高三数学一轮复习课件 不等式恒成立问题
则对 −1≤a≤1，恒有 g( x) <0，即 ϕ( a) <0，从而转化为对 −1≤a≤1， 恒成立的问题， 的一次函数，问题就容易解决了. ϕ( a) <0恒成立的问题，又由 ϕ( a) 是 a的一次函数，问题就容易解决了.
ϕ (1) < 0 只需 ϕ ( −1) < 0
3x2 − x − 2 < 0, 2 即 2 解得 − < x < 1 3 3x + x − 8 < 0.
丙的解题思路进行思辨， 【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思 分析及解】关键在于对甲， 辨实际上是函数思想的反映. 辨实际上是函数思想的反映 设 f ( x ) = x 2 + 25 + x 3 − 5 x 2 , g ( x ) = ax . 的取值范围.与题目 恒成立,求 求 a 的取值范围 与题目 x ∈ [1,12] , f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立 求 a 的取值范围 的要求不一致.因而 甲的解题思路不能解决本题. 的要求不一致 因而, 甲的解题思路不能解决本题 因而 按照丙的解题思路需作出函数 按照 丙的解题思路需作出函数 f ( x ) = x 2 + 25 + x 3 − 5 x 2 , g ( x ) = ax 的图象,然而 函数 的图象并不容易作出. 的图象 然而,函数 f ( x ) 的图象并不容易作出 然而 甲的解题思路是对于 x1 ∈ [1,12] , x2 ∈ [1,12] ,若 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 恒成立 若
1.知识要点 .
课 时 小 结
f(x)≥a 恒成立 f(x)≤a 恒成立
f(x) min≥a f(x) max≤a
2.解题方法 2.解题方法 最值法 图象法 分离参数法
3.数学思想 数学思想 函数思想 转化思想 数形结合 分类讨论
课外作业
1.x的不等式 的不等式
1− x > x + b 在
2
[− 1, 0 ]
分类讨论
变式思考
（06江西）对一切实数，不等式 06江西）对一切实数， 江西
恒成立， x + a | x | +1 ≥0恒成立，则实数 a
2
的取值范围是( 的取值范围是( C ) A、(-∞，－2］ ，－2 、［－2 C、［－2，+∞)
解法1 解法
B、［－2，2］ 、［－2 、［0 D、［0，+∞)
变式思考
函数值恒为负值， 当x∈(1,2)时，函数 ∈ 时 函数f(x)=(x-1)2--logax函数值恒为负值， 函数值恒为负值 的取值范围。 求a的取值范围。 的取值范围
分析： 不等式(x-1)2<logax恒成立，左边为二次函数，图象 分析：题意即不等式 恒成立 左边为二次函数， 是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线， 则 的图象为右图所示的抛物线， 要使对一切x 恒成立， 要使对一切 ∈(1,2),y1<y2恒成立，
求单调区间， ⅰ.求单调区间，只需解 求单调区间 只需解f(x)>0或f(x)<0. 或 给出在某区间上的单调性求变量范围， ⅱ.给出在某区间上的单调性求变量范围，则需解 给出在某区间上的单调性求变量范围 则需解f(x) ≥0或f(x) 或 ≤ 0.
