陕西省西安市长安区第一中学2020_2021学年高一数学上学期期中试题2
2020-2021西安市高一数学上期中一模试题(附答案)
2020-2021西安市高一数学上期中一模试题(附答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．24．函数()log a x xf x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ）A ．315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,77．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．18．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．201910．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.15．已知函数()x x f x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______. 16．设，则________17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．18．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）20．函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 三、解答题21．已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数． （1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．23．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．24．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值;(2)若A B B =I ，求实数a 的范围. 25．计算下列各式的值：（1）()11102327102π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg52lg2lg5lg2-++++⋅．26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5．故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析：1(,)4-+∞ 【解析】 由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.15．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.16．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．17．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．18．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：【解析】 【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，则，或当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解.综上实数的取值范围是（，1） 故答案为（，1）． 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．19．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=，设t天后体积变为原来的13，即13ktV a e a-=⋅=，即13kte-=，则1ln3kt-=两式相除可得2ln2531ln3kkt-=-，即2lg25lg2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg3t--===≈--，所以68t≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t的方程，求解t的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.20．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个解析：4【解析】【分析】当0x>时，令()2ln20f x x x x=-+=，即2ln2x x x=-，作y ln x=和22y x x=-的图象，判断交点个数即可，当0x<时，令()210f x x=+-=，可解得零点，从而得解.【详解】方法一：当0x>时，令()2ln20f x x x x=-+=，即2ln2x x x=-.作y ln x=和22y x x=-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x<时，令()210f x x=+-=，可得1x=-或3-.综上函数的零点有4个.方法二：当0x>时，()2ln2f x x x x=-+，()21221'22x xf x xx x-++=-+=，令()'0f x=可得()2'2210f x x x=-++=，()'01f=，()'230f=-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．三、解答题21．(1) 1b = (2) 减函数，证明见解析；(3) (,1)-∞-． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质令(0)0f =，求解b 即可． （2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可． 【详解】（1）∵()f x 在定义域R 上是奇函数， 所以(0)0f =，即102ba-+=+，∴1b =， 经检验，当1b =时，原函数是奇函数． （2）()f x 在R 上是减函数，证明如下：由（1）知11211()22221x x xf x +-==-+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，∵函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <， ∴12220x x -<，又()()1221210xx++>，∴()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， ∴函数()f x 在R 上是减函数．（3）因()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)f kx f x >--，由（2）知()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-，即对任意1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有212x k x -<恒成立， 由2212112x x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 令1t x =，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可设2()2g t t t =-，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴min ()(1)1g t g ==-，∴1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-． 【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题． 22．（1）2；（2）{|35}m m m -或 【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A ，B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A ，B ，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m 的值；（2）由（1）解出的集合A ，B ，因为A ⊆C R B ，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}， B={x|m ﹣2≤x≤m+2}． （1）∵A ∩B=[0，3] ∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x ＜m ﹣2，或x ＞m+2} ∵A ⊆C R B ，∴m ﹣2＞3，或m+2＜﹣1， ∴m ＞5，或m ＜﹣3．考点：交、并、补集的混合运算．23．（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}． 【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B ，∁U C ；再求(∁U B )∪(∁U C )．试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}． (2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；故有(∁U B )∪(∁U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}． 24．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a = 【解析】 【分析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）求出集合A 、B 的元素，利用B 是A 的子集，即可求出实数a 的范围. 【详解】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素， ∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a=1；（2）∵A={x|x 2+4x=0，x ∈R} ∴A={0，﹣4}，∵B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，且B ⊆A ．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a 2﹣1）＜0，即a ＜﹣1，满足B ⊆A ； ②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B ⊆A ；当a ＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a=1；综上所述a=1或a ≤﹣1； 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 25．（1）9512；（2）3. 【解析】 【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】 （1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）．（2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=．【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高一上学期暑假学情检测数学试题 Word版含答案
