人教A版高二上数学期中考试卷(必修5+选修2-1第一二章)
必修5+选修2-1第一二章
班级 姓名 得分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
1、在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于 （ ）
A 、11
B 、12
C 、13
D 、14
2、．在△ABC 中，A=45o ，B=30o ， b=2，则a 的值为 （ ）
A 、4
B 、22
C 、3
D 、 3
3、不等式0)2)(1(≤-+x x 的解集是 （ ）
A 、),2[]1,(+∞--∞U
B 、]2,1[-
C 、),2()1,(+∞--∞U
D 、)2,1(-
4、已知,,d c b a >>且d c ,不为0，那么下列不等式成立的是 （ ）
A 、bc ad >
B 、bd ac >
C 、d b c a ->-
D 、d b c a +>+
5、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）
A 、64
B 、30
C 、 31
D 、 15
6、等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为 （ ）
A 、 81
B 、120
C 、168
D 、192
7、等差数列}{n a 的前2项和为30，前4项和为100，则它的前6项和是 （ ）
A 、130
B 、170
C 、210
D 、260
8、当1≥x 时，不等式042≥--ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）
A 、]4,(--∞
B 、]3,(--∞
C 、),4[+∞-
D 、),3[+∞-
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分。
9、命题“存在02,00≤∈x R x ”的否定是
10、在锐角ABC ∆中，三边c b a ,,所对的角分别为A 、B 、C ，已知,2,32==b a ABC ∆的面积3=S ，则角C =
11、椭圆19
252
2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为
12、若抛物线218
y x =上一点M 到焦点的距离为5，则点M 的纵坐标是 13、设实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x z +=2的最大值是
14、已知数列}{n a 满足)(2,1*11N n a a a n n ∈+==+则=+⋯⋯++-n
n a a a a a a 13221111 15、某校要建造一个容积为48003
m ，深为3m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120元，那么水池的最低总造价为 元。
三、解答题：本大题共6小题，满分75分。
请写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16、求椭圆400251622=+y x 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标。
17、已知在等差数列{}n a 中，5,1152==a a .
（1）求通项公式n a ； （2）求前n 项和n S 的最大值。
18、一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角α+︒45的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）
19、已知点P （3，4）是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上的一点，12,F F 为椭圆的两焦点，若12PF PF ⊥，试求： （1）椭圆的方程； （2）21F PF ∆的面积。
20、已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点；
（1）求证：OB OA ⊥ （2）当OAB ∆的面积等于10，求k 的值。
21、已知}{n a 为各项都为正数的等比数列，,256,151==a a 为等差数列}{n b 的前n 项和，85125,2S S b ==
（1）求}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）设n n n b a b a b a T +⋯⋯++=2211，求n T。
人教A版高中数学必修五高二上学期期中考试试题(图片版).docx
2015—2016学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷答案及评分标准（仅供参考）一．选择题：D B C D B A B C C B C A二．填空题: 13. 9-； 14.191822=+y x ； 15.6-； 16. 3[5 三．解答题：（解答题每题仅给出一种解法，其它解法参照等价步骤赋分） 17.解：命题p ：012>++ax ax 恒成立当=0a 时，不等式恒成立，满足题意 ………2分当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a << ∴:p 04a ≤<………4分 命题q ：28200a a +-<解得102a -<< ………6分 ∵p q ∨为真命题，p q ∧为假命题 ∴,p q 有且只有一个为真 即：04102a a a ≤<⎧⎨≤-≥⎩或 或04102a a a <≥⎧⎨-<<⎩或 ………8分解得100a -<<或24a ≤< ………10分 18.解：（Ⅰ）根据题意可得数列{}n a 的前n 项和为：()S 2n n n =+，………2分当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+当1n =时，11S 3a ==适合上式，因此*21()n a n n N =+∈ ………4分（2）由（1）可得21=33n n n n a n c +=∴1231357212133333n n n n n S --+=+++++L 12213572121313333n n n n n S ---+=+++++L ∴2312222212333333n n n n S -+=+++++-L =121(1)213331313n nn --++--=2443n n +-． nn n S 322+-=∴ ………12分 19．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为()222210y x a b ab+=>>由短轴长为4，得24b =，则2b =； ……1分=a=……3分所以所求椭圆的标准方程为22154yx+=……4分（Ⅱ）由22154yx+=知该椭圆的左焦点为()1,0F-，设l的方程为()1y k x=+，点()()1122,,,M x y N x y由()221154y k xyx=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222245105200k x k x k+++-=则2212122210520,4545k kx x x xk k--+==++……7分于是)221||45kMNk+==+又MN=则)22145kk+=+，即2212945kk+=+，即21k=，解得1k=±……11分所以直线l的方程为1y x=+或1y x=--……12分20.解：（1）当1m=-时，原不等式的解集为1{}4x x≥……2分（2）当1m<-时，原不等式的解集为{x x x≥≤……5分（3）当13m-<<时，原不等式的解集为{x≤≤……8分（4）当3m=时，原不等式的解集为1{}2x x=……10分（5）当3m>时，原不等式的解集为∅……12分21．解：（Ⅰ）Q0211=⋅+---nnnnaaaa，两边同除以1n na a-⋅得1112(2)n nna a--=≥，即数列1{}na是等差数列，首项111a=，公差2d=……3分121n n a ∴=-，即121n a n =- ……5分 （Ⅱ）121(21)(21)n n a b n n n ==+-+111()22121n n =--+ 1111[(1)()2335n T ∴=-+-++L 1111()](1)212122121nn n n n -=-=-+++……8分 由题意22(21)(3)n T n m n +≤+即22233n m n n n≥=++对于所有n N *∈都成立， 设23n c n n=+即max ()n m c ≥ ……10分Q 函数3y x x=+在上是减函数，在)+∞上是增函数，故数列{}n c 从第二项起递减，而112c =，247c =∴满足题意的实数m 的取值范围为47m ≥.……12分 22.解：（Ⅰ）2BC AC =Q 且BC 过点(0,0)，则OC AC =90OCA ∠=o Q,C ∴ ……2分由题意知，a =M 的方程为222112x y b +=将点C 代入椭圆方程222112x y b+=，解得24b = ∴椭圆M 的方程为221124x y += ……4分（Ⅱ）由题意知(0,2)D -，设直线l 的斜率为k当0k =时，显然22t -<< ……6分 当0k ≠时，设直线:l y kx t =+联立221124x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得222(13)63120k x ktx t +++-=由0∆>可得：22412t k <+ ① ……8分设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 的中点为00(,)H x y则12023213x x kt x k +==-+，00213ty kx t k =+=+ 223(,)1313kt tH k k ∴-++ ……10分Q DP DQ =，DH PQ ∴⊥,则1DH k k=-2221133013tk kt k k ++∴=---+，化简得213t k =+ ② 由①②得14t <<综上所述，(2,4)t ∈- ……12分。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线与轴交于点，把 绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2. 下列直线与直线平行的是( )A.B.C.D.3. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（ ）A.B.C.D.l :x −y +2=03–√x A l A 45∘m m αcos α=−+6–√2–√4−2–√6–√4+6–√2–√4−6–√2–√4x −2y +1=02x +y −1=0x +2y −1=02x −y −1=0x −2y −1=0△ABC D AC E BC =BE −→−13EC −→−AE BD O =AO −→−+25AB −→−45AC −→−AB +3515AC −→−+15AB −→−35AC −→−+25AB −→−25AC −→−4. （重庆南开中学二诊）已知为椭圆的一个焦点，且该椭圆的焦距为，若是过椭圆中心的弦，则面积的最大值是（ ）A.B.C.D.5. 在坐标平面内，过点且与点距离相等的直线方程是( )A.B.C.D.或6. 已知直线与单位圆相交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 如图，在长方体中，，，，为的中点，则直线与平面所成角的大小是( )A.B.F +=1(0<m <25)y 225x 2m 4AB △FAB 612421−−√221−−√P (−1,2)A (2,3),B (−4,5)x +3y −5=0x +3y −7=0x =−1x +3y −5=0x =−1l O A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2O l 3–√2|+|+|+|x 1y 1x 2y 2[,]6–√26–√[,]3–√6–√[,]6–√23–√[,]2–√3–√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AD =1A =A 12–√E C 1D 1BE ABB 1A 1π6π4πC.D. 8. 已知、分别是双曲线：＝的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若（+）•＝，且周长最小值为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若的焦点为，则( )A.B.C.D.10. 在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为( )A.B.C.D.11. 已知椭圆的焦距为，则 A.π3π2F 1F 2C 1(a >0,b >0)P y Q 0△P Q F 24C 2(−2，0)23C :=4x y 2M ，N C F ⋅=FM −→−FN −→−5678xOy y =kx −21C :+−8x +15=0x 2y 2k 34233243+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√B.C.D.12. 在直角坐标系中，定义两点，之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，，，则为定值；②用表示，两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知，，三点不共线，则必有.