江苏省扬州市2021届高三上学期期初学情调研数学试题含答案
扬州市2021届高三上学期期初学情调
研
数学试题
2020.09
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3},B={|y=3x,x∈A}.则A∪B=()
A.{,2,3,9,27}
B.{3}
C.{1,3,6,9,27}
D.{1,3}
2.已知随机变量X~N(1,σ2),P(X≥0)=0.8,则P(X>2)=()
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8
3.设f(x)=lnx+x-2，则函数f(x)零点所在的区间为()
A.(0，1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3，4)
4.已知a=,b=,c=则a,b,c的大小关系为()
A.a>b>c
B.b>a>C
C.c>b>a
D.c>a>b
5.设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为()
x
6.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究发现地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为IgE=4.8+1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为()
A.10-15
B.1.5
C.lg1.5
D.101.5
7.已知函数f(x)=+k,若存在区间[a,b][-2,+∞),使得函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a +2,b+2],则实数k的取值范围为()
A.(-1,+∞).
B.(-]
C.(-)
D.(-1,0]
8.己知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，y=f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是()
A.f()<f()<f(ln2)
B.f()<f(ln2)<f()
C.f(ln2)<f()<f()
D.f(ln2)<f()<f()
二、多项选择题;本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知下图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确诊人数及现有疑似人数趋势图，则下面结论正确的是()
A.截至2020年2月15日，我国新型冠
状肺炎累计确诊人数已经超过65000人
B.从1月28日到2月3日，现有疑似人
数超过累计确诊人数
C.从2020年1月22日到2月21日一个月的时间内，累计确诊人数.上升幅度一直在增加
D.2月15日与2月9日相比较，现有疑似人数减少超过50%
I0.己知函数f(x)=，下面说法正确的有()
A.f(x)的图像关于原点对称
B.f(x)的图像关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D.
11.如图,直角梯形ABCD，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=AB=l,E为AB中点，以DE 为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=.则()
A.平面PED⊥平面EBCD
B.二面角P-DC-B的大小为
C.PC⊥E
D.
D.PC与平面PED所成角的正切值为
12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)-f(-x)=0,且当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+1),则下列结论正确的是()
A.f(x)是周期函数，且2是其一个周期
B.f(x)的图象关于直线x=1对称.
C.f()<()
D.关于x的方程f(x)-t=0(0<1<1)在区间(-2,7)上的所有实根之和是12
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.己知点(2,8)在幂函数f(x)=x n的图象上，则f(3)=________
14.函数f(x)=.的定义域为________
15.己知函数f(x)=,若f[f(a)]=2,则实数a=________.
16.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.若f(x)=4x-m+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为__________
四、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小愿满分10分)设全集U=R,集合A={x|-2<x+m<6},B={x|<2x<16}.
(1)当m=1时，求An(CvB):
(2)若p:x∈A,q:x∈B，且P是9的必要不充分条件，求实数m的取值范園.
18.(本小题满分12分)计算下列各式的值:
(1)-+()0-
(2)2+2lg4+Ig+
19.(本小题满分12分)已知f(x)为R上.的偶函数，当x≥0时，f(x)=ln(3x+2).
(1)证明y=f(x)在[0,+∞)单调递增:
(2)求f(x)的解析式:
(3)求不等式f(x+2)≤f(2x)的解集.
20.(本小题满分12分)江苏省的新高考模式为“3+1+2”,其中“3”是指语文、数学、
外语三门必考科目:“1"是指物理、历史两门科目必选且只选一-门;“2"是指在政治、地理、化学、生物四科中必须任选两门，这样学生的选科就可以分为两类:物理类与历史类，比如物理类有:物理+化学+生物，物理+化学+地理,物理+化学+政治物理+政治+地理,物理+政治+生物，物理+生物+地理.江苏某中学高一学生共1200人，其中男生650人，女生550人，为了适应新高考，该校高-的学生在3月份进行了“1+2”的选科，选科情
况部分数据如下表所示:(单位:人)
性别物理类历史类合计
男生590
女姓240
合计900
(1)请将题中表格补充完整，并判断能否有99%把握认为“是否选择物理类与性别有关"?
(2)已知高一9班和10班选科结果都只有四种组合:物理+化学+生物，物理+化学+地理，政治+历史+地理,政治+历史+生物.现用数字1,2,3,4依次代表这四种组合，两个班的选科数据如下表所示(单位:人).
现分别从两个班各选一人，记他们的选科结果分别为x和y，令ξ=|x-y|,用频率代表概率,求随机变
理化生理化地政史地政史生班级总人数
9班1818121260
10班241218660
量ξ的分布列和期望.(参考数据:12302=1512900，65x55x9=32175，1512900+ 32175≈47)
附:K2=.
P(≥k)0.0500.0250.0100.005
k 3.841 5.024 6.6357.879
21.(本小题满分12分)己知三棱锥P-ABC，PA=PB=AB=3,BC=4,AC=5,D为AB中点(1)若PC=3,求异面直线PD与BC所成角的余弦值;
(2)若二面角P-AB-C为30°,求AC与平面PAB所成角的正弦
值.
2.0本小题满分12分)设函数f(x)=,g(x)=,其中0<a且a≠1
(1)若h(x)=有最小值，求a的范围:
(2)若3x∈[0,3],使得f(x)≥g(x+2)成立，求a的范围.
11。
江苏省扬州市2023届高三考前调研测试数学试题及答案
扬州市2023届高三考前调研测试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}{0,1,2,3,4,5,6U A B ==，{}1,3,5UAB =，则B =（ ）．A ．{}1,0,2,4,6-B ．{}0,2,4,6C ．{}1,2,4,6-D ．{}2,4,62．已知空间内不过同一点的三条直线,,m n l ，则“,,m n l 两两相交”是“,,m n l 在同一平面”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．以点π(,0)2k ()k ∈Z 为对称中心的函数是（ ）．A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．|tan |y x =4．某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）． A ．17B ．27C ．37D ．476．复数i z x y =+（,x y ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应点(,)Z x y ，则下列为真命题的是（ ）．A ．若|1||1|z z +=-，则点Z 在圆上B ．若|1||1|=2z z ++-，则点Z 在椭圆上C ．若|1||1|=2z z +--，则点Z 在双曲线上D ．若|1|=|1|x z +-，则点Z 在抛物线上7．已知函数()f x 的导函数为()g x ，()f x 和()g x 的定义域均为R ，()g x 为偶函数，()sin x f x e x --也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（ ）．A ．(0)0f =B ．(0)0g =C ．()(e )x f x f <D ．()(e )x g x g <8．已知向量(1,)a x y =++，(1,)b x y =-，满足a b ⊥的动点(,)M x y 的轨迹为E ，经过点(2,0)N 的直线l 与E 有且只有一个公共点A ，点P 在圆22(1x y +-=上，则A P 的最小值为（ ）．A ．3-B 1C ．2D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知两个离散型随机变量X ，Y ，满足21Y X =+，其中X 的分布列如下：A ．16a =B ．23b =C ．()2E Y =D ．4()3D Y =10．已知函数32()()f x x x x a a =--+∈R 的图象为曲线C ，下列说法正确的有（ ）． A ．a ∀∈R ，()f x 都有两个极值点 B ．a ∀∈R ，()f x 都有三个零点C ．a ∀∈R ，曲线C 都有对称中心D ．a ∃∈R ，使得曲线C 有对称轴11．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，2进行“美好成长”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；；设第n 次“美好成长”后得到的数列为1221,,,,,k x x x ，并记()122log 12k n a x x x ⨯=⨯⨯⨯⨯，则（ ）．A ．25a =B ． 21n k =+C ．131n n a a +=-D ．数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为112231n +-+12．圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）． A ．若3PA PB +=，则P 点的轨迹为圆B ．若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C ．存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D ．1AP PQ QB ++的取值范围是+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若()20232202301220235x a a x a x a x +=++++，3012202T a a a a =++++，则T 被5除所得的余数为 ．14．圆O （O 为坐标原点）与直线:2l x y +=相切，与直线l 垂直的直线m 与圆O 交于不同的两点P 、Q ，若0OP OQ ⋅<，则直线m 的纵截距的取值范围是 ．15．已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．16．若直线l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则直线l 的方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①233n n S a =-；②13a =，313log log 1n n a a +=+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足________，139,n n n b n a *+-=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数0n ，使得0n n b b ≥对*n ∀∈N 恒成立，求0n 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：（2）假设所有购物群销售凤梨的数量X 服从正态分布2)(,N μσ，其中μ为（1）中的平均数，212100σ=．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售凤梨的数量在[266,596)（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该凤梨基地大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）附：若X 服从正态分布2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+≈，(22)0.954P X μσμσ-<<+≈，(33)0.997P X μσμσ-<<+≈．19．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222sin 2sin 2sin C B A =-． （1）求证：4cos c a B =；（2）延长BC 至点D ，使得AD BD =，求CAD ∠的最大值．20．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为6，截面11ACC A 的面积为6． （1）求点B 到平面11ACC A 的距离；（2）若2AB AD ==，60BAD ∠=︒，1AA =，求直线1BD 与平面11CC D D 所成角的正弦值．21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦3PQ AF ==．（1）求△APQ 的内心坐标；（2）是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于,M N ，交PQ 于点R ，且满足MR ND MD RN ⋅=⋅？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．22．已知函数()sin ln(1)()f x a x x a =-+∈R ． （1）若1a =-，求证：0x ∀>，()20f x x +>；（2）当1a ≥时，对任意[0,]2kx ∈，都有()0f x ≥，求整数k 的最大值．