信号分析中的频率细化基本概念
[第4章]信号的频率分析
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x t e
j 2 kF 0 t
dt
定义：x(t)的傅里叶变换的函数X(F), 是变量F的
函数
ck 1 Tp
x t e
j 2 kF 0 t
dt
15
傅里叶系数是X(F)在F0的整数倍处的采样
ck 1 Tp X kF 0
傅里叶级数
x p t
1 4
1 e
j k 2
1 4
k 0 ,1 , 2 , 3
c0
1 2
, c1
1 4
1 2
1 j ,
, c1
c2 0, c3
2 4
1 j
2 4
幅度谱：
c0
, c2 0, c3
相位谱： c ≮
0
0,
≮ c1
4
,
≮c 2 未定义，≮c 3
Tp
x t d
2
k
ck
2
密度谱：x t c
k
e
j 2 lF 0 t
6
例4.1.1
求如图所示的时间连续的周期矩形脉冲信号的
傅里叶级数和功率密度谱
分析：周期Tp, x(t)信号是偶信号[x(t)=x(-t)]
7
c0
1 Tp
Tp 2
Px 1 Tp
Tp
x t
k
ck e
j 2 lF 0 t
dt dt
1 ck k Tp
第八章 选择带宽频谱分析技术(频率细化)
8. 选择带宽频谱分析技术（频率细化）根据第三章数字频谱分析的理论，有限离散傅氏变换(DFT)总是获得()N f -0区间内的频率分量（N f 是Nyquisit 折叠频率）。
当随机过程的信号样本的采样点数为N 时，在上述区间内的谱线数为N/2。
则频率分辨率为Nf N f f s N ==∆2/从上式可知，对于给定的采样点数N ，采样频率s f 越大时，f ∆就越大，亦即分辨率就越低。
另一方面，由上式可能直接想到，对于给定的采样频率s f ，可以通过增加采样点数N ，提高频率分辨率f ∆。
但是，从第五章功率谱分析中我们知道，对于随机过程来说，功率谱的周期图估计方法的样本点数不宜过大，当N 过大时，周期图沿频率轴振荡的现象将加重。
综上所述，为了对感兴趣的选定频段作详细的考察，必须将这个局部频段内的频谱图像进行“局部放大”。
因此，这种选择带宽频谱分析技术（Band-Selected Fourier Analysis, BSFA ）也称为频率细化（ZOOM ）技术。
频率细化分析技术经常用于模态分析、特征分析，以及故障诊断中。
常用的频率细化处理方法有频率移位法和相位补偿法。
8.1. 频率移位法频率细化的频率移位法（频移法），也称为复调制滤波法。
该方法的分辨率可以达到很高（一般可以达到82倍），计算精度好且计算速度快，其基本原理如图所示。
频移法细化技术的基本原理是DFT 的频移性质。
被分析的信号经过抗混叠滤波后，进入A/D 采样，然后送入高分辨率分析的与处理器中，进行频移、低通数字滤波和二次重采样。
8.1.1. 频移为了将感兴趣频段的下限频率移到0频位置，以便有可能将感兴趣频段放大到整个DFT 频率范围，首先需要对离散信号进行频率调制。
根据DFT 的频移性质，如果欲将某一频率移到0频率处，则在时域数字信号上，应乘以复数信号tn f j e ∆-02π。
通常，这种把时域信号移频的处理，也称之为对时域信号进行复数调制，或者载波。
信号分析 基本概念及频谱
+ ian ), n
≥1
tgϕn
=
bn an
“负频率”谐波
An = 2 cn ,
所以，
An
=
2 c−n
,
ϕn
=
Argcn
+
π
2
ϕn
=
π
2
−
Argc−n
实际也反映相应的
, n = 1,2,3,L 正频率谐波的振幅和相位
, n = 1,2,3,L
谐波的可振见幅，每An 个和谐相波位的ϕ成。分可由Cn唯一决定，即Cn可以表示该
x(t)
=
a0 2
+
∑∞ [an
n=1
sin(2πnf0t)
+
bn
cos(2πnf 0t )]
∑ ( ) ( ) =
a0 2
+
∞ n=1
−
ian 2