(参考公式：) 则说法正确的是( )A.②③B.①④C.①②D.①②④卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知实数，，成等差数列，点在动直线（，不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则线段长度的最大值是________．14. 设椭圆的焦点为 ，， 点在椭圆上，若 是直角三角形， 的面积为________．15. 在三棱柱中，底面，底面为正三角形，是的中点，若半径为的球与三棱柱的三个侧面以及上、下底面都相切，则________；若直线与球的球面交于两点，，则________．16. 已知点是椭圆 上的一点， 分别为椭圆的左、右焦点，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.37749P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2d(P,Q)=|−|+|−|x 1x 2y 1y 2P(1,3)Q(x,x)sin 2cos 2x ∈R d(P,Q)|PQ |P Q |PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2O d(P,Q)2–√P Q R d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)+≥(a +b a 2b 212)2a b c P(−3,0)ax +by +c =0a b M N (2,3)MN +=1x 24y 23F 1F 2P △PF 1F 2△PF 1F 2ABC −A 1B 1C 1A ⊥A 1ABC ABC D BC 1O ABC −A 1B 1C 1BC =D A 1O M N MN =P +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2，F 1F 2∠P =F 1F 2120∘|P |=2|P |F 1F 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.18. 已知点在圆上．求该圆的圆心坐标及半径长；过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.求椭圆的标准方程；直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.21. 已知正方形，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为．证明：平面；若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x (2,−3)C :+−8x +6y +m =0x 2y 2(1)(2)M (−1,1)−43l C A B AB +=1x 227y 236(,4)15−−√C :+=1(a >)x 2a 2y 233–√A 1A 2P C A 1A 2PA 1PA 2−34(1)C (2)l F 2C M N M N A 1l x +=−k M A 1k N A 1k MN |MN|ABCD E F AB CD △ADE DE A −DE −C θ(0<θ<π)(1)BF //ADE (2)△ACD A BCDE G EF θF 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】设的倾斜角为，则，∴由题意知∴故选：．2.【答案】D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.【解答】解：由题意，直线的斜率为，直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.故选.1θtan θ=3–√θ=60∘α=θ−=−45∘60∘45∘cos α=cos(−)=cos cos +sin sin sin 60∘45∘60∘45∘60∘45∘45∘=×+×=+122–√23–√22–√22–√44–√C x −2y +1=0122x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D3.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】设，，将分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出【解答】解：依题意，设，，则同理，所以 解得 所以．故选．4.【答案】D=λBO −→−OD −→−=μAO −→−AE −→−||AO −→−λμλμλμAO−→−=λBO −→−BD −→−=μAO −→−AE −→−=μ=μ(+)AO −→−AE −→−AB −→−BE −→−=μ(+)AB −→−14BC −→−=μ[+(−)]=+AB −→−14AC −→−AB −→−3μAB −→−4μ4AC −→−=+=+λAO −→−AB −→−BO −→−AB −→−BD −→−=+λ(−)=+λ(−)AB −→−AD −→−AB −→−AB −→−12AC −→−AB −→−=(1−λ)+AB −→−λ2AC −→− =1−λ,3μ4=,μ4λ2 λ=25μ=45=+AO −→−35AB −→−15AC −→−B椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】由已知得，所以椭圆方程为．设，的横坐标分别为，，则，即当点与点到轴的距离的和最大时，的面积取得最大值，所以当线段为椭圆短轴时，面积最大，此时最大值为，故选．【方法点拨方法点拨】求解本题的关键：一是会用待定系数法求出椭圆的标准方程；二是会转化，把所求的三角形面积的最值问题转化为两动点到轴距离的和的最值．本题考查椭圆的图象和性质、最值问题．5.【答案】D【考点】点到直线的距离公式【解析】当直线为时，满足条件，因此直线方程可以为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，可得，解出即可得出．【解答】解：①当所求直线方程为时，到点距离相等，∴所求直线方程为.②当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为：，整理得：，∴，整理得：，解得：，∴所求直线方程为：，即.综上，所求直线方程为：或．故选．6.c =2,m =25−=2122+=1y 225x 221A B x A x B =|OF|⋅(||+S △FAB 12x A ||)=||+||x B x A x B A B y △FAB AB △FAB |OF||AB|=×12122×2=221−−√21−−√D y l x =−1l x =−1l l y −2=k (x +1)=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k 2−−−−−√x =−1A (2,3)，B (−4,5)x =−1y −2=k (x +1)kx −y +k +2=0=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k2−−−−−√|3k −1|=|3k +3|k =−13y −2=−(x +1)13x +3y −5=0x +3y −5=0x =−1DA【考点】直线与圆相交的性质直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】17.【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】取的中点，连接，，则为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的大小．【解答】解：如图，取的中点，连结，，则为直线与平面所成的角．由题意可得，，则，故.即直线与平面所成角的大小是．故选.8.【答案】BA 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A 1BE ABB 1A 1A 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A1EF =AD =1BF ==2+1−−−−√3–√tan ∠EBF ===EF BF 13–√3–√3∠EBF =π6BE ABB 1A 1π6A双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】抛物线的性质数量积的坐标表达式直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，抛物线的焦点的坐标为，该条直线的方程为，联立得解得两点坐标分别为，所以.故选.10.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系F (1，0)y =x +2343y =x +，2343=4x ，y 2M ，N (1,2)，(4,4)⋅=8FM −→−FN −→−D圆化成标准方程，得圆心为且半径，根据题意可得到直线的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式建立关于的不等式，解之得，即可得到的最大值．【解答】解：由题意，圆的方程为，整理，得，则圆心为，半径．又直线上至少存在一点，使以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，即，化简，得，解得，故的最大值是．故选．11.【答案】C【考点】椭圆的应用椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.12.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用进行简单的合情推理两点间的距离公式C C(4,0)r =1C y =kx −22k 0≤k ≤43k C +−8x +15=0x 2y 2(x −4+=1)2y 2C(4,0)r =1y =kx −21C C y =kx −22≤2|4k −0−2|+1k 2−−−−−√3−4k ≤0k 20≤k ≤43k 43D =m −6=1c 2m =7C先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：①若，，则为定值，故①正确；②表示，两点间的“直线距离”，那么，即，故②正确；③已知为直线上任一点，设，，则，表示数轴上的到和的距离之和，其最小值为，故③不正确；④∵，，三点不共线，且，故，故④正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】实数，，成等差数列，可得，于是动直线（，不同时为零）化为：，即，利用直线系可得：动直线过定点：．因此点在以为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段的中点：，半径．则线段长度的最大值．【解答】解：∵实数，，成等差数列，∴，∴动直线（，不同时为零）化为：，变形为，令，解得．∴动直线过定点：．∴点在以为直径的圆上，圆心为线段的中点：，半径．∴线段长度的最大值．故答案为：．P(1,3)Q(x,x)(x ∈R)sin 2cos 2d(P,Q)=|1−x |+|3−x |=4−(x +x)=3sin 2cos 2cos 2sin 2|PQ |P Q |PQ =|−+|−≥(|−|+|−||2x 1x 2|2y 1y 2|212x 1x 2y 1y 2)2|PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2P(x,x +2)O(0,0)d(P,Q)=|−|+|−|=|x |+|x +2|x 1x 2y 1y 2x −202P Q R d(Q,R)>0d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)D 5+5–√a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r MN =|CN |+r a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0{2x +y =0y +2=0{x =1y =−2l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r ==+122−−−−−√5–√MN =|CN |+r =+=5++3242−−−−−−√5–√5–√5+5–√14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：当点为椭圆的上顶点时， 最大，根据椭圆的标准方程可求得 ,∴ 不可能是直角；∴只能是 轴，或 轴； 带入椭圆的标准方程可得；．故答案为：．15.【答案】,【考点】点到直线的距离公式多面体的内切球问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过作与垂直的平面与三棱柱的棱，，分别交于点，，，对应圆与相切于点，32P ∠P F 1F 2∠P =F 1F 260∘∠P F 1F 2P ⊥x F 1P ⊥x F 2x =1y =±32=×2×=S △PF 1F 21232323223–√439−−√13(1)O AA 1ABC −A 1B 1C 1AA 1BB 1CC 1A 2B 2C 2O A 2B 2Q在中，因为，，所以，从而；过和作平面与交于点，如图，以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，，的方程为，设的中点为，则，所以．