重点 变式思考
全国卷Ⅱ （2006 年，全国卷Ⅱ，理） 设函数 f (x) = (x +1)ln(x +1).若对所有的x ≥ 0, 都有 f (x) ≥ ax 成立， 的取值范围。 成立，求实数a 的取值范围。
f ( x) ≥ a 在 x ∈ [1,12] 上恒成立 等价于 由乙的解题思路,本题化为 上恒成立,等价于 由乙的解题思路 本题化为 x f ( x) x ∈ [1,12] 时, 成立. ≥ a 成立 x min
f ( x) 25 = x+ + x x − 5 在 x = 5 ∈ [1,12] 时,有最小值10 ,于是 a ≤ 10 于是, 由 有最小值 于是 x x
题后反思
类似恒成立问题或是证明形如f(x)>g(x)不等式 类似恒成立问题或是证明形如f(x)>g(x)不等式 f(x)>g(x) 模式性非常强。 模式性非常强。 第一步：构造函数h(x)=f(x)-g(x)。 第一步：构造函数h(x)=f(x)-g(x)。 h(x)=f(x) 第二步：求导研究h(x)单调性极值。 第二步：求导研究h(x)单调性极值。 h(x)单调性极值 第三步：利用不等式性质求解或证明。 第三步：利用不等式性质求解或证明。
ⅰ.若f(x)≥a(x∈D) 恒成立
f(x)min(x∈D)≥a; ⇔ f(x)max(x∈D)≤a; ⇔ (x∈D)≤a;
ⅱ.若f(x)≤a(x∈D) 恒成立
变式思考
四川卷） （2006 年，四川卷） 已知函数 f ( x) = x + 3ax −1, g ( x) = f ( x) − ax − 5 ， 其中 f ' ( x) 是 的导函数 的值， 对满足 −1 ≤ a ≤ 1的一切 a 的值，都有 g ( x) < 0 ，求实数 x 的取 值范围； 值范围；
a f '( x) = 2x − 2 x 要使f ( x ) 在区间[ 2, +∞ ) 是增函数，
故当a ≤ 16时，f ( x) 在区间[ 2, +∞) 恒成立。
只需当x ≥ 2时，f ' ( x ) ≥ 0恒成立 a 即2 x − 2 ≥ 0，则a ≤ 2 x 3恒成立。 x
解法2 a a 2 2 设 x2 > x1 ≥ 2，f ( x1 ) − f ( x2 ) = x1 + − x2 − x1 x2 x1 − x2 = x1 x2 ( x1 + x2 ) − a x1 x2 要使f ( x ) 在区间[ 2, +∞ ) 单增，只需f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0
间接法(验证法 间接法 验证法); 验证法
解法2 解法
当 x =0时，易知不等式恒成立。
当 x ≠ 0时，原式可化为 a x ≥ −( x + 1) 1 即a ≥ -( x + ) x 1 易得a ≥ -( x + ) ≤ −2 x
∴a ≥ -2
题后反思
1.与恒成立有关的客观题优先考虑验证法。 1.与恒成立有关的客观题优先考虑验证法。 与恒成立有关的客观题优先考虑验证法 2.如果作图较易 也可用数形结合。 如果作图较易， 2.如果作图较易，也可用数形结合。 3.分离变量法解题依据： 3.分离变量法解题依据： 分离变量法解题依据
06年 年 高考 07年 年 高考
全国 卷ⅰ 全国 卷ⅰ 浙江 卷 陕西 卷 陕西 卷 重庆 卷 湖北 卷 福建 卷 山东 卷 湖南 卷 辽宁 卷 四川 卷 江西 卷 江西 卷 北京 卷 上海 卷 广东 卷 安徽 卷 全国 卷ⅱ 天津 卷
引例
• 7.若对任意 不等式 x ≥ ax 若对任意R,不等式 恒成立，则实数a的 恒成立，则实数 的 取值范围是（ 07安徽卷 安徽卷） 取值范围是（ B ） （07安徽卷）
上恒成立， 上恒成立，则 b 的取值范围是 b<1 ;
kx + 7 2.函数 y = 2 的定义域是一切实数， 函数 的定义域是一切实数，则 kx + 4kx + 3 3 k 的取值范围是 0 ≤ k < ; 4
3.对任意实数，若不等式 x + 1 − x − 2 > k 恒成立， 对任意实数， 恒成立， 对任意实数 ; 则 k 的取值范围是 K<-3 4．对θ∈R，不等式 ． ∈ ，不等式cos2θ-2mcosθ+4m-3>0 恒成立，求实数m的取值范围 的取值范围.; x2 ) − a > 0恒成立
由x2 > x1 ≥ 2得x1x2 ( x1 + x2 ) > 16
故a ≤ 16
a ≺ x1 x2 ( x1 + x2 ) 恒成立，即a ≺ x1 x2 ( x1 + x2 ) min
题后反思
1.转化思想：告诉我们函数单调性、 1.转化思想：告诉我们函数单调性、奇偶性条 转化思想 件相当于告诉我们恒成立条件。 件相当于告诉我们恒成立条件。 2.由二次函数与反比例函数（指数函数，自然 2.由二次函数与反比例函数（指数函数， 由二次函数与反比例函数 对数） 对数）复合成的复合函数一般可用导数法研究 性质。 性质。 3 .利用导数法求单调区间与体现单调性的区别
高三一轮复习专题课
高三数学复习中的恒成立问题， 高三数学复习中的恒成立问题，涉及到函数的性 图象,渗透着换元 化归、数形结合、 渗透着换元、 质、图象 渗透着换元、化归、数形结合、函数等 思想方法，有利于考查学生的综合解题能力， 思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因 此备受命题者的青睐， 此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热 点。
A. a＜-1 ＜ 方法1验证法 方法 验证法
| B. |a≤1 |＜ | C. a＜1
D.a≥1
引例
方法2 方法
y
y= x
y=ax
数形结合
O
x
方法3 方法
ax ≤ x 恒成立，分三种情况
当x = 0时，a0 ≤ 0恒成立，a ∈ R 当x ≻ 0时，a ≤ 1 当x ≺ 0时，a ≥ −1 ∴ a ∈ [ −1,1]
y
y1=(x-1)2 y2=logax
显然a>1,并且过（2，1）点的对数函 并且过（ ， ） 显然 并且过 数图像是临界曲线
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第四节基本不等式课件高三数学一轮复习
基本不等式再理解:变形公式
ab a b (a 0,b 0) 2
和定积最大
积定和最小
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y__时，x＋y 有
_最___小___值是__2__p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x ＋y 是定值 p，那么当且仅当_x_＝___y__时，xy 有
答案 (1)C (2)5＋2 6
某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万 元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产 品的年销量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投 入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍． (1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数；(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (2)厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小
时耗油
2＋ x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元.