e − e i2πnf0t
−i 2πnf0t
+ bn 2
e + e i2πnf0t
−i 2πnf0t
∑ =
a0 2
+
∞ n=1
bn
− ian 2
ei 2πnf0t
f(t)
t
0
f(2t)
t
0
微分 d f (t)
dt
t
积分 ∫ f (t)dt
−∞
f(t/2)
t
0
信号的基本运算(2)
卷积（褶积）：convolution （互）相关：（cross-）correlation
今后重点讨论 ！
第1章：信号的基本概念、频谱与连续傅立叶变换
信号的基本概念 信号的频谱（傅立叶级数） 傅立叶变换 几种基本信号的频谱 频谱的基本性质 傅立叶积分与傅立叶级数的关系 几种特殊信号的频谱
信号分析中的频率细化基本概念
研究数字频谱最有效方法通常是离散傅里叶变换.频率分辨率是指对两个相邻谱峰进行区分地能力，表现形式为频谱中能够分辨地两个频率分量地最小间隔.在信号处理中，人们为了把整个频率范围内地某段重点频区局部放大，获得比整个频率范围地频率分辨率更高地频率分辨率，从而观察频谱中地细微部分. 因此提出频谱细化这一课题. 文档收集自网络，仅用于个人学习频谱细化研究意义考虑到数字信号分析中，虽然提高信号地采样频率可以改善信号分析地频率分辨率，但是提高信号地采样频率通常需要付出额外地硬件代价，往往受制于可实现性与成本问题而难以实现.因此，就需要使用频谱细化技术在尽可能低地采样频率下提高数字信号分析地频率分辨率地措施.文档收集自网络，仅用于个人学习频谱细化基本思路频谱细化地基本思路是对信号频谱中地某一频段进行局部放大，也即在某一频率附近局部增加谱线密度，实现选带频段分析.文档收集自网络，仅用于个人学习频谱细化常见方法常见地经典方法有：复调制细化法、变换、细化法、补零法等很多方法.复调制细化法：又称为选带频率细化选带频谱分析，是世纪年代发展起来地.其传统地分析步骤为：移频（复调制）低通滤波器重抽样及谱分析频率成分调整，因其物理概念非常明确，所以一直沿用至今.文档收集自网络，仅用于个人学习细化法：该方法地原理本质是将连续傅里叶变换经过将积分化成求和、时域离散化和时域截断为有限长三个步骤变换得到时间离散、频率连续地特殊傅里叶变换形式.连续细化分析傅里叶变换法先用做全景谱，再对指定地一个频率区间进行细化计算：先确定频率分辨率，再确定计算频率序列，最后用连续谱分析方法进行实部和虚部计算，合成幅值谱和相位谱.文档收集自网络，仅用于个人学习变换：最早提出于年，是一种在平面上沿着螺旋线轨道计算有限时宽地变换方法.基本原理是在折叠频率范围内,任意选择起始频率和频率分辨率,在这有限带宽里对样本信号进行变换,这与频谱校正方法中地连续细化分析傅里叶变换法地基本原理是一样地. 文档收集自网络，仅用于个人学习频谱细化应用场合频谱细化技术在生产实践和科学研究中获得了日益广泛地应用.例如，齿轮箱地故障诊断要求准确分辨齿轮各阶啮合振动地主频和边频等，其频谱图上地频率间隔很细，但频率分布又较宽，为了识别谱图地细微结构，就必须对信号进行细化分析；直升机、坦克、巡航导弹地声音具有显著地非平稳性，为了得到准确地时延量，信号地取样不能太长，而计算地频谱存在栅栏效应.因此必须采用有效地方法对频谱进行细化，这样才能保证足够地相关计算精度；在无线电通信信号和其他地实际工程信号地分析中，为了获取更高地测量精度和实时检测能力，需要对信号频谱进行细化分析，以提供有用信息.因此对频谱细化技术地研究受到普遍重视，也是当前信号处理技术研究中地一个十分活跃地课题.文档收集自网络，仅用于个人学习频率细化是年代发展起来地一种新技术，其主要目地是识别谱图上地细微结构.从通常地分析方法中我们已经知道，在频谱图上地有效频率分布范围是从到奈魁斯特频率为止，而谱线间隔()决定了频率分辨能力，表示数据点数，这里表示采样频率，且.因此，要获得较高地分辨率可从下面两个方面进行.第一方面：降低采样频率，谱线间隔减小，但这样会降低奈魁斯特频率，从而导致频率分析范围小；第二方面：提高计算长度值，但这样要求较大地内存和降低运算速度[].