2020年陕西省西安市未央区西安中学高三二模理科数学试卷(含答案和解析)
2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷 (1)
2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西高三二模理科第1题5分2020年陕西高三二模文科第1题5分2020~2021学年12月广东深圳南山区北大附中深圳南山分校高三上学期月考第1题定义A−B={x|x∈A,x∉B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,3,6}，则M−N=（）．A. MB. NC. {1,4,5}D. {6}2、【来源】 2020年陕西高三二模理科第2题5分的虚部为（）．已知i是虚数单位，复数5i1−2iA. −1B. iC. −iD. 13、【来源】 2020年陕西高三二模理科第3题5分2018~2019学年福建厦门思明区厦门市科技中学高三上学期期中文科第6题5分2019年江西萍乡高三一模文科第3题5分2017~2018学年广东广州白云区广东外语外贸大学附设外语学校高一上学期期中第3题5分2018~2019学年湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高一上学期期中第6题5分函数f(x)=ln(x+1)−2的零点所在的大致区间是（）．xA. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)4、【来源】 2020年陕西高三二模理科第4题5分嫦娥四号任务经过探月工程重大专项领导小组审议，通过并且正式开始实施，如图所示．假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进人以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（ ）．A. a 1+c 1=a 2+c 2B. a 1−c 1=a 2−c 2C. c 1a 1<c 2a 2D. a 2c 1<a 1c 25、【来源】 2020年陕西高三二模理科第5题5分在△ABC 中，若AB →⋅AC →=5且|AB →−AC →|=4，则△ABC 面积的最大值为（ ）．A. 6B. 152C. 10D. 126、【来源】 2020年陕西高三二模理科第6题5分已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=0，a n+1=a n +2√a n +1+1，则a 5+S 4=（）．A. 39B. 45C. 50D. 557、【来源】 2020年陕西高三二模理科第7题5分函数f (x )=cosx+x 2x ，x ∈[−π,0)(0,π]的图象大致为（ ）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年陕西高三二模理科第8题5分2019年底，武汉突发新冠肺炎疫情，2020年初开始蔓延．党中央、国务院面对“突发灾难”果断采取措施，举国上下，万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫情防控与救治病人之中，为了分担“抗疫英雄”的后顾之忧，某校教师志愿者开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线医务工作者子女开展在线辅导．春节期间随机安排甲乙两位志愿者为一位初中生辅导功课共3次，每位志愿者至少辅导1次，每一次只有1位志愿者辅导，到甲恰好辅导两次的概率为（）．A. 23B. 13C. 34D. 129、【来源】 2020年陕西高三二模理科第9题5分2019~2020学年浙江宁波余姚市高二上学期期中一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN//CD．其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410、【来源】 2020年陕西高三二模理科第10题5分2019~2020学年12月四川成都双流区双流中学高二上学期月考文科第12题5分如图，F1，F2是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点，若|AB|:|BF1|:|AF1|=3:4:5，则双曲线的渐近线方程为（）．A. y=±2√3xB. y=±2√2xC. y=±√3xD. y=±√2x11、【来源】 2020年陕西高三二模理科第11题5分2020~2021学年安徽合肥包河区合肥市第一中学高二下学期期中理科第2题5分2020年陕西高三二模文科第11题5分我国古代《周髀算经》中记载，古人通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔民在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼条数．由图可知，这位渔民共捕鱼（）条．A. 39B. 64C. 11D. 22412、【来源】 2020年陕西高三二模理科第12题5分已知函数f(x)=e x−ax−1（其中e为自然对数的底数，e=2.71828）在区间(–1,1)内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是（）．A. [e 2−12e2,e)B. [e 2−12e2,1)∪(e−1,e2−12]C. [e 2−12e2,e−1e)∪(e−1,e)D. (e−1,e)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西高三二模理科第13题5分2019~2020学年8月广西桂林七星区桂林市第十八中学高三上学期月考文科第14题5分2019~2020学年8月广西桂林七星区桂林市第十八中学高三上学期月考理科第14题5分若变量x、y满足约束条件{y⩽2x+y⩾0x−y−2⩽0，则z=x+2y的最大值为．14、【来源】 2020年陕西高三二模理科第14题5分如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即∠BAC=30°），行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD为．15、【来源】 2020年陕西高三二模理科第15题5分已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)−f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m−2020)>(m−2020)f(2)，则实数m的取值范围为．16、【来源】 2020年陕西高三二模理科第16题5分回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22，343，1221，94249等．显然两位回文数有9个，即11，22，33，99；三位回文数有90个，即101，121，131，⋯，191，202，⋯，999．则四位回文数有个，2n（n∈N∗）位回文数有个．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西高三二模理科第17题12分(每题6分)2016年北京朝阳区北京市第八十中学高三零模理科第16题13分2019~2020学年4月天津和平区天津市益中学校高二下学期月考第11题15分直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．(1) 证明：DF ⊥AE ；(2) 是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为√1414若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．18、【来源】 2020年陕西高三二模理科第18题12分(每题6分)已知函数f(x)=cos2ωx +√3sin2ωx +t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0)．(1) 求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间．(2) 将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y =g(x)的图象，若函数F(x)=g(x)+k 在区间[0,π2]上有且只有一个零点，求实数k 的取值范围．19、【来源】 2020年陕西高三二模理科第19题12分(分,2分,4分,6分)2018~2019学年9月广东广州天河区华南师范大学附属中学高三上学期月考理科第18题12分 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图：(1) 求获得复赛资格的人数．(2) 从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110,130]与(130,150]各抽取多少人？(3) 从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望E(X)．20、【来源】 2020年陕西高三二模理科第20题12分(4分,8分)2019~2020学年8月广西桂林七星区桂林市第十八中学高三上学期月考文科第20题12分2018~2019学年5月湖北武汉洪山区洪山区华中师范大学第一附属中学高三下学期月考理科第19题12分2020年河南三门峡高三一模文科第20题12分2020年陕西高三二模文科第20题12分(4分,8分)已知点M(2√33,√33)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为2√2．(1) 求C的方程．(2) 设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求OA→⋅OB→的取值范围．21、【来源】 2020年陕西高三二模理科第21题12分(4分,8分)2019~2020学年浙江高三上学期开学考试第22题15分已知函数f(x)=e x−mx．(1) m=2时，求f(x)的单调区间．(2) 若x>0，不等式(x−2)f(x)+mx2+2>0恒成立，求实数m的取值范围．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：极坐标与参数方程】22、【来源】 2020年陕西高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 的参数方程为{x =1+rcosθy =rsinθ，（θ为参数），r >0．以原点O 为极点、X 轴的正半轴为极轴、取相同的长度单位建立极坐标系，直线L 的极坐标方程是ρsin(θ−π3)=1．(1) 若直线L 与圆C 有公共点，试求实数r 的取值范围．(2) 当r =2时，过点D(2,0)且与直线L 平行的直线L 1 交圆C 于A 、B 两点，求|1|DA|−1|DB||的值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年陕西高三二模理科第23题10分已知函数f (x )=|2x +1|+|x −1|．(1) 解不等式f (x )⩽3．(2) 已知函数g (x )=|2x −2019−a |+|2x −2020|，若对于任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)=g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．1 、【答案】 C;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 A;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】8;14 、【答案】100√6;15 、【答案】(2020,2022);16 、【答案】90;9×10n−1;17 、【答案】 (1) 证明过程见解析．;(2) 存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为√1414，理由见解析．;18 、【答案】 (1) f(x)=2sin(4x+π6)−1，f(x)的单调增区间为[kπ2−π6,kπ2+π12],k∈Z．;(2) {−1}∪(1−√3,√3+1]．;19 、【答案】 (1) 获得复赛资格的人数为520人．;(2) (110,130]中抽取5人，(130,150]中抽取2人．;(3) X的分布列为：数学期望为67．;20 、【答案】 (1) C的方程为x22+y2=1．;(2) OA→⋅OB→的取值范围是(−43,53 )．;21 、【答案】 (1) f(x)的单调递增区间为(ln2+∞)，单调递减区间为(−∞,ln2)．;(2) [12,+∞)．;22 、【答案】 (1) [√3+22,+∞)．;(2) 13．;23 、【答案】 (1) {x|−1⩽x⩽1}．;(2) [−12,52 ]．;第11页，共11页。