长安一中2020级高一暑假学情检测数学试题一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}23401x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬-⎩⎭，，则()R C B A =（ ）A.()1,2 B. [)1,2 C. (]2,1- D. ()-2,12.已知2,3==b a ，且0)(=⋅+a b a ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3.函数 f (x )＝3x －7＋ln x 的零点所在的大致区间为( ) A ．B ．C ．D ．4.已知()23()f x x x R =+∈，若|()1|f x a -<的必要条件是|1|(,0)x b a b +<>，则a ，b 之间的关系是（ ） A ．2a b ≥B ．2ab < C ．2ab ≤D ．2b a >5.下列命题中错误的是（ ）A ．若p q ∨为假命题，则p 与q 均为假命题B ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题C ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题“(0,)x ∀∈+∞，ln 0x x ->”的否定是“(0,)x ∃∈+∞，ln 0x x -≤” 6．点()23A -,关于直线1y x =-+的对称点为（ ） A ．()3,2-B ．()4,1-C ．()5,0D ．()3,17．若函数()()213log 28f x ax x =++的值域为[)2,-+∞，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(),2-∞-B ．(]2,1-C ．[)1,4D ．()4,+∞8.已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，2AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．32π B ．3π C ．23π D ．2π 9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( )A. 5 B ．2 2 C ．3D ．2 310．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ） A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，，11．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D. 1813．已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分函数图像如图所示，点()0,3,,06A B π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 图像的一条对称轴方程为（ ） A ．3x π=-B ．12x π=-C ．18x π= D ．24x π=14.已知函数 ，则函数的图象与 轴的交点个数为( )A ． 个B ． 个C ． 个D ． 个二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.15．已知实数x ，y 满足40300x y y x y +-≥-≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则11y z x -=+的最大值为 .16.已知在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，3BC =，则ABC △周长的最大值为____________.17.设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，C 为圆心，且△ABC 的面积等于4，则实数m ＝________.18.已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ,使得a m a n ＝64a 21，则1m ＋9n 的最小值为____________19．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)()f x f x +=-，当(0,2)x ∈时，()1f x lnx x =++，则当(6,8)x ∈时，()f x = ．20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________. ①存在点E ，使得11AC //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．三、解答题：共50分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.21．（12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式： （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 22．（12分）已知ABC ∆中23ACB π∠=，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若ABC ∆的外接圆面积为π，求ABC ∆周长的最大值.23. （13分）如图，在三棱锥-P ABC 中，22==AB BC ，PA PB PC ===4AC =，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)（理科做）若点M 在棱BC 上，且二面角--M PA C 为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值（文科做）若点M 在棱BC 上，且2 MC MB ，求点C 到平面POM 的 距离．24．（13分）已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．O MPCBA长安一中2020级高一暑假学情检测数学试题答案一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CDCAB BCBCD BBDA二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.15. 116. 3+ 17. 1722--或 18. 2 19. ()ln(8)9f x x x =-+- 20. ①②④三、解答题：共50分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.21．【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211143434---+--=+--=n n n n n n n a a a a S S a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =116463(23)n n n -=++. 22. 【解析】（1）因为,,a b c 依次成等差数列，且公差为22b a c b ∴-=-=2b c ∴=-，4a c =-因为23ACB π∠=，由余弦定理得：整理得：29140c c -+=，解得：7c =或2c =又40a c =->，则4c >7c ∴= （2）设B θ=，外接圆的半径为R ，则2R ππ=，解得：1R =由正弦定理可得：22sin sin sin a b cR A B C====22sin sinsin 33ba cππθθ∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭A 可得：2sin b θ=，2sin 3a πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，c =ABC ∆∴的周长()2sin 2sin 3f a b c πθθθ⎛⎫=++=+-+⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin sin 2sin 333πππθθθθθθ⎛⎫=+-=+=++ ⎪⎝⎭又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2333πππθ∴<+<∴当32ππθ+=，即：6πθ=时，()f θ取得最大值2.23. (1)因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =连结OB．