在内存和计算长度有限制地情况下，既要不降低频率分析范围，而又要增加频率分辨率是矛盾地，为此出现了基于不同原理地各种选频细化分析方法，例如，扫频窄带分析法、基于复调制地法、直接选抽法、级联法、相位补偿细化和最大频谱地局部表示法等.最为常用地是复调制，相位补偿细化和级联三种方法.然而在计算效率、精度和灵活性等方面都比较理想地方法还是基于复调制地，因此得到了较多地应用.几种常用细化方法地比较.复调制复调制.输入信号为(),假设其频谱为(),我们需要频率附近地频谱进行细微观察，则首先应对()进行复调制，得到移频后地信号(),经过复调制后地信号()地频谱是原来地频谱左移，欲观察地谱线已移至零频附近.这样就可以较低地频率对()进行重新采样，为防止频谱混迭，在采样前应用理想低通滤波器进行滤波.具体阐述如下：（）频移.为了将感兴趣地频段地下限频率移至原来地零频率位置，以便有可能将感兴趣频段放大到整个频率显示范围上，需首先对信号进行频率调制.这里采用地是复数调制法，如果欲将某一频率移至原来地零频处，则以原信号与 (***？) 相调制得：实部为 ((***)(*？))，虚部为(（***)(*？)).若令？(？原有地频率分辨率)，即为频率在原频谱图中所对应地谱线序号，则实部和虚部即可以写为： (***)及 (***)，合并实部和虚部可以得到调制后地信号为 (*)，()滤波.数字低通滤波器是高截止特性地低通滤波器，可将从开始地一个所要求显示地窄频带到以外地所有频率成分滤掉，仅为原截止频率地^(,…)，此处^即为细化倍数,称之为细化因子.()二次采样.二次采样是为了提高频率分辨率，使采样频率降至^(是第一次采样地采样频率).由采样定理可知，在采样个数仍为时，采样频率下降为^，相当于总时间窗增长^倍，则频率分辨率亦将提高倍.这时地分辨率？’与原分辨率？之比为 ^，经二次采样后地信号，进行复数，便得到了细化地频谱.由于细化倍时二次采样频率下降为原来地^，采样地记录长度亦应增至原来地^倍.应该指出，记录长度地增加仅在一次采样时增加了采样点数，而在完成二次采样后，点数仍为，以后地处理时间并未增加，因此，在细化倍时，计算时间并不会增加至^倍. 当然，移频法也有其缺点，就是一次分析仅能使指定地一段频谱得到细化与分析，而其余则均滤去，如欲进行多频段或全部频率范围内地细化，则要一次一次地进行重采样，然后再作预处理和分析，很费时间.相位补偿细化相位补偿细化，可以对全部频率范围内地频谱进行细化，这就克服了频移法地缺点.当然，对于只需要在窄带范围内细化地情况，用相位补偿法有点浪费.设要求地细化因子为^，则采样个数为：’，式中—原分析长度，—采样间隔.将相距个采样间隔地样本抽出来集合为一个子序列，每个子序列有个样本，共有个子序列.总频谱是次点地结果相应乘以^ 后叠加地结果.这里地^即为谱线地相位补偿量.级联假定样本数据是(){,…；，…, .其中数据序列被划分为个区组，互不重叠.每一个区组有个样本点.*点地频率分辨率是,运算量为 ().*点地可以简化成两次，第一次是对个区组作点，而第二次是对所关心地谱线做点.总计算量为：()，比上述计算量减少().级联与复包络解调法其实在本质上是类似地.从这个方向去理解地话,那地方法并不能提高分辨率.看来很多人对有个误区,事实上所谓地提高分辨率是指针对作同样点数地离散傅立叶变换而言地,即作细化倍地点细化谱实际上原始数据必须采点数据,这时候它比用点原始数据直接做而言频率分辨率提高了倍,但如果把点原始数据全部做,那它和细化谱地分辨率是一样地.一句话本质上可以说是一种快速算法,它通过滤波重采样来降低采样频率,这样就可以用较少点数地来实现较高地频率分辨率,当然,提高速度地代价就是只能对局部频带进行细化(而如果将利用地所有原始数据全部直接做地话,它做出地是整个频域地,而且频率分辨率和细化后地一样,甚至如果考虑细化时滤波所需去掉地点,直接地频率分辨率可以更高).文档收集自网络，仅用于个人学习。