2020届陕西省西安中学高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省西安中学高三第二次模拟数学（理）试题一、单选题1．设全集U ＝R ，{|,A x y =={}|2,xB y y x R ==∈，则()RC A B ⋂=（ ）A ．{}|0x x <B ．{}|01x x <≤C ．{}|12x x ≤＜D ．{}|2x x >【答案】D【解析】,20xx R y ∈∴=>Q ,即{}|0B x x =>．{}|02A x x =≤≤Q ,{}|02U C A x x x ∴=或,(){}|2U C A B x x ∴⋂=>．故D 正确．试题分析：1集合的运算；2指数函数的值域． 【考点】2．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a ++=π，则()212tan a a +的值为（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【解析】由等差数列的性质可知171373a a a a ++=，解得7a ，又()2127tan 2a a tan a +=，从而得解.【详解】由数列{}n a 为等差数列，可知11372a a a +=.所以1713734a a a a π++==，有743a π=.所以()212782tan 233a a tan a tan tan ππ+====故选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列性质，属于基础题.3．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C【解析】求出()39010510P X ≤≤=，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数． 【详解】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 故选C ． 【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题． 4．给出下列四个结论：①若命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥；②集合A 满足：{}{},,,,a b A a b c d ⊆⊆，则符合条件的集合A 的个数为3； ③命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”；④设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点在第三象限； 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】根据特称命题的否定形式，可判断①；根据集合的子集的个数计算公式，可分析②；由“若p ，则q ”的否定形式，可判断③；2iiz -=，用复数的除法运算化简，计算z ，继而判断对应的点所在的象限. 【详解】选项①，若命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥，由特称命题的否定形式，正确；选项②，集合A 满足：{}{},,,,a b A a b c d ⊆⊆，由子集的个数计算公式，符合条件的集合A 的个数为22=4个，不正确；选项③，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”，正确；选项④，221iz i i-==--，i 为虚数单位，复数12z i =-+在复平面内对应的点在第二象限，不正确. 故选：B 【点睛】本题考查了特称命题的否定，子集的个数，逆否命题，复数的除法运算，几何意义等知识点，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 5．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直线与圆有两不同交点，即是直线与圆相交，根据圆心到直线的距离小于半径，即可求出结果. 【详解】 圆的圆心为，半径为；因为直线与圆有两个不同交点， 所以直线与圆相交， 因此，圆心到直线的距离，所以，解得；求其充分条件即是求其子集，根据选项易得，只有A 符合； 故选A 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，几何法是常用的一种作法，属于基础题型. 6．||4cos x y x e =-图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,)+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】显然||4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，4si (4si n n )x xy x x e e =-'+=--， 显然当(]0,x π∈时，0y '<，当(,)x π∈+∞时，34x e e e π>>>，而4sin 4x ≥-， 所以(4sin )0xy x e -+'<=，∴(4sin )0x y x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立， ∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减． 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题． 7．设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ） A ．42()3ab a b ab >+> B ．42()3ab a b ab <+< C ．23()4ab a b ab <+< D ．23()4ab a b ab >+>【答案】B【解析】由对数的换底公式可以得出113,22a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，通分再结合不等式的性质ab<0,求出a b +的不等关系. 【详解】因为0.1log 2a =，30log 2b =， 所以0ab <，222113log 0.1log 30log 3,22a b ⎛⎫+=+=∈ ⎪⎝⎭所以31122a b<+<，所以()423ab a b ab <+<，所以选B. 【点睛】本题考查了对数的换底公式和不等式的性质，解题的关键在于得出ab<0,属于中档题.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和131()n n S R λλ-=⋅-∈，则872(1)S a +=（ ） A ．13B ．3C ．6D ．9【答案】D【解析】2n ≥时，可得212?3n n n n a S S λ--=-=⋅,111a S λ==-,2 2?a λ=,由213a a =求出λ的值，从而可得8S 与7a 的值，进而可得结果.【详解】因为131n n S λ-=⋅-，所以2n ≥时，2131n n S λ--=⋅-，两式相减，可得212?3n n n n a S S λ--=-=⋅, 2n ≥，11 1a S λ==-,22?a λ=, 因为{}n a 是等比数列， 所以2?3 1λλ=⇒-3λ=， 所以123,31n nn n a S -=⨯=-，868731,23S a =-=⨯所以()87219S a +=，故选D.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A ．254210++B ．43C ．83D ．163【答案】C【解析】本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。
2020届陕西省西安市高三下学期第二次质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省西安市高三下学期第二次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知R 是实数集，集合{}|2A x Z x =∈<，{}|210B x x =-≥，则()R A C B =（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．{}1C ．{}1,0-D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先求得的集合{}1,0,1A =-，1|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，进而得到R C B ，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}|21,0,1A x Z x =∈<=-，{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭， 所以1|2R C B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，所以(){}1,0R A C B =-.故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．已知i 是虚数单位，复数31iz i+=+，则复数z 的共扼复数为（ ） A ．12i + B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】C【解析】由复数的除法运算求出z 后，根据共轭复数概念得结论． 【详解】 ∵()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，∴z 的共轭复数为2z i =+． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题．3．已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( ) A ．-1 B ．1C ．2D ．-2【答案】B【解析】根据向量坐标的线性运算得到a b -，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案. 【详解】因为向量()5,a m =，()2,2b =- 所以()3,2a b m +=+，因为()a b b -⊥， 所以()0a b b -⋅=所以()6220m -+= 解得1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.4．62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ） A ．60 B ．60-C ．192-D ．192【答案】A【解析】利用二项式定理的通项公式，通过赋值法则问题得解. 【详解】二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为()33162r rr x r T C x -+=⋅-⋅，令3302r -=，求得2r ．可得展开式中常数项为()226260C -=．故选：A ． 【点睛】本题考查利用二项式定理求制定项，属基础题.5．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A ．96 B ．72C ．48D ．36【答案】B【解析】根据分层比例列式求解. 【详解】 由题意得23872.99n n n -=-∴=选B. 【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A ．22a b < B ．2211ab a b < C ．22a b ab < D ．b a a b<【答案】B【解析】举出反例,利用特殊值依次排除选项A 、D,由不等式的性质可排除C 【详解】对于选项A,令1a =-,1b =时,221a b ==,故A 不正确； 对于选项C,220a b ab >>,故C 不正确；对于选项D,令1a =-,1b =时,1b aa b =-=,故D 不正确； 对于选项B,220a b ab >>,则22110ab a b<<故选：B 【点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题7．如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）A ．620π+B ．916π+C ．918π+D ．2063π+【答案】C【解析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案. 【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥， 该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形， 其中腰长为323，而球体的半径为3， 所以该组合体的体积为：3 14113332329182332V V V ππ=+=⨯⨯+⨯⨯⨯=+半球体三棱锥.故选：C 【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题. 8．点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线2x =-的距离和的最小值是 A ．5B 2 C 21 D 21【答案】D【解析】根据抛物线定义，将问题转化为求PA PF +的最小值加1，数形结合，则问题得解. 【详解】由24y x =得焦点为()1,0F ，准线1x =-．过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离．所以有PN PF =，连接F 、A ，有FA PA PF ≤+， 所以P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值为2FA = 所以点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线2x =-21． 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线上一点到定直线以及定点之间的距离之和的最小值，属基础题. 9．将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()cos2g x x =的图象，则a 的最小值为（ ）A ．3π B ．512π C ．23π D ．12π【答案】B【解析】先写出平移的函数表达式，利用诱导公式得出a 所有取值，最小值即可确定． 【详解】由题意知，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()()sin 2sin 2233h x x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，所以()22Z 32a k k πππ-=+∈，当0k =时，a 取最小值512π． 故选：B ．本题考查三角函数的图象平移变换，考查诱导公式，解题关键是确定由sin()x ϕ+变成cos x 时ϕ的值．10．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x -是定义在R 上的奇函数，则()()20182020f f +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．无法计算【答案】C【解析】先由f （x ）是定义在R 上的偶函数得f （﹣x ）＝f （x ），然后利用()1f x -与f （x ）的关系，以及()1f x -的奇偶性，得f （x +1）+f （x ﹣1）＝0，从而得到要求的数值． 