因为2AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，122OB AC ==． 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．由⊥OP OB ，⊥OP AC 知PO ⊥平面ABC ． （理）(2)如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0)O ，(2,0,0)B ，(0,2,0)-A ，(0,C(0,0,P，=AP ，取平面PAC 的法向(2,0,0)OB =．设(,2,0)(02)-<≤M a a a ，则(,4,0)AM a a =-． 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ． 由0,0AP AM ⋅=⋅=n n得20(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取,)a a =--n ，所以cos ,OB =n．由已知得|cos ,|OB =n ．2．解得4a =-（舍去），43a =．所以4()333=--n．又(0,2,PC =-，所以cos ,4PC =n ． 所以PC 与平面PAM所成角的正弦值为4． （文）(2)作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知122==OC AC，23==CM BC ，45∠=ACB ．所以=OM，sin 5⋅⋅∠==OC MC ACB CH OM ．所以点C 到平面POM． 24. 【解析】(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．HOMPCBA。
2020-2021学年陕西省西安市长安一中高一上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年陕西省西安市长安一中高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共14小题，共70.0分） 1.设全集U =R ，集合A ={x|x <0}，B ={x|−1<x <1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. {x|x <−1}B. {x|x <1}C. {x|0<x <1}D. {x|−1<x <0}2.已知映射f 1：P →Q 是从P 到Q 的函数，则P ，Q 的元素( )A. 可以是点B. 必须是实数C. 可以是方程D. 可以是三角形3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. y =(12)xB. y =−3xC. y =1xD. y =x 34.函数f(x)={x +1,x ≥0x 2+4x +1,x <0的单调递增区间是( )A. [0,+∞)B. [−∞,+∞)C. [−∞,−2)D. [−2,+∞)5.函数y =2√2x−x 2的单调递增区间为( )A. (−∞,1)B. (0,1)C. (1,2)D. (1,+∞)6.函数y =lgx −的零点所在的大致区间是A. (6,7)B. (7,8)C. (8,9)D. (9,10)7.已函数y =f(x)+cosx 是奇函数，且f(π3)=1，则f(−π3)=( )A. −2B. −1C. 1D. 28.设函数，若且，则mn 的取值范围为A. (3,3+2√2)B. (3,3+2√2]C. (1,3)D. (1,3]9.已知函数f(x)={2x −xlnx,x >0−x 2−3x,x ≤0的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y =1的对称点在y =kx +1的图象上，则实数k 的取值范围是( )A. (12,1)B. (−1,1)C. (−13,12)D. (−12,12)10. 函数y =log a (x +3)−1(a >0,a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0，则1m +8n 的最小值为( )A. 16B. 18C. 20D. 2211. 方程log 3x =x −4存在( )个实数解A. 0B. 1C. 2D. 312. 如果函数f(x)上存在两个不同点A 、B 关于原点对称，则称A 、B 两点为一对友好点，记作(A,B)，规定(A,B)和(B,A)是同一对，已知f(x)={|cosx|x ≥0−lg(−x)x <0，则函数F(x)上共存在友好点( )A. 1对B. 3对C. 5对D. 7对13. 设偶函数f(x)满足f(x)=(12)x +2(x ≥0)，则使不等式f(x −1)<94成立的x 取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(3+∞)B. (−1,3)C. (0,2)D. (−∞,0)∪(2,+∞)14. 已知函数y =f(x)(x ∈R)满足f(x +2)=f(x)，且x ∈[−1,1]时，f(x)=1−|x|，又g(x)={32−1x+1,x ≤1elnxx,x >1，则函数F(x)=g(x)−f(x)在区间[−2017,2017]上零点的个数为( )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）15. 已知f(x)，g(x)分别是R 上的奇函数和偶函数，若f(x)+g(x)=log 2(1+2x )，则f(1)= ______ ． 16. log 23log 34+lg 22+lg2lg5+lg5= ______ ．17. 已知指数函数f(x)=a x ，方程f(||x −9|−7|)=4的解集为{0,4，x 1，x 2}(x 1<x 2)，则x 22−x 12的值为______ ． 18.中，点M 在AB 上且，点N 在AC 上，联结MN ，使△AMN 与原三角形相似，则AN =___________19. 已知函数f(x)={log 2x(0<x <2)(12)x +34(x ≥2)，若函数g(x)=f(x)−k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是______ ．20. 已知函数f(x)=(a −2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）21. 已知U =R ，集合A ={x|(x −2)[x −(3a +1)<0]}，集合B ={x|x−2a x−(a 2+1)<0}． (1)当a =2时，求A ∩∁U B ；(2)当a ≠1时，若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．22.已知函数f(x)=log m x(mm为常数，0<m<1)，且数列{f(a n)}是首项为2，公差为2的等差数列．(1)若b n=a n⋅f(a n)，当m=√2时，求数列{b n}的前n项和S n；2(2)设c n=a n⋅lga n，如果{c n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．23.(1)已知关于x的方程3tx2+(3−7t)x+4=0的两个实根α，β满足0<α<1<β<2，求实数t的取值范围；(2)解方程lg(x+1)−lg(1−x)=−lgx．24.(本小题满分14分)已知函数，，其中．(1)若函数是偶函数，求函数在区间上的最小值；(2)用函数的单调性的定义证明：当时，在区间上为减函数；(3)当，函数的图象恒在函数图象上方，求实数的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：图中阴影部分表示的集合为A∩B，∵A={x|x<0}，B={x|−1<x<1}，∴A∩B={x|−1<x<0}．故选D．图中阴影部分表示的集合为A∩B，由此利用A={x|x<0}，B={x|−1<x<1}，能求出结果．本题考查交集的性质和运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.答案：B解析：解：由函数的定义可知：映射f1：P→Q是从P到Q的函数，则P，Q的元素：必须是实数．故选：B．直接利用函数的定义判断选项即可．本题考查函数的定义的理解，是基础题．3.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，掌握基本初等函数的性质是关键．依据函数的奇偶性、单调性逐项进行判断即可．)x是减函数，但不是奇函数，故排除A；解：y=(12y=1是奇函数但在其定义域内不是减函数，故排除C；xy=x3是奇函数但不是减函数，故排除D；y=−3x，既是奇函数又是减函数，故选B．4.答案：D解析：解：∵当x<0时，g(x)=x2+4x+1=(x+2)2−3的单调递增区间[−2,0)而ℎ(x)=x+1在[0,+∞)上单调递增，且ℎ(0)=g(0)=1∴函数f(x)在x=0处连续，则函数的单调递增区间[−2,+∞)故选：D．由题意可知，g(x)=x2+4x+1=(x+2)2−3的单调递增区间[−2,0)，而ℎ(x)=x+1在[0,+∞)上单调递增，且ℎ(0)=g(0)=1，可得函数f(x)在x=0处连续，可求函数的单调递增区间本题主要考查了分段函数的单调区间的求解，解题中要分别判断每段函数的单调区间，并且还有看函数在分段的端点处是否连续5.答案：B解析：解：函数y=2√2x−x2的单调递增区间，即t=2x−x2=x(2−x)在满足t≥0的条件下，函数t的增区间．再利用二次函数的性质可得函数y=2√2x−x2的单调递增区间为(0,1)，故选：B．由题意利用复合函数的单调性，本题即求t=2x−x2=x(2−x)在满足t≥0的条件下，函数t的增区间．再利用二次函数的性质可得结论．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、根式的的性质，属于中档题．6.答案：D解析：试题分析：因为，所以函数y=lgx−的零点所在的大致区间是(9,10)。
陕西省西安市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 答案和解析
（Ⅰ）当 时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，求实数a的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】
由题意 ，故选A.