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
(1)y＝m(kx2＋9)＝m x
x＋9x
，x∈[1，10].
值，则 a＝________． (2)不等式 x2＋x<a＋b对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，
2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt
高考一轮总复习•数学
第27页
对点练 3 解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当 a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a22－4，∴
原不等式的解集为x a－
2a2－4≤x≤a＋
a2－4 2
.
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
高考一轮总复习•数学
第16页
解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04， ⇔xx22－－xx－－26＞≤00， ⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔
逆向思维，－1,2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
b(x－1)＋c＞2ax 的解集是( )
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0 或 x＞3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
高考一轮总复习•数学
第30页
解析：由 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
高考一轮总复习•数学
第1页
第二章 不等式
第3讲 二次函数与一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的解法
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
高考一轮总复习•数学
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等 式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
2024届新高考一轮总复习人教版 第三章 重难突破系列(一) 利用导数解决不等式恒成立、有解 课件
[对点练] 1.已知曲线 f(x)＝bex＋x 在 x＝0 处的切线方程为 ax－y＋1＝0. (1)求 a，b 的值； (2)当 x2>x1>0 时，f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)恒成立，求实数 m 的取值范围．
解：(1)由 f(x)＝bex＋x 得，f′(x)＝bex＋1， 由题意得在 x＝0 处的切线斜率为 f′(0)＝b＋1＝a， 即 b＋1＝a，又 f(0)＝b，可得－b＋1＝0，解得 b＝1，a＝2.
(2)由 f(1)≥0，得 a≥e－1 1>0，则 f(x)≥0 障碍点：不能把a＋a 1看做整体，分离出来
对任意的 x>0 恒成立可转化为a＋a 1≥2xx－ex 1对任意的 x>0 恒成立．················6 分
2x－1 设函数 F(x)＝ xex (x>0)， ··································································7 分
于是a＋a 1≥1e，解得 a≥e－1 1.故实数 a 的取值范围[e－1 1，＋∞). ··················12 分
【点拨】 利用分离参数法确定不等式 f(x，λ)≥0(x∈D，λ 为参数)恒成立问题中参 数范围的步骤：
(1)将参数与变量分离，化为 f1(λ)≥f2(x)或 f1(λ)≤f2(x)的形式； (2)求 f2(x)在 x∈D 时的最大值或最小值； (3)解不等式 f1(λ)≥f2(x)max 或 f1(λ)≤f2(x)min，得到 λ 的取值范围．
(2)由(1)知，f(x)＝ex＋x，所以 f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)， 即为 f(x1)－mx21－x1<f(x2)－mx22－x2， 由 x2>x1>0 知，上式等价于函数 φ(x)＝f(x)－mx2－x＝ex－mx2 在(0，＋∞)为增函数， φ′(x)＝ex－2mx≥0，即 2m≤exx， 令 h(x)＝exx(x>0)，h′(x)＝ex(xx－2 1)， 当 0<x<1 时，h′(x)<0 时，h(x)单调递减； 当 x>1 时，h′(x)>0，h(x)单调递增，h(x)min＝h(1)＝e， 则 2m≤e，即 m≤2e，所以实数 m 的范围为(－∞ 若不等式 2x ln x≥－x2＋ax－3 在区间(0，e]上恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：不等式 2x ln x≥－x2＋ax－3 在区间(0，e]上恒成立等价于 2ln x≥－x＋a－3x， 令 g(x)＝2ln x＋x－a＋3x，x∈(0，e]，则 g′(x)＝2x＋1－x32＝x2＋x22x－3＝(x＋3x)(2x－1)， 则在区间(0，1)上，g′(x)<0，函数 g(x)为减函数； 在区间(1，e]上，g′(x)>0，函数 g(x)为增函数． 由题意知 g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得 a≤4，所以实数 a 的取值范围是(－∞，4].