【详解】因为()1f x -是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x --=--．因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，可得()()()111f x f x f x +=-+=--⎡⎤⎣⎦，所以()()110f x f x ++-=，因此()()()()2018202020191+2019+1=0f f f f +=-．故选：C ．本题考查了函数奇偶性的性质，以及整体代换思想，是个基础题．12．设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ） A ．27±B ．233±C ．72±D ．3±【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形，所以12||||MF PF =，1//MF PN ，由双曲线的定义知，21||||2MF MF a -=，于是2||3MF a =，1||MF a =，在△12MF F 中，由余弦定理可得2247c a =，然后利用22222b c a a a -=，求出b a的值即可得解． 【详解】解：设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形．∴12MF PF =，1//MF PN ． 设2PF n =，则22MF m =，即1MF a =，23MF a =． ∵2122a MF MF m =-=，即1MF a =，23MF a =． ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒． 又122F F c =，在12MF F △中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，即2247c a =，∴2274c a =，2222314b c a a =-=．∴双曲线C 的渐近线的斜率为． 故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的数形结合思想和运算能力，属于中档题．二、填空题13．在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为______． 【答案】34【解析】区间[]1,5的长度为4，此区间内大于2的数所在区间长度为3，由几何概型概率公式可得概率． 【详解】根据几何概型可知，所求概率为：523514p -==-． 故答案为：34． 【点睛】本题考查求几何概型，属于基础题．14．函数()25log 23y x x =+-的单调增区间是______. 【答案】()1,+∞【解析】求得函数()25log 23y x x =+-的定义域为-∞-+∞(,3)(1,)，令()223g x x x =+-，利用二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()25log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >， 即函数()25log 23y x x =+-的定义域为-∞-+∞(,3)(1,)，令()223g x x x =+-，则函数()g x 在(,3)-∞-单调递减，在区间(1,)+∞单调递增， 再根据复合函数的单调性，可得函数()25log 23y x x =+-的单调递增区间为(1,)+∞.故答案为：(1,)+∞. 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______.【答案】512π【解析】根据面积公式得到和余弦定理得到22sin 2cos ac B b ac B =+，结合2sin B A =sin C 得到1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得到答案.【详解】 因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a cb ac B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+由2sin sin B A C =结合正弦定理，得2b =所以2sin 2cos ac B ac B =+，)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以得46B ππ-=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=. 故答案为：512π【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.16．在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC 为正三角形，AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______.【答案】12【解析】设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，求得72OA =，设平面ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解. 【详解】由题意，设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点， 连结OM ，'OO ，AO ，则'1AO =，3AM =，可得7OA =,即球的半径为7，作平面ODA 交BC 于E ，交BC 于F ， 设平面ODA 截得外接球的截面是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DA ⊥平面ABC ，所以90DAF ∠=︒，所以DF 是O 的直径，也是球O 的直径，7DF =，所以DB BF ⊥.因为DA AB ⊥，3DA =，3AB =，所以6BD =，所以1BF =，做OH DB ⊥，所以//OH BF ，又由DO OF =，所以OH 是DBF 的中位线，所以12OH BF =，故12OH =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题17．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点．（1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若123AA =2AB =，求二面角11E A D C --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）32114. 【解析】（1）证明四边形11ADC B 为平行四边形，可得11//AB DC ，进而得到1//EF DC ，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面11A DC 及平面1EA D 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】（1）证明：连接1AB ，∵E ，F 分别为AB ，1BB 的中点． ∴1//EF AB ．∵正四棱柱柱1111ABCD A B C D -中，11AD B C =，11//AD B C ． ∴四边形11ADC B 是平行四边形， ∴11//AB DC ，∴1//EF DC ．∵EF ⊄平面11A DC ，1DC ⊂平面11A DC ， ∴//EF 平面11A DC ．（2）在正四棱柱中，分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()2,1,0E ，(12,0,23A ，(10,2,23C ．∴()112,2,0AC =-，(13DA =，(10,1,23EA =-， 设平面11A DC 的法向量(),,m x y z =，则22230x y x z -+=+=． 取3x =，则(3,3,3m =-． 同样可求出平面1A DE 的一个法向量()3,23,1n =--．∴237cos 142116m n m n m n⋅<⋅>===-⋅．设二面角11E A D C --为θ，则7cos θ=， 由22cos sin 1,0π,θθθ+=≤≤，解得321sin 14θ=∴二面角11E A D C --的正弦值为32114． 【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．18．某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B 的考生有10人．（1）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数；（2）已知等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分．求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分． 【答案】（1）3；（2）2.9.【解析】（1）由“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，能求出该考场有40人，由此能求出该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数．（2）求出“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为0.100，由此能求出该考查考生“语言表达能力”科目的平均分． 【详解】（1）因为“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，所以该考场有100.25040÷=（人）．所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数为()4010.3750.3750.1500.025400.0753⨯----=⨯=．（2）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为10.3750.2500.2000.0750.100----=．该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为()()()()11400.2002400.1003400.3754400.25040⎡⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⎣()5400.075 2.9⎤+⨯⨯=⎦．【点睛】本题考查频数、平均数的求法，考查条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*22N n n S a n =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记n nnb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．【答案】（1）2nn a =；（2）122n T ≤<. 【解析】（1）本小题运用借S n 求a n 直接求解即可；（2）本小题运用错位相减法求出 T n ，再根据T n 的增减性求解即可. 【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，得12a =； 当2n ≥时，22n n S a =-①，1122n n S a --=-②，①-②得，12nn a a -=； 所以数列{}n a 是以12a =为首项，以2为公比的等比数列，即2nn a =；（2）由题，得122nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，因为12321n n n n T b b b b b b --=+++⋅⋅⋅+++， 所以()()23211111112321222222n n nn T n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()()23111111111123212222222n nn n T n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，①-②，得231111111112222222n nn n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()1222n n T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，显然，2n T <，因为1110n n n n T T a +++-=>， 所以数列{}n T 是递增数列，且131222T =-=， 因此122n T ≤< 【点睛】本题考查借S n 求a n ，错位相减法，是中档题. 20．已知函数()()22ln R f x x a x ax a =--∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）记()()g x f x ax =+，若()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）122,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）,e e ⎡⎤-⋃⎣⎦.【解析】（1）对参数a 进行分类讨论，在不同情况下求得()f x 的最小值，根据()0min f x ≥，即可求得参数的取值范围；（2）分离参数，将问题转化为对函数()2ln h x x x=单调性和值域的研究，则问题得解.【详解】（1）()()()222x a x a a f x x a x x-+'=--=， 令()0f x '=，解得1x a =，22ax =-； 当0a =时，显然成立；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． 