点睛:集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
当内层函数 单减，外层函数 单减时，函数 也单增.
简称为“同增异减”.
8．D
【详解】
因为 ， ，
而 ， ，
所以 ， ，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以有 ．
故选 ．
9．B
【分析】
根据题意，分析可得 ，由二分法的定义可得答案．
【详解】
根据题意，由于 ， ，
则 ，
又因为 是单调递增函数，
则该方程的根所在的区间为 ；
C．[－2，2]D．(－1，2]
11．已知函数 且 在 上的最大值与最小值之和为 ，则 的值为
A． B． C． D．
12．函数 与 图像的交点个数是（）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．若 ， ，则 __________．
14．设集合 ， ．若 ，则 __________．
15．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是_____.
A．指数函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数
3．已知全集 ， ， ， ，则集合 （）．
A． B． C． D．
4．已知 ，点 ， ， 都在二次函数 的图像上，则（）．
A． B． C． D．
5．已知 ，若 ，则下列各式中正确的是（）．
陕西省西安市长安区第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题文2
陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文时间：120分钟 满分：150分一．单择题（共14小题每题5分共70分） 1.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若42=x ，则2=x ”的否命题：“若42=x ，则2≠x ”B ．“1-=x ”是“022=--x x ”的必要不充分条件C ．命题“R x ∈∃使得0123≤+-x x ”的否定是：“R x ∈∀，均有0123≤+-x x ” D ．命题“若y x =，则y x cos cos =”的逆否命题为真命题2．“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.关于的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =（ ）A ．52 B ．72 C ．154 D ．1524.抛物线()022>=p pyx 的焦点坐标为（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,2p B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p 810， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛20p ， D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,81p5.设θ是三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程＋＝1所表示的曲线为( )A ． 焦点在x 轴上的椭圆B ． 焦点在y 轴上的椭圆C ． 焦点在x 轴上的双曲线D ． 焦点在y 轴上的双曲线6.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于 ( )． A ．-1B ．0C ．1D ．27.设A ,B 是椭圆C :=1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( )A .(0,1]∪[9,+∞)B .(0,]∪[9,+∞)C .(0,1]∪[4,+∞)D .(0,]∪[4,+∞)8.不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）A32 .B 23 .C 43 .D 349.O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF∆的面积为 ( )A ．2B ．22C ．23D ．410.设双曲线=1的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.11如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于 （ ）ACB60m75°30°A．240(31)m- B．180(21)m-C．120(31)m- D．30(31)m+12.如图,南北方向的公路L,A地在公路正东2 km处,B地在A北偏东60°方向2 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是()A.(2+)a万元B.(2+1)a万元C.5a万元D.6a万元13.斜率为2的直线l过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）.A. (1,2)B. (1,3)C. (1,5)D. (5,)+∞14.已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1、F2，P是它们的一个交点，则03=+-y x PA △F 1PF 2的形状是( )A ． 锐角三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 随m 、n 变化而变化二．填空题（共4小题每题5分共20分把答案填在答题纸相应的横线上） 15. 对于x ∈R ，不等式2230x x m -+-≥，实数m 的取值范围 .16. 在等差数列{}n a 中，24)(3)(2119741=++++a a a a a ，则该数列的前13项和13S 等于 .17．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点，若线段AB 的长为8，则p =_____.18. 已知两点551,,4,44M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列曲线方程① 4210x y +-= ② 223x y +=③ 2212x y += ④ 2212x y -= 在曲线上存在点P 满足PM PN =的所有曲线方程是 。
2020-2021西安市高一数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021西安市高一数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>5．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 6．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③7．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)28．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}9．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.15．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．16．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．17．函数的定义域为___．18．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上).19．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.20．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log 3lg25lg4log (log 16)+-（Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+23．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．24．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？25．已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得32239b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内6．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．7．B解析：B 【解析】 函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）e 2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.8．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力解析：10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴=. 故答案为：10. 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1．【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．15．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.16．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-17．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.18．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主 解析：①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误.【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.19．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29a a =∴=-， 则：()22124a --=-=. 20．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）19t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫 得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π=要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤<即实数t 的取值范围是19t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a aa -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 23．a ≤－1或a ＝1.【解析】【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.24．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 . 【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> . （2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).25．（1）2()1f x x x =-+（2）1m <-【解析】【分析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =，即可求出a ，b ，c 的值.（2）首先将题意转化为[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立，再求出2min (31)x x -+，2min (31)m x x <-+即可.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---，所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==，所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立.设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-.则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-.【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可.【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题及答案
【分析】
取 的中点 ，根据题意，可得 为 的重心，则G在AD上，又 ，可得 ，所以 ， ， ， 四点共线，根据三角形的性质，设 ，即可求得答案.