扬州市2023届高三考前调研测试数学参考答案1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A9．ABD 10．AC 11．ACD 12．BC 13．1 14．( 15．10π 16．1y x =-或1y x e=17．【解析】（1）若选择条件①：233n n S a =- 11233n n S a ++∴=-，则112233n n n n S S a a ++-=-即13n n a a +=， ……………………3分 令1n =，则11233S a =-，解得130a =≠ 13n na a +∴= {}n a ∴是以3为首项，3为公比的等比数列 3n n a ∴= ……………………5分若选择条件②：13133,log log 1n n a a a +=-= {}3log n a ∴是以31log 1a =为首项，1为公差的等差数列()3log 111n a n n ∴=+-⨯= ……………………3分 3n n a ∴= ……………………5分 （2）∴13933n n n n n b a +--== ……………………6分 11113372333n n n n n n n nb b ++++----=-= ……………………7分 ∴当113,0n n n b b +≤≤->，即1234b b b b <<<；当14,0n n n b b +≥-<，即4567b b b b >>>>； ……………………9分∴当04n =时，0n n b b ≥对*n ∀∈N 恒成立． ……………………10分18．【解析】（1）由题意得：1222032100m +++=，解得18m =． ……………………2分 故平均数为1(1501225018350204503255018)376100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………4分 （2）由题意，376μ=，且266376110μσ=-=-，5963762202μσ=+=+，故1(596)(2)(10.954)0.0232P X P X μσ>=>+=⨯-=，所以“优质群”约有10000.02323⨯=个；11(266596)(2)0.6830.9540.818522P X P X μσμσ≤<=-<<+=⨯+⨯=，所以“一级群”约有10000.8185818.5819⨯=≈个； ……………………9分 所以需要资金为 231000819200186800⨯+⨯=，故至少需要准备186800元． ……………………12分 19．【解析】（1）222sin 2sin 2sin C B A =-∴在△ABC 中，由正弦定理得22222c b a =- ………………2分2222cos b a c ac B =+- 2222222224cos c a b a c ac B ∴+==+- 4cos c a B ∴=………………4分 （2）∴在△ABC 中，由正弦定理得：sin 4sin cos C A B = (显然角B 为锐角) 在△ABC 中，()sin sin C A B =+ sin cos cos sin 4sin cos A B A B A B ∴+= cos sin 3sin cos A B A B ∴=角B 为锐角 ∴角A 也为锐角 tan 3tan B A ∴= ……………………8分AD BD =B BAD A CAD ∴∠=∠=∠+∠CAD B A ∴∠=- ……………………9分()tan tan tan tan 1tan tan B ACAD B A B A-∴∠=-=+由（1）可知tan 3tan B A =，π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22tan tan 13tan 2133tan tan A CAD A A A∴∠=+=≤=+ ……………………11分 当且仅当13tan tan A A=，即πtan 36A A ==时取等号． 此时DAC ∠的最大值为π6． ……………………12分 20．【解析】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111ABC A B C -是三棱柱，11111111121233B ACC A ABC A B C ABCD A B C D V V V ---===， ………………………………2分设点B 到平面11ACC A 的距离为d ，则1111116233B ACC A ACC A V S d d -=⋅=⨯=，所以1d =，即点B 到平面11ACC A 的距离为1． ………………………………4分（2）在ABCD 中，2,60AB AD BAD ==∠=︒，所以ABCD 是菱形，连接BD 交AC 于O ，则1BO =， 由（1）知点B 到平面11ACC A 的距离为1，所以BO ⊥平面11ACC A ． ………6分 设点1A 在直线AC 上射影为点H，11116ACC A SAC A H H =⋅==，则1A H =1BO A H ⊥，AH === 所以O 和H 重合，即1A O AO ⊥． ………………………8分以O 为坐标原点，1,,OA OB OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)B A D A -，根据11(AA DD ==-，(AB DC ==-，则1(D-1(3,2,BD =--，设平面11CC D D 的一法向量为(,,)n x y z =，则13030DD n DC n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,3,1)n =， ………………10分 设直线1BD 与平面11CC D D 所成角为α，则111sin |cos ,||||||||BD n BD n BD n α⋅-=<>===， 所以直线1BD 与平面11CC D D 所成角正弦值为5． ………………12分 21．【解析】（1）22222,32,1b a b c a c a b c a=+=+=∴=== ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， ………………2分 不妨取33(1,),(1,),(2,0)22P Q A --，则32AP PF ==； 因为△APQ 中，AP AQ =，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分APQ ∠，交x 轴于T ，则T 为△APQDCB A的内心，且AT AP TF PQ ==AT =，则T ； …………4分 （2）椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称∴若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设(,0)D t ………………6分 设直线l 方程为()y k x t =-，1122(,),(,)M x y N x y ，直线方程与椭圆方程联立22()143y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得22222(43)84(3)0k x k tx k t +-+-=，则22248(3)0k k t ∆=+->，212284+3k tx x k +=，221224(3)43k t x x k -=+① ………………8分点R 的横坐标为1，M R N D 、、、均在直线l 上，MR ND MD RN ⋅=⋅∴221212(1)(1)()(1)()(1)k x t x k t x x +--=+-- ………………10分12122(1)()20t t x x x x ∴-+++= ∴2222284(3)2(1)+204343k t k t t t k k --+⨯=++，整理得4t =，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在 ∴存在定点(4,0)D 满足题意． ………………12分 22．【解析】（1）1a =-时，设()()2sin ln(1)2g x f x x x x x =+=--++，则1'()cos 21g x x x=--++， 011x x >∴+> 1(1,0)1x ∴-∈-+cos [1,1]x ∈- 1cos 201x x ∴--+>+，即'()0g x >在(0,)+∞上恒成立 ()g x ∴在(0,)+∞上单调增 又(0)0g = ()(0)0g x g ∴>=，即：0x ∀>，()20f x x +>；………………4分 （2）1a =时，当4k =时，(2)sin 2ln30f =-<，所以4k <． ………………5分 下证3k =符合．3k =时，当3[0,]2x ∈时，sin 0x >，所以当1a ≥时，()sin ln(1)sin ln(1)f x a x x x x =-+≥-+．记()sin ln(1)h x x x =-+，则只需证()sin ln(1)0h x x x =-+≥对3[0,]2x ∈恒成立．1'()cos 1h x x x =-+，令1()cos 1x x x φ=-+，则21'()sin (1)x x x φ=-++在π(0,)2递减， 又2π1'(0)10,'()102(1)2φφπ=>=-+<+，所以存在1(0,)2x π∈，使得'1()0x φ=， 则11(0,),'()0,()x x x x φφ∈>在1(0,)x 递增，11π(,),'()0,()2x x x x φφ∈<在1π(,)2x 递减；又1(0)0,()0212πφφπ==-<+，所以存在21π(,)2x x ∈使得2()0x φ=，且22π(0,),()0,(,),()02x x x x x x φφ∈>∈<， 所以()h x 在2(0,)x 递增，在2π(,)2x 递减，又ππ(0)0,()1ln(1)022h h ==-+>，所以()0h x ≥对π[0,]2x ∈恒成立因为3π[0,][0,]22⊆，所以3k =符合．综上，整数k 的最大值为3． ………………12分。
江苏省扬州市2021届高三下学期期初调研测试 数学试题
C．函数
的最小正周期为
D．函数
在
上是增函数
12．我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切 的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为 1，则下列说法中正确的有（ ）
A．正方体的棱切球的半径为
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B．正四面体的棱切球的表面积为 C．等长正六棱柱的棱切球的体积为 D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥 5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为
20.(本小题满分 12分)
某研究性学习小组收集了某网络销售平台近五年“双十一”当天成交额的数据，并制成如 下表格：
年份 x 成交额 y（百亿元）
2015 2016 2017
9
12
17
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2018 21
2019 27
Байду номын сангаас
（1）小组成员小明准备用线性模型
刻画 y与 x的关系，请帮助小明求出线性
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（3）“双十一”活动中，顾客可以享受优惠‘也可能会冲动消费，导致所购物品闲置．（闲 置物品全部在某二手平台上以原价的 50%售出）．某商户对标价 100元的某种商品采取 了 3种销售形式促销：普通购物，秒杀购物，直播购物．该小组收集了相关信息整理得 下表：
销售量占比 折扣率
普通购物 70% 5%
C． 1
D． 2
3．已知向量 a，b满足|a|＝2，b＝(1，1)，ab＝－2，则 cos<a，a＋b>＝（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，我国古代算盘每个档（挂珠的杆）上有 7颗算珠， 用梁隔开，梁上面 2颗叫上珠，上珠每颗代表数值 5，下面 5 颗叫下珠，下珠每颗代表数值 1，现从某一档的 7颗算珠中任
江苏省扬州中学2021届高三上学期开学检测数学试题答案
A．
B．
2
C．
D．
12．设函数
f x x ln x ， g x
f x
，给定下列命题，其中是正确命题的是（
）
x
A．不等式
g
x
0
的解集为
1 e
,
B．函数 g x 在 0,e 单调递增，在 e, 单调递减
4
C．
5
6
D．
5
A．“ a 1”是“ 1 1 ”的充分不必要条件 a
B．命题“对任意 x R ， x2 x 1 0 ”的否定是“存在 x R ，使得 x2 x 1 0 ”
C．设 x ， y R ，则“ x 2 且 y 2 ”是“ 2 y 4 ”的必要不充分条件 D．设 a ， b R ，则“ a 0 ”是“ ab 0 ”的必要不充分条件
C．若
m
1，则当
x1
x2
0 时，有
m 2
x12 x22
f x1 f x2
D．若函数 F x
f
x
ax2
有两个极值点，则实数
a
0,
1 2
三、填空题（每小题 5 分，计 20 分）
13．已知 f x x5 ax3 bx 8 ，若 f 2 10 ，则 f 2 ________．
AD 2BC 2 ， M 是 PD 的中点．
4
（1）求证： CM 平面 PAB ； （2）求二面角 M AC D 的余弦值． 21．【本题满分 12 分， 3 6 3】 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本 y （元） 与生产该产品的数量 x （千件）有关，经统计得到如下数据：
江苏省扬州市大桥高级中学2021届高三上学期学情调研数学试卷附答案解析
．
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．集合 A＝ x x2 2x 3 0 ，B＝ x x 1 ，A B＝
A．(1，3)B．(1，3]C．[﹣1， )D．(1， )
C．若 a＝4，则 S△ABC＝ 7
D．A，B，C 成等差数列
12．已知函数 f (x) x ln x ，若 0 x1 x2 ，则下列选项正确的是
A．
f
(x1) f (x2 ) x1 x2
0
B． x1 f (x1) x2 f (x2 )
C． x2 f (x1) x1 f (x2 )
江苏省扬州市大桥高级中学 2021 届高三上学期学情调研（二） 数学
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．集合 A＝ x x2 2x 3 0 ，B＝ x x 1 ，
A．(1，3) B．(1，3] C．[﹣1， ) D．(1， )
2．复数 z 满足(1＋i)z＝2＋3i，则 z 在复平面表示的点所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 cos( ) 3 ， sin( ) 5 ， ， (0， )，则 cos( ) ＝
5
4 13
2
4
A． 33 65
33
B．
65
56
C．
65
D． 16 65
4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配 2~3 艘驱逐舰，1~2 艘核潜艇.
