双线性变换巴特沃斯IIR数字带通滤波器

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课程设计报告

课程名称:专业综合课程设计

学生姓名:陈旋

学号:10160101

专业班级:芙蓉通信1001班

指导教师:朱明旱

完成时间:2013年6月10日

报告成绩:

评阅意见:

评阅教师日期

IIR数字带通滤波器

1.课程设计目的

通过对常用数字滤波器的设计和实现,掌握数字信号处理的工作原理及设计方法;熟悉用双线性变换法设计IIR 数字带通滤波器的原理与方法,掌握利用数字滤波器对信号进行滤波的方法。掌握数字滤波器的计算机仿真方法,并能够对设计结果加以分析。

2.课题要求

采用双线性变换法设计一数字带通滤波器,抽样频率为 kHz f s 1=,性能要求为:通带范围从Hz 250到Hz 400,在此两频率处衰减不大于dB 3,在Hz 150和Hz 480频率处衰减不小于dB 20,采用巴特沃思型滤波器。

3.设计原理

3.1 数字滤波器介绍

滤波器,顾名思义,其作用是对输入信号起到滤波作用。数字滤波器(DF ,Digital Filter )在数字信号处理中起着重要作用。数字滤波器由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理,以达到改变信号频谱的目的。 数字滤波器有低通(LP ,Low pass)、高通(HP ,High Pass)、带通(BS,Band PASS)、带阻(BS,Band Stop)和全通等类型。它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。应用最广的是线性、时不变数字滤波器,以及FIR 滤波器。 数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语音信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。

3.2 巴特沃思的原理

巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦,没有起伏,而在阻频带则逐渐下降为零。 在振幅的对数对角频率的波特图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。

3.3 双线性变换原理

为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真,这是因为从S 平面到Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点,可以采用非线性频率压缩方法,将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T ~π/T 之间,再用z=esT 转换到Z 平面上。也就是说,第一步先将整个S 平面压缩映射到S1平面的-π/T ~π/T 一条横带里;第二步再通过标准变换关系z=es1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象,映射关系如图1-1

图1-1双线性变换的映射关系

为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上,可以通过以下的

⎪⎫ ⎛Ω=

Ωtan 21T

正切变换实现

(1)

式中,T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时,Ω由-∞经过0变化到+∞,也即映射了整个j Ω轴。将式写成

(2) 将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面,令j Ω=s ,j Ω1=s1,则得

(3)

再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面 z=es1T

从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为:

(4)

(5)

S 平面与Z 平面之间的单值映射关系,这种变换都是两个线性函数之比,因此称为双线性变换 4.设计思路

4.1设计步骤

(1).数字通带滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。

(2).设计模拟低通滤波器G (p )。

(3).将模拟低通滤波器G (p )转换成数字带通滤波器H(z)。

4.2 设计过程

(1)确定技术指标。

a.数字带通滤波器的技术指标(s

f T 1=)。 通带截止频率:πω5.0***211==T f pi p

阻带截止频率: πω3.0***2==T f pi sl sl

通带最大衰减:dB p 3=∂

最小阻带衰减:dB p 20=∂

抽样频率:kHz f s 1=

b.数字带通滤波器转换成模拟带通滤波器技术指标。

通带截止频率:s rad T 20002tan 211=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=Ωω 2/2/2/2

/11112T j T j T j T j e e e e T j Ω-ΩΩΩ+-⋅=ΩT s T s T s T s T s T s e e T T s T e e e e T s 1111111122tanh 2212/2/2/2/----+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-⋅=11

112--+-=z z T s

阻带截止频率:s rad T sl sl 10192tan 2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=Ωω 中心频率:1231000312

2=ΩΩ=Ω 通带带宽:s rad BW 415513=Ω-Ω=Ω

c.模拟低通技术指标.

以BW Ω为参考频率将Ω归一化,得

显然 113=-=ηηηBW 7129.03122

==ηηη 由η

ηηλ222-=,将η转换为低通滤波器()p G 的归一化频率λ, 可知1=p λ,但s λ不唯一,即

由于求出的两个s λ差别较大,为了保证滤波器的衰减性,应取s λ为最小者,固取7.2=s λ。

(2).设计巴特沃思模拟低通滤波器()p G 。

根据1=p λ,7.2=s λ, dB p 3=∂,dB s 20=∂,设计()p G 。

故整数N=3。

此时三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数为

(3).将 G (p )转换为数字带通滤波器H d (z )。

由 ()()()BW s s s s p ΩΩ+=Ω-ΩΩΩ+=

22213312

, 而 1-1

-z 1z -12+=T s 则p 与z 之间转换关系,即

将2

2Ω,BW Ω 带入上式,得

再将所得的结果代入()p G 中即可得数字带通滤波器()z H 。

5.实验程序及结果

5.1实验程序

clear;close all

t=0.001; fs=1000;

wpu=0.8*pi,wpl=0.5*pi;

wsu=0.96*pi,wsl=0.3*pi;

wpz=[0.5,0.8];

wsz=[0.3,0.96];

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