名词解释叙述频率
名词解释叙述频率
频率是描述信号按照特定周期来回变化的一个重要指标，它可以帮助我们理解信号在两个时间点之间产生的变化。
频率可以定义为一个信号在相位角（以弧度表示旋转的角度）或频率（以赫兹表示的频率）的时间变化的速度，称为信号的频率。
频率的基本单位是赫兹，是指信号按照每秒一次的频率变化的次数。
只有当信号以每秒一次的频率变化时，频率才会变为1赫兹；如果信号每秒变化2次，频率就变为2赫兹。
频率是描述信号连续变化或振动的量度，可以用来理解信号的频率特性，也可以用来在系统中进行信号处理和信号分析。
频率可以用来描述任意类型的信号，例如电子信号、声音信号、光信号等。
它也可以用来描述物理特征，比如振动、旋转和滑动等。
在许多应用中，如通信和信号处理，可以用频率来计算信号变化的速度和精度。
除了用于信号处理和信号的特性分析外，频率还可以用于科学研究和工程分析。
频率可以用来描述任何类型的磁场、电场和重力场，其特征是在一定时间周期内会变化。
因此，频率可以用来研究空间中某个特定场的强度和形状，也可以用于测量物体发出的振动信号的波长和频率。
总之，频率是描述物理特性及信号特性的重要指标，在科学研究和工程应用中十分重要。
频率可以定义为一个信号在相位角（以弧度表示旋转的角度）或频率（以赫兹表示的频率）的时间变化的速度，
它是描述信号按照特定周期来回变化的一个重要指标。
由于它可以帮助我们理解信号在两个时间点之间产生的变化，因此它在科学研究和工程应用中发挥着重要作用。
[资料]频率和频点
![[资料]频率和频点](https://img.taocdn.com/s3/m/e17a2b14df80d4d8d15abe23482fb4daa58d1d11.png)
第一节介绍频率、频点的概念1、频率这里指无线信号的发射频率。
包含：手机发给基站的上行信号和基站发给手机的下行信号；GSM900的工作频段为890~960MHz，GSM1800的工作频段为1710~1880；其中：Uplink DownlinkGSM 900 890~915 MHz 935~960 MHz移动台向基站发信号的上行链路频段；基站向移动台发信号的下行链路频段；GSM 1800 1710~1785 MHz 1805~1880 MHz。
2、频点频点是给固定频率的编号。
频率间隔都为200KHz。
这样就依照200KHz的频率间隔从890MHz、890.2MHz、890.4MHz、890.6MHz、890.8MHz、891MHz … … 915MHz分为125个无线频率段，并对每个频段进行编号，从1、2、3、4 … … 125；这些对固定频率的编号就是wo们所说的频点；反过来说：频点是对固定频率的编号。
在GSM网络中wo们用频点取代频率来指定收发信机组的发射频率。
比如说：指定一个载波的频点为3，就是说该载波将接受频率为890.4MHz的上行信号并以935.4MHz的频率发射信号。
（参考《爱立信RBS200》黑皮书第1.3节《频率的分配及复用》）GSM900的频段可以分成125个频点（实际可用124个）。
其中1~95属于中国移动、96~124属于中国联通。
第二节 BCCH与TCH载波的概念1、BCCH与TCH载波的概念依据物理信道所传递的信息内容不同，将物理信道分为不同类的逻辑信道；包含节制信道和业务信道（关于逻辑信道的具体分类，参考《爱立信RBS200》1.5.1节《逻辑信道的分类》）。
用于发送节制信息的载点wo们叫做主频，即BCCHNO；用于发送话音、数据信息的频点wo们叫做TCH频点，即TCH。
2、BCCH载波与TCH载波的区别BCCH载波：由于测量的正确性需求（切换机制的须要）与广播节制信道的工作模式，BCCH载波必需一直坚持最大功率发射（所有时隙），所以其输出能量是恒定不变的，从另一角度上看，它造成的干扰也是最严重的，整个无线网络最大的干扰源由BCCH载波所造成。
信号频率特征指标
信号频率特征指标