则()()2min ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤；当0a <时，()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()222minln 02422a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫=-=+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1220e a -≤<；综上，实数a 的取值范围为122,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）显然1x =不是()g x 的零点，由()0g x =得22ln x a x=．令()()2*ln x h x x =．则()()()22ln 1ln x x h x x -'=，令()0h x '=，解得12x e =；()0h x '>，解得12e x e <<；()0h x '<，解得11x e<<或121x e <<．当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和(x ∈时，()h x单调递减，当)x e ∈时，()h x 单调递增，又1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()0*h x <不成立．∴只需()122222a h e e a h e e ⎧⎛⎫>=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤=⎩，∴实数a的取值范围为,e e ⎡⎤-⋃⎣⎦．【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题以及零点问题，分离参数以及分类讨论是解决问题的关键.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F，若椭圆经过点)1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆22:O x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且()R CD AB λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值．【答案】（1）22184x y +=；（2）3，y x=． 【解析】（1）根据三角形面积可2c =，将P 点代入椭圆得到22611a b+=，联立即可求得a ，b ；（2）设直线l 的方程为y x m =+，表示出||AB =，联立直线与椭圆，根据根的判别式得到m的取值范围，结合条件表示出λm 取值范围求得其范围. 【详解】解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⨯⨯=．即2c =，∴224a b -=．① 又椭圆C过点)1P，∴22611a b+=．②由①②解得a =2b =．故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）由题知圆221:2O x y +=，设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离d =，由弦长公式可得AB ==将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -< 由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-． 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD === 由CD AB λ=，得CD AB λ=== ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ，此时直线l 的方程为y x =． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合，根的判别式，弦长公式，考查学生运算能力，属于中档题．22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为,2y 12x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >．（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ．设()0,1M -，且24PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值．【答案】（1）cos sin 1ρθρθ-=；()2220x y ax a +=>；（2）1a =.【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果． 【详解】解：（1）由直线l的参数方程21x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去t 得1x y -=，所以直线的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=， 由()2cos 0a a ρθ=>，得()22cos 0a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得曲线C 的直角坐标方程为()2220x y ax a +=>，（2）显然M 在直线l 上，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立得)2110t a t ++=．则)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根． 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=，则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-． 因为0a >，且1a =满足>0∆，所以1a =． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．设函数()213f x x x =--+．（1）解不等式()0f x >；（2）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2{|3x x <-或4}x > ；（2）(,7]-∞． 【解析】（1）方法一：根据绝对值不等式的意义解不等式；方法二：将不等式2130x x --+>变形为213x x ->+，两端平方整理成关于x 的一元二次不等式，求解即可；（2）利用绝对值不等式()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，可得7a ≤. 【详解】（1）解法一：当12x ≥时，()()21340f x x x x =--+=->，解得4x >； 当132x -≤<时,()()213320f x x x x =-+-+=-->，解得233x -≤<-；当3x <-时，()()21340f x x x x =-+++=-+>，解得3x <-， 综上,原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x > ； 解法二：()0213f x x x >⇔->+，两边平方整理得，231080x x -->，解得23x <-或4x >，所以，原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x >；（2）()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，当132x -≤≤时等号成立，所以7a ≤ ．故实数a 的取值范围为(],7-∞． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及利用绝对值不等式求参数的取值范围，属于高考常考题型.。
2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
解析:
（ 1 ）由已知得
．
则
，
由
，得
，
由
，得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（ 2 ）由
，
得
，
若
，则
， 单调递减，而
，
∴ 有一个零点．
若
，可得当
时，
，
当
时，
．
14
∴在
上单调递增．在
上单调递减，
∴
．
令
，
则
．
当
时，
．
当
时，
，
∴ 在 上单调递减，在
上单调递增，而
．
∴当
时，
， 有两个零点．
当
时，
， 有一个零点．
，考虑到 ， 关于 轴对称，不妨设
，
，
则点 ， 的坐标分别为
，
，
此时 综上，
． 的面积为定值 ．
22.（ 1 ）直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）由
，得
，
由
，
，得
，
因为
，消去 得
，
所以直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（ 2 ）点 的直角坐标为 ，点 在直线 上，
非高薪收入群体
高薪收入群体 高薪收入群体
合计 合计
专业 专业
合计
，
所以在犯错误的概率不超过
的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关．
（ 2 ）1 月薪频率分布表如下：
月薪（百元）
人数
频率
2020年陕西省高考数学二模试卷2 (含答案解析)
2020年陕西省高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=i(−2+3i)(i是虚数单位)的虚部是()A. −2B. −2iC. 3D. 3i2.已知全集U={−1,0，1，2，3}，集合A={0,1，2}，B={−1,0，1}，则(C U A)∩B=()A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，1，3}3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9=()A. 100B. 40C. 20D. 124.如图，作圆(大圆)的内接正三角形，在这个三角形内作内切圆，然后再作新圆(小圆)的内接正三角形，如图所示．在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是()A. 38πB. 3√38πC. 316πD. 3√316π5.已知实数a<b，那么()A. a−b<0B. a−b>0C. a2<b2D.1 a <1b6.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是()A. (3,+∞)B. (3,7]C. (7,+∞)D. (7,19]7.函数f(x)=e|x|−2x2在[−2,2]上的图象大致为()A. B. C. D.8.要得到函数y=3sin2x的图象，可将函数y=3cos(2x−π4)的图象()A. 沿x 轴向左平移π8 B. 沿x 轴向右平移π8 C. 沿x 轴向左平移π4D. 沿x 轴向右平移π49. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +4≥03x −y −4≤0x +y ≥0，则z =3x −2y 的最大值是( ) A. 2B. 1C. 5D. 710. 在四面体PABC 中，PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，AP =BP =AB =2PC =2，则四面体PABC 外接球的表面积是( )A.17π12B.19π12C.19π3D.17π311. (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x 4的系数为( )A. 50B. 55C. 45D. 6012. 已知函数f(x)=ax 3+2x 2−1有且只有两个零点，则实数a 的取值集合( )A. {−1,0，1}B. {0,4√69}C. {0,2√33}D. {−4√69,0，4√69}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,−3)，b ⃗ =(−2,0)，则|2a ⃗ +b ⃗ |=____．14. 14.曲线y =e −2x +1在点(0,2)处的切线与直线y =0和y = x 围成的三角形面积为_________ 15. 若数列{a n }的前n 项和为S n =23a n +13，则数列{a n }的通项公式是an =______． 16. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过点F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则双曲线的离心率为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为√34a ，求bc 的最小值．18.某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化学的成绩制成下列散点图(物理成绩用表示，化学成绩用表示)(图1)和生物成绩的茎叶图(图2)．(1)若物理成绩高于90分，我们视为“优秀”，那么以这20人为样本，从物理成绩优秀的人中随机抽取2人，求至少有1人是住校生的概率；(2)若化学成绩高于80分，我们视为“优秀”，根据图1完成如下列联表，并判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关；住校非住校优秀非优秀附：(K2=2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(3)若生物成绩高于75分，我们视为“良好”，将频率视为概率，若从全年级学生中任选3人，记3人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量ξ，求出ξ的分布列和数学期望．19.如图，设△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，若EA：AB：DC=2：2：1，F是BE的中点．(1)证明：FD⊥平面ABE；(2)求CE与平面EAB所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点到两焦点F1F2距离之和为4√2，离心率为√32．