag(J 1(λ1),J 2(λ2),,J r (λr )),A =PJP ⇒A k =PJ k P -1=P diag(J 1k (λ1), J 2k (λ2), , J r k (λr ))P -1⇒⎛100220110)(,,)(,)(diag -∞=∞=∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝=∑∑∑∑P J c J c J c P A c k r kr k k k k k k k k k k λλλ i i kk d k id k k k k ikk k k ik Cc C c c ∞∞=+--∞=-∞=⎥⎤⎢⎡∑∑∑0110110λλλk k k ik k k ik k i ki k C c c J c ∞=-=∞=⎥⎥⎥⎢⎢⎢=∑∑∑01100)(λλλiidd k ikc ⨯∞=⎥⎦⎢⎣∑0λ与前页结果相同⎥⎤⎢⎡1310041285⎥⎥⎦⎢⎢⎣-511第五节函数矩阵⎛x a x a 定义：设()⎪⎪⎫ ==⨯)()()()(111a x a x A n nm ij 其中: x ∈R , a ij (x )∈R , 称A (x )为函数矩阵——以实函数为⎪⎭⎝)()(1x x a mn m 元素的矩阵•函数行向量、函数列向量、函数矩阵的转置函数矩阵加法纯量函数与函数矩阵乘法函数矩阵与•函数矩阵加法、纯量函数与函数矩阵乘法、函数矩阵与函数矩阵乘法))))定义：设A (x ) =(a ij (x ))为n 阶函数矩阵, 若∃B (x ) =(b ij (x )), 使得∀x ∈[a , b ],A xB x ) =B x A x ) =E ()()()()则称A (x )在[a, b ]上可逆, B (x )是A (x )的逆的逆矩阵矩阵, 记为A -1(x ).x A x B x B x )()()]()+=x d ?)(d )(2)(d 2x A x A x A =d d xx ,可逆时()21)(x A -A x A x A x x A x A x d )()(d )(d )()(211---≠-=))()((1得到可由E x A x A =-。