信号频率特征指标是用于描述和分析信号在频率域上的特性的参数。
以下是一些常见的信号频率特征指标：
频率：频率是单位时间内信号重复出现的次数，通常用赫兹（Hz）表示。
对于周期性信号，频率是周期的倒数。
对于非周期性信号，可以通过傅里叶变换将其分解为不同频率的正弦波或余弦波的组合。
频谱：频谱是信号在频率域上的表示，描述了信号中各个频率成分的幅度和相位。
通过傅里叶变换，可以将时域信号转换为频域信号，从而得到信号的频谱。
频谱可以用来分析信号的频率成分和能量分布。
带宽：带宽是指信号占据的频率范围。
对于带限信号，带宽是指其频谱中非零部分的宽度。
带宽可以用来衡量信号传输所占用的频率资源，也可以用来评估信号处理系统的性能。
能量集中度：能量集中度描述了信号在频率域上能量的分布情况。
如果信号的能量主要集中在少数几个频率上，那么该信号的能量集中度较高。
能量集中度可以通过计算信号的频谱的幅度平方和来衡量。
频率峰值：频率峰值是指信号在频谱中具有最高能量的频率分量。
通过分析频率峰值可以确定信号的主要频率成分，对于声音信号的识别和音频处理具有重要意义。
这些指标可以帮助我们全面了解信号在频率域上的特性，包括信号的频率成分、能量分布、带宽占用情况等。
在实际应用中，可以根据需要选择适当的指标来描述和分析信号的频率特征。
信号的频率名词解释图
信号的频率名词解释图信号频率是在通信、电子等领域中非常重要的一个概念，它描述了信号的周期性变化。
在信号处理和通信技术中，频率可以决定信号的传输速率、带宽以及信息的内容。
本文将通过解释信号频率的相关术语，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. Hz - 赫兹赫兹是频率的国际单位，表示每秒钟发生的周期性重复事件的次数。
例如，一个1赫兹的信号表示每秒钟发生一次周期性的变化。
2. 声波频率声音是一种波动现象，通过介质的压力变化传播。
声波频率指的是声音振动的快慢。
在空气中，正常人可以听到20 Hz到20,000 Hz范围内的声音频率，其中20 Hz是低音，20,000 Hz是高音。
3. 无线电频率无线电频率是指无线电波在空气中振荡的频率。
无线电通信利用了不同的频率范围，包括长波、中波、短波、超短波和微波等。
这些频率范围的选择取决于传输距离和信息的要求。
4. 电视信号频率电视信号频率用于传送视频和音频信息。
在模拟电视系统中，电视信号的频率为6 MHz，每个电视频道占据一个特定的频率带宽。
而在数字电视系统中，频率分配更加高效，能够提供更多的电视频道和高清信号。
5. 脑电图频率脑电图（EEG）是检测脑部电活动的一种方法。
脑电图频率用于描述脑电波的周期性变化。
不同频率范围的脑电波包括δ波（0.5 Hz以下）、θ波（4-7 Hz）、α波（8-13 Hz）、β波（13-30 Hz）和γ波（30 Hz以上）。
每个波的存在与不同的脑状态和活动有关。
6. GPS频率全球定位系统（GPS）是通过卫星信号来定位和导航的系统。
GPS信号频率包括L1频率（1575.42 MHz）、L2频率（1227.60 MHz）和L5频率（1176.45 MHz）。
这些频率的使用有助于提供高精度的定位和导航服务。
7. 光信号频率光信号是在光波的传输中用于携带信息的。
光信号频率通常使用光的波长来表示，单位为纳米。
常见的光信号频率范围包括可见光（400-700 nm）、红外光（800-1100 nm）和紫外光（100-400 nm）等。
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频谱细化 - 研究背景
研究数字频谱最有效方法通常是离散傅里叶变换。
频率分辨率是指对两个相邻谱峰进行区分的能力，表现形式为频谱中能够分辨的两个频率分量的最小间隔。
在信号处理中，人们为了把整个频率范围内的某段重点频区局部放大，获得比整个频率范围的频率分辨率更高的频率分辨率，从而观察频谱中的细微部分。
因此提出频谱细化这一课题。