故答案为：；．16.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】Rt △OQ A 2OQ =1∠O Q =A 230∘Q =A 23–√BC ==2A 2B 23–√AA 1D B 1C 1D 1(2)A AD AA 1x y (0,2)A 1D (3,0)O (2,1)D A 12x +3y −6=0MN G OG ==|2×2+3×1−6|13−−√113−−√MN =2MG =2=1−113−−−−−−√439−−√1323–√439−−√13此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.18.【答案】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y2x 2BDy +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k 23+4k 2BD x (1，0)(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l ==|4×4+3×(−3)+1|，所以弦长．【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．19.【答案】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．【考点】椭圆的标准方程双曲线的标准方程d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25【解析】【解答】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．20.【答案】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A 2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m +=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297MN|=|−|=⋅=24故．【考点】椭圆的标准方程斜率的计算公式圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，故．21.|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m+=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247【答案】证明：分别为正方形的边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面内找到与直线平行的直线就可以了，易证四边形为平行四边形；（2）判断点在平面内的射影是否在直线上，可以从两种角度去思考：方法一：过点作垂直于平面，垂足为，然后证明射影在直线上．方法二：连接，在平面内过点作，垂足为．然后再证明平面，即为在平面内的射影．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由前面“判断点在(1)E ，F ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4ADE BF EBFD A BCDE G EF A AG BCDE G G EF AF AEF AG'⊥EF G'AG'⊥BCDE G'A BCDE G A BCDE G AG ⊥BCDE G GH平面内的射影是否在直线上”可知：平面，所以过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即【解答】证明：分别为正方形得边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，BCDE G EF AG ⊥BCDE G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ(1)EF ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=02即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
高中数学人教A版选修2-1高二上学期期中试题(数学).docx
2011-2012学年度第 一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：（每小题5分，共50分）1、{}(){}=12,30,x x N x x x -<=-<设集合M 那么“""a M a N ∈∈是“的 A 、必要而不充分条件 B 、充分而不必要条件 C 、充分必要条件 D 既不充分也不必要条件2、圆221:20O x y x +-=与圆222:40O x y y +-=的位置关系是A 、相离B 、相交C 、外切D 、内切3、甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90的样本，应在这三校中分别抽取学生A 、30人，30人，30人B 、30人，45人，15人C 、20人，30人，40人D 、30人，50人，10人4、某班甲、乙两组学生数学期中考试的成绩的茎叶图如图，设甲、乙组的中位数分别为12,x x ，甲、乙两组方差分12,,D D 别为则 A 、1212,x x D D << B 、1212,x x D D >> C 、1212,x x D D <> D 、1212,x x D D ><5、下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是6、函数()1xf x x =+的最大值为 A 、25 B 、12C 22、D 、17、在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项为3，前3项和为21，则345a a a ++= A 、33 B 、72 C 、84 D 、1898、某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 A 、10200y x =-+ B 、10200y x =+ C 、 10200y x =-- D 、10200y x =- 9、ABC A B C a b c ∆在中，内角、、的对边分别为、、,且2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为A 、直角三角形B 、等腰直角三角形C 、等腰或直角三角形D 、等边三角形 10、已知函数()21(,)f x x x ax x a R =-+∈有下列四个结论： （1）当()0a f x =时，的图象关于原点对称； （2）()21;fx a -有最小值（3）若()21;y f x y a ===的图象与直线有两个不同的交点，则 （4）若()0.f x R a ≤在上是增函数，则其中正确的结论为 A 、（1）（2） B 、（2）（3） C 、（3） D 、（3）(4)第二部分非选择题(共 100分)二、填空题（每小题5分，共20分）11、某算法的程序框图如图所示，若输出结果为12， 则输入的实数x 的值是______;12、2221020x y x x y +--=+-=圆关于直线对称的圆的方程是_________;13、有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆 柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到 点O 的距离大于1 的概率为________; 14、已知下列三个命题：（1）a 是正数；（2）b 是负数；（3）+a b 是负数； 选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命 题是真命题的命题_____.三、解答题（共80分）15、（本小题满分12分） 已知向量()()sin ,cos 3,1,0,2a b πθθθ==∈与其中（，）（1）若a ∥,sin cos b θθ求和的值； （2）若()()()2,f a b f θθ=+求的值域.16、（本小题满分12分）某校从参加高二级期中考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，…，[]90,100.后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60分以上为及格）;若统计方法中，同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； （3）从成绩是[][]40,5090,100和分的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率. 17、（本小题满分14分） 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， AD 1AA =1= 2AB =(1)证明：当点11E E A D ⊥在棱AB 上移动时，D ; (2)（理）在棱AB 上是否存在点1,6E EC D π--使二面角D 的平面角为？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由.（文）在棱AB 上E 否存在点，使1,CE D DE ⊥面若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 函数的定义域为A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.A ={x ∈Z||x|<5}B ={x|≥4}2x A ∩B =(2,5)[2,5){2,3,4}{3,4,5}y =12+x −x 2−−−−−−−−−√lg(2x −2)()(1,)∪(,4]3232(1,4][−3,4][−3,)∪(,4]3232434C.D.4. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（ ）A.B.C.D.5. 命题：，的否定是( )A.，B.，C.，D.，6. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列命题中，真命题是（ ）A.函数＝的周期为B.，223(1)(2)12cm 9cm 18c 2–√m 36cm7cm8cm9cm∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x ≤0−x −2≤0x 2∃≤0x 0−−2≤0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2∃>0x 0−−2≤0x 20x 0x <2lg(x −1)<0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数 8. 在中，角，，所对的边是，，，若，且，则等于( )A.B.C.D.9. 等比数列中，若，，则其前项的积为( )A.B.C.D.10. 瑞士数学家欧拉（）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心﹑重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )．A.B.C.D.11. ""是"方程 表示的曲线为椭圆"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件a +b 0y ln△ABC A B C a b c c ⋅cos B =b ⋅cos C cos A =23sin B 6–√63–√2130−−√6{}a n +=a 1a 294+=18a 4a 556481192243LeonhardEuler 1765△ABC A (−4,0),B (0,4)x −y +2=0C (2,0)(0,2)(−2,0)(0,−2)n >m >0+=1x 2m y 2n()D.既不充分也不必要条件12. 在四棱锥中，已知平面平面, 是以为底边的等腰三角形，是矩形，且，则四棱锥的外接球的表面积为 （ A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知异面直线，的方向向量分别为，，若异面直线，所成角的余弦值为，则的值为________.14. 设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15. 已知平面向量， ， ，若，则________．16. 已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．18. 已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值． 19. 在平面四边形中，，，，．P −ABCD ABCD ⊥PAD △PAD AD ABCD AB =AP =2AD =2P −ABCD O )π12415π3115π25615π6415m n =(2,−1,1)a →=(1,λ,1)b →m n 6–√6λS n {}a n n +a 6a 7=1S 12=<0a 7<0S n n==(2,λ)a →=(−3,6)b →=(4,2)c →//a →b →(−)⋅=a →c →b →△ABC B C +=1x 23y 2A BC △ABC xOy O x −y −4=03–√O P(3,2)P O θλABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC求的大小；求的长度．