高中数学：《不等式恒成立问题》课件
分析：对比变式（1），
将x看成参数引入函数
g(m) (m2)x2 2(m2)x4 (x2 2x)m 2x2 4x 4
由题意，以上函数图像在
m[1,1] 部分的位于x轴下
方，如图 ：
于是只须：g(1) 0 g(1) 0 解略；
xy
x y4
例2：1已知4 两 m个正0 变量 ， ，满m足
1
a
x
“利用最值 数形结合”
（a 1情况相同）
＊（0k9年上海，11）当
0 x 1时 不等式
sin
x
2
kx
成立，则实
数 的取值范围是___________.
分析：利用引入函数，数形结合，
令
y1
x
s在in 区2 间
0y，12 上k的 x 函数值，y1
y2
由题意，
在0，1的部分
2 m 2
解得 2 m 2 综上
f (x) (m2)x2 2(m2)x 4
(m2)x22(m2)x40 xR
若不等式
对 恒成立，则m的
取值范围
（）
变式（1）：若不等式
对
恒成立，求m的(m取值2)x范2 围2(。m2)x40
x [1,1]
， (Ⅰ) 略
(Ⅱ)如果任意 ,
,求 的取值范围。
分析： (Ⅱ)由题意，即 f (x)min 2 由绝对值的几何意义，| x 1| | x a |
表示数轴上的动点到1与a的距离之和，
结合图形f (x)min a 1 可知：
1
x
a
| a 1| 2
x
1
高考理科数学一轮复习不等式全套课件
【互动探究】
比较1816与1618的大小.
解：11861168＝1186161162＝9816 1216＝8 9 216.
∵ 8
9
2∈(0,1)，∴8
9
216＜1.∵1618＞0，∴1816＜1618.
易错、易混、易漏 ⊙忽略考虑等号能否同时成立 例题：设 f(x)＝ ax2＋bx，1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2) 的取值范围. 正解：方法一，设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系 数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b). 即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 则有mn－＋mn＝ ＝4－，2. 解得nm＝＝13.，
ac＞＞db＞＞00⇒ac_＞___bd
⇒
可乘方性 可开方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) a，b 同为正数
a>b>0⇒ n a > n b (n∈N，n≥2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.(2014 年四川)若 a>b>0，c<d<0，则一定有( B )
ab A.d>c
ab B.d<c
ab C.c>d
解析：令 x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题意 x>y， a>b.
因为 a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，所以 a－x ＝b－y.故①不成立；
因为 ax＝－6，by＝－6，所以 ax＝by.故③也不成立； 因为ay＝－33＝－1，bx＝－22＝－1，所以ay＝bx.故⑤不成立.
答案：B
(2)在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，公比q≠1.则( ) A.a1＋a8>a4＋a5 B.a1＋a8<a4＋a5 C.a1＋a8＝a4＋a5 D.不确定
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
解析：选B.任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油
+
+
价为元/升，第一种方案的均价：
=
≥ ；第二种方案的
均价： =
≤ .所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故
+
+
��
选B.
2.设等差数列{ }的公差为,其前项和是 ,若 = =
+
− +
+
+
= + ，即 =
=
+
+
，
−
+
<<
，
+ − ≥ − = ，当
= 时，取等号，故 + 的最小值为2.
方法三：因为 + + = ，所以 + + = ，所以
+ 取得最小值
⑧_____.
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.
1.
+ ≥ （,同号）.
+
2. ≤
+
3.
4.
≥
+
, ∈ .
+
≥
+
≥
, ∈ .
> , > .
