关于同时对角化问题

关于同时对角化问题
命题１：A 正定，B 半正定，存在可逆阵P ，使),...,(21n b b b diag BP P E
AP P ='='
命题２：A,B 为对称阵，其中A 为正定阵，则存在可逆阵P ，使：
),...,(21n b b b diag BP P E AP P ='='，
注：命题1,2为合同对角化
命题３：A ，B 为对称阵，AB=BA ，则存在正交阵T ，使：BT T AT T 11,--同时为对角
阵。

命题４：A,B 可对角化，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BT T AT T 11,--同时为对角形矩
阵。

注：A,B 实对称，AB=BA BT T AT T T ''∃⇔，，使正交阵同时为对角阵。

命题５：A 可对角化，A 有互异的特征值，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BT
T AT T 11,--同时为对角形矩阵。

命题６：A 有n 个互异的特征值，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BT T AT T 11,--同时为
对角形矩阵。

命题７：i A 可对角化，j i A A ,两两可换，则存在可逆阵T ，使T A T i 1- 同时为对角阵。

n i ,...2,1=
命题８：A,B 为对称阵，B 可逆，且0=-B A λ的根n λλλ,...,21互异，则存在可逆阵Q ，使：
),...,()
,...,(221121n n n b b b diag AQ Q b b b diag BQ Q λλλ='=' 0≠i b （此为合同对角化。

）
关于对角化问题
A 可对角化⇔A 有n 个无关的特征向量
⇔
A 的所有的代数重数与几何重数相同。

⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数和等于n ⇔A 的任意k 重根0λ，有k n A E rank -=-)(0λ ⇔A 初等因子全是一次的
⇔A 的最小多项式是一次因式的积 ⇔对于)
,()
()(,)(f f f g A E f '=
-=λλλλ，有0)(=A g A 可对角化的充分条件是，A 有n 个互异的特征值。

关于可换问题
命题１：A,B 可换，A 的特征子空间λV 是B 的不变子空间（B 的特征子空间亦对A 不变） 命题２：A,B 可换，则A,B 至少有一个共同的特征向量。

(对每一特征值至少有一个公共的) 命题３：A,B 可换，则A 的根子空间为B 的不变子空间。

命题４：A,B 可对角化，A,B 可换，则A ，B 可同时（相似）对角化。

注：可推广至两两可换。

见上问题命题７。

命题５：A 可对角化，A 有互异的特征值，AB=BA ，则B 可对角化。

进一步：A,B 可同时对角化。

即存在可逆阵T ，使BT T AT T 11,--同时为对角形矩阵。

命题６：A,B 正定，AB=BA ，则AB 正定。

命题７：A 有n 个互异的特征值，则A 的特征向量恒为B 的特征向量BA AB =⇔
注：可引出同时对角化问题。

见上问题命题６。

命题８：A,B 为实对称矩阵，AB=BA BQ Q AQ Q Q ''∃⇔，，使　正交阵同时为对角形矩阵。

关于正定问题
１、A 正定定义：对AX X X '≠∀0
２、A 正定０的顺序主子式 A ⇔ ３、⇔ A 的所有主子式大于０； ４、⇔ A 合同于E
５、⇔A 的正惯性指数为n 。

６、⇔标准形中n 个系数全大于０
７、⇔规范型为：2
2221n y y y +++
８、⇔A ＝C C ' （存在可逆阵C ） 9、⇔A ＝B ２ （存在正定阵B ）
10、⇔ A ＝L L ' （存在满秩下三角阵L ） 11、⇔A=U U ' （存在可逆上三角阵U ） 12、⇔对称阵A 的特征值全大于０； 13、⇔A ＝为正定阵B N k B k
,∈∃。

关于半正定的等价条件
0,0≥'≠∀AX X X
⇔A 的所有主子式0≥
⇔A 合同于⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛0r
E
⇔A 的正惯性指数等于秩r ⇔A 的标准形中n 个系数全部非负
⇔规范型为：22
2
21r y y y +++ ⇔ A ＝C C '
⇔ A ＝B ２ （存在半正定阵B ） ⇔A 对称，A 的特征值非负 ⇔ A ＝为半正定阵B N k B k
,∈∃
⇔A ，tE t +∀0 为正定阵。

A 为负定的充要条件：A 的奇数阶顺序主子式全小于0，偶数阶顺序主子式全大于0。

关于正交问题
A 为正交变换⇔A 在某组标准正交基下的矩阵为正交阵 A 为正交阵：
１、11=±=A A 时，为满足右手系，为－１时，为镜面反射；
２、A 的特征值的模为１
３、λ是A 的特征值，λ
1也是A 的特征值
４、*A 也是正交阵
５、1-=A ，则－１是A 的特征值
６、A,B 为正交阵，且B A -=，则0=+B A ７、A 为奇数阶正交阵，1=A ，１为A 的特征值
８、A 为正交阵，1=A ，A 的任意子式与其代数余子式相等；1-=A ，则A 的子式与余子式相差一个符号。

（1043）
９、正交阵A 的任意子方块的特征值的模小于１。

（1045）
１０、位于正交阵的k 个行上的所有k 阶子式的平方的和等于１。

（n k ,...2,1=） １１、正交阵可分解为两个实对称正交阵之积。

（中科院P475）
１２、正交阵复相似于对角阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---s r
i i i i E E e e e e k
k
θθθθ...
1
1
实相似于准对角阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---s r
k
k k k
E E θθθθθθθθcos sin sin cos ...cos sin sin cos 111
1 １３、任一可逆阵可分解为一正交阵Q 与一上三角阵R 之积：A=QR １４、任一可逆阵可分解为一正交阵Q 与一正定阵B 之积：A=Q ，或A=BQ 正交问题：A 为三阶正交阵，且1=A ，则存在实数,31,≤≤-t t 使023=-+-E tA tA A
投影问题１：A 满足：A A A A =='2,，则称A 为投影阵。

证明：A 为投影阵，则A ： ① A 半正定； ②A 的特征值只有０和１； ② ③rankA trA =； ④n A E rank rankA =-+)( 问题２：σ是V 上线性变换，则以下条件等价： ①)0()(1-⊕=σσV V ； ②}0{)0()(1=⋂-σσV ；
③ 若n ααα,...,21是)(V σ的一组基，则)(),...(),(21n ασασασ也是)(2V σ的一组基； ④ 秩=σ秩2σ
问题３：r rankA A A ==,2，则：
１．（E-A ）也是幂等的，且A(E-A)=(E-A)A=0，从而对任意的向量x ＝Ay 成立： （E-A ）x ＝０ ２．A 可对角化
３．A 有r 重特征根１，n-r 重根０；E-A 有r 重特征根０，n-r 重特征根１ ４．存在r 个n 维向量r x x x ,...,21和（n-r ）个向量r n y y y -,...,21，使它们所生成的两个子空间互相正交。

非退化问题：A 非退化，则以下命题等价： １．A 非退化； ２．00=⇒=ααA ；
３．A 是单射，21αα≠，21ααA A ≠； ４．A 是满射，βααβ＝使A ,,V V ∈∃∈∀； ５．A 把一组基变换为一组基； ６．A 有逆B ，使 ααI B(A ）＝。