随机微分方程及其受噪声干扰的影响

随机微分方程及其受噪声干扰的影响
在现实生活中，有时会发生一些突然地变化，比如建筑工程，生物工程，经济，人口等系统。

在事物发展过程中，有一些是事物内在，或者环境发生变化时，产生的不确定性，称为随机系统。

随着社会的不断发展，往往由于一些不确定的噪声因素，会发现一些确定性的脉冲微分方程不足以严格的描述某个模型，从而引入了具有不确定性的随机微分方程。

它在科学领域和工业发展上起到很重要的角色，因为它更加能够准确的阐述现实生活中的突变和随机因素。

因为噪声的随机性和不确定性，难以表达出随机微分方程的解，研究随机微分方程精确解和数值解的性质就被凸显出来。

在随机微分系统中，噪声和概率分布联系起来，从而产生许多意义下的收敛性和稳定性。

现讨论噪声干扰对随机微分方程的一方面的影响：能够抑制微分方程的指数增长，使它变为多项式增长。

1、随机微分方程发展
1997 年，毛学荣提出随机微分方程
d x (t ) =f (x (t ),t )d t +g (x (t ),t )d B (t )
漂移项和扩散项满足全局李普希兹条件和线性增长条件条件时，随机微分方 程应用Euler-Maruyama 是收敛的。

Saito 和Mitsui 在1996 年考虑了带有多维噪音的随机微分方程均方稳定性，随着进一步的研究，在2000 年Higham 提出了如果漂移项的增长超过这个范围时，A-Stability 是可以保持的。

2000 年Bucwark 等人研究随机延迟微分方程的方法的收敛性。

在2002年Higham 等人进一步研究提出减弱了条件，把全局Lipschitz 改为局部Lipschitz ，同时方程解的p 阶矩有界，证明了非线性随机微分方程应用Euler-Type 方法的强收敛性。

在2003年Higham 和Mao 等人研究了随机微分方程数值解的收敛条件和稳定性条件的关系，并且给出了非线性随机微分方程应用Backward-Euler 方法均方指数稳定的充分条件。

同年Mao 中证明随机延迟微分方程应用于Euler-Maruyama 方法是收敛的。

Higham 等研究了带有泊松跳的随机微分方程，通过泰勒法则给出了更弱的条件，使其应用Euler-Maruyama 方法收敛。

2009年Mao Wei 构造了一种特殊的划分，采用方法证明了数值解的相容性和收敛性。

2012年Song Minghui 和Yu Hui 进一步研究带有泊松跳的随机延迟微分方程，并在不满足全局Lipschitz 时，也证明了收敛性。

对于一个常微分方程系统
()((),)dx t f x t t dt =
它的解可能是稳定的，也有可能不是稳定的。

噪声干扰可以使一个不稳定的系统变得稳定，也可以使一个稳定的系统变得更加稳定。

对系统（1.1）加入一个干扰后，转化为随机微分方程系统
()((),)((),)(t)dx t f x t t dt g x t t dB =+
当上述随机微分方程系统的系数满足李普希茨条件和线性增长条件时，介绍它的一些增长性变化。

2、 基本记号与概念
定义 2.1 设(Ω,F ,P)是一个概率空间，如果满足
(i) 由F 的子集构成的σ域；
(ii) 当∞<<≤s t 0时，F F F s t ⊂⊂；
则称0}{≥t t F 为流。

注：若s t s t F F >⋂=，则0}{≥t t F 是右连续的。

满足右连续且F 0 包含所有零测集称作带流的完备概率空间满足一般条件。

定义 2.2 (Ω,F ,P)是完备的概率空间，是该空间上的流，一族定义在(Ω,F ,P)上的随机变量，称为在状态空间R d 和示性空间I 上的随机过程。

如果对于每个0≥t ，X t 都是F t 可测，那么是F t 适应的。

定义 2.3 (Ω,F ,P)是概率空间，如果B (t )满足
(i) B (t )是实值连续且 F t 可适应的随机过程；
(ii) B (0) =0；
(iii) 对于∞<<≤s t 0, B (s )-B (t ) ~ N (0, s - t )；
(iv) 当∞<<≤s t 0时, B (t )-B (s )关于F s 独立；
那么称B (t )为一维布朗运动。