1.函数 =
+
+ + ，
+ + − ≥ ，即
+ + + − ≥ ，解得 + ≥ ，
基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(
A．y＝x(4－x)
1
C．y＝ +
B．y＝
1
(0＜x＜1)
1−
)
2 +9
2 +5
D．y＝ +
4
(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小
是(
)
2 +2
B．ab≤
2
2 + 2
+ 2
C．
≥
2
2
A．
+ ≥2
BC
[当 <0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．]
D．
2
≤
+
4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18
15
15
m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
2
1
2
1
于是得
+
＝1＋ ＋2＋ ＝3＋
−1
−1
−1
−1
−1
＝3＋2
1
2
2，当且仅当 ＝ ，
−1 −1
2
2
即x＝1＋ ，y＝1＋ 2时取“＝”，
2
+
的最小值为3＋2
−1
−1
高考数学一轮复习课件：专题四函数、不等式中的恒成立问题
(2)若∃x∈[－3,3]，使得 f(x)≤g(x)成立，求实数 k 的取值 范围；
(3)若对∀x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求实数k的取 值范围.
解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，
问题转化为x∈[－3,3]时，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0， x∈[－3,3].
专题四 函数、不等式中的恒成立问题
近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点 是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、 渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化 等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除 了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题 的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生恐惧心理.本 文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.
与最值的关系 ∀x∈D，f(x)min＞M ∀x∈D，f(x)max＜M ∀x∈D，f(x)max＞M ∀x∈D，f(x)min＜M ∀x∈D，[f(x)－g(x)]min＞0 ∀x∈D，[f(x)－g(x)]max＜0 ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)max
∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)min ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)max ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)min
(2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)设g(x)＝x2－2x，对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]， 使得f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围.
解：(1)f′(x)＝ax－(2a＋1)＋2x(x>0)， 依题意，得 f′(1)＝f′(4)，解得 a＝12. (2)f′(x)＝ax2－2ax＋1x＋2＝ax－1xx－2(x>0). ①当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减 区间为(2，＋∞)； ②当 0<a<12时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)和1a，＋∞， 单调递减区间为2，1a；
(3)若对∀x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求实数k的取 值范围.
解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，
问题转化为x∈[－3,3]时，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0， x∈[－3,3].
专题四 函数、不等式中的恒成立问题
近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点 是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、 渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化 等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除 了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题 的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生恐惧心理.本 文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.
与最值的关系 ∀x∈D，f(x)min＞M ∀x∈D，f(x)max＜M ∀x∈D，f(x)max＞M ∀x∈D，f(x)min＜M ∀x∈D，[f(x)－g(x)]min＞0 ∀x∈D，[f(x)－g(x)]max＜0 ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)max
∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)min ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)max ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)min
(2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)设g(x)＝x2－2x，对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]， 使得f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围.
解：(1)f′(x)＝ax－(2a＋1)＋2x(x>0)， 依题意，得 f′(1)＝f′(4)，解得 a＝12. (2)f′(x)＝ax2－2ax＋1x＋2＝ax－1xx－2(x>0). ①当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减 区间为(2，＋∞)； ②当 0<a<12时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)和1a，＋∞， 单调递减区间为2，1a；
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：一元二次方程、不等式
(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集.
不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，
因为 a<0，所以不等式可化为x＋2a(x－4)<0， 当 4<－2a，即－12<a<0 时，原不等式的解集为4，－2a； 当 4＝－2a，即 a＝－12时，原不等式的解集为∅； 当 4>－2a，即 a<－12时，原不等式的解集为－2a，4.
根x1＝x2＝－2ba
没有实数根
不等式的解集 __{_x_|x_<_x_1_，__或__x_>_x_2}__
{x|x≠－ b }
R
2a
知识梳理
2.分式不等式与整式不等式
(1)
fx gx
>0(<0)⇔
f(x)g(x)>0(<0) ；
(2)
fx gx
≥0(≤0)⇔
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 .
对应的方程(mx－2)(x－1)＝0 的两根为m2 和 1， 当 0<m<2 时，m2 >1，解得 1<x<m2 ； 当 m＝2 时，m2 ＝1，原不等式无解； 当 m>2 时，m2 <1，解得m2 <x<1. 综上所述，当 0<m<2 时，原不等式的解集为1，m2 ；
当m＝2时，原不等式的解集为空集； 当 m>2 时，原不等式的解集为m2 ，1.
4.(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方
程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是
A.α<m<n<β