20. 已知两直线：，，当为何值时，与，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直． 21. 已知命题：函数且 在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立.若为真命题,求实数的取值范围；若为真命题,求实数的取值范围.22. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前项和．(1)∠ADC (2)CD L 1(m +3)x +5y =5−3m:2x +(m +6)y =8L 2m L 1L 2p y =(x +1)(a >0，log a a ≠1)q (a −2)+2(a −2)x +1>0x 2x (1)q a (2)“p ∧(¬q)”a {}a n n S n 2a n S n (1){}a n (2){}b n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n {}1b n n Tn参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】据题意，分析可得，，，进而求其交集可得答案．【解答】解：集合，，则．故选．2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据条件可得解不等式可得结果．【解答】解：由已知可根据条件可得解不等式可得.故选.A ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|x ≥2}A ={x ∈Z||x|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|≥4}={x|x ≥2}2x A ∩B ={2,3,4}C 12+x −≥0x 22x −2>02x −2≠112+x −≥0,x 22x −2>0,2x −2≠1,{x |1<x ≤4且x ≠}32A3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，再求体积即可.【解答】解：由已知中几何体的三视图，可得该几何体为正四棱锥，且底面正方形边长为，高为，所以该几何体的体积为.故选.4.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，求出，再利用烧制前后边长的变化，即可得到答案.【解答】解：设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，解得.∵在烧制的过程中发现，直径为 的作品烧制成功后直径缩小到．那么烧制前正四面体陶坯棱长为.故选.5.【答案】C【考点】21V =×2×2×1=1343A acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a =612cm 9cm 6×=8cm 129C命题的否定【解析】命题 ， 为特称量词命题，其否定为全称量词命题，写出其否定即可.【解答】解：命题，为特称量词命题，所以其否定为全称量词命题，其否定为，.故选.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由，可得，再利用集合之间的包含关系求充分必要条件即可.【解答】解：由，可得，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.7.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；∃>0x 0−−2>0x 20x 0∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2C lg(x −1)<00<x −1<1lg(x −1)<00<x −1<11<x <2{x|x <2} {x|1<x <2}x <2lg(x −1)<0B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．8.【答案】D【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式半角公式【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理后得到，用表示出，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理化简得：,即，∴，即，则.故选．9.【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得，解得，又，y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D B =C A B △ABC c cos B =b cos C sin C cos B =sin B cos C sin C cos B −sin B cos C =sin(C −B)=0C −B =0C =B sin B =sin =cos =π−A 2A 21+cos A 2−−−−−−−−√=30−−√6D ==8+a 4a 5+a 1a 2q 3q =2+=+2=a 1a 2a 1a 1943所以，所以.故选.10.【答案】A,D【考点】三角形五心【解析】此题暂无解析【解答】解：设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为∴，①由重心为，代入欧拉线方程，得，②由①②可得或.故选.11.【答案】A【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则 ，，且，故" "是“方程"表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.=a 134==×=243a 1a 2a 3a 4a 5a 51q 10()345210D C (x,y),AB y =−x △ABC x −y +2=0y =−x M (−1,1),MC|=,∴+=1010−−√(x +1)2(y −1)2A (−4,0),B (0,4),△ABC (,)x −43y +43x −y +2=0x −y −z =0x =2,y =0x =0,y =−2AD +=1x 2m y 2n m >0n >0m ≠n n >m >0+=1x 2m y 2nA故选.12.【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，将四棱锥补为一个三棱柱，∵是以为底边的等腰三角形，，∴的外接圆的半径为，∴球的半径的平方，∴球的表面积为.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角A P −ABCD PAD −QBC △PAD AD AP =2AD =2△PAD 415−−√O =+1=R 216153115O S =4π=R 2124π15A 76【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】,【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式和性质可得＝＝，代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．【解答】解：因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：；.15.【答案】【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算【解析】根据，求得 ，进而求得的坐标，然后利用数量积求解．【解答】解：因为向量， ，且，613n S 12<0S 13+=1a 6a 7=6(+)=6S 12a 6a 7<0a 7>0a 6{}a n =6>0S 12=13<0S 13a 7=13n min 613−30//a →b →λ−a →c →=(2,λ)a →=(−3,6)b →//a →b →所以，所以.故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】设另一个焦点为，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长．【解答】解：椭圆中，．设另一个焦点为，则根据椭圆的定义可知，．∴三角形的周长为：．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．【考点】直线与圆相交的性质圆的切线方程−=(−2,−6)a →c →(−)⋅=−30a →c →b →−3043–√F |AB |+|BF |=2a|AC |+|FC |=2a △ABC +=1x 23y 2a =3–√F |AB |+|BF |=2a =23–√|AC |+|FC |=2a =23–√|AB |+|BF |+|AC |+|FC |=43–√43–√+=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0（1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径的值，可得所求的圆的方程．（2）由题意可得点在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率的值，可得所求切线方程．【解答】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．18.【答案】∵向量，∵这两个向量的夹角为，，则＝＝＝，∴＝．若，则（+）-•-，∴＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】..r P k +=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0θθ∈[0cos θθ⋅(λ+(λ−7)λ余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．（2）由（1）知当时，直线与相交；当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．【考点】两条直线平行的判定两条直线垂直的判定【解析】（1）两直线与相交；（2）两直线与平行；（3）两直线与重合；（4）两直线与垂直．【解答】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2m =−6L 1L 2m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔≠(m ≠0,n ≠0)a m b n ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔=≠(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔==(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔am +bn =0m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．21.【答案】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .22.【答案】解：，，成等差数列，可得，m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)2a n S n 2=a n 2+S n化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题意可得＝，运用数列的递推式：当＝时，＝，时，＝，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得＝＝，，，由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：，，成等差数列，可得，当时，，解得，时，，化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．n n n−1n n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +12a n 2+S n n 1a 1S 1n ≥2a n −S n S n−1log 2a n log 22n n =n(n +1)b n 12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1(1)2a n S n 2=a n 2+S n n =1=a 1=S 12−2a 1=a 12n ≥2=a n −=S n S n−12−2−2+2a n a n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +1。
高中数学人教A版选修2-1高二(上)期中数学试卷.docx