最新苏教版扬州市高三期末调研数学试题及答案
又因为 ，所以 ，无解；
②若 时，显然不合题意；
③若 ，即 时， ，
又因为 ，所以 ，解得 ．
综上所述， ．………………………………………………………………………14分
16．解:因为 成等差数列，所以
(Ⅰ)由 ，
即 ，得 ，…………………………………………5分
所以△ 的面积 ；…………………………………………7分
22．解:(Ⅰ)设正三棱柱的棱长为 ，建立如图所示的直角坐标系，则:
， ， ，
， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，
所以 ， ，
，
……………………………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: ， ，
，
所以异面直线 与 所成角的余弦值是 ．…………………………………5分
证明:由 ， 知， ( )，
即 时，命题成立．
根据(1)(2)， ( )．………………………………………………………8分
故不存在正整数M，使得对于任意正整数 ，都有 ．……………………………大而减小，
即 ，
所以， ，即 的取值范围是 ；…………………………………14分
②当 时
且 的值随 的增大而增大，
即 ，
所以， ，即 的取值范围是 ．…………………………………………16分
第二部分
21．B解:设 ，
由 得: ，即 …………………………………………2分
再由 得， ，
(Ⅱ)设数列的公差为 ，分别令 得:
，即 ，解得 ，
即等差数列 是常数列，所以 ；…………………………………7分
又 ，则 ，
， ，
因 ，所以 ，解得 ．…………………………………10分
2021届江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷
2021年江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}2|20A x x x =-<，{}0,1,2B =，则A B = . 2．若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部为 .3．如图，若输入的x 值为3π，则相应输出的值为 .4．某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,[、第二组[)160165,、…、第八组[]190195,．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 ．5．双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为 . 6．从1,2,3,4,5共五个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是_______7．已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为 .8．已知正四棱锥底面边长为32，则此四棱锥的侧棱长为______．9．已知函数f(x)=sin(2x +π3)（0≤x <π），且f(α)=f(β)=12（），则．10．已知)sin (cos αα，=m ，)12(，=n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅n m ，则=+)232sin(πα . 11．已知1a b >>且2log 3log 7a b b a +=，则211a b +-的最小值为______________. 12．已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 .13．已知数列{}n a 中，a a =1（20≤a ＜），⎩⎨⎧≤+--=+)2(3)2(21n nn n n a a a a a ＞（*N n ∈），记n n a a a S +++= 21，若2015=n S ，则=n .14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--．若集合()(){}10,x f x f x x R -->∈=∅，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题15．如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，D 、E 分别为BC 、1CC 中点，D B BC 11⊥.（1）求证：//DE 平面1ABC ；（2）求证：平面⊥D AB 1平面1ABC16．已知函数x x x x f ωωωcos sin cos 3)(2+=（0＞ω）的周期为π. （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 时，求函数)(x f 的值域； （2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=Af ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积.17．如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP M F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标； （2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围18．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy .（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为lh S 32=） 19．已知函数x e x ax x f )2()(2++=（0＞a ），其中e 是自然对数的底数. （1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.20．若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （*N m ∈），则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.（1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ； （2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知n n a 2=，且3)(Am m f =（*N A ∈），若数列{}m b 中，1b ，2b ，5b 是公差为d （0≠d ）的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值21．已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .22．在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.23．某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.24．已知函数232)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：411=a ，)(1n n a f a =+. （1）求证：*N n ∈∀，都有310＜＜n a ；（2）求证：44313313313121-≥-++-+-+n na a a参考答案1．{}1【解析】试题分析：{}{}2|20|02A x x x x x =-<=<<，{}0,1,2B =，则{}1AB =考点：集合运算2．3【解析】试题分析：2(32)3223z i i i i i =-=-=+,则z 的虚部为3 考点：复数概念3．12【解析】试题分析：1sin,sin cos 33233ππππ==>,由流程图得1cos 32y π==考点：流程图4．144【分析】 根据频率和为1，求出男生身高在180cm 以上（含180cm ）的频率和频数．【详解】根据频率分布直方图知，男生身高在180cm 以上（含180cm ）的频率为()10.0080.0160.0040.0040.00650.18-++++⨯=；对应的人数有8000.18144⨯=．故答案为：144．【点睛】本题考查利用频率直方图计算出频数，要熟悉频率、样本容量与频数之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5．4【解析】试题分析：焦点()5,0±，渐近线43y x =±，即430x y -=，则2045d ==考点：双曲线渐近线6．25【详解】任取两个数字的可能为：25C 种，这个数为偶数的种数为：2232C C + ， 结合古典概型公式可得，所求概率为：22322525C C p C +== . 7．31【解析】试题分析：设11n n a a q -=，523a a =可化为24411a q a q =，得11a =，21422a a =-=，212a q a ==，55(1)311q q S q -==-考点：等比数列通项与求和8．5【解析】正四棱锥底面边长为32，可得正四棱锥的高为h ，1323h ⨯=， 解得h=3，底面对角线的长为8=，．故答案为5．9．7π6【解析】∵函数f(x)=sin(2x +π3)(0≤x <π)，∴π3≤2x +π3<7π3，且f(α)=f(β)=12(α≠β)，不妨设α＜β，∴2α+π3=5π6，2β+π3=2π+π6， ∴2α+2β=7π3，∴α+β=7π6， 故答案为7π6．10．725-【解析】试题分析：2cos sin 1m n αα⋅=+=,sin 12cos αα=-,由22sin cos 1αα+=得()2212cos cos 1αα-+=即25cos 4cos 11αα-+=，又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππα，解得4cos 5α= 237sin(2)cos 212cos 225πααα+=-=-=-考点：向量数量积，同角三角函数关系，二倍角公式11．3【解析】试题分析：令log a b t =，又1a b >>得01t <<， 32log 3log 27a b b a t t +=+=解得12t = 即21log ,2a b a b ==， 21111311a a b a +=-++≥--，当且仅当2a =时取“=” 考点：基本不等式求最值12．1±【解析】试题分析：设:(0)l y kx b b =+≠，代入圆的方程，化简得222(1)240k x kbx b +++-=：设()()1122,,,P x y Q x y ，得212122224,11kb b x x x x k k -+=-=++，22121212121212op oq y y x x b b b k k k k k kb x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅=⋅=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222222222222422(1)44444k b k b k b b kb b k b k k kb b b b b --+++-⎛⎫=+-+== ⎪----⎝⎭，由2op oq l k k k ⋅=得222244b k k b -=-解得1k =±考点：直线与圆位置关系13．1343【解析】试题分析：()102a a a =≤＜， ()233a a a =-≤<1以下分情况讨论①()1101a a a =<＜， ()22323a a a =-<<，()33101a a a =-<<，()4223a a a =+<<，()5101a a a =<＜…… 可知该数列四个为一个循环，且12346a a a a +++=，而201563355=⨯+，又15a a =≠， 123a a +=，12345a a a a ++=-≠，12346a a a a +++=，则01a <＜时不成立 ②()()()1121312,32,2a a a a a a a a a =≤≤=-≤≤=≤≤111……可知该数列两个为一个循环，且123a a +=，而201536712=⨯+，12a a ==成立，则671211343n =⨯+= 考点：数列周期14．1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】把0x ≥时的()f x 改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得0x <时的函数的最大值，条件等价为对x R ∀∈，都有()()1f x f x -≤，进行转化求解即可求解该不等式得答案．【详解】若()(){}10,x f x f x x R -->∈=∅，则等价为()()10f x f x --≤恒成立，即()()1f x f x -≤恒成立，当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--． 若0a ≤，则当0x ≥时，()()1232f x x a x a a x =-+-+=，()f x 是奇函数，若0x <，则0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =，0x <，综上()f x x =，此时函数()f x 为增函数，则()()1f x f x -≤恒成立， 若0a >，若0x a ≤≤时，()()1232f x x a x a a x =-+-+-=-； 当2a x a ≤≤时，()()1232f x x a x a a a =--+-=-；当2x a >时，()()12332f x x a x a a x a =-+--=-．即当0x ≥时，函数()f x 的最小值为a -，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()f x 的最大值为a ， 作出函数()f x 的图象如图：由于x R ∀∈，()()1f x f x -≤，故函数()1f x -的图象不能在函数()f x 的图象的上方， 结合图可得133a a -≥，即61a ≤，求得106a <≤， 综上16a ≤， 故答案为：1,6⎛⎤-∞⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题. 15．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发进行论证，而线线平行，一般可从平面几何条件中寻找，例如中位线性质（2）证明面面垂直，首先转化为线面垂直:1BC ⊥平面1AB D ,而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直的判定及性质定理.先由平面几何条件AC AB =得AD CB ⊥,即1AD C B ⊥，又由D B BC 11⊥得1BC ⊥平面1AB D .