人教版初二(上)数学第39讲：乘法公式(教师版)——东直门吴伟伟(1)
乘法公式
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
1、会用平方差公式22()()a b a b a b +-=- 进行计算；
2、会用完全平方公式22()2a b a ab b ±=±+ 进行计算；
3、乘法公式的正向、逆向的灵活应用.
1．平方差公式 _________ ___，这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 形如a b +的多项式与形如a b -的多项式相乘，由于
2222()()a b a b a ab ab b a b +-=-+-=-，
所以对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出计算结果，即
22()()a b a b a b +-=-.
2. 平方差公式 _________ ___，这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 形如2()a b ±的多项式相乘，由于
22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=+-=+++=++，
22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+，
所以对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出计算结果，即
222()2a b a ab b +=++，
222()2a b a ab b -=-+.
3.添括号法则
乘法公式计算时，去括号法则，即
()a b c a b c ++=++；
()a b c a b c -+=--.
反过来，就得到添括号法则：
()a b c a b c ++=++；
()a b c a b c --=-+.
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都_______符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_______符号.
参考答案：
1.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
2.两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍
3.不变 改变
1、运用平方差公式计算
【例1】（1）(32)(32)x x +-； （2）(23)(23)a b c a b c ++--
【解析】（1）中，可以把3x 看成a ，2看成b ，即
22(32)(32)(3)2x x x +-=-.
22()()a b a b a b +-=-
（2）中，将23b c +结合，再运用平方差公式计算.
解：（1）(32)(32)x x +-
=22
(3)2x -
=294x - （2）(23)(23)a b c a b c ++--
=[(23)][(23)]a b c a b c ++-+
=22
(23)a b c -+.
总结：运用平方差公式计算时，公式中的a 和b 可以表示单项式，也可以是多项式.
练1.已知223x y -=，求22()()x y x y +-的值.
【解析】观察求解的式子，现运用幂运算的逆运算，再运用平方差，即可求解．
解： 22()()x y x y +-
=2[()()]x y x y +-
=222()x y -
=23
=9
2．利用平方差公式巧算
【例2】计算102×98．
【解析】将102变形成100+2，将98变形成100-2，再运用平方差公式计算，即可求解.
解：102×98=（100+2）（100-2）
=1002-22
=9996.
总结：有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式.
练2.计算11100
9922
? 【解析】将11002变形成11002+，将1992变形成1992+，再运用平方差公式计算，即可求解. 解：111009922?=（11002+）（1992
+） =221100()2-=1100004
- =399994 练3.计算24(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+
【解析】先将(1)(1)x x +-运用平方差公式，再与2(1)x +、最后与4(1)x +运用平方差公式，即可求解．
解：24(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+
=24(1)(1)(1)(1)x x x x +-++=224
(1)(1)(1)x x x -++
=44(1)(1)x x -+=81x -.
练4. （2015秋?岳麓区月考）计算：24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++.
【解析】将多项式增加(21)-后，可以运用平方差公式，即可求解.
解: 24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++
=24816(21)(21)(21)(21)(21)(21)1-++++++
=224816(21)(21)(21)(21)(21)1-+++++
=44816(21)(21)(21)(21)1-++++
=8816(21)(21)(21)1-+++=1616(21)(21)1+++
=32(21)1-+=32
2
3．运用完全平方公式计算
【例3】计算（1）2(4)m n +； （2）(23)(23)x y x y +--+
【解析】直接运用完全平方公式计算．
解：（1）2(4)m n +=22(4)2(4)m m n n ++
=22168m mn n ++． （2）(23)(23)x y x y +--+
=[(23)][(23)]x y x y +---
=22(23)x y --
=22(4129)x y y --+
=224129x y y -+-
总结：
（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，
就可以用公式计算；
（2）在利用此公式计算时，勿丢掉中间项“2ab ”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍. 练6．若222