高中数学学习材料唐玲出品2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）2．已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．3．点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B． C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）4．若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．5．若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．6．已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．7．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．79．双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．1610．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=．14．抛物线y=4x2的准线方程为．15．已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是．16．如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．18．已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，设=，=，=．（1）以{，， }为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．22．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）故选：B．2．已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则¬p：∃，故选：D3．点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B． C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】将点A代入椭圆方程可得+＜1，解不等式可得a的范围．【解答】解：点A（a，1）在椭圆的内部，即为+＜1，即有a2＜2，解得﹣＜a＜，故选A．4．若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知b=，b==，由此可求出双曲线的虚轴长．【解答】解：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于=b，∵双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b=，∴b==，∴b=1，∴该双曲线的虚轴长是2．故选A．5．若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】分焦点在x轴和y轴得到a2，b2的值，进一步求出c2，然后结合离心率求得m值．【解答】解：当焦点在x轴上时，a2=3，b2=m，c2=3﹣m，由，得，即，解得m=；当焦点在x轴上时，a2=m，b2=3，c2=m﹣3，由，得，即，解得m=4．∴m=或4．故选：C．6．已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】利用d=，即可得出．【解答】解：=（3，﹣2，4），则P（1，1，4）到α的距离d===4，故选：B．7．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【考点】空间向量的概念．【分析】点E，F分别为线段BC，AD的中点，可得=，，=．代入计算即可得出．【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴=，，=．∴=﹣== [（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]==（﹣2，﹣3，﹣3）．故选：B．8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C9．双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程，求得交点A，B的坐标，可得AB 的长．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线方程为y=±x，代入抛物线的方程y2=4x，可得A（4，4），B（4，﹣4），可得|AB|=8．故选：C．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．11．正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正方体AC1的棱长为1，AH⊥平面A1BD，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：∵正方体AC1的棱长为1，AH⊥平面A1BD，∴①点H是△A1BD的垂心，正确；②AH垂直平面CB1D1，正确；③AH=AC1=，正确；④点H到平面A1B1C1D1的距离为，错误．故选：C．12．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【考点】抛物线的简单性质．【分析】曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），对x，y分类讨论．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2，|BD|≤2，解出即可．【解答】解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），则2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范围为[2，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=6．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】根据空间向量的坐标运算，求出﹣，再求它的模长．【解答】解：∵=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），∴﹣=（2，﹣4，4），∴|﹣|==6．故答案为：6．14．抛物线y=4x2的准线方程为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．15．已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是（﹣，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|PM|﹣|PN|=2＜|MN|，由双曲线的定义可得P的轨迹为以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，求得双曲线的方程，代入y=kx，解方程可令3﹣k2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由题意可得|MN|=4，|PM|﹣|PN|=2＜|MN|，由双曲线的定义可得P的轨迹为以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，由a=1，c=2，可得b2=c2﹣a2=3，可得方程为x2﹣=1（x＞0），由y=kx代入双曲线的方程，可得：（3﹣k2）x2=3，由题意可得3﹣k2＞0，解得﹣＜k＜．故答案为：（﹣，）．16．如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．【考点】圆锥曲线的范围问题；抛物线的简单性质；平面与圆锥面的截线．【分析】根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为4，∴OH=EH=2．∴OE=2．在平面CED内建立直角坐标系如图．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．C（2，4），∴16=2p•（2），解得p=2．F（，0）．即OF=，EF=，∵PB=4，PE=2，∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由￢q与p∧q均为假命题，可得q为真命题，p为假命题．分别求出两个命题对应的参数的范围，进而可得答案．【解答】解：若命题p为真，则有0，即，解得m≤﹣1或m≥1，若命题q 为真，则有1＜＜4，解得：0＜m ＜15，∵￢q 与p ∧q 均为假命题， ∴q 为真命题，p 为假命题．则有解得0＜m ＜1．故所求实数m 的取值范围是0＜m ＜1．18．已知抛物线y 2=4x 和点M （6，0），O 为坐标原点，直线l 过点M ，且与抛物线交于A ，B 两点．（1）求•；（2）若△OAB 的面积等于12，求直线l 的方程． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由x=my +6与抛物线y 2=4x 得y 2﹣4my ﹣24=0，利用•=x 1x 2+y 1y 2，求•；（2）S △OAB =|OM |•|y 1﹣y 2|=3=12=12，求出m ，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）设直线l 的方程为x=my +6，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由x=my +6与抛物线y 2=4x 得y 2﹣4my ﹣24=0，显然△＞0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=﹣24，x 1x 2=36可得•=x 1x 2+y 1y 2=12．…（2）S △OAB =|OM |•|y 1﹣y 2|=3=12=12，∴m 2=4，m=±2．那么直线l 的方程为x +2y ﹣6=0和x ﹣2y ﹣6=0…19．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是面对角线A 1B 与B 1D 1的中点，设=，=，=．（1）以{，， }为基底，表示向量； （2）求证：MN ∥平面BCC 1B 1；（3）求直线MN 与平面A 1BD 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）利用向量的加法，即可得出结论；（2）连A1C1、BC1，则N为A1C1的中点，证明MN∥BC1，即可证明结论；（3）以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面A1BD的法向量，即可求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】（1）解：．（2）证明：连A1C1、BC1，则N为A1C1的中点，又M为A1B的中点，∴MN∥BC1，又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（3）解：∵DA、DC、DD1两两垂直，∴可以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．设正方体棱长为2，则M（2，1，1），N（1，1，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴，，，，∵，，∴，，∴为平面A1BD的法向量，设直线MN与平面A1BD所成的角为θ，则，所以直线MN与平面A1BD所成角的正弦值为．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出AB．（2）分别求出，，利用向量法能求出异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，2，0），E（0，1，），=（0，1，）．设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），=（m，2，0）．设=（x，y，z）为平面ACE的法向量，则，取z=2，得=（，﹣1，2）．…又=（1，0，0）为平面DAE的法向量，…∵二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为，∴由题设知|cos＜＞|=，即，解得m=1，即AB=1．…（2），∴，，…，∴异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为．…22．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设C方程为，则，由，a2=b2+c2，解出即可得出．（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0，由△＞0，解得t范围，利用根与系数的关系可得|x1﹣x2|，由此可得：四边形APBQ的面积S．②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设C方程为，则，由，a2=b2+c2，得a=4，∴椭圆C的方程为．（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0，由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由韦达定理得x1+x2=﹣t，．∴，由此可得：四边形APBQ的面积，∴当t=0，．②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），由整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，∴，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得∴，，，所以直线AB的斜率为定值．2016年11月28日。