试题解析：证明：（1）D 、E 分别为BC 、1CC 中点，1//DE BC ∴，DE ⊄ 平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC //DE ∴平面1ABC（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC AD ⊂平面ABC 1CC AD ∴⊥AB AC =，D 为BC 中点 AD BC ∴⊥ ，又1CC BC C =，1CC ， BC ⊂平面11BCC B ，11面AD BCC B ∴⊥1BC ⊂平面11BCC B 1AD BC ∴⊥又11BC B D ⊥，1B DAD D =，1B D ，AD ⊂平面1AB D 1BC ∴⊥平面1AB D1BC ⊂平面1ABC ∴平面1AB D ⊥平面1ABC考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理.16．（1）1]+（2）ABC S ∆【解析】试题分析：（1）研究三角函数性质，一般将三角函数化为基本三角函数形式，即利用降幂公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式：1()cos2)sin 2sin(2)23f x x x x πωωω++=+，再根据正弦函数性质求其值域（2）先由3)2(=A f 确定3A π=，这样三角形面积公式就选用1sin 2ABC S bc A ∆=，从而问题转化为求bc ，这可利用余弦定理的变形得到：22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即3bc =，ABC S ∆试题解析：解：（1）1()cos2)sin 2sin(2)23f x x x x πωωω++=+()f x 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω=()sin(2)3f x x π∴=+又02x π≤≤， 得42333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，0sin(2)13x π≤++ 即函数()y f x =在[0,]2x π∈上的值域为1]+．（2）()2A f sin()3A π∴+ 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π=由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc =∴1sin 2ABC S bc A ∆==考点：降幂公式、二倍角公式、配角公式，余弦定理 17．（1）65（2）1(,1)2【解析】试题分析：（1）求点坐标，一般方法为待定系数法，即列两个独立条件，解方程组就可.M 满足直线1F M 的方程及直线2F M 的方程，而直线1F M 的斜率为1F P 斜率，因此可由点斜式写出直线1F M 的方程为：2)y x =+，而直线2F M 与OP 垂直，因此由OP 斜率的负倒数得直线2F M 斜率，也可由点斜式写出直线2F M 的方程，联立两方程解出点M 的横坐标为65（2）求椭圆离心率，只需得到关于a,b,c 的一个关系式：本题可用a,b,c 表示出点P 的坐标，再根据点P 坐标的取值范围得到a,b,c 的一个关系式，设00(,)P x y ，则点00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y -=-，所以由M F PO 2⊥得220002x y cx +=，又2200221x y a b +=，解得0()a a c x c -=，而0a x a -<<，因此112e >> 试题解析：（1）22184x y += 12(2,0),(2,0)F F ∴-2124OP F M F M k k k ∴===∴直线2FM 的方程为：2)y x =-，直线1FM 的方程为：2)y x+由2)2)y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩解得：65x = ∴点M 的横坐标为65 （2）设00(,),(,)M M P x y M x y 12F M MP= 1002(,)(,)3M M F M x c y x c y ∴=+=+00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y ∴-=-2PO F M ⊥，00(,)OP x y = 2000242()0333x c x y ∴-+=即220002x y cx += 联立方程得：2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-= 解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c -=0a x a -<<0()(0,)a a c x a c -∴=∈ 20a ac ac ∴<-< 解得：12e > 综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2．考点：椭圆离心率18．（1）40（2）拱高为274米，拱宽为米【解析】试题分析：（1）实际问题为求抛物线方程，再根据方程求对应点的坐标：先确定抛物线形状2(0)y ax a =->再代入点3(10,)2-解得3200a =，最后令6y =-，解得：20x =±，即隧道设计的拱宽l 是40米；（2）由于隧道口截面面积公式为lhS 32=，因此本题难度不大，只需消元，将二元转化为一元问题，再利用导数求解即可.因为抛物线过点过点9(10,())2h --，(,)2l h -代入抛物线方程得：29()100,24l h a h a --=--=-两式相除解得2292400lh l =-，因此323400l S l =-解出定义域：2040l <≤，下面利用导数求解即可.试题解析：解：（1）设抛物线的方程为：2(0)y ax a =->，则抛物线过点3(10,)2-， 代入抛物线方程解得：3200a =， 令6y =-，解得：20x =±，则隧道设计的拱宽l 是40米；（2）抛物线最大拱高为h 米，6h ≥，抛物线过点9(10,())2h --，代入抛物线方程得：92100h a -= 令y h =-，则292100h x h --=-，解得：210092h x h =-，则2100()922l h h =-，2292400lh l =- 229266400l h l ≥∴≥- 即2040l <≤232292232(2040)33400400ll S lh l l l l ∴==⋅=<≤--2232222229(400)323(1200)'(400)(400)l l l l l l S l l --⋅-∴===--当20l <<时，'0S <；当40l ≤时，'0S >，即S在上单调减，在上单调增，S ∴在l =时取得最小值，此时l =，274h =答：当拱高为274米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小． 考点：求抛物线方程，利用导数求最值19．（1）323()()52f x f e --=极大值= ，1()(1)3极小值=f x f e --=（2）(0,1+（3）4,0t =-【解析】试题分析：（1）求函数极值，首先确定函数定义域R ，再求函数导数'2()(253)(1)(23)x xf x x x e x x e =++=++，再定义域上求导函数零点31,2x =--，最后列表分析函数极值：323()()52f x f e --=极大值= ，1()(1)3极小值=f x f e --=（2）利用导数研究函数单调性，一般先确定对应不等式恒成立：'2()(21)30x f x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立，即2(21)30ax a x +++≥在(2,0)(0,2]x ∈-上恒成立；再利用变量分离，转化为对应函数最值：max 23(),(0,2]2x a x x x +≥-∈+且min 23(),(2,0)2x a x x x +≤-∈+-，注意变量分离时需分类讨论，最后利用导数或基本不等式求最值（3）利用导数研究函数2()(2)4xh x x x e x =++--图像，经过两次求导后得导函数先增再减再增，且仅在(1,0)-上有且仅有一个零点，即原函数先减再增，由于43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=->，因此12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈，即4,0t =-.试题解析：解：（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x xf x x x e x x e =++=++'()0f x =31,2x =--323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --=（2）问题转化为'2()(21)30xf x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立；又0x e > 即2(21)30ax a x +++≥在[2,2]x ∈-上恒成立； 2()(21)3令g x ax a x =+++ 0a >，对称轴1102x a =--<①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[2,2]-上单调增， min ()(2)10g x g ∴=-=>102a ∴<≤②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在1[2,1]2a ---上单调减，在1[1,2]2a --上单调增，2(21)120a a ∴∆=+-≤ 解得：11a ≤≤ 112a ∴<≤+综上，a的取值范围是(0,1．（3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1xh x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)xx x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--3()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，2()(2)10极小值=x e ϕϕ-=-<1(1)10,(0)20eϕϕ-=-<=>000(1,0),()()0()()0存在-,时，,+时x x x x x x x ϕϕ∴∈-∈∞<∈∞>()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=->由零点的存在性定理可知：12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈ 即4,0t =-． 考点：利用导数求函数极值，利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数零点 20．（1）1231,2,3b b b === （2）221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩（3）3d =，64A =或65【解析】试题分析：（1）本小题实质为阅读题意：1m =，则111a =≤ 11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤ 22b ∴=3m =，则119a =<，249a =< 399a =≤ 33b ∴= （2）本小题由特殊到一般，考查归纳与分类：m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=；再分类求和：m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=；m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=；（3）先按题中定义确定A 的范围：设1b t =，122t t A +≤<，1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤<从而22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤<再由3122,t d t -+<+得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=，最后代入验证得3d =，因此12822125t tA ≤<⨯，最后由23536t b b b t +=≤≤=+得4,5,67t ∴=，，经验证得64A =或65． 试题解析：解：（1）1m =，则111a =≤ 11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤ 22b ∴= 3m =，则119a =<，249a =< 399a =≤ 33b ∴=（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=；1()2()2为奇数为偶数m m m b m m -⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=；m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=；221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩（3）依题意：2nn a =，(1)f A =，(2)8f A =，(5)125f A =，设1b t =，即数列{}n a 中，不超过A 的项恰有t 项，所以122t t A +≤<，同理：1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤< 即⎧⎪⎨⎪⎩13222122,22,22,125125++t t t d t d t d t d A A A +-+-++≤<≤<≤<故22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤<由⎧⎨⎩312222,22,125++t d t t d t d -++-<<得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=，当1d =时，232242max{2,2,}max{2,,}21254125++=t d tt t t d t t -⨯= ，21121228282min{2,2,}min{2,,}21252125125=t d t tt t t d t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去；当2d =时，2312162max{2,2,}max{2,2,}2125125+=t d tt t d t t t +--⨯= ，211212322322min{2,2,}min{2,2,}2125125125=t d tt t t d t t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去；当3d =时，232642max{2,2,}max{2,2,}2125125++=t d tt t d t t t -⨯= ，211211212821282min{2,2,}min{2,2,}2125125125+=t d tt t t d t t t ++++-+⨯⨯=>适合题意，此时12822125t t A ≤<⨯，125,3,6b t b t b t ==+=+，336t b t ∴+≤≤+310b = 47t ∴≤≤ t 为整数 4,5,6t t t ∴===或7t =(3)27f A =，310b = 10112272A ∴≤< 1011222727A ∴≤<当4t =时，11422125A ≤<∴无解 当5t =时，12522125A ≤<∴无解 当6t =时，13622125A ≤<13264125A ∴≤<当7t =时，14722125A ≤<∴无解 13622125A ∴≤<*A N ∈ 64A ∴=或65A =综上：3d =，64A =或65． 