94(32)x y x y M +=++，则M 为（ ）
A ．6xy
B ．6xy -
C ．12xy
D ．12xy -
【解析】将等式右边按照完全平方公式展开后，计算可得．
解：2(32)x y M ++=229124x xy y M +++
∴12M xy =-．
故选D ．
练7．（2015秋?启东市期中）计算2(2)a b c +-．
【解析】将多项式(2)a b c +-其中的两项看做整体，再运用完全平方公式计算即可．
解：2(2)a b c +-=2[2()]a b c +-
=2244()()a a b c b c +-+-
=2224442a ab ac b bc c +-+-+
=2224442a b c ab ac bc +++--．
4．利用完全平方公式巧算
【例4】计算1022．
【解析】将102变形成100+2后，再运用完全平方公式计算即得．
解：2102=2(1002)+
=22100210022+??+
=10000+400+4=10404．
总结：计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．
练8．若15a a +=，则221a a
+的结果是_________． 【解析】将已知条件变形，等式两边分别平方，再运用完全平方公式计算，即可求解． 解：∵15a a
+
= ∴221()5a a
+= 22112()25a a a a
++= ∴221225a a ++= ∴22123a a
+=．
练9．（2014秋?济南市期末）计算2222(1)(1)(1)a a a +-+．
【解析】先运用幂运算，再将2(1)(1)(1)a a a +-+运用平方差公式，最后运用完全平方公式计算，即可求解．
解：2222(1)(1)(1)a a a +-+
=22[(1)(1)(1)]a a a +-+
=222[(1)(1)]a a -+
=42(1)a -
=8421a a -+．
5.先化简再求值
【例5】计算224()4()()()m n m n m n m n +-+-+-的值，其中11,23
m n ==． 【解析】首先将多项式运用完全平方的逆运算，化简后，再代入数值计算．
解：224()4()()()m n m n m n m n +-+-+-
=22[2()]2[2()]()()m n m n m n m n +-+-+-
=2[2()()]m n m n +--
=2(22)m n m n +-+
=2(3)m n +
=2269m mn n ++ 将11,23
m n ==代入， 原式=221111()69()2233
+??+ =124
． 总结：先化简再求值的解题步骤：
（1）运用乘法公式（平方差公式或完全平方公式）将多项式化简成简单形式；
（2）再将数据代入化简后的式子，计算即可求解．
练10．当1,2a b ==-时，求2222111[()()](2)222
a b a b a b ++--的值.
【解析】利用完全平方公式将多项式化简后，再代入数值计算． 解：2222111[()()](2)222
a b a b a b +
+-- =222222111()(2)442
a a
b b a ab b a b +++-+- =222211(2)(2)22
a b a b +- =44144a b - 将1,2a b ==-代入，得
原式=44141(2)4
?-?-=0． 故答案为：0．
练11．（2015秋?桥东区期末）若44225a b a b ++=，ab =2，求22a b +的值．
【解析】由ab =2可知，22a b =4，将已知等式两边分别加22a b ，可得到完全平方公式的逆运算，
即可得到22a b +的值．
解：∵ab =2，
∴22a b =4，
∵44225a b a b ++=
∴442222225a b a b a b a b +++=+
4422254a b a b ++=+
222()9a b +=
223a b +=
故答案为：3．
1．下列各多项式相乘，可以利用平方差公式计算的是（ ）.
①(25)(52)ab x x ab -+-+ ②(3)(3)x y x y ---
③()()ab c ab c +-- ④()()ax y ax y ---
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
2．计算2242111(3)(3)(9)224
a b a b a b +-+
3．计算(23)(45)(23)(45)a b a b a b a b ++--．
4．已知2,2A x y B x y =+=-，计算22A B -.
5.求代数式2(2)(2)(2)4a b a b a b ab +-++-的值，其中11,10
a b ==
.
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
1.计算：（1）103×97
（2）992
（3）20142-4028×2015+20152
2.计算：(53)(53)3(37)x x x x -+--
3．巧算：2222
1111(1)(1)(1)(1)2342015----
4．若5,6x y xy +=-=，则22x y +=_______________
5．计算22(2)2(2)(2)(2)x y x y x y x y -++-++
6．计算：()()a b c a b c -+--
7．计算：22(21)(12)a a +--
8．解方程：21
()(1)(1)22
x x x --+-=
参考答案：
当堂检测
1．D.
2．答案：8418116
a b -
3．答案：422464244225a a b b -+. 4．答案：8xy .
5. 答案：2．
家庭作业
1.（1）答案：9991.
（2）答案：99801.
（3）答案：1.
2. 答案：216219x x +-.
3. 答案：10082015
. 解：2222
1111(1)(1)(1)(1)2342015---- =11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22334420152015
+-+-+-+- =11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23420152342015
++++---- =3452016123201423420152342015
????? =10082015
. 4. 答案：13.
5. 答案：24x
6. 答案：2222a ab b c -+-
7. 答案：8a
8. 答案：34
x =-
课程顾问签字： 教学主管签字：