人教A版高中数学必修五高二(上)期中.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作黑龙江省双鸭山一中2012-2013学年高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（包括1--12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2013•眉山二模）抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．C．（0，1）D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先将抛物线的方程化为标准方程形式x2=y，确定开口方向及p的值，即可得到焦点的坐标．解答：解：∵抛物线的标准方程为x2=y，∴p=，开口向上，故焦点坐标为（0，），故选B．点评：根据抛物线的方程求其焦点坐标，一定要先化为标准形式，求出的值，确定开口方向，否则，极易出现错误．2．（5分）（2013•眉山二模）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，＞0 B．存在x0∈R，≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0 考点：命题的否定．分析：根据命题“存在x0∈R，≤0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，将“≤”改为“＞”即可得到答案．解答：解：∵命题“存在x0∈R，≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意的x∈R，2x＞0．故选D．点评：本题主要考查特称命题与全称命题的转化问题．3．（5分）已知和是相互垂直的单位向量，则=（）A．1B．2C．3D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由两个向量垂直的性质可得=0，=1=，再由=（）•（）=3+﹣2，运算求得结果．解答：解：由已知和是相互垂直的单位向量，可得=0，=1=，∴=（）•（）=3+﹣2=3+0﹣2=1，故选A．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．4．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为（）A．2x﹣y+1=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y﹣1=0考点：恒过定点的直线．分析：求出圆的圆心坐标，验证选项即可．解答：解：因为圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，所以圆心坐标（1，﹣3），代入选项可知C 正确．故选C．点评：本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．5．（5分）命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的否命题是（）A．若x，y都是偶数，则x+y不是偶数B．若x，y都不是偶数，则x+y不是偶数C．若x，y都不是偶数，则x+y是偶数D．若x，y不都是偶数，则x+y不是偶数考点：四种命题．专题：常规题型．分析：根据否命题是将原命题的条件结论都否来解答．解答：解：因为原命题是“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”，所以原命题的否命题为：“若x，y不都是偶数，则x+y不是偶数”，故选D．点评：本题考察原命题的否命题，这里要与命题的否定区别开来，是一个易错点．而且要注意“都是”的否定为“不都是”，选择填空中常考察．6．（5分）（2012•安徽模拟）已知命题p：∃x∈R，使；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧￢q”是假命题；③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“￢p∨￢q”是假命题．其中正确的是（）A．②③B．②④C．③④D．①②③考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：根据正弦函数的值域及二次不等式的解法，我们易判断命题p：∃x∈R，使sin x=与命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0的真假，进而根据复合命题的真值表，易判断四个结论的真假，最后得到结论．解答：解：∵＞1，结合正弦函数的性质，易得命题p：∃x∈R，使sin x=为假命题，又∵x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，∴q为真命题，故非p是真命题，非q是假命题；所以①p∧q是假命题，错；②p∧非q是假命题，正确；③非p∨q是真命题，正确；④命题“¬p∨¬q”是假命题，错；故答案为：②③故选A．点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据正弦函数的值域及二次不等式的解法，判断命题p与命题q的真假是解答的关键．7．（5分）下列命题中不正确的命题个数是（）①若A、B、C、D是空间任意四点，则有+++=0；②|a|﹣|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．A．1B．2C．3D．4考点：向量的共线定理．专题：综合题．分析：①由向量的运算法则知正确②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，得出两向量反向．③向量共线的几何意义知所在的线平行或重合．④利用空间向量的基本定理知错．解答：解：易知只有①是正确的，对于②，|a|﹣|b|=|a+b|⇔=⇔⇔反向，故②错．对于③共线，则它们所在直线平行或重合对于④，若O∉平面ABC，则、、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面．故选C．点评：本题考查向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方、向量的几何意义、空间向量基本定理．8．（5分）（2010•北京）若，是非零向量，“⊥”是“函数为一次函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．分析：先判别必要性是否成立，根据一次函数的定义，得到，则成立，再判断充分性是否成立，由，不能推出函数为一次函数，因为时，函数是常数，而不是一次函数．解答：解：，如，则有，如果同时有，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则，因此可得，故该条件必要．故答案为B．点评：此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查平面向量的数量积的相关运算．9．（5分）（2009•丹东二模）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是（）A．y2=12x B．y2=8x C．y2=6x D．y2=4x考点：抛物线的标准方程；抛物线的定义．专题：计算题．分析：先设出A，B的坐标，根据抛物线的定义求得x1+x2+p=8，进而根据AB中点到y轴的距离求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线定义，x1+x2+p=8，∵AB的中点到y轴的距离是2，∴，∴p=4；∴抛物线方程为y2=8x故选B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是利用了抛物线的定义．10．（5分）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，则||等于（）A．5B．6C．4D．8考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由题设知=，故=（）2，由此能求出||．解答：解：如图，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，∴=，∴=（）2=+++2+2+2=1+4+9+2×1×2×cos60°+2×1×3×cos60°+2×2×3×cos60°=25，∴||=5．故选A．点评：本题以平行六面体为载体考查向量在几何中的应用，解题时要认真审题，关键是利用条件向量、、两两的夹角均为60°，进行合理转化．11．（5分）椭圆的焦点为F1、F2，点M在椭圆上，，则M到y轴的距离为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：M （h，t ），则由得h2﹣3+t2=0 ①，把M （h，t ）代入椭圆方程得t2=1﹣②，把②代入①可得|h|即为所求．解答：解：由题意得a=2，b=1，c=，F1（﹣，0）、F2（，0）．∵，∴．设M （h，t ），则由得（﹣﹣h，﹣t）•（﹣h，﹣t）=h2﹣3+t2=0 ①．把M （h，t ）代入椭圆方程得t2=1﹣②，把②代入①可得h2=，|h|=．故选B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（1，3]C．（1，]D．[，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设|PF2|=t，则|PF1|=2a+t，故==4a++t≥8a，由2a≥c﹣a 及e＞1 求得e 的范围．解答：解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a．设|PF2|=t，则|PF1|=2a+t，故==4a++t≥4a+2=8a，当且仅当t=2a时，等号成立．又∵t≥c﹣a，∴2a≥c﹣a，∴e=≤3．又因为e＞1，故e 的范围为（1，3]，故选B．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用t≥c ﹣a 是解题的关键．二、填空题（包括13--16小题，每小题5分，共20分）13．（5分）平面α，β，γ两两相互垂直，且它们相交于一点O，P点到三个面的距离分别是1cm，2cm，3cm，则PO的长为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，OP可看做长方体的对角线，其中长方体的三条棱长分别是1cm，2cm，3cm，从而可求PO的长．解答：解：由题意，OP可看做长方体的对角线，其中长方体的三条棱长分别是1cm，2cm，3cm，∴PO==cm故答案为：cm点评：本题考查长方体模型的构造，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．由此可求出a的最大值．解答：解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为﹣1．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答．15．（5分）（2006•天津）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为，则a=0．考点：直线与圆相交的性质；点到直线的距离公式．分析：由题意易知圆心到直线的距离等于1（勾股定理），然后可求a的值．解答：解：设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为，则圆心（1，2）到直线的距离等于1，，a=0故答案为：0点评：本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，是基础题．16．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|•|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中，则椭圆m的离心率e的取值范围是．考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据题意，|PF1|•|PF2|的最大值为a2，则由题意知2c2≤a2≤3c2，由此能够导出椭圆m 的离心率e的取值范围．解答：解：∵|PF1|•|PF2|的最大值=a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离心率e的取值范围．答案：点评：|PF1|•|PF2|的最大值=a2是正确解题的关键．三、解答题（包括17-22小题，共70分）17．（10分）设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为[0，]．