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A，B两点.点P(2,1)为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．21. 已知g(x)=e 2x−2−ax 2+(2a −2)x −a +1(x ≠0,a ∈R).(Ⅰ)当a =2时，求函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程； (Ⅱ)若x ≥1时，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2−3ty =√3t,(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求l 的极坐标方程和C 1的直角坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为θ=π6，C 2与l 的交点为A ，与C 1异于极点的交点为B ，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|3x −2|−|x −3|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集；(Ⅱ)求函数g(x)=f(x)+f(−x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．根据复数的四则运算及定义直接求解即可．【解答】解：复数z=i(−2+3i)=−3−2i，所以虚部为−2．故选A．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．【解答】解：∵C U A={−1,3}，∴(C U A)∩B={−1,3}∩{−1,0，1}={−1}，故选：A．3.答案：C解析：【分析】本题考查的是等差数列的性质和求和公式，属于基础题．通过求和公式得到5(a2+a9)=100,从而求出结果，属于基础题．【解答】解：∵S10=10(a1+a10)2=10(a2+a9)2=5(a2+a9)=100,∴a2+a9=20．故选C．4.答案：D解析：【分析】本题考查与面积有关的几何概型，属于中档题．求得大圆与阴影部分的面积，根据几何概型概率公式求解．【解答】解：如图所示，设O为大圆球心，B为大圆内接正三角形一边中点，A为此边一端点，设OB=1，所以阴影三角形的边长为√3，所以阴影三角形的面积为√34×(√3)2=3√34，因为OB=1，所以OA=2，即大圆的半径为2，所以大圆的面积为4π，在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是3√316π．故选D．5.答案：A解析：【分析】本题主要考查了不等式的比较大小，属于基础题．【解答】解：实数a<b，则a−b<0，故A正确，B错误，若a=−2，b=0，则a2>b2，故C错误，若a=1，b=2，则1a >1b，故D错误．故选A．6.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得：当i=2时，3(3x−2)−2≤55，当i=3时，3(9x−8)−2>55，满足判断框内的条件，退出循环，输出i的值为3．可得：3<x≤7，则输入x的取值范围是(3,7]．故选：B．模拟程序的运行过程，分析循环中变量值x的变化情况，解不等式组可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查由函数解析式选图像，属于基础题.由特殊值，排除法进行解答．【解答】解：当x=0时，f(0)=1，排除D;当x=1时，0<f(1)=1e<1，排除B，C;故选A．8.答案：B解析：解：因为函数y=3cos(2x−π4)=3sin(2x+π4)，所以可将函数y=3cos(2x−π4)的图象，沿x轴向右平移π8，得到y=3sin[2(x−π8)+π4]=3sin2x，得到函数y=3sin2x的图象，故选：B．利用诱导公式化简函数y=3cos(2x−π4)为正弦函数类型，然后通过平移原则，推出选项．本题考查三角函数的诱导公式的应用，函数的图象的平移，考查计算能力．9.答案：C解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件{x −3y +4⩾03x −y −4⩽0x +y ⩾0作出可行域如图，联立{x +y =03x −y −4=0，解得C(1,−1)，化目标函数z =3x −2y 为y =32x −12z ，由图可知，当直线y =32x −12z 过C(1,−1)时，直线在y 轴上的截距最大， 即z 有最大值5． 故选：C ．10.答案：C解析： 【分析】本题给出特殊的三棱锥外接球的表面积的求解．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．由已知可得PC ⊥平面PAB ，先设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由去球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，且OH =12PC ，根据勾股定理求出外接球半径，即可求解． 【解答】解：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，且PA ∩PB =P ， ∴PC ⊥平面PAB ，AP =BP =AB =2PC =2，设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，则OH =12PC =12，PH =2×√32×23=2√33，则R 2=OP 2=OH 2+PH 2=1912，故四面体外接球的表面积是S =4πR 2=19π3．故选C ．11.答案：B解析：【分析】本题考查二项式定理，求展开式中某项的系数，属于基础题．由题意可得展开式中x 4的系数是C 54 +C 64 +C 74，运算求得结果．【解答】解：在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x 4的系数是C 54+C 64+C 74=55，故选B .12.答案：D解析：解：当a =0时，函数f(x)=2x 2−1有且只有两个零点，满足条件；当a ≠0时，令f′(x)=3ax 2+4x =0，解得：x =0，或x =−43a ，∵f(0)=1≠0，∴f(−43a )=3227a 2−1=0，解得：a =±4√69， 故a ∈{−4√69,0，4√69}，故选：D当a =0时，函数f(x)=2x 2−1有且只有两个零点，满足条件；当a ≠0时，函数的极值为0，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的零点及零点个数，分类讨论思想，难度中档． 13.答案：6解析：【分析】本题考查平面向量坐标运算以及模的计算，属于基础题.先根据向量的坐标运算得到2a⃗+b⃗ =(0,−6)，再根据模的公式计算，即可得到答案．【解答】解：因为a⃗=(1,−3)，b⃗ =(−2,0)，所以2a⃗+b⃗ =(0,−6)，所以|2a⃗+b⃗ |=6．故答案为6．14.答案：解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线交点和三角形的面积，考查运算能力，属于基础题．根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．解：∵y=e−2x+1，∴y′=(−2)e−2x∴y′|x=0=(−2)e−2x|x=0=−2∴曲线y=e−2x+1在点(0,2)处的切线方程为y−2=−2(x−0)，即2x+y−2=0令y=0，解得x=1；令y=x，解得x=y=．∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为．故答案为：．15.答案：(−2)n−1解析：【分析】本题考查利用S n求通项公式，属于中档题．【解答】解：n=1时，a1=S1=23a1+13⇒a1=1，n≥2时，a n=S n−S n−1=23a n−23a n−1⇒a n=−2a n−1，∴数列{a n}是以1为首项，以−2为公比的等比数列，则a n=(−2)n−1，故答案为(−2)n−1．16.答案：√2解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1．由题意可得F(c,0)，A1(−a,0)，A2(a,0)，令x=c，代入双曲线的方程，求得B，C的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F(c,0)，A1(−a,0)，A2(a,0)，令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b√c2a2−1=±b2a，可设B(c,b2a )，C(c,−b2a)，由A1B⊥A2C，可得k A1B ⋅k A2C=−1，即有b2ac+a·b2aa−c=−1，即为b4=a2(c2−a2)=a2b2，∴a=b，∴e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=2，即e=√2，故答案为√2．17.答案：解：(1)∵√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12，∴√32sin 2A =1+cos2A 2+12， ∴√32sin 2A −cos2A 2=1， ∴sin(2A −π6)=1，∵A ∈(0,π)，∴2A −π6∈(−π6,11π6)，∴2A −π6=π2，即A =π3．(2)因为S ▵ABC =12bcsinA =√34bc =√34a ，所以a =bc ． 又因为a 2=b 2+c 2−2bccos π3=b 2+c 2−bc ，由b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b =c 时取等号，得2bc −bc ≤b 2c 2，即bc ≥1，所以当b =c 时，bc 取得最小值1．解析：本题主要考查了诱导公式，二倍角的公式及两角和差的公式，考查余弦定理，基本不等式及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．(1)利用诱导公式，二倍角的公式及两角和差的公式，化√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12为sin(2A −π6)=1，结合范围A ∈(0,π)，可得A 的值．(2)由三角形的面积公式得到a =bc.再由余弦定理，基本不等式即可求bc 的最小值． 18.答案：解：(1)由图(1)可知20人中物理成绩优秀的有5人，其中住校生2人；记“从物理成绩优秀的5人中随机抽取2人，至少有1人是住校生”为事件A ，则P(A)=C 22+C 21C 31C 52=710；(2)填写列联表如下；计算K 2=20×(8×6−2×4)212×8×10×10=103≈3.3，经查表知K 2≈3.3<3.841，所以没有95%的把握认为优秀率与住校有关；(3)由图(2)可知，20人中生物成绩为“良好”的学生有12人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为1220=35，所以从全年级学生中任选3人，生物成绩为“良好”的学生人数ξ服从二项分布，其分布列为(或ξ～B(3,35)：ξ0123P8125361255412527125计算数学期望为E(ξ)=np=3×35=95．解析：(1)由图(1)知20人中物理成绩优秀的人数以及住校生人数，计算所求的概率值；(2)填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(3)由图(2)，结合题意知ξ服从二项分布，计算分布列，求出数学期望值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了二项分布的计算问题，是中档题．19.答案：证明：(1)取AB中点M，连结MC，∵△ABC是边长为2的正三角形，F是BE的中点，∴FM//EA，FM=12EA=1=DC，又EA//DC，∴FM//DC，且FM=DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD//MC，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥CM，又AE//CD，∴AE⊥CM，∵CM⊥AB，∴DF⊥AE，DF⊥AB，AE∩AB=A，∴FD⊥平面ABE．解：(2)连结EM，∵MC⊥平面ABE，∴∠CEM是CE与平面EAB所成角，∵△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，EA：AB：DC=2：2：1，∴CM=√4−1=√3，CM=√22+22=2√2，sin∠CEM=CMCE =√32√2=√64．∴CE与平面EAB所成角的正弦值为√64．解析：(1)取AB中点M，连结MC，推导出FM//EA，从而FM//DC，且FM=DC，进而四边形FMCD 是平行四边形，FD//MC，由CD⊥平面ABC，得CD⊥CM，从而AE⊥CM，求出DF⊥AE，DF⊥AB，由此能证明FD⊥平面ABE．(2)连结EM，由MC⊥平面ABE，得∠CEM是CE与平面EAB所成角，由此能求出CE与平面EAB所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)∵a=2√2,e=√32∴c=√6,b2=2，∴椭圆的标准方程为x28+y22=1；(2)设直线l的方程为y=12x+m，并设点A(x1,y1),B(x2,y2)将直线方程代入到椭圆方程中可得x2+ 2mx+2m2−4=0，∴，∴|AB|=√1+14|x1−x2|=√52√(−2m)2−4(2m2−4)=√5(4−m2)，又因为点P到直线l的距离为d=√5，所以S▵PAB=12|AB|⋅d=√(4−m2)⋅m2≤2，当且仅当m=√2<2，满足题意.所以△PAB的面积最大值为2.解析：本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、面积最值问题等，属中档题．(1)依题意a=2√2,e=√32即可求椭圆的标准方程；(2)设直线l的方程为y=12x+m，将直线方程代入到椭圆方程中，由韦达定理得∴|AB|=√1+14|x1−x2|=√52√(−2m)2−4(2m2−4)=√5(4−m2)，点P到直线l的距离为d=√5，所以S▵PAB=12|AB|⋅d=√(4−m2)⋅m2≤2，即可求△PAB的面积最大值．