定理2.1（解的存在性与唯一性定理） 假设存在两个正常数K 和K 满足
（1）（李普希茨条件）对于所有的R y x ∈,和],[0T t t ∈,有下面式子成立
222|||),(),(||),(),(|y x K t y g t x g t y f t x f -≤-∨-
（2）（线性增长条件）对于所有的,有下面式子成立
)||1(|),(||),(|222x K t x g t x f +≤∨
则方程（1.1）存在唯一的解)(t x ,且)],,([)(02R T t M t x ∈.
定理2.2 在单边线性增长条件成立的情况下，方程[1.1]的样本Lyapunov 指数应该是不大于α的，也就是
α≤∞→|)(|log 1sup lim t x t
t ..s a 其中
|)(|log 1sup lim t x t
t ∞→ 称为样本Lyapunov 函数。

单边线性增长条件为：存在正数α，对所有的),[),(0∞⨯∈t R t x ，有
)||1(|),(|2
1),(22x t x g t x f x T +≤+α 成立。

3、噪声干扰对微分方程的影响
给定如下随机微分方程
()((),)((),)(t)dx t f x t t dt g x t t dB =+ (1.3)
其中与都是Borel 可测函数。

并且满足((0),0),((0),0)f x g x 。

在这里，我们假设所给出的方程都是满足解的存在性与唯一性定理的。

即存在两个正常数K 和K 满足
（1）（李普希茨条件）对于所有的R y x ∈,和],[0T t t ∈,有下面式子成立
222|||),(),(||),(),(|y x K t y g t x g t y f t x f -≤-∨-
（2）（线性增长条件）对于所有的,有下面式子成立
)||1(|),(||),(|222x K t x g t x f +≤∨
下面介绍噪声干扰可以抑制给定系统的指数增长，使它变为多项式增长的。

假设3.1 假设两个系数f 和g 都满足局部李普希茨条件，也就是说，对于每一个 ,2,1=k 存在一个正数H K ,使得
|||),(),,(||),(),(|y x H t y g t x g t y f t x f k -≤∨-
对所有的0≥t 均成立，并且k y x R y x ≤∨∈||||,,.
假设3.2 假设存在非负常数γηβα和,,，满足
2||),(,x t x f x βα+≤〉〈
和
22|||),(|x t x g γη+≤
对所有的+⨯∈R R t x ),(均成立，则存在常数T ，使得
)||1(|),(|2
1),(22x T t x g t x f x T +≤+
, (其中)21,21max(γβηα++=T ). 定理3.1 令假设3.1,3.2都成立，并且假设还存在两个正常数ρδ和，使得对所有的+⨯∈R R t x ),(，有
24|(,)|||T x g x t x δρ≥-。

如果有γβδ2
1+>成立，则方程（1.3）的解将会满足
γ
βδδ--≤∞→22log |))(log(|sup lim t t x t ..a s
例1 对于随机微分方程
()((),)((),)(t)dx t f x t t dt g x t t dB =+ (1.3)
如果我们定义
(,)f x t a bx =+
和
(,)g x t x δ=
其中(,)x t R R +∈⨯,()B t 是一个标量布朗运动。

则在这种情况下，我们可以得到
222|(,)|g x t x δ=
和
224|(,)|xg x t x δ=
对于任意小的0ε>,有
2(,)T x f x t ax bx =+ 2
22()a b x εε≤++
则由定理（3.1），我们可以得到该方程的解满足
2
2log(|()|)sup log 2()lim t x t t b δδε→∞
≤-+ ..a s 令0ε→我们可以得到
2
2log(|()|)sup log 2lim t x t t b δδ→∞
≤- ..a s 也就是说方程的解依多项式增长。