考点：新定义 21．1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''，则有x mx nyy y '=+⎧⎨'=⎩ ，因为1x y ''-=所以()1mx ny y +-=与1=+y x l ：重合，因此111m n =⎧⎨-=⎩．试题解析：解：设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ．由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx nyy y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦ 考点：矩阵变换 22．6 【解析】 试题分析：利用222,cos ,sin ,tan yx y x y x ρρθρθθ=+===将极坐标方程θρsin 8=、3πθ=化为直角坐标方程22(4)16x y +-=、y =，再利用点到直线距离公式求最值试题解析：解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=，直线的直角坐标方程为y =，圆心(0,4)到直线的距离为2d =，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=．考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式23．（1）14（2）当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32mn时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 【解析】试题分析：（1）正确理解题意是解决概率问题的关键：参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元是指“参与者在乙箱中摸到红球，且在甲箱中摸到黑球”，因此所求概率为131()344P M =⨯=（2）参与者摸球的顺序有两种，需分别讨论：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取0,,m m n ，求出对应概率，算出数学期望值；②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取0,,n m n ，同样求出对应概率，算出数学期望值；比较两个数学期望值的大小，作出判断.试题解析：解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M ．则131()344P M =⨯=即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14． （2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下： ①先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取0,,m m n则3121111(0),(),()44364312P P m P m n3110()4612412m nEm m n②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取0,,n m n 则2131111(0),(),()33443412P P n P m n ηηη====⨯==+=⨯=2110()3412123m nE n m n2312m n EE当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n 时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．答：当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n 时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 考点：概率，数学期望24．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定函数值域，即当1(0,)3x ∈时21()23(0,)3f x x x =-∈，再利用数学归纳法给予证明（2）由)(1n n a f a =+得21113()33n n a a +-=-，两边取对数得31311log ()12log ()33n n a a +-=+-，再构造等比数列313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+-，从而求得12111()334n n a --=，因此011222121113[444]111333n n a a a -+++=+++---再放缩为一个等比数列的和：1213[444]44n n ++++=-试题解析：（1）解：①当1n =时，114a =， 有1103a <<1n ∴=时，不等式成立②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即103k a <<则当1n k =+时，2221211()233()3()333k k k k k k k a f a a a a a a +==-=--=--+于是21113()33k k a a +-=- 103k a <<，∴21103()33k a <-<，即111033k a +<-<，可得1103k a +<<所以当1n k =+时，不等式也成立 由①②，可知，对任意的正整数n ，都有103n a <<（2）由（1）可得21113()33n n a a +-=-两边同时取3为底的对数，可得31311log ()12log ()33n n a a +-=+- 化简为313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+-所以数列31{1log ()}3n a +-是以31log 4为首项，2为公比的等比数列 133111log ()2log 34n n a -∴+-=，化简求得：12111()334n n a --=，1213413n n a -∴=-2n ≥时，101211111211n n n n n n C C C C n n ------=++++≥+-=，1n =时，121n -=*n N ∴∈时，12n n -≥，121343413n nn a -∴=⋅≥⋅-11222121121113[444]3[444]44111333n n n n a a a -++++=+++≥+++=----11233344131313n na a a +∴+++≥----．考点：数学归纳法，数列综合应用。
江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)
男女患者各 200 名，每位患者患Ⅰ型或 II 型病中的一种，得到下面的列联表：
Ⅰ型病
II 型病
男
150
50
女
125
75
(1)根据列联表，判断是否有 99%的把握认为所患疾病类型与性别有关．
(2)某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排 2 个接种
周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为 p(0＜p＜1)，每人每次接种的费用为 m 元(m
A．2
B．3
C．4
D．5
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则 f(9)的值为( )．
A． －3
B． 3
C．－9
D．9
1
3．已知 a＝20222021，b＝log20222021，c＝log2022
1
，则 a，b，c 的大小关系为(
)．
2021
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
答．
已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若
．
(1)求 A；
10
(2)若点 M 在线段 AC 上，∠ABM＝∠CBM，BM＝5 7，且cosB＝1，求 c．
3
7
【解析】
21．(本小题满分 12 分)
某种疾病可分为Ⅰ、II 两种类型．为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区随机抽取了
A．对于一个半径为 1 的圆，其“优美函数”仅有 1 个 B．函数f(x)＝x3－3x可以是某个圆的“优美函数” C．若函数 y＝f(x)是“优美函数”，则函数 y＝f(x)的图象一定是中心对称图形 D．函数y＝2cos(3π－x)可以同时是无数个圆的“优美函数”
江苏省扬州市2021届高三考前调研测试数学试题及答案
绝密★启用前扬州市2021届高三考前调研测试试题数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合要求)．1．设全集{}2|lg(2)U x y x x ==-，集合{}|2,0xA y y x ==<，则UA（）A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．[1,2)D ．(,1]-∞2．若(3)(2)i xi y ++=，其中,x y R ∈,i 为虚数单位，则复数x yi +在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中,6,8,10,2,AB AC BC BC DB ====则AD BC ⋅=（）A.86-B.86C.7D.7-4．现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到《诗经》，且乙也没拿到《春秋》，则所有可能的分配方案有（） A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种5．密位制是度量角的一种方法．将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-．如果一个扇形的半径为2，面积为73π，则其圆心角可以用密位制表示为（）A ．2500-B ．3500-C ．4200-D ．7000-6．“五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去西安，一人去云南.回来后，三人对去向作了如下陈述： 甲：“我去了北京，乙去了西安.” 乙：“甲去了西安，丙去了北京.” 丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半（关于去向的地点仅对一个）.根据以上信息，可判断下面说法中正确的是（） A ．甲去了西安 B ．乙去了北京C ．丙去了西安D ．甲去了云南7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,以F 为圆心，OF 为半径的圆交双曲线C 的右支于,P Q 两点（O 为坐标原点）,若OPQ ∆是等边三角形，则双曲线C 的离心率为（） A.713+ B.3C.512+ D.2 8．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数()f x 在()0-∞，上单调递减，且满足()22f =，则关于x 的不等式()sin f x x x π<+的解集为（）A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B．()()2,02,-⋃+∞C ．()(),20,2-∞-⋃D ．()()2,00,2-⋃二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知0ab >且11a b>，则下列不等式一定成立的有（） A ．a b <B ．a b b a< C ．2a bb a+> D ．22a b a b +<+10．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在区间[0,]π上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有（）A.()f x 在(0,)π上恰能取到2次最小值B.ω的取值范围为825[,)36C.()f x 在(0,)6π上一定有极值D.()f x 在(0,)3π上不单调 11．正方体1111ABCD A B C D -中，1=2AA ，点P 在线段1BC 上运动，点Q 在线段1AA 上运动，则下列说法中正确的有（） A ．三棱锥1A D PC -的体积为定值 B ．线段PQ 长度的最小值为2C ．当P 为1BC 中点时，三棱锥1P ABB -的外接球表面积为2πD ．平面BPQ 截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形12．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（）A ．3cos34cos 3cos x x x =-B ．存在1x ≤时，使得3431x x ->C ．给定正整数n ，若1,(1,2,,)i x i n ≤=，且310ni i x ==∑，则13ni i n x =≤∑ D ．设方程38610x x --=的三个实数根为123,,x x x ，并且123x x x <<，则2232312()x x x x -=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．62x ⎛⎝展开式中常数项为___________（用数字作答）.14．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在圆22(5)1x y -+=上，则PQ 长度的最小值为__________15．根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于58-时，能在扬州的夜空中看到它．下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：中看到观测目标，则X 的数学期望为 16．