频谱细化 - 研究意义
考虑到数字信号分析中，虽然提高信号的采样频率可以改善信号分析的频率分辨率，但是提高信号的采样频率通常需要付出额外的硬件代价，往往受制于可实现性与成本问题而难以实现。
因此，就需要使用频谱细化技术在尽可能低的采样频率下提高数字信号分析的频率分辨率的措施。
频谱细化 - 基本思路
频谱细化的基本思路是对信号频谱中的某一频段进行局部放大，也即在某一频率附近局部增加谱线密度，实现选带频段分析。
频谱细化 - 常见方法
常见的经典方法有：复调制细化法、Chirp-Z变换、FFT+FT细化法、DFT补零法等很多方法。
复调制细化法：又称为选带频率细化选带频谱分析，是20世纪70年代发展起来的。
其传统的分析步骤为：移频（复调制）--低通滤波器--重抽样--FFT及谱分析--频率成分调整，因其物理概念非常明确，所以一直沿用至今。
FFT+FT细化法：该方法的原理本质是将连续傅里叶变换经过将积分化成求和、时域离散化和时域截断为有限长三个步骤变换得到时间离散、频率连续的特殊傅里叶变换形式。
FF T+FT连续细化分析傅里叶变换法先用FFT做全景谱，再对指定的一个频率区间进行细化计算：先确定频率分辨率，再确定计算频率序列，最后用FT连续谱分析方法进行实部和虚部计算，合成幅值谱和相位谱。
Chirp-Z变换：最早提出于1969年，CZT是一种在Z平面上沿着螺旋线轨道计算有限时宽的Z变换方法。
基本原理是在折叠频率范围内,任意选择起始频率和频率分辨率,在这有
限带宽里对样本信号进行Z变换,这与频谱校正方法中的FFT + FT连续细化分析傅里叶变换法的基本原理是一样的。
频谱细化 - 应用场合
频谱细化技术在生产实践和科学研究中获得了日益广泛的应用。
例如，齿轮箱的故障诊断要求准确分辨齿轮各阶啮合振动的主频和边频等，其频谱图上的频率间隔很细，但频率分布又较宽，为了识别谱图的细微结构，就必须对信号进行细化分析；直升机、坦克、巡航导弹的声音具有显著的非平稳性，为了得到准确的时延量，信号的取样不能太长，而FFT 计算的频谱存在栅栏效应。
因此必须采用有效的方法对频谱进行细化，这样才能保证足够的相关计算精度；在无线电通信信号和其他的实际工程信号的分析中，为了获取更高的测量精度和实时检测能力，需要对信号频谱进行细化分析，以提供有用信息。
因此对频谱细化技术的研究受到普遍重视，也是当前信号处理技术研究中的一个十分活跃的课题。
频率细化是70年代发展起来的一种新技术，其主要目的是识别谱图上的细微结构。
从通常的FFT分析方法中我们已经知道，在频谱图上的有效频率分布范围是从0HZ到奈魁斯特频率fN为止，而谱线间隔(fs/N)决定了频率分辨能力，N表示数据点数，这里fs表示采样频率，且fN=fs/2。
因此，要获得较高的分辨率可从下面两个方面进行。
第一方面：降低采样频率，谱线间隔减小，但这样会降低奈魁斯特频率fN，从而导致频率分析范围小；第二方面：提高FFT计算长度N值，但这样要求较大的内存和降低运算速度[8]。
在内存和FFT计算长度N有限制的情况下，既要不降低频率分析范围fN，而又要增加频率分辨率是矛盾的，为此出现了基于不同原理的各种选频细化分析方法，例如，扫频窄带分析法、基于复调制的ZFFT 法、直接选抽法、级联FFT法、相位补偿细化和最大频谱的局部表示法等。
最为常用的是复调制ZOOMFFT，相位补偿细化和级联三种方法。
然而在计算效率、精度和灵活性等方面都比较理想的方法还是基于复调制的Zoom-FFT，因此得到了较多的应用。
几种常用细化方法的比较
1.复调制Zoom-FFT
复调制Zoom-FFT.输入信号为x(n),假设其频谱为|X(f)|,我们需要频率f0附近的频谱进行细微观察，则首先应对x(n)进行复调制，得到移频后的信号y(n),经过复调制后的信号y(n)的频谱是原来的频谱左移，欲观察的谱线已移至零频附近。
这样就可以较低的频率对y(n)进行重新采样，为防止频谱混迭，在采样前应用理想低通滤波器进行滤波。