【详解】
取 的中点 ，连接AD，由 ，知 为 的重心，则G在AD上，
所以 ，而 ，
所以 ， ， ， 四点共线，所以 ，即 ，
不妨令 ，则 ， ．
所以 ．
所以扇形面积 ．
故答案为：4
17．4
【分析】
根据 ， ，且 与 的夹角为 ，利用数量积的定义和运算律求解.
【详解】
因为向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，
所以 ，
．
故答案为：4
18．
【分析】
函数 有最小值，所以求出 ，则有 ，代入 求出 的取值范围.
【详解】
当 时， 的最小值为 ．
当 时，要使 存在最小值，必有 ，解得 ．
【详解】
令 ( 为常数)，
所以 ，且 ，
所以 时有 ，
将 代入，等式成立，
所以 是 的一个解.
因为 随 的增大而增大，
所以可以判断 为增函数，
所以可知方程 有唯一解 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
综上①②正确，③④错误.
故答案为：①②
【点睛】
关键点点睛：本题关键是利用 是单调函数，由 ，结合 解得 而得解.
18．已知函数 有最小值，则 的取值范围为__________．
19．已知 ，则 __________．
20．已知 是定义域为 的单调函数，且对任意实数 ，都有 ，则下列关于 的说法中正确的为_________.(填序号)
① ；② 为单调增函数；③ 为奇函数；④
三、解答题
陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高三上学期第一次教学质量检测数学(文)试题
长安一中2020—2021学年度第一学期第一次质量检测高三年级数学(文科)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A. 3 B. 1C. -3D. 1或-3C试题分析：由题意得2230{10x x x +-=-≠3x ∴=- 考点：纯虚数概念点评：a bi +是纯虚数需满足0,0a b =≠2. 已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos +a a 的值为（ ）A. -12B. C.12D.2A利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. ∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题.3. 若椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22221y x a b -=的离心率为（ ）A. B.C.D. 2B利用椭圆的离心率，可得a ，b 的关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．解：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，可得22234a b a -=，即12b a =， 双曲线22221y x a b-=的离心率为：2221514c a b a a +==+=． 故选：B ．4. 函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，2πϕ<)的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图像，则只需将()f x 的图像（ ）A. 向右平移6π个长度单位 B. 向右平移12π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向左平移12π个长度单位A由图计算A 和ω，再将712x π=代入()()sin f x A x ωϕ=+计算得ϕ，所以可得 ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后即可判断出函数()g x 是由函数()f x 向右平移6π个单位得到.由图可知，1A =，44T π=，得T π=，所以22πωπ==，将712x π=代入可得， 7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得23k πϕπ=+，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到()sin 2g x x =，所以将函数()f x 向右平移6π个单位.故选：A.5. 设p ∶2102x x -<-，q ∶260x x +->，则p 是q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B试题分析：不等式2102x x -<-的解集为()()(),21,11,-∞-⋃-⋃+∞，不等式260x x +->的解集为()(),32,-∞-⋃+∞，命题q 的解集是命题p 的解集的真子集，所以p 是q 的必要不充分条件考点：解不等式及充分条件与必要条件点评：若p q ⇒则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 6. 函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A. (1,2) B. (2,3)C. 1(0,)2D. 1(2，1)A根据函数零点存在性定理即可得到结论.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且函数()f x 单调递增，f （1）2log 1110=-=-<，f （2）2111log 210222=-=-=>， ∴在(1,2)内函数()f x 存在零点，故选：A .本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键.7. 执行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）A. 5100B. 2550C. 5050D. 100B由程序框图确定框图功能，再利用求和公式求和. 由程序框图可知246...100S =++++， 根据等差数列求和公式可知()50210025502S +==. 故选：B8. 已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为 A. 2 B. 6C. 2或2-D. 6或6-C分析：利用OA ⊥OB ，OA=OB ，可得出三角形AOB 为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R ，可得出AB ，求出AB 的长，圆心到直线y=﹣x+a 的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到实数a 的值． 详解：∵OA ⊥OB ，OA=OB ， ∴△AOB 为等腰直角三角形， 又圆心坐标为（0，0），半径R=2， ∴AB=222R =∴圆心到直线y=﹣x+a 的距离d=12AB=2=2，∴|a|=2， ∴a=±2． 故答案为C ．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.9. 已知22a ＜＜，则函数22()2f x a x x =--+的零点个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4D将问题转化为求解函数22y a x =-和2y x =-的图象在同一坐标系内有几个交点，采用数形结合法，画出两个函数的图象，根据图象判断即可．