对于有限数列{}n a ，定义集合()1221|110ki k i i a a a S k s s i i k i ++⎧⎫==≤<<<≤⎨⎬⎩⎭+，，其中110k Z k ∈≤≤且，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：112a b ==，且2361,,1--a a a 是等比数列{}n b 的连续三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()2121log ()log nn n n n c a a b +=-+，求数列{}n c 的前10项和10T ．18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，现有下列四个条件：①a =②2b =；③2cos cos cos c A a B b A =+；④2223()a c b +-=-. （1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）请从上述四个条件中选三个，使得ABC ∆有解，并求ABC ∆的面积. （注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分） 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD //BC ，2,AB AD AC ===AC BD E =,2DM MP =，PB //平面MAC ．（1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成角为45，求二面角C PD A --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆C 上一点，线段1MF 与圆221x y +=相切于该线段的中点N ，且12MF F ∆的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上是否存在三个点,,A B P ，使得直线AB 过椭圆C 的左焦点1F ，且四边形OAPB 是平行四边形？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为23，乙校获胜的概率为13，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为13，乙校获胜的概率为23，每局比赛结果相互独立.（1）求甲校以3:1获胜的概率；（2）记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布. 22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x ax =-.（1）若()f x 存在极值，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，判断函数()()2sin g x f x x =+的零点个数，并证明你的结论.扬州市2021届高三考前调研测试试题数学参考答案2021.051.C2.B3.A4.D5.B6.D7.A8.B 9．ACD10.BD11．AB12.ACD 13.6014.315.3.616.12117．解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 因为2361,,1--a a a 是等比数列{}n b 的连续三项所以2326(1)(1)=--a a a ，即2(22)(21)(251)+=+-+-d d d ，解得3=d 或1=-d因为{}n b 是等比数列，其各项不能为零，所以1=-d 舍去，所以3=d ，所以()23131=+-=-n a n n ………3分 又3221==-a q a ，所以1222n n n b -=⨯=.…………6分 （2）∵()()2122221log ()log (1)log (31)(32)1[log (31)log (32)]nnn n n n n c b b a n n n n n n +=-+=--++=+--++， ∴{}n c 的前10项和()()()10222222(1210)log 2log 5log 5log 8log 8log 11T =++++--+++--+()()2222log 26log 29log 29log 32+--++2210(110)log 2log 32592+=-+=.……………10分18.解析：（1）不能同时满足③④，理由如下：由条件③得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，即2sin cos sin C A C =，即1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=；……………2分由条件④得2221cos 22a c b B ac ac +-==⨯=分因为12cos cos23B π=<-=，()0,B π∈，而cos y x =在()0,π单调递减，所以23B ππ<<. 于是233A B πππ+>+=，与A B π+<矛盾.所以ABC ∆不能同时满足③④ (6)分（2）满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④.若选择组合①②③：由sin sin a bA B=得32sin 3B =，即sin 1B =， 因为()0,B π∈，所以2B π=，………9分ABC ∆为直角三角形，所以222(3)1c =-=，所以13132ABC S ∆=⨯⨯=.………12分若选择组合①②④：由2222cos b a c ac B =+-得221c c +=，解得21c =-，……………9分因为()0,B π∈，所以2236sin 1cos 133B B ⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以11622sin 3(21)2232ABC S ac B ∆-==⨯⨯-⨯=.……………12分 19．(1)证明连接ME ，∵PB//平面MAC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MAC=ME ，∴PB//ME ，2DE DM AD BE PM BC===，∴BC=1，……………2分 而AB=2，3AC =，222AC BC AB ∴+=，∴CA ⊥BC ，即CA ⊥AD ， 又PA ⊥平面ABCD ，CA ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CA ， 又PAAD=A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴CA ⊥平面PAD ．……………5分(2)因为PB 与平面ABCD 所成的角为45，所以45PBA ∠=，即2PA = 方法1：向量法如图，以A 为原点，射线AC ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A C D P 所以(3,0,2),(0,2,2),PC PD =-=- 设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =，则1103200202n PC x z z n y PD ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎨⋅==⎪⎪-⎩⎩，即，所以平面PCD 的一个法向量为1(2,3,3)n =，……………8分 又平面PAD 的一个法向量为2(1,0,0)n =，……………10分所以1212122cos ||||10nn n n n n ⋅⋅===⋅.所以二面角C PD A --的余弦值为5……………12分 方法2：综合法提示，在PAD ∆内作AH PD ⊥于H ，则CHA ∠即为所求角20、解析：（Ⅰ）因为1ON =，又ON 是三角形12MF F 的中位线，所以22MF =，12MF MF ⊥，由椭圆的定义可知122MF a =-，因为三角形12MF F 的面积为1(22)22222S a a =-⨯=-=，所以2a =，又因为12F F ==c =b =所以椭圆的方程为22142x y +=……………4分（2）存在①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =此时椭圆上不存在符合题意的点P ；……5分②当直线AB 的斜率存在且0k =时，此时,,O A B 三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的点P ；③当直线AB 的斜率存在且不为0时，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ， 设直线AB 的方程为(y k x =.联立22(142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222221440kx x k +++-=，216160k ∆=+>，所以212212x x k +=+-，21221442k x x k -=+……………7分 所以(2112221y k x x k y ==++++因为四边形OAPB是平行四边形，所以OP OA OB =+()1212,x x y y =++222,2211k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭++.所以点2121P k k ⎛ ⎝⎭++.……………9分又点P 在椭圆上，则有2224⎛+= ⎝⎭⎝⎭，即441k =，解得2k =±. 所以椭圆上存在三个点,,A B P ，满足要求，此时直线AB 的方程为12y x =±+.……………12分 21.解（1）设甲校以3:1获胜为事件B ，4局比赛中甲校胜出分别为()1,2,34i A i =，…………1分则()()131234241234P B P A A A A A A A A A A A A =++21221121=3333333812721124C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅⋅⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答：甲校以3:1获胜的概率为427……4分 （2）ξ的可能取值为1、2、3()2221121=333392627P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；……6分()2221122212111102=333333332721112223033333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭⎭……9分()2211222221212133331321213333333P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎪⎭⎝⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭⎭ 3112322221211111+=3333333327222993243C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎛⎫ ⎝⎭⎭⎭⎝⎭⎪⎝ 所以，随机变量ξ的概率分布列为：22．解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11axf x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 无极值； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在当1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以()f x 在1x a=处取得极大值，无极小值. 综上所述，若()f x 存在极值，则a 的取值范围为()0,∞+.……………4分 (2)()()2sin ln 2sin g x f x x x x x =+=-+，下面分区间逐段研究 ①当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，由（1）知1a =时()ln f x x x =-，此时()()ln 1f x x x f =-≤，即ln 1x x -≤-， 所以()0g x <，所以()g x 在[),2ππ上没有零点．……………6分 ②当[)2,x π∈+∞时，()ln 2g x x x ≤-+ 设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-<，所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20g x x ϕϕπ≤≤<恒成立，所以()g x 在[)2,π+∞上没有零点．………8分③当()0,x π∈时，()112cos g x x x '=-+，()212sin 0g x x x''=--<，所以()g x '在()0,π上单调递减，又因为31103g ππ⎛⎫'=-+>⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()g x '在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点α．()g x 在()0,α上单调递增;()g x 在(),απ上单调递减;所以()g x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<<⎪⎝⎭，且()ln 2202222g g ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220g e e e e ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20g ππππ=-<-<，所以()g x 在(),απ上也恰有一个零点．g x有且仅有两个零点．……………12分综上得，()。
2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高三(上)学情调研数学试卷(10月份)(附答案详解)