21.答案：解：(Ⅰ)当a=2时，g(x)=e2x−2−2x2+2x−1，所以g(1)=0，∴g′(x)=2e2x−2−4x+2，∴函数g(x)在(1,g(1))处的切线斜率k=g′(1)=0，∴函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y=0．(Ⅱ)若x≥1时，g(x)=e2x−2−ax2+(2a−2)x−a+1≥0，∴g′(x)=2e2x−2−2ax+2a−2，设ℎ(x)=2e 2x−2−2ax +2a −2，∴ℎ′(x)=4e 2x−2−2a ，当a ≤2时，ℎ′(x)≥0(当且仅当a =2,x =1时等号成立)，∴ℎ(x)即g′(x)在(1,+∞)上是增函数，∴当x ≥1时，g′(x)≥g′(1)=0，∴g(x)在(1,+∞)上是增函数，∴当x ≥1时，g(x)≥g(1)=0；当a >2时，当1<x <12ln a 2+1时，ℎ′(x)<0，∴g′(x)在(1,12ln a 2+1)是减函数，∴当1<x <12ln a 2+1时，g′(x)<g′(1)=0，∴g(x)在(1,12ln a 2+1)是减函数，∴当1<x <12ln a 2+1时，g(x)<g(1)=0，不满足题中条件，∴实数a 的取值范围为(−∞,2].解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值． (Ⅰ)求出g′(x)，得到g′(1)，就求得函数g(x)在(1,g(1))处的切线斜率，由点斜式求出切线方程； (Ⅱ)求出g′(x)=2e 2x−2−2ax +2a −2，利用导数研究g′(x)的单调性，当a ≤2时，求出g′(x)的最小值，可得到g′(x)≥0，从而得到g(x)为增函数，g(x)≥g(1)=0；当a >2时，可得到g(x)在(1,+∞)上先减后增，不满足g(x)≥0恒成立，由此可求得a 的取值范围．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =2−3t y =√3t ,(t 为参数)， 转换为直角坐标方程为：x +√3y −2=0．设代入x +√3y −2=0，整理得直线l 的极坐标方程为， 曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ．转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4，(2)曲线C 2的极坐标方程为θ=π6，曲线C 2与l 的交点为A ，则：ρA cos π6+√3ρA sin π6−2=0，解得：ρA =2√33， 与C 1异于极点的交点为B ，所以：ρB =4cos π6=2√3，则：|AB|=|ρA −ρB |=4√33．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，(2)利用线的关系建立方程组，求出极径，进一步求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)①当x <23时，2−3x +x −3≥4，解得x ≤−52；②当23≤x ≤3时，不等式可化为3x −2+x −3≥4，解得x ≥94，∴94≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为3x −2−x +3≥4，即得x >52，∴x >3综上所述：不等式的解集为{x|x ≤−52或x ≥94}；(Ⅱ)g(x)=|3x −2|−|x −3|+|3x +2|−|x +3|①当x <−3时，g(x)=−4x >12；②当−3≤x <−23时，g(x)=−6x −6>−2；③当−23≤x <23时，g(x)=−2；④当23≤x <3时，g(x)=6x −6≥−2；⑤当x ≥3时，g(x)=4x ≥12综上所述：g(x)的最小值为−2．解析：(Ⅰ)对x 分3种情况讨论去绝对值；(Ⅱ)对x 分5种情况讨论．本题考查了绝对值不等式的解法．属中档题．。
2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
2020年陕西高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．A. B. C. D.2.已知集合 ,，则 （ ）．A. B. C. D.3.若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）．A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则在上的投影为（ ）．A. B. C. D.5.已知函数，若，则满足条件的实数的个数是（ ）．A.B.C.D.6.设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（ ）．（注：，则，，）A.B.C.D.7.在公差不为的等差数列中，，，则（ ）．A.B.C.D.8.已知，且，，则（ ）．A.B.C.D.9.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.在直三棱柱中，，，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，则的面积为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图是样本容量为的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是 ．频率组距14.在的展开式中，的系数为，则．15.在，为的中点，且，若，则的周长为 ．16.已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，正四棱锥的底边长为，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且．证明：平面平面．求锐二面角的余弦值．（1）（2）18.已知正项数列的前项和为， ，．求数列的通项公式．若数列满足，令，求证：．19.某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取份，统计得出如下列联表：优秀一般总计男女总计（1）（2）（3）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中随机抽取人，求这三位市民中男女都有的概率．以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取人，用表示这人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差．附：（其中）．（1）（2）20.已知函数．求函数的极值．当时，若函数有两个极值点，，且，求证：．（1）（2）21.已知椭圆：的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为．求椭圆的标准方程．若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值．四、选择题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值．23.设函数的最小值为．【答案】解析:方法一：本题考查复数的运算．由题意得，∴的虚部为，故选．方法二：∵，∴的虚部为，故选．解析:本题考查集合并集的运算．由题意可知集合，∴．故选．解析:本题考查简单的线性规划．如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），（1）（2）求的值．若，求证：．C1.B2.A3.其中，， ．先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值，故选．解析:本题考查平面向量的数量积及向量的投影．由题可得，，∴，∴在上的投影为，故选．解析:本题考查分段函数及分段函数的图象．作函数的图象如图所示，x123y12O由题意可得当时，；当时，．若，则或，解得或，则或，结合函数图象可知的取值有个．故选．解析:B 4.D 5.A 6.本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算．由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是，则，标准差是，而，∴，∴图中阴影部分的面积为．记“黄豆落入阴影部分”为事件，则， 故正确，错误．故选．解析:本题考查等差数列的通项公式，由题意可设数列的公差为（），则通项公式，∴，，，，∴，解得（舍去），∴．故选．解析:本题考查三角恒等变换，由题意可得，∵，∴，∴．故选：．解析:本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由题意可得平移后的函数解析式为，若该函数图象关于坐标原点对称，则，阴影部分的面积正方形面积A 7.D 8.C 9.解得．∵，∴，∴∴的最大值为，∴．故选．解析:由题意可知外接圆的半径．设该三棱柱外接球的半径为，则．由可得，∴，∴，当且仅当，时取得最小值，∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为．故选．解析:方法一：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，D 10.B 11.，∴，，∴，∴，∴直线的方程为，则点到直线的距离为，∴的面积为．故选．方法二：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，，∴，∴，即，∵，∴．故选．解析:本题考查函数的图象与性质、导函数及利用导函数解不等式．由题意可得，C 12.令，得，而，，，∴，，∴，∵，令，得，而，，，∴，，∴．由题意可知存在，对任意，都有等价于，即，∴，故选．解析:由样本容量为的频率分布直方图，知：的频率为，的频率为，∴该样本数据的中位数为：，该样本数据的平均数为：，∴该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：，故答案为：．解析:本题考查二项式定理．∵展开式的通项为，13.或14.则由可知，展开式中的系数为，∴，即，解得或．15.解析:本题考查余弦定理．令，则，，则 ．∵，∴．又点为的中点，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴， ，故的周长为 ．16.解析:本题考查双曲线的离心率、直线与双曲线的位置关系．设直线的方程为，与双曲线的方程联立可得，化简得，令，，则，，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴，∴，∴，∴，即，又∵，，代入化简可得，即，（1）（2）又∵双曲线的离心率，∴．解析:∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．∵，，，∴，∴．∵，平面，，，平面，，∴平面平面．如图：如图，连接，相交于点，连接．∵四棱锥为正四棱锥，∴，，又，∴，且，同理可得，∴，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，（1）证明见解析．（2）．17.，，，，（1）（2）∴，，，令平面的法向量为，则，即，解得，∴取，则，，故，同理可得平面的一个法向量，∴，∴锐二面角的余弦值为．解析:由题意可得当时，，∴；当时，， ，∴，∵，∴，∴数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项也是公差为的等差数列，又∵ ，∴数列是公差为的等差数列，∴．由（）知，，，∴，，两式相减得，，（1）．（2）证明见解析．18.（1）（2）（3）（1）∴，∵当时，，∴．解析:由列联表可得，∴没有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”．调查结果为一般的市民中有男人，女人，人数之比为，所以按分层抽样抽取的人中，男人，女人．设“这三位市民中男女都有”为事件，则（或）．由列联表可得在样本中任选一人，其优秀的概率为，∴，，，，，，，∴~，∴，，∴随机变量的期望为，方差为．解析:由题意可得（1）没有．（2）．（3）期望，方差．19.（1）当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．（2）证明见解析．20.（2）（1），当时，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，；当时，，，，函数在上单调递增，∴无极值；当，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，，综上所述，当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．由题意得，即，，由（）可知，，∴， ，∴，令，则，∴在上单调递减，∴，即，∵，∴．解析:方法一：极大值极小值极大值极小值（1）．（2）．21.（2）由题意可得离心率，又，∴，，令点为椭圆上任意一点，则，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．方法二：由题意可得离心率，又，∴，，令椭圆上任意一点，∴，当时，，∴，满足；当时，，解得（负值舍去），，则，不满足条件，舍去．综上，，，椭圆的标准方程为．设点坐标为，直线的方程为 ，联立直线方程与椭圆方程化简得，令，两点的坐标分别为，，（1）由韦达定理可得，，则，化简得，点到直线的距离，∴的面积，令，则，,当时，，当且仅当，时等号成立，此时，∴，∵，∴当且仅当时，取到最大值为，此时面积取到最大值，即，此时直线的方程为，点的坐标为，综上，面积的最大值为．解析:由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为，由得，将，代入上式，得，（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．22.（2）（1）（2）所以曲线的直角坐标方程为．由（）可知直线的普通方程为，化为极坐标方程得，当时，设，两点的极坐标分别为，，则，，所以．解析:由可得，则．∵，∴．由（）可知，∴，（当且仅当时等号成立），∴，故．（1）．（2）证明见解析．23.。