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．18．（12分）设向量，计算以及与所成角的余弦值，并确定λ和μ的关系，使与z轴垂直．考点：空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：计算题；空间向量及应用．分析：由，利用空间向量的数量积公式能求出和cos＜＞，由=（3λ+2μ，5λ+μ，﹣4λ+8μ），能得到与z 轴垂直时，λ和μ的关系．解答：解：∵，∴=3×2+5×1+（﹣4）×8=﹣21．∴cos＜＞===﹣．∵=（3λ+2μ，5λ+μ，﹣4λ+8μ），∴与z 轴垂直时，﹣4λ+8μ=0，解得λ=2μ．点评： 本题考查空间向量的距离公式和夹角公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 19．（12分）已知一个圆的圆心为坐标原点O ，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线PP ′，P ′为垂足．（Ⅰ）求线段PP ′中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线x ﹣y ﹣2=0与M 的轨迹相交于A 、B 两点，求△OAB 的面积．考点： 圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （Ⅰ）圆心为坐标原点O ，半径为2的圆的方程为x 2+y 2=4，确定M ，P 之间的关系，利用代入法，即可求得线段PP ′中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）直线x ﹣y ﹣2=0与椭圆方程联立，消去y ，求出A ，B 的坐标，即可求△OAB 的面积． 解答： 解：（Ⅰ）设M （x ，y ），则P （x ，2y ）∵圆心为坐标原点O ，半径为2的圆的方程为x 2+y 2=4，P 在圆上∴x 2+4y 2=4∴线段PP ′中点M 的轨迹方程为；（Ⅱ）直线x ﹣y ﹣2=0与椭圆方程联立，消去y 可得5x 2﹣16x+12=0，∴x=或x=2 ∴A （），B （2，0）∴=．点评： 本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x ，且过点． （1）求双曲线方程；（2）设A 点坐标为（0，2），求双曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|．考点：双曲线的标准方程． 专题：综合题． 分析： （1）根据双曲线的渐近线方程，假设双曲线方程，代入点的坐标，即可得到双曲线方程；（2）表示出|PA|，利用二次函数的配方法，即可求得结论．解答： 解：（1）由题意，设双曲线方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）将点代入双曲线方程，得，即λ=6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）所以，所求的双曲线方程为x 2﹣y 2=6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）设双曲线上任意一点P （x 1，y 1），则从而=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当y 1=1时，|PA|有最小值所以当P 的坐标为时，|PA|有最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评： 本题考查双曲线的标准方程，考查两点间的距离公式，解题的关键是待定系数法，属于中档题．21．（12分）已知抛物线y 2=4x ，过点（0，﹣2）的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）若•=4，求直线AB 的方程．（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点（n ，0），求n 的取值范围．考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （1）设直线AB 的方程为y=kx ﹣2，k ≠0，代入y 2=4x 中得k 2x 2﹣（4k+4）x+4=0，由•=4，能求出直线AB 的方程．（2）设线段AB 的中点坐标为（x 0，y 0），由（1）知=，，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ﹣=﹣（x ﹣）．由此能求出n 的取值范围． 解答： 解：（1）设直线AB 的方程为y=kx ﹣2，k ≠0，代入y 2=4x 中得k 2x 2﹣（4k+4）x+4=0，①设Ax 1，y 1），B （x 2，y 2），B （x 2，y 2），则，，∴y 1y 2=（kx 1﹣2）（kx 2﹣2） =k 2x 1x 2﹣2k （x 1+x 2）+4 =﹣．∵=（，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=，∴k2+2k﹣1=0，解得k=﹣1+．又由方程①的判别式△=（4k+4）2﹣16k2=32k+16＞0，得k＞﹣．∴k=﹣1+，∴直线AB的方程为．（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），则由（1）知=，，∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣）．∵线段AB的垂直平分线交x轴于点（n，0），∴令y=0，得n=2+==2（）2+，又∵k＞﹣，且k≠0，∴，或，∴n＞2（0+）2+=2．∴n的取值范围是（2，+∞）．点评：本题考查直线方程的求法，考查n的取值范围的求法．具体涉及到抛物线的简单性质、直线方程、根的判别式等基本知识，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．22．（12分）（2009•福建）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．（2）法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值．（3）在上一问的基础上求出参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段AB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为即可，由此问题转化为研究与直线SB 平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，下易证解答：解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，（6分）又B（2，0）由得，∴，（8分）故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（10分）（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴（11分）要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．（14分）点评：本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的题目，要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的理解，且符号运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题．。
人教版高二上学期期中测试卷(必修5全册+选修2-1第一章、第二章)(原卷版)
人教版高中数学测试卷（考试题）期中测试卷01（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：人教A 版 必修5全册+选修2-1第一章、第二章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知b a >，则条件“0≥c ”是条件“bc ac >”的( )。
A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分且必要条件D 、既不充分又不必要条件2．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)20(，，则m 的值为( )。
A 、2B 、3C 、4D 、53．等差数列}{n a 中，已知||||116a a =，且公差0>d ，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )。
A 、6B 、7C 、8D 、94．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )。
A 、)210(，B 、)220(，C 、)2221(，D 、)122(， 5．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且a c 2=，则=B cos ( )。
A 、41B 、43 C 、42 D 、32 6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。
”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。
A 、一鹿、三分鹿之一B 、一鹿C 、三分鹿之二D 、三分鹿之一7．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
高中数学人教A版选修2-1第一学期期中考试高二数学(理科)试卷参考答案
广东仲元中学2011学年第一学期期中考试高二数学（理科）试卷参考答案一．选择题1-8BBACCCCB二．填空题9.17，6.310.4π 11．2,2390x R x ax ∀∈-+≥12．221106x y += 13.1514．(1,2] 15．解：设422++=ax x x g )(， 由于关于x 的方程0422=++ax x 无解 故2201642<<-∴<-=∆a a ,又因为x a x f )()(23-=是增函数，所以23023<∴>-a a , 又由于q p ∨为真，q p ∧为假，可知p 和q 一真一假（1）若p 真q 假，则2232322<≤∴⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-a a a ,（2）若p 假q 真，则22322-≤∴⎪⎩⎪⎨⎧<≥-≤a a a a ,或 综上可知，实数a 的取值范围为2223-≤<≤a a 或,16．解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B .由正弦定理B b A a sin sin =，可得10sin 303a =o.所以35=a . （Ⅱ）因为ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，53sin =B ，所以3310ac =，10=ac .由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， 得165842222-+=-+=c a ac c a ，即2022=+c a . 所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=，所以，102=+c a .17．证明： (1)连结AC 1交A 1C 于E ，连结DE ， ∵AA 1C 1C 为矩形，则E 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，∴在△ABC 1中，DE ∥BC 1. 又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D.（7分）(2)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点， ∴在△ABC 中，AB ⊥CD.（8分） 又AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥CD.又AA 1∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B.（12分） 又CD ⊆平面CA 1D ，∴平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B.（14分）18．解： （1）（2）由散点图可知y 与x 线性相关，设回归直线方程为$y bx a =+．列表： i1 2 3 4 5 i x 2 4 6 8 10 i y 64 134 205 285 360 i i x y1285361230228036006x =209.6y =521220ii x==∑517774i i i x y ==∑2777456209.637.1522056b -⨯⨯==-⨯∴，209.637.15613.3a =-⨯=-∴．∴回归直线方程为$37.1513.3y x =-．（3）当9x =时，$37.15913.3321.05y =⨯-=．所以尿汞含量为9毫克/升时的消光系数为321.0519．（Ⅰ）证明：由34-=n n a S ，1n =时，3411-=a a ，解得11=a .