2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数5i−2的共轭复数是()A. i+2B. i−2C. −2−iD. 2−i2.已知集合A={0,1,2,3,4}，B={(x,y)|x∈A，y∈A，x−y∈A}，则B中所含元素的个数为()A. 5B. 6C. 10D. 153.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减的是()A. y=|sinx|B. y=cosxC. y=tanxD. y=cos x24.已知g(x)=f(2x−1)+1，且g(x)的定义域为(1,4]，值域为[3,+∞)，设函数f(x)的定义域为A、值域为B，则A∩B=()A. ⌀B. [4,7]C. [2,7]D. [2,52]5.若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A. −3<k<0B. −3≤k<0C. −3≤k≤0D. −3<k≤06.已知a=sin12,b=−log2sin12,c=2−sin12，则a、b、c的大小关系为()A. a>b>cB. c>a>bC. b>a>cD. b>c>a7.已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则R+r=a2tanβ，其中β=()A. πn B. π2nC. π3nD. π4n8.某一辆汽车经过多次实验得到，每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：kmℎ)(0≤v≤120)的下列数据：为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下四种模型供选择：甲：Q=av2+bv+c，乙：Q=av3+bv2+cv，丙：Q=0.5v+a，丁：Q=klog a v+b.其中最符合实际的函数模型为()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.在a>b>0的条件下，下列不等式一定成立的是()A. ac2>bc2B. 1a <1bC. a2>ab>b2D. ab >a+cb+c(c>0)10.将函数y=sin(2x+π3)的图像向右平移π3个单位，可得下列哪些函数()A. y=sin2xB. y=sin(2x−π3)C. y=cos(5π6−2x) D. y=sin(2x+2π3)11.函数y=g(x)在区间[a,b]上连续，对[a,b]上任意二点x1与x2，有g(x1+x22)<g(x1)+g(x2)2时，我们称函数g(x)在[a,b]上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g(x)>0.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有()A. f(x)=log2x(x>0)B. f(x)=2e−x+xC. f(x)=−x3+2x(x<0)D. f(x)=sinx−x2(0<x<π)12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知∠A=π3,c=2，下列哪些条件一定能够得到b=3？()A. a=4B. tanB=3√3C. 3sinA=√7sinBD. BC边上的中线长为√192三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一个矩形的周长为16cm，则矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为______．14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=______．①f(x+π2)=f(x−π2)；②f(x+π4)为偶函数；③当x∈(0,π4)时，导函数f′(x)<0．15.根据事实：1=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，……，写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题为______，该命题的否定为______．16.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数．则函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x+m在区间[0,π2]上的最小值为1，(1)求常数m的值；(2)若α∈(π6,π2),f(α)=165，试求cos(α+π3)的值．18.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．(1)若平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB//l；(2)求平面EFD与底面ABCD所成锐二面角的余弦值．19.某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售．如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理．商家记录了100天该商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(1)若商家一天购进该商品16件，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列，数学期望；(2)若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由．20.四边形ABCD为圆内接四边形，AD=BC=1，AC=√3．(1)若∠DAC=π，求AB；6(2)若AB=2CD，求四边形ABCD的面积．x2．21.已知函数g(x)=lnx−12(1)求g(x)的单调区间；(2)令f(x)=2cosx+g(x)，判断函数f(x)的零点个数，并证明你的结论．22.已知函数f(x)=ae x−ln(x+1)+lna−1．(1)若曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=x+ln2+b，求实数a，b的值；(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵复数5i−2=5(−i−2)22−i2=−2−i，∴共轭复数是−2+i故选：B．首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合与元素的关系，集合中的元素个数问题，属于基础题．从集合A中取值，然后分成x−y=0，1，2，3，4，讨论即可．【解答】解：分以下四种情况，1，x−y=1，有四个，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(1,0)，2，x−y=2，有三个，(3,1)，(4,2)，(2,0)，3，x−y=3，有两个，(4,1)，(3,0)，4，x−y=4，有一个，(4,0)5，x−y=0，有五个，(0,0)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，则B中所含元素的个数为15，故选：D．3.【答案】A【解析】解：对于A：y=|sinx|，将y=sinx的图象x轴翻折到上方，可知周期T=π，在区间(π2,π)上单调递减，所以A对；对于B：y=cosx的周期T=2π，所以B不对．对于C：y=tanx的周期T=π，在定义域内都是单调递增，所以C不对；对于D：y=cos x2的周期T=2π12=4π，所以D不对．故选：A．根据三角函数的性质对各选项依次判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：g(x)=f(2x−1)+1，且g(x)的定义域为(1,4]，值域为[3,+∞)，则f(2x−1)的定义域为(1,4]，值域为[2,+∞)，所以f(x)的定义域为(1,7]，值域为[2,+∞)，则A=(1,7]，B=[2,+∞)，所以A∩B=[2,7]．故选：C．利用复合函数的定义域以及值域，分析求解即可．本题考查了抽象函数的应用，复合函数的定义域与值域的求解，考查了复合函数的理解与应用，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，①k=0时，−38<0恒成立，②k≠0时，{k<0△=k2+3k<0，解可得，−3<k<0综上可得，−3<k≤0故选：C．由2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，结合函数的图象性质分类讨论进行求解．本题主要考查了二次不等式的恒成立求解参数范围，体现了不等式与函数相互转化思想的应用．6.【答案】D【解析】解：∵0<12<π6，∴0<sin 12<12，即0<a <12， ∴log 2sin 12<log 212=−1，∴b >1，∵−12<−sin 12<0，∴2−12<2−sin 12<20，即√22<c <1，∴b >c >a ， 故选：D ．由0<12<π6可知0<sin 12<12，再结合对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.【答案】B【解析】解：设O 为内切圆的圆心，OB 和OA 分别是内切圆的半径，外接圆半径； 如图所示：则OB =r ，OA =R ， 所以α=πn ，AB =a2，在Rt △AOB 中，sinα=ABOA ，即sin πn=a2R，所以R =a2sin πn，cosα=OB OA ，即cos πn =rR ， 整理得：r =Rcos πn =acosπn 2sinπn，所以R +r =a2sinπn+acosπn 2sinπn=a(1+cos πn)2sinπn=2acos 2π2n 4sin π2n cosπ2n=a 2tanπ2n．故β=π2n ．故选：B．直接利用解直角三角形知识的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，解直角三角形，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：依题意可知该函数必须满足三个条件：第一，定义域为[0,120}；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点．当v=0时，Q=klog a v+b没有意义，排除丁，函数Q=av2+bv+c不经过坐标原点，排除甲，函数Q=0.5v+a单调递减，排除丙，故最符合实际的函数模型为乙．故选：B．利用所给数据的特征排除不合题意的函数模型即可确定满足题意的函数模型．本题主要考查函数模型的确定，排除法的应用，属于基础题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A，当c=0时，ac2=bc2，故A错误，对于B，∵a>b>0，∴1a <1b，故B正确，对于C，∵a>b>0，∴a−b>0，∴a2−ab=a(a−b)>0，ab−b2=b(a−b)>0，故a2>ab>b2，故C正确，对于D，∵a>b>0，c>0，∴ab −a+cb+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=c(a−b)b(b+c)>0，故ab >a+cb+c，故D正确．故选：BCD．对于A ，结合特殊值法，即可求解，对于B ，结合不等式的性质，即可求解，对于CD ，结合作差法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，以及作差法，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：将函数y =sin(2x +π3)的图像向右平移π3个单位，得到y =sin(2x −2π3+π3)=sin(2x −π3).故选：BC ．直接利用三角函数的关系式的变换和函数的图象的平移变换的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足f′′(x)>0在给定区间内恒为正，对于A ，f(x)=log 2x(x >0)，则f″(x)=(1xln2)′=−1ln2⋅1x 2<0在x >0时恒成立，不符合题意，故选项A 错误；对于B ，f(x)=2e −x +x ，则f′′(x)=(−2e −x +1)′=2e −x >0恒成立，符合题意，故选项B 正确；对于C ，f(x)=−x 3+2x(x <0)，则f′′(x)=(−3x 2+2)′=−6x >0在x <0时恒成立，符合题意，故选项C 正确；对于D ，f(x)=sinx −x 2(0<x <π)，则f′′(x)=(cosx −2x)′=−sinx −2<0在0<x <π时恒成立，不符合题意，故选项D 错误． 故选：BC ．利用题中给出的新定义，然后利用基本初等函数的求导公式以及四则运算的求导公式进行分析判断即可．本题考查了导数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：由题意∠A =π3,c =2，对于A ，a =4，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得16=b 2+4−2×b ×2×12，可得b 2−2b −12=0，解得b =1+√13，(负值舍去)，故A 错误；对于B ，由tanB =3√3，可得cosB =√11+tan 2B=√714，sinB =√1−cos 2B =3√2114，可得sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×√714+12×3√2114=√217， 由正弦定理bsinB =csinC ，可得b =c⋅sinB sinC=2×3√2114√217=3，故B 正确；对于C ，由3sinA =√7sinB ，由正弦定理可得3a =√7b ，可得b =3√7a7， 由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得a 2=(3√7a 7)2+22−3√7a 7×2，整理可得a 2−3√7a +14=0，解得a =2√7，或√7， 可得b =14，或7，故C 错误； 对于D ，若BC 边上的中线长为√192，因为2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方，可得4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得4×(√192)2=22+b 2+2×2×b ×12，整理可得b 2+2b −15=0，所以解得b =3，(负值舍去)，故D 正确． 故选：BD ．对于A ，由余弦定理可得b 2−2b −12=0，解得b 即可判断；对于B ，由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sinB ，sinC 的值，进而利用正弦定理可得b ，即可判断；对于C ，由已知利用正弦定理可得b =3√7a7，由余弦定理可得a 2−3√7a +14=0，解得a ，即可求解b 的值，即可判断；对于D ，由题意可得2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方利用平面向量数量积的运算可得b 2+2b −15=0，解得b 的值，即可判断．本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换，正弦定理以及平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．13.【答案】32π【解析】解：设矩形的长与宽分别为a，b，则2a+2b=16，即a+b=8，所以8≥2√ab，当且仅当a=b=4时取等号，所以ab≤16，则旋转形成的圆柱的侧面积为π⋅2ab≤2π×16=32π，所以矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为32π．故答案为：32π．设矩形的长与宽分别为a，b，利用基本不等式求解ab的最大值，由圆柱的侧面积公式求解即可．本题考查了旋转体的理解与应用，基本不等式求解最值的应用以及圆柱的侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．