2020年陕西省高三教学质量检测卷(二)-数理解析(1)
ｘ＝０，则 μ ＝０，标 准 差 是 σ ＝１，而 （１，２］＝（μ ＋σ， μ ＋２σ］，∴Ｐ（１＜Ｘ≤２）＝０．９５４５－２０．６８２７＝０．１３５９，
∴图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 １－０．１３５９＝０．８６４１．记
“黄 豆 落 入 阴 影 部 分 ”为 事 件 Ａ，则 Ｐ（Ａ）＝
阴影部分的面积 正方形面积
（ｋ∈Ｚ），∴ｋ＜ １ ４（ｋ∈Ｚ），∴ｋ的最大值为 ０，∴ａｍｉｎ＝
π １２，故选 Ｃ． １０．Ｄ 【解析】本题考查棱柱外接球表面积的运算．由题意
可知△ＡＢＣ外接圆的半径 ｒ＝槡３３ａ．设该三棱柱外接球
( ) ( ) ２
的半径为 Ｒ，则 Ｒ２ ＝ 槡３３ａ ＋
ｂ ２
２
．由
ａ＋ｂ＝２
可得
ｂ＝２－ａ，∴Ｒ２
８ ７时取得最 小 值，∴该 三 棱 柱 外 接 球 的 表 面 积 的 最 小值为 ４πＲ２＝１７６π，故选 Ｄ．
— 数学（理科）·答 １—
【一题多解】由题意可知△ＡＢＣ外接圆的半径 ｒ＝槡３３ａ．
( )２
设该三棱 柱 外 接 球 的 半 径 为 Ｒ，则 Ｒ２ ＝ 槡３３ａ ＋
( )ｂ ２
２
＝
ａ２ ３
２．Ｂ 【解析】本题考查集合并集的运算 ．由题意可知集合 Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ２，ｘ∈ Ａ｝＝｛ｙ｜０≤ ｙ≤ １｝，∴Ａ∪ Ｂ＝ ｛ｘ｜－１≤ ｘ≤１｝，故选 Ｂ．
３．Ａ 【解析】本题考查简单的线性规划 ．如图所示，图中 的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），
( ) 其中 Ａ（０，３），Ｂ（１，２），Ｃ ４ ３，７３ ．先作出 ２ｘ－ｙ＝０
８．Ｄ 【解析】本题考查三角恒等变换．由题意可得 ｃｏｓβ ＝ １５３．∵－π２＜α－β ＜０，∴ｓｉｎ（α －β）＝－１ ６６ ５，∴ｓｉｎα ＝
2020-2021学年陕西省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．556．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．1507．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．328．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．aC．b D．c9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．210．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤D．②③⑤11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m=______．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为______．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则=______．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC 的面积．18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题号 A B C答卷份数160 240 320该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合A、B，求出∁R B，再求A∩（∁R B）即可．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，∴∁R B={x|x＞1}，∴A∩（∁R B）={x|1＜x＜3}．故选：A．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．利用体积计算公式、勾股定理即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．则×h=2，解得h=3．∴此四棱锥最长的侧棱长PC==．故选：C．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得b=a，由双曲线的渐近线方程即可得到所求方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，可得e==，即有c=a，由c2=a2+b2，可得b=a，即有渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．55【考点】计数原理的应用；二项式定理的应用．【分析】先根据排列组合求出n的值，再根据通项公式求出k的值，问题得以解决．【解答】解：根据题意，先安排除甲乙之外的2人，有A22=2种不同的顺序，排好后，形成3个空位，在3个空位中，选2个安排甲乙，有A32=6种选法，则甲乙不相邻的排法有2×6=12种，即n=12；（﹣）n=（﹣）12的通项公式C12k（﹣）k x﹣k=（﹣）k C12k，当4﹣=0时，即k=3时，（﹣）3C123=﹣，故选：A．6．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．150【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图计算成绩不低于80分的频率，然后根据频数=频率×总数可得所求．【解答】解：根据频率分布直方图，得；成绩不少于80分的频率为（0.015+0.010）×10=0.025，所以估计成绩优秀的学生人数为600×0.25=150．故选：D．7．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．32【考点】二次函数的性质．【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．【解答】解∵点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n﹣1=，∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C8．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．aC．b D．c【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，比较a、b、c三数的大小，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，∵a3=＞3=b3＞0，∴a＞b；又c=（）ln3=e=e=＞=a．∴输出的结果为c．故选：D．9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．2【考点】利用导数研究函数的极值；等比数列的通项公式．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出b的值，结合等比数列的性质求出ac的值即可．【解答】解：∵实数a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵函数y=（x﹣2）e x，∴y′=（x﹣1）e x，令y′＞0，解得：x＞1，令y′＜0，解得：x＜1，∴函数y=（x﹣2）e x在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，∴y极小值=y|x=1=﹣e，∴b=﹣e，b2=e2，则ac=e2，故选：C．10．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤D．②③⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据回归直线的性质进行判断．②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据三角函数的图象和性质进行判断．④根据幂函数的性质进行判断．⑤根据函数的零点的定义进行判断．【解答】解：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；故①正确，②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；故②正确，③函数y=sinx+cosx=2cos（x﹣），将函数的图象向右平移后，得到y=2cos（x﹣﹣）=2cos（x﹣），此时所得到的图象关于y轴不对称；故③错误，④由m﹣1=1得m=2，此时f（x）=x0是幂函数，在（0，+∞）上函数不递增；故④错误，⑤若x≤0则由（x）=0得x+1=0，得x=﹣1，若x＞0，则由（x）=0得2x|log2x|﹣1=0，即|log2x|=（）x，作出y=|log2x|和y=（）x的图象，由图象知此时有两个交点，综上函数f（x）=恰好有三个零点；故⑤正确，故选：B11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：由已知易得：S长方形=4×2=8，S阴影=∫04（）dx===，故质点落在图中阴影区域的概率P==，故选A．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，∴g（x）＞4，又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，∴g（x）＞g（1），∴x＞1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f=，∴f=f（1）=f（﹣4）=2﹣4=．故答案为：．14．已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m= 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，由=0，求得实数m 的值．【解答】解：∵两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量=（3，﹣3），=（1，m），若⊥，则=3+m（﹣3）=0，求得实数m=1，故答案为：1．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为 4 ．【考点】简单线性规划；基本不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得2a+3b=1，然后结合基本不等式求得的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），化目标函数z=ax+by为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，等于2a+3b=1，∴=（）（2a+3b）=2+．当且仅当2a=3b，即时上式等号成立．故答案为：4．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则= 1+．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出F点坐标，代入抛物线方程即可得出a，b的关系得到关于的方程，从而解出．【解答】解：∵D是抛物线y2=2ax的焦点，∴D（，0）．∵正方形DEFG的边长为b，∴F（，b）．∵F在抛物线上，∴b2=2a（），即b2﹣2ab﹣a2=0，∴（）2﹣﹣1=0，解得=1+或1﹣．∵0＜a＜b，∴=1+．故答案为：三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=sin（2ωx﹣），由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由f（C）=1，得，结合范围0＜C＜π，可得﹣＜2C﹣＜，解得C=，结合已知由余弦定理得ab的值，由面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx），∴，…由题意可知其周期为π，故ω=1，则f（x）=sin（2x﹣），…由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，…（Ⅱ）由f（C）=1，得，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，解得C=．…又∵a+b=3，，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos，∴（a+b）2﹣3ab=3，即ab=2，由面积公式得三角形面积为．…18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题号 A B C答卷份数160 240 320该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意求出分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份．利用对立事件概率计算公式能求出从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E（X）．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可得：题号 A B C答卷数160 240 320抽出的答卷数 2 3 4应分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份．…设事件D表示“从选出的9份答卷中选出3份，至少有1份选择A题作答”，则：P（D）=1﹣p（）=1﹣=1﹣=，∴从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．…（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3…P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，…∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P∴E（X）==．