具体阐述如下：
（1）频移。
为了将感兴趣的频段的下限频率移至原来的零频率位置，以便有可能将感兴趣频段放大到整个频率显示范围上，需首先对信号进行频率调制。
这里采用的是复数调制法，如果欲将某一频率fo移至原来的零频处，则以原信号x1与 exp(-j2pi*f0*k*？t) 相调制得：实部为 x1cos((2*pi*f0*k)/(N*？f))，虚
部为-x1sin(（2*pi*f0*k)/(N*？f))。
若令L0=f0/？f(？f---原有的频率分辨率)，即为频率在原频谱图中所对应的谱线序号，则实部和虚部即可以写为： x1cos(2*pi/N*L0*k)及 -x1sin(2*pi/N*L0*k)，合并实部和虚部可以得到调制后的信号为 wn=exp(-j*2pi/N)，
(2)滤波。
数字低通滤波器是高截止特性的低通滤波器，可将从f0开始的一个所要求显示的窄频带f0到f1以外的所有频率成分滤掉，f0-f1仅为原截止频率的1/2^n(n=1,2,3,…)，此处2^n即为细化倍数,称之为细化因子。
(3)二次采样。
二次采样是为了提高频率分辨率，使采样频率降至Fs/2^n(Fs是第一次采样的采样频率)。
由采样定理可知，在采样个数仍为N时，采样频率下降为1/2^n，相当于总时间窗增长2^n倍，则频率分辨率亦将提高2n倍。
这时的分辨率？f’与原分辨率？f之比为 1/2^n，经二次采样后的信号，进行复数FFT，便得到了细化的频谱。
由于细化2n倍时二次采样频率下降为原来的1/2^n，采样的记录长度亦应增至原来的2^n倍。
应该指出，记录长度的增加仅在一次采样时增加了采样点数，而在完成二次采样后，点数仍为N，以后的FFT处理时间并未增加，因此，在细化2n倍时，计算时间并不会增加至2^n倍。
当然，移频法也有其缺点，就是一次分析仅能使指定的一段频谱得到细化与分析，而其余则均滤去，如欲进行多频段或全部频率范围内的细化，则要一次一次地进行重采样，然后再作预处理和分析，很费时间。
2相位补偿细化
相位补偿细化，可以对全部频率范围内的频谱进行细化，这就克服了频移法的缺点。
当然，对于只需要在窄带范围内细化的情况，用相位补偿法有点浪费。
设要求的细化因子为D=2^n，则采样个数为：N’=DN=DT/t，式中T—原分析长度，t—采样间隔。
将相距D个采样间隔的样本抽出来集合为一个子序列，每个子序列有N个样本，共有D个子序列。
总频谱是D次N点的FFT结果Xd相应乘以W^k DN后叠加的结果。
这里的W^kDN即为谱线Xd的相位补偿量。
3级联Zoom-FFT
假定样本数据是x(n+mN),n={0,…,N-1；m=0，…, M-1。
其中数据序列被划分为M个区组，互不重叠。
每一个区组有N个样本点。
N*M点FFT的频率分辨率是:f=1/NMTS,运算量为NM log(NM)/2。
N*M点的DFT可以简化成两次DFT，第一次DFT是对M个区组作N点DFT，而第二次DFT是对所关心的谱线k做M点DFT。
总计算量为：(MnlogN+MlogM)/2，比上述计算量减少(N-1)MlogM/2。
级联FFT与复包络解调法其实在本质上是类似的。
从这个方向去理解的话,那ZFFT的方法并不能提高分辨率.
看来很多人对ZFFT有个误区,事实上,ZFFT所谓的提高分辨率是指针对作同样点数的离散傅立叶变换而言的,即作细化D倍的N点细化谱实际上原始数据必须采DN点数据,这时候它比用N点原始数据直接做FFT 而言频率分辨率提高了D倍,但如果把DN点原始数据全部做FFT,那它和细化谱的分辨率是一样的.
一句话,ZFFT本质上可以说是一种快速算法,它通过滤波重采样来降低采样频率,这样就可以用较少点数的FFT来实现较高的频率分辨率,当然,提高速度的代价就是只能对局部频带进行细化(而如果将ZFFT利用的所有原始数据全部直接做FFT的话,它做出的是整个频域的,而且频率分辨率和细化后的一样,甚至如果考虑细化时滤波所需去掉的点,直接FFT的频率分辨率可以更高).。