当22()20f x a x x =--+=时，222a x x -=-，即只需求解函数22y a x =-和2y x =-的图象有几个交点即可，如图所示，函数22y a x =-的图象为圆心在原点，半径为a 的上半圆， 又原点()0,0到直线2y x =-的距离为2a <，所以当22a ＜＜时，函数函数22y a x =-和2y x =-的图象有4个交点， 即函数22()2f x a x x =--+零点的个数为4． 故选：D ．本题考查函数零点个数的判断，一把地判断函数零点的个数的解答方法有： （1）直接法：令()0f x =直接求解，判断方程的根的个数；（2）利用零点的存在性定理：若函数()f x 在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，则可结合函数的图象与性质判断函数零点的个数；（3）数形结合法：作出函数图象，利用函数图象交点的个数判断．10. 在抛物线()250y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. ()2,9-- B. ()0,5- C. ()2,9- D. ()1,6-A求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a ，求出抛物线的顶点坐标．解：两点坐标为(4,114)a --；(2,21)a -， 两点连线的斜率11421242a a a --+==---，对于25y x ax =+-，2y x a '=+，22x a a ∴+=-解得1x =-，在抛物线上的切点为(1,4)a ---， 切线方程为(2)60a x y ---=，该切线与圆相切，圆心(0,0)到直线的距离=圆半径，=解得4a =或0(0舍去），抛物线方程为245y x x =+-顶点坐标为(2,9)--． 故选：A ．本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．11. 已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A. 2B. 22C. 0D. 1A椭圆2222x y +=，即为2212x y +=，则椭圆的2,1a b ==，则由OP 为12PF F ∆的中线，即有()1212PO PF PF =+，则122PF PF PO +=，可设(),P x y ，则2212x y +=，即有2222211122x x PO x y x =+=+-=+≥，当0x =时，取得最小值1，则12PF PF +的最小值为2，故选A.12. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2013)f = A. 2 B. 3 C. 4 D. 0A试题分析：由(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称知函数()f x 为偶函数，当2x =-时，(2)0f =，所以(4)()f x f x +=，函数的周期为4，所以(2013)(50341)(1)2f f f =⨯+==.考点：1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.赋值法求值.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上. 13. 下图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，则h =______cm .4由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可． 解：根据三视图可知，几何体的体积为：1156532V h h =⨯⨯⨯⨯= 又因为20V =，所以4h =故答案为：4 14. 已知222233+=，333388+=，44441515+=，，类比这些等式，若88a ab b+=（a ，b 均为正整数），则a b +=________. 71 2222223321+==-，23333338831+==-244444151541+==-利用归纳推理求解. 2222223321+==-23333338831+==-244444151541+==-……， 288881a b +=- 所以8,63a b == 所以71a b += 故答案为：71本题主要考查归纳推理，属于基础题.15. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2c =，60C =︒，则sin sin a bA B +=+__________.433根据正弦定理边角互化，计算求值.根据正弦定理可知2sin a R A =，2sin b R B =，所以()2sin sin 2sin sin sin sin R A B a bR A B A B++==++，而432sin 33c RC ===， 所以43sin sin a b A B +=+. 故答案为：43316. 函数()()210()2ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数为_________.2分段求函数零点个数，当0x >时，利用零点存在性定理判断. 当0x ≤时，210x -=，解得：1x =-，当0x >时，()2ln f x x x =-+单调递增，并且()112ln110f =-+=-<，()222ln 20f =-+>，()()120f f <，所以在区间()1,2内必有一个零点，所以零点个数为2个. 故答案：2三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知函数2()2sin()cos()23cos ()3222f x x x x ααα=++++-偶函数， 且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若x 为三角形 ABC 的一个内角，求满足()1f x =的 x 的值. （Ⅰ）6πα=（Ⅱ）566x x ππ==或 试题分析：（Ⅰ）2()2sin()cos()23()3222f x x x x ααα=++++sin(2)3)2sin(2)3x x x πααα=++=++由()f x 为偶函数得,32k k Z ππαπ+=+∈,6k k Z παπ∴=+∈ 又 [0,]6παπα∈∴=（Ⅱ）由()1f x = 得 1cos 22x =,又 x 为三角形内角，(0,)x π∈ 566x x ππ∴==或 考点：三角函数二倍角公式，函数奇偶性点评：基本公式的考查，难度不大，要求学生熟记掌握的基础上加强练习18. . 如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， 2,22AD PA CD ===，E 、F 分别是AB 、PD 的中点.（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （2）求三棱锥P-EFC 的体积． （Ⅰ）见解析；(Ⅱ）22试题分析：（Ⅰ）2,PA AD AF PD ==∴⊥PA ABCD CD ABCD ∴⊥⊆平面，平面,PA CDAD CD PA AD A CD PAD AF PAD AF CDPD CD D AF PCD GE PCD GE PEC PCE PCD ∴⊥⊥⋂=∴⊥⊆∴⊥⋂=∴⊥∴⊥⊆∴⊥，平面，平面，，平面，平面，平面，平面平面；（Ⅱ）由（2）知GE PCD EG PEFC ⊥平面，所以为四面体的高，//12122133PCF PCF GF CD GF PDEG AF GF CD S PD GF PEFC V S EG ∆∆⊥=====⋅==⋅=又，所以得四面体的体积 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积计算．