…19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．（Ⅱ））由CD⊥平面ABC，是∠CMD为DM与平面ABC所成角，以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，∵F、G分别是AD、AC的中点，∴FG∥CD，且．又∵CD∥BE，且CD=2BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，EF⊄面ABC且BG⊆面ABC，∴EF∥面ABC．…（Ⅱ））∵CD⊥平面ABC∴∠CMD为DM与平面ABC所成角，∵M为AB的中点，且AC=BC=2，AC⊥BC，得∵DM与平面ABC所成角的正切值为，∵CD=2，BE=1，…以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1），∴=（0，﹣2，2），=（2，﹣1，0），设平面ADE的法向量为=（x，y，z），由，取x=1，得=（1，2，2），而平面ACD的法向量为=（2，0，0），由cos＜＞==，得平面ACD与平面ADE夹角的余弦值为．…20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）求出圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d，利用2=2，解得a2，又=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得•=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m即可得出．【解答】解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d==1，∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b．∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=．﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）•=（x1（x2﹣1）=（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）•﹣（m+k2）+m2+k2=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=．因此在x轴上存在定点M（，0），使得•为定值．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）问题等价于，即证，令，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ），得由f'（x）＞0，得0＜x＜e∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立令，当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增∴h（x）min=h（1）=4，∴m≤4，即实数m的取值范围是（﹣∞，4]…（Ⅲ）证明：等价于，即证由（Ⅰ）知，（当x=e时取等号）令，则，易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增∴（当x=1时取等号）∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立则对一切x∈（0，+∞），都有成立．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理．【分析】（Ⅰ）利用圆的切线的性质，及直径所对的角为直角，即可证明AD∥OC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB，利用AD•OC=8，求出半径，即可求圆O的面积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，OD∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC又∵AB为圆O的直径，则AD⊥DB，∴AD∥OC，∴∠BAD=∠BOC…（Ⅱ）解：设圆O的半径为r，则AB=2OA=2OB=2r由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB则，∴AB•OB=AD•OC=8，2r2=8，r=2，∴圆O的面积为S=πr2=4π…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…由得ρcosθ+ρsinθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0…（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d==…由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC=2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；（Ⅱ）求出f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需．【解答】（Ⅰ）证明：∵m＞0，，当即时取“=”号…（Ⅱ）解：当m=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3则f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述实数t的取值范围是．…。
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12
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学
是
．
【答案】 甲
解析: ①若甲预测正确，则乙、丙、丁预测错误，即丁不能中奖，丙与乙不能中奖，甲中奖，符合甲预测， 正确； ②若乙预测正确，则甲、丙、丁预测错误，即甲和乙均未中奖，丙和乙均未中奖，乙同学与丁同学预 测矛盾，故错误； ③若丙预测正确，则甲与丁矛盾，故错误； ④若丁预测正确，则无中奖同学，错误； 故中奖同学为甲． 故答案为：甲．
的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线分别交双曲线
， ，若
，
，则双曲线 的离心率
【答案】 B
解析:
方法一：
若
，
，
可得
为等腰直角三角形，
设
，则
，
由
，
，
两式相加可得
，
即有
，
在直角三角形
中可得
，
化为
，
即
．
故选： ．
O
方法二：
由
，
7
知
，
又
，
则
由双曲线的定义得
，且
，
，
两式相加，得
即
，
则
，
所以
在
中，
由余弦定理，得
， ，若
，
，则双曲线 的离心率
11. 若函数 （ ）函数 （ ）函数
是周期函数 关于直线
对称
的图象过点 ，在下列结论中：
3
（ ）函数
关于点
对称中心
（ ）函数
的最大值是
则正确结论的个数（ ）．
A.
B.
C.
D.
12. 若函数 A. B. C. D.
有三个不同的零点，则实数 的取值范围（ ）．
13. 在三棱锥
，排除 ．
7. 设
，
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
，则（ ）．
解析:
由
，则
，
又
，则 ，
所以
，
又
，
即
，即
，即
，
所以
．
故选：
8. 已知等比数列 A. B. C. D.
的前 项和
【答案】 D
解析:
，则
（ ）．
5
根据题意，等比数列
当
时，有
有
满足 ，
则有 故有首项 则 故选 ．
，解可得 ，公比 ，
．
，
， ， 或 （舍）
平面
．
（ 2 ） 当平面
平面
时，求二面角
的余弦值．
．
P
E DA
B
19. 某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了
名学生的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在
，按照
，
，
，
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图如图（ ）所
示，样本中分数在
内的所有数据的茎叶图如图（ ）所示．根据上级统计划出预录分数线，有下
．
则
，
，
．
15
易知平面
的一个法向量为
设平面
的法向量为
则
，
，
∴
，
． ，
∵
，
，
∴
．
令
，得
命题“若
，则方程
有实数根”的逆否命题为：
“若方程
没有实数根”，
则
，正确；
④∵
，
∴
，
∴
，
∴复数 在复平面内对应的点为
，位于第二象限，错误．
故①③正确．
故选 ．
5. 直线 A. B. C. D.
【答案】 A
解析:
与圆
有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）．
3
圆 故其圆心为
即
，整理得：
，
，半径为：
，
，试卷满
分 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 分）的人数占总人数的 ，则此次数学考试成绩在
分到 分之间的人数约为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
解析:
∵
，
∴
，
∴
，
∴此次数学考试成绩在 分到 分之间的人数约为
．
故选 ．
4. 给出下列四个结论：
①若命题 ：
，
，则
，
；
②集合 满足：
，则符合条件的集合 的个数为 ；
， 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点在第三象限．
其中正确结论的个数为（ ）．
A.
B.
C.
D.
没有实
1
5. 直线 A. B. C. D.
6. 函数
A.
与圆
有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）．
（ 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）．
B.
C.
D.
7. 设 A. B. C. D.
，
，则（ ）．
中，
底面
，
，
接球的表面积为
．
14. 若非零向量 ， 满足
，则
，
，则此三棱锥的外
．
15. 直线
与曲线
数为
．
在第一象限围成封闭图形的面积为 ，则
的展开式中， 的系
16. 庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日 举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则 “中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的 机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 C
解析:
根据几何体的三视图，转换为几何体是由一个底面面积为
高为 的三棱锥体，
故：
．
故选： ．
的直角三角形，
6
10. 设双曲线 左右两支于点 ， ，连结 为（ ）． A. B. C. D.
（ 1 ） 写出曲线 ， 的极坐标方程．
（ 2 ） 在极坐标系中，已知与
， ， 的公共点分别为 ， ，
，当
时，求 的值．
23. 设函数 （1） 若 （2） 设
． ，求实数 的取值范围．
，若 的最小值为 ，求 的值．
6
7
2020年陕西西安未央区西安中学高三二模理科数学 试卷答案
注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2. 请将答案正确填写在答题卡上。
圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为 ． （ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 ， ，试判断 值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
与 轴正半轴交于点 ， 是否为定值？若为定
22. 在平面直角坐标系 中，已知曲线
与曲线
（ 为参数）．以
坐标原点为极点． 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
17.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 为 的中点，已知
，
，．
（ 1 ） 求角 的大小和 的长．
（2） 设
的角平分线交 于 ，求
【答案】
（1）
；
．
（2）
．
的面积．
解析:
（ 1 ）∵由题意可得：
∴
，
又
，
∴
，可得
， ，
13
∵
，
∴
，
∴在
中，由余弦定理可得：
，
解得：
．
（ 2 ）由（ ）可知
，
∴
，
4
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学
是
．
17.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 为 的中点，已知
，
，．
（ 1 ） 求角 的大小和 的长．
（2） 设
的角平分线交 于 ，求
的面积．
18. 在四棱锥
中，
，
C
（ 1 ） 若点 为 的中点，求证：
2020年陕西西安未央区西安中学高三二模理科数学 试卷
注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2. 请将答案正确填写在答题卡上。
一、标题
1. 设全集 A.
， B.
， C.
，则 D.
（ ）．
2. 已知数列 A.
为等差数列，且 B.
，则 C.
的值为（ ）． D.
3. 某校有 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布
接球的表面积为
．
【答案】
解析:
如图，∵
底面
，
，
，则此三棱锥的外
∴
，
，
又
，
，
，
∴
，
，
由三线垂直可知，三棱锥可看作长方体一角，
其外接球直径为长方体体对角线长，
即
，
∴
，
故答案为： ．
14.
若非零向量 ， 满足
，则
．
【答案】
解析:
∵
；
11
∴
；
∴
；
∴
；
∴
．
故答案为： ．