14.【答案】−sin2x(答案不唯一)【解析】解：f(x)=−sin2x，①为周期为π，符合题意，②f(x+π4)=−sin(2x+π2)=−cos2x，是偶函数，③当x∈(0,π4)时，导函数f′(x)=−2cos2x<0．故答案为：f(x)=−sin2x(答案不唯一)．由题意，根据函数的三个性质列出符合条件的函数即可．本题考查三角函数的性质，及三角函数的求导运算，属于中等题．15.【答案】∀n∈N∗，1+3+5+....+(2n−1)=n2∃n∈N+，1+3+5+...+(2n−1)≠n2【解析】解：由归纳推理得，∀n∈N+，1+3+5+...+(2n−1)=n2，命题的否定为：∃n∈N+，1+3+5+...+(2n−1)≠n2，故答案为：∀n∈N+，1+3+5+...+(2n−1)=n2，∃n∈N+，1+3+5+...+(2n−1)≠n2．利用归纳推理写出命题，再根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题及其否定，比较基础．16.【答案】(1,−2)【解析】解：根据题意，设f(x)=x3−3x2的对称中心为点P(a,b)则函数y=f(x+a)−b是奇函数，则有f(−x+a)−b=−f(x+a)+b，变形可得f(−x+a)+f(x+a)−2b=0，则有(−x+a)3−3(−x+a)2+(x+a)3−3(x+a)2=2b，必有a=1，b=−2；即函数的对称中心为(1,−2)；故答案为：(1,−2)．根据题意，设f(x)=x3−3x2的对称中心为点P(a,b)，由奇函数的性质可得f(−x+a)+ f(x+a)−2b=0，变形分析可得答案．本题考查函数的对称性问题，涉及函数的解析式以及变形，属于基础题．17.【答案】解：(1)f(x)=√3sin2x+2cos2x+m=√3sin2x+cos2x+m+1=2(√32sin2x+12cos2x)+m+1=2sin(2x+π6)+m+1，由x∈[0,π2]，得2x+π6∈[π6,7π6]，故f(x)的最小值为m=1，所以m=1．(2)由f(α)=2sin(2α+π6)+2=165，得sin(2α+π6)=35，设2α+π6=β，则α=β2−π12，且sinβ=35，π2<β<7π6，故cos(α+π3)=cos(β2−π12+π3)=cos(β2+π4)=√22(cosβ2−sinβ2)，因为π2<β<7π6，则π4<β2<7π12，从而cosβ2−sinβ2<0，所以cos(α+π3)=√22(cos β2−sin β2)=−√22√(cos β2−sin β2)2=−√22√1−sinβ=−√55．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，进而根据正弦函数的性质即可求解m 的值．(2)由题意可得sin(2α+π6)=35，设2α+π6=β，可求范围π2<β<7π6，利用三角函数恒等变换的应用即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：因为ABCD 是正方形，故AB //CD 又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，故AB //平面PCD 又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ，从而AB//l 获证． (2)解：如图，建立空间直角坐标系D −xyz ，设PD =DC =a(a >0)，则D(0,0,0)，P(0,0,a)，C(0,a,0)，B(a,a,0)，则E(0,a 2,a2)，设F(x,y,z)，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −a 2,z −a 2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −a,y −a,z),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,a)由于EF ⊥PB ，故EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x(−a)+(y −a2)(−a)+(z −a2)a =0(i) 又点F 在PB 上，故BF ⃗⃗⃗⃗⃗ //BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x −a,y −a,z)=λ(−a,−a,a)(λ≠0)(ii) 由(i)(ii)解得x =y =a3,z =2a3，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a 2,a 2),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 3,a 3,2a 3)， 设平面EFD 的法向量n ⃗ =(m,n,1)，由n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得a2⋅n +a2=0，a3⋅m +a3⋅n +2a 3=0，从而解得m =n =−1，即得n ⃗ =(−1,−1,1)又底面ABCD 的法向量DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a)，故cos〈n ⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=√33．所以，平面EFD 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值为√33．【解析】(1)由题意利用线面平行的判断定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量即可求得二面角的余弦值．本题主要考查线面平行的证明，空间直角坐标系及其应用等知识，属于中等题．19.【答案】解：(1)X的可能取值为44、54、64，P(X=44)=0.1，P(X=54)=0.2，P(X=64)=0.7，∴X的分布列为：E(X)=44×0.1+54×0.2+64×0.7=60．(2)若当天购进17件，则利润为：y=(140−17×6)×0.1+(150−17×6)×0.2+(160−17×6)×0.25+(170−17×6)×0.45=58.5，因为60>58.5，所以购进16件更合理．【解析】(1)X的可能取值为44、54、64，分别求出相应的概率，能求出X的分布列和EX．(2)若当天购进17件，求出利润，由此能求出购进16件更合理．本题考查离散型随机变量的分布列、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：(1)在圆内接四边形△ACD中，AD=1,AC=√3,∠DAC=π6，由余弦定理得CD2=AD2+AC2−2AD⋅AC⋅cos∠DAC=1，故CD=1，再根据cos∠D=AD2+CD2−AC22AD⋅CD =−12，解得∠D=2π3．由于四边形ABCD为圆内接四边形，故∠D+∠B=π，所以∠B=π3．在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠B，即3=AB2+1−AB，所以，AB=2．(2)设AB=2CD=2x，在△ACD与△ABC中，分别由余弦定理得cos∠D=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=x2−22x，cos∠B=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =2x2−12x，又由于∠D+∠B=π，即cos∠D=−cos∠B，解得x=1，即得AB=2CD=2．故S△ACD=12⋅AC⋅CD⋅sin∠D=12⋅√3⋅1⋅√32=√34，∴S ABCD=S△ACD+S△ABC=√34+12⋅AB⋅BC⋅sin∠B=√34+√32=3√34．【解析】(1)由题意，在△ACD中，利用余弦定理求得∠D的值，可得AB的值．(2)设AB=2CD=2x，在△ACD与△ABC中，分别由余弦定理求得cos∠D和cos∠B，根据cos∠D=−cos∠B，可得x的值，再用用分割法求四边形的面积．本题主要考查余弦定理，用分割法求四边形的面积，正弦定理的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数g(x)=lnx−12x2，由题意可知，x>0且g′(x)=1x −x=1−x2x=(1+x)(1−x)x，令g′(x)>0，解得0<x<1，令g′(x)<0，解得x>1，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；(2)已知f(x)=2cosx+lnx−12x2且x>0(i)当0<x<1时，f′(x)=−2sinx−x+1x，设ℎ(x)=−2sinx−x+1x，则ℎ′(x)=−2cosx−1x2−1，由于0<x<1，所以ℎ′(x)<0，即f′(x)在(0,1)上单调递减，又f′(π6)>0，f′(1)=−2sin1<0，所以存在x0∈(0,1)，使得函数f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，当x∈(x0,1)时，f(x0)>f(1)=2cos1−1>0，故f(x)在(x0,1)上无零点；当x∈(0,x0)时，x→0时，f(x)→−∞，f(x0)>0，故f(x)在(0,x0)上必有一个零点．(ii)当1≤x≤π时，由(1)可知，y=2cosx与y=g(x)都单调递减，所以y=f(x)在[1,π]上单调递减，又f(1)>0，f(π)<0，故f(x)在[1,π]上必有一个零点．(iii)当x>π时，由(1)可知，g(x)=lnx−12x2单调递减，故g(x)<g(π)=lnπ−12π2，所以f(x)=2cosx+lnx−12x2<2cosx+lnπ−12π2<2+lnπ−12π2<0，则f(x)在(π,+∞)上无零点．综上所述，函数f(x)在其定义域上共两个零点．【解析】(1)求出g′(x)和函数的定义域，然后利用导数的正负，确定函数的单调性即可；(2)求出f(x)，然后分0<x<1，1≤x≤π，x>π三种情况，利用函数零点的定义，由函数的单调性以及取值情况进行分析求解即可．本题考查了利用导数研究函数单调性的应用，函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意，x>−1，a>0，f,(x)=ae x−1x+1，则曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率k切=f,(0)=a−1，f(0)=a+lna−1，故曲线在x=0处的切线方程为：y=(a−1)x+a+lna−1，结合题意从而有a−1=1，a=2，ln2+b=a+lna−1=ln2+1，所以b=1．所以a=2，b=1；(2)方法一(极限分析)：设f′(x)=g(x)，则g,(x)=ae x+1(x+1)2，显然g′(x)>0，故函数f′(x)在(−1,+∞)单调递增．当x→−1时，f′(x)→−∞；x→+∞时，f′(x)→+∞，故存在x0∈(−1,+∞)，有x∈(−1,x0)时，f′(x)<0；x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，且f′(x0)=ae x0−1x0+1=0，所以函数y=f(x)在(−1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，所以f(x)最小=f(x0)=ae x0−ln(x0+1)+lna−1．由f(x)≥0，即得f(x)最小≥0，所以ae x0−ln(x0+1)+lna−1≥0，由于ae x0−1x0+1=0，故而1x0+1−ln1ae x0+lna−1≥0，即1x0+1+x0+2lna−1≥0，也即1x0+1+x0+1≥2−2lna，由x0∈(−1,+∞)，则1x0+1+x0+1≥2，所以2−2lna≤2，lna≥0，故实数a的取值范围为[1,+∞)．方法二(构造函数)：f(x)=ae x−ln(x+1)+lna−1≥0，即e lna e x+lna≥ln(x+ 1)+1，即e lna+x+lna+x≥ln(x+1)+x+1=e ln(x+1)+ln(x+1)，构造函数F(x)=e x+x，问题转化为F(lna+x)≥F(ln(x+1))注意到函数F(x)在其定义域内为增函数，故lna+x≥ln(x+1)，即lna≥ln(x+1)−x，所以lna≥[ln(x+1)−x]最大．设g(x)=ln(x+1)−x，则g′(x)=1x+1−1=−xx+1，当x∈(−1,0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以当x=0时，g(x)取极大值，即为最大值，所以g(x)的最大值为g(0)=0，所以lna≥0，则a≥1，故实数a的取值范围为[1,+∞)．【解析】(1)求导，根据导数的几何意义，求得x=0处的切线的斜率a−1，将(0,f(0))代入切线方程，即可求得a和b的值；(2)方法一：求导，根据导数与函数单调性的关系，判断f(x)的单调性，求得其最小值，利用函数的隐零点及基本不等式，即可求得a的取值范围；方法二：根据题意，原不等式可转化为e lna+x+lna+x≥ln(x+1)+x+1=e ln(x+1)+ ln(x+1)，构造函数F(x)=e x+x，利用单调性则转化为lna≥ln(x+1)−x，构造函数，求得g(x)=ln(x+1)−x，求得g(x)的最大值，即可求得a的取值范围．本题考查导数与函数综合应用，考查导数的几何意义，函数的隐零点，同构，除此而外，本题还可以有分类讨论，另外一种构造法、凹凸反转法、必要性探路法等等，考查转化思想，属于中档题．。
007江苏省扬州市2020-2021学年度第一学期高三数学开学调研试卷
物理+政治+生物，物理+生物+地理.江苏某中学高一学生共 1200 人，其中男生 650 人，
女生 550 人，为了适应新高考，该校高- 的学生在 3 月份进行了“1+ 2”的选科，选科
情
况部分数据如下表所示: (单位: 人)
性别
物理类 历史类 合计
男生
590
女姓
240
合计
900
(1)请将题中表格补充完整，并判断能否有 99%把握认为“是否选择物理类与性别有关"?
的能量的比值为( )
A.10-15
B.1.5
C.lg1.5
D.101.5
7.已知函数 f(x)= 羐 +k,若存在区间[a,b] [-2,+∞),使得函数 f(x)在区间[a,b] 上的
值域为[a +2,b+2],则实数 k 的取值范围为( )
A. (-1,+∞). B.(- ] C.( - 羐 ) D. (-1,0]
20. (本小题满分 12 分)江苏省的新高考模式为“3+1+2”,其中“3”是指语文、数学、
外语三门必考科目:“1"是指物理、历史两门科目必选且只选一-门;“2"是指在政治、地
理、化学、生物四科中必须任选两门，这样学生的选科就可以分为两类:物理类与历史类，
比如物理类有:物理+化学+生物，物理+化学+地理,物理+化学+政治物理+政治+地理,
2021 届高三上学期期初学情调研
数学试题
2020. 09
(考试时间: 120 分钟试卷满分: 150 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，