因为34-=n n a S ，则3411-=--n n a S (2)n ≥， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得143n n a a -=.又110a =≠， 所以{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列.……………………6分 （Ⅱ）解：因为14()3n n a -=，由*1()n n n b a b n +=+∈N ，得114()3n n n b b -+-=.可得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b Λ＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ），当1n =时也满足，所以数列{}n b 的通项公式为1)34(31-=-n n b .…………………………14分20．解：（1）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=，)2,(001y x PF ---=……2分∴1)2(202021=--=⋅y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则1422020=+y x ，∴242020y x -=， 从而1)2(242020=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(.………5分 （2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，………6分则BP 的直线方程为：)1(2--x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-142)1(222y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则2222222212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=-+-=+-=+， 同理可得222)222kk k x A +-+=，则2224k kx x B A +=-，228)1()1(k kx k x k y y B A B A +=----=-.………9分 所以：AB 的斜率2=--=BA BA AB x x y y k 为定值.……10分（3）设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ，由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =，………12分 则3||3)214(21||212m m d AB S PAB⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m 。
2022-2023学年全国高中高二上数学人教A版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二上数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. {x |x <0}∩{x |x 2<9}=（ ）A.{x |x <−3}B.{x |−3<x <0}C.{x |x <3}D.{x |0<x <3}2. →AB −→CB =( )A.ˆ0B.→AC C.→CA D.2→AC3. 吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式．开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高．从河里打捞上来的6条开河鱼的重量（单位：千克）分别为1.58，1.43，1.63，1.85，1.71，1.67.则这组数据的中位数是________.A.1.63B.1.67C.1.64D.1.654. "x =2" 是" x 2−3x +2=0 ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件{x|x <0}∩{x|<9}=x 2{x|x <−3}{x|−3<x <0}{x|x <3}{x|0<x <3}−=(AB −→−CB −→−)0ˆAC−→−CA−→−2AC −→−61.58 1.43 1.63 1.85 1.71 1.67.1.631.671.641.65x =2−3x +2=0x 25. 从装有2个红球和2个白球的袋内任取两个球，那么下列事件中，对立事件的是（ ）A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰好有一个白球；恰好有2个白球D.至少有1个白球；都是红球6. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BB 1、AC 的中点，设→AB =→a ，→AC =→b ，→AA 1=→c ，则→NM 等于（ ）A.→a +12(→c −→b)B.12(→a +→b −→c)C.12(→a +→c)D.12(→a +→b +→c)7. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，f(x +2)也是奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)=2x −x 2，则f(−1)，f (π2)，f(π)的大小关系是( )A.f (π2)<f(−1)<f(π)B.f (π2)<f(π)<f(−1)C.f(−1)<f(π)<f (π2)D.f(−1)<f (π2)<f(π)8. 以A(1,3)和B(−5,1)为端点的线段AB 的中垂线方程是（ ）A.3x −y +8=0B.x −3y +8=0C.3x +y +8=0D.3x +y +4=0二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）2221ABC −A 1B 1C 1M N BB 1AC =AB −→−a →=AC −→−b →=AA 1−→−c →NM−→−+(−)a →12c →b →(+−)12a →b →c →(+)12a →c →(++)12a →b →c →f (x)R f (x +2)x ∈(0,2)f (x)=2x−x 2f (−1)f ()π2f (π)f ()<f (−1)<f (π)π2f ()<f (π)<f (−1)π2f (−1)<f (π)<f ()π2f (−1)<f ()<f (π)π2A(1,3)B(−5,1)AB3x −y +8=0x −3y +8=03x +y +8=03x +y +4=09. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是( )A.目标恰好被命中一次的概率为12+13B.目标恰好被命中两次的概率为12×13C.目标被命中的概率为12×23+12×13D.目标被命中的概率为1−12×23 10. 若函数f(x)={−x 3−x +2m,x <1,x +1−lnx,x ≥1的值域为[2,+∞)，则( )A.f(3)>f(2)B.m ≥2C.f (m 22)<f (1e )D.log m (m +1)>log m+1(m +2)11. 双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点在圆O:x 2+y 2=13上，圆O:x 2+y 2=13与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E(0,a)满足→EO +→EM +→EN =→0（其中O 为坐标原点），则( )A.双曲线C 的一条渐近线方程为3x −2y =0B.双曲线C 的离心率为√132C.|→OE |=1D.△OMN 的面积为612. 已知曲线C 上的点P(x,y)满足方程x |x −1|+y |y −1|=0，则下列结论中正确的是（ ）A.当x ∈[−1,2]时，曲线C 的长度为2√2+√2π2B.当x ∈[−1,2]时，y −1x +2的最大值为1，最小值为−12C.曲线C 与x 轴、y 轴所围成的封闭图形的面积和为π4−12D.若平行于x 轴的直线与曲线C 交于A ，B ，C 三个不同的点，其横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是(2,32+√22)卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）1213()+1213×1213×+×122312131−×1223f (x)={−−x +2m,x <1,x 3x +1−ln x,x ≥1[2,+∞)f (3)>f (2)m ≥2f ()<f ()m 221e(m +1)>(m +2)log m log m+1C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2O :+=13x 2y 2O :+=13x 2y 2C M N E (0,a)++=EO −→−EM −→−EN −→−0→O C 3x −2y =0C 13−−√2||=1OE −→−△OMN 6C P (x,y)x|x −1|+y|y −1|=0x ∈[−1,2]C 2+2–√π2–√2x ∈[−1,2]y −1x +21−12C x y −π412x C A B C x 1x 2x 3++x 1x 2x 3(2,+)322–√213. 如图，在由5个边长为1，一个顶角为60∘的菱形组成的图形中，→AB ⋅→CD =________．14. 已知直线l 1:ax +y −4=0与l 2:x +(a −2)y +a −1=0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a =________；此时直线l 1 的倾斜角为________．15. 已知x ，y ，z 满足(x −3)2+(y −4)2+z 2=2，那么x 2+y 2+z 2的最小值是________．16. 已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知两直线l 1:6x −8y −3=0与l 2:3x −4y +6=0，求l 1与l 2间的距离． 18. 一次考试中，每位考生要在8道试题中随机依次抽出2道题回答，答对其中1题为及格．已知某位考生会答8道题中的5道题．(1)这位考生第一次抽到的题是他会答的题的概率？(2)这位考生及格的概率有多大？ 19. 已知向量 →m =(√3sinx,sinx)⋅→n =(cosx,sinx) ，函数 f(x)=→m ⋅→n −12(x ∈R).(1)求函数f(x) 的最大值和最小正周期；(2)在 △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足 b 2=ac ，且f(B)=12，求1tanA +1tanC 的值. 20. 如图：在二面角α−l −β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 为矩形，p ∈β，PA ⊥α，且PA =AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点，（1）求证：MN ⊥AB （2）求异面直线PA 和MN 所成角的大小．（1）求二面角α−l −β的大小 21. 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒5160∘⋅=AB →CD →:ax +y −4=0l 1:x +(a −2)y +a −1=0l 2P ⊥l 1l 2a =l 1x y z (x −3+(y −4+=2)2)2z ++x 2y 2z 223–√25–√:6x −8y −3=0l 1:3x −4y +6=0l 2l 1l 282185(1)(2)=(sin x,sin x)⋅=(cos x,sin x)m →3–√n →f(x)=⋅−(x ∈R)m →n →12(1)f(x)(2)△ABC A B C a b c =ac b 2f(B)=12+1tan A 1tan Cα−l −βA B ∈αC D ∈l ABCD p ∈βPA ⊥αPA =AD M N AB PC MN ⊥ABPA MNα−l −β预防知识竞答．竞答分为必答题（共5题）和选答题（共2题）两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为45，答对每道选答题的概率为25.(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为12，试求甲同学在选答题阶段，得分X 的分布列． 22. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，AB =1，点M 是PD 的中点．(1)求证： PD ⊥BM ．(2)求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．524525(1)4(2)52012X P −ABCD ABCD PA ⊥ABCD PA =AD =2AB =1M PD(1)PD ⊥BM(2)CD ACM。
人教A版高中数学必修五高二上学期期中考试试题.docx
注意事项：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
2、将第Ⅰ卷答案涂在答题卡上，考试结束只交答题卡和答题卷。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A.)1(2--=n n a nB.12-=