点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．19. 数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*n N ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n nT n >+. （1）()*n a n n N =∈；（2）证明见解析.（1）根据对于任意*n N ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列，得到对于*n N ∈，总有22n n nS a a =+成立，然后利用数列通项与前n 项和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.（2）由（1）知21n b n =，又21111(1)1n n n n n >=-++，然后利用裂项相消法求解.（1）因对于*n N ∈，总有22n n n S a a =+①成立∴()211122n n n S a a n ---+≥=②①-②得22112n n n n n a a a a a --=+--，∴()()111n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵n a ，1n a -均为正数，∴()112n n a a n --=≥， ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列， 又1n =时，21112S a a =+，解得11a =，∴()*n a n n N =∈.（2）由（1）可知21n b n =， ∵21111(1)1n n n n n >=-++， ∴11111122311n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．20. 已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 所在直线上且0AT AB ⋅=.（1）求ABC 外接圆的方程；（2）一动圆过点()2,0N -，且与ABC 的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹Γ的方程； （3）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的P ，Q 两点，满足6OP OQ ⋅>，求k 的取值范围.（1）()2228x y -+=；（2）221(0)22x y x -=<；（3）()2,1-.（1）可由垂直关系求出直线AC 的斜率和方程，与AB 方程联立可求出圆上一点A 的坐标.直角三角形外心就是斜边的中点M .求出半径即可得外接圆方程.（2）分析线段间的关系，满足22PM PN -=.（3）考查直线与双曲线的位置关系.联立方程后，列出所有要满足的条件，求范围即可. 解：（1）∵0AT AB ⋅=，∴AT AB ⊥，从而直线AC 的斜率为-3. 所以AC 边所在直线的方程为()131y x -=-+.即320x y ++=.由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，得点A 的坐标为()0,2-， ∵BM MC =，∴()2,0M 为Rt ABC 外接圆的圆心， 又()()22200222r AM ==-++=.所以ABC 外接圆的方程为：()2228x y -+=.（2）设动圆圆心为P ，因为动圆过点N ，且与ABC 外接圆M 外切， 所以22PM PN =+22PM PN -=故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为22c =的双曲线的左支.从而动圆圆心的轨迹方程Γ为221(0)22x y x -=<.（3）PQ 直线方程为：2y kx =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由222(0)2x y x y kx ⎧-=<⎨=-⎩得()221460(0)k x kx x -+-=<， ∴()222122122212122101624104016012261k k k k x x k x x k k OP OQ x x y y k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪+=<⎪-⎨⎪=>⎪-⎪+⎪⋅=+=>⎪-⎩，解得：1k <<-. 故k的取值范围为()1-. 求轨迹方程的一般方法：1.直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(),x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程.2.定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程.3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标,x y 与该参数t 的函数关系()(),x f t y g t ==，进而通过消参化为轨迹的普通方程(),0F x y =.4.代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点'P 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(),P x y ，用(),x y 表示出相关点P'的坐标，然后把'P 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
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陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题 （总分150分，时间100分钟）
一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集U R ＝,集合12345{}{|}2A B x x ∈>R ＝，，，，，＝，则下图中阴影部分所表示的集合
为（ ）
A ．{0}1，
B ．{}1
C ．{1}2，
D ．{012}，， 2．设f A B →：是从集合A 到集合B 的映射，其中(){},,A B x y x R y R ==∈∈，()(),,f x y x y x y →+-：那么B 中元素(1,5)的原像是（ ）
A ．(3,2)-
B ．(3,2)-
C ．(2,-1)
D ．(-2,1)
3． 下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）
单调递减的函数是（ ） A ．3y x = B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2x
y = 4. ()()()3-663y x x x =+-≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
92 C ．3 D ．322 5. 函数2()ln(28)f x x x =--的单调递减区间是（ ）
A ．(,2)-∞-
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(4,)+∞
6. 已知函数()24log f x x x
=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．()0,1 B. ()1,2 C. ()2,4 D. ()4,+∞
7．设()f x 是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，若10x <且12+0x x >，则（ ）
A ．12()()f x f x > B.12()()f x f x < C.12()=()f x f x D.1()f x 与2()f x 大小不确定
8．设函数211log (2),1()2,1
x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 6)f f -+=（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
9．函数2ln ||y x x =-的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知0.20.52log 0.5,2,0.2
a b c ===，则（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a << 11．直线1y =与函数2()f x x x a =-+的图像有4个交点，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞
B ．5(1,)4
C ．5(,)4+∞
D ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
12．设函数2,0()1,0
-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(21)(3)f x f x +<的x 的取值范围是（ ）
A ．(,1]-∞-
B ．(0,)+∞
C ．(1,0)-
D ．(,0)-∞
13. 已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)++f f f (60)f +
+=（ ） A ．50- B ．0 C ．2 D ．60
14．已知函数()2
22,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 ( )
A. 4
B. 5
C. 6
D.7
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填写在答题卡相应的位置）
15. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，4()2f x x x =+，则
(1)f = ．
16. 式子251log log 4+lg2lg525
+的值是_______________. 17．函数()()1=201x f x a a a -+>≠且的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是__________.
18. 有一批材料可以建成200m 长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
19. 函数0.5()4log 1x
f x x =-的零点个数为 ．
20. 对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()000f x f x +-=，则称点()()00,x f x 是曲线()f x 的
“优美点”.已知()22,02,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则曲线()f x 的“优美点”个数为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共50分）
21. （本小题满分12分）集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2280C x x x =+-=.
（1）若A B B A =，求a 的值；
（2）若,A B A C ≠∅=∅，求a 的值。
22. （本小题满分12分）若二次函数满足()()12f x f x x +-=且()02f =．
（1）求()f x 的解析式；
（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．
23. （本小题满分12分）已知函数()()=432x x f x m m +-+.
（1）若=1m ，函数是否有零点，如果有请求出零点。
（2）若函数有两个零点，求实数m 的取值范围
24．（本小题满分14分）已知函数()()1=log 011
a
x f x a a x +>≠-且. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （2）若1a >，证明函数()f x 在区间()1+∞，
上单调递减； （3）是否存在实数a ，使得()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1-log ,1log a a n m -，若存在，
求出实数a 的取值范围；若不存在，则说明理由。
长安一中2020-2021学年度第一学期期中考试
高一数学试题参考答案
一、选择:1-5.CACBA 6-10.CBBAB 11-14.BDBA
二、填空:15.-1 16.-3 17.(1,3) 18.2500 19.2 20.4
三、解答：
21. 解
22. 解：（1）设
2
()(0)
f x ax bx c a
=++≠，由题意(0)2
f=得2
c=，
2
()2,(1)()222
f x ax bx f x f x x ax a b x
∴=+++-=∴++=
，
2
2=21
,()2
=01
a a
f x x x
a b b
=
⎧⎧
∴∴∴=-+
⎨⎨
+=-
⎩⎩
，.
（2）由题意：222
x x x m
-+>+在[]
-1,1上恒成立，即232-0
x x m
-+>在[]
-1,1上恒成立，
令22
31
()32-()
24
g x x x m x m
=-+=---，其对称轴为
3
2
x=，()
g x
∴在区间[]
-1,1是减
函数，
min
()(1)1320,0
g x g m m
==-+->∴<，m的取值范围是()
-0
∞，
23．解：（1）设()
20
x t t
=>，当=1
m时，则原函数对应的方程为2-210
t t+=。
方程可得唯一解=1
t，当=1
t时=0
x。
原函数有唯一零点为0.
（2）设()
20
x t t
=>，则原函数对应的方程为()
230
t m t m
+-+=。
原函数有两个零点，等价于方程()
230
t m t m
+-+=有两个不相等的正跟。
则有()
()
2
340
30
m m
m
m
⎧=-->
⎪⎪
-->
⎨
⎪>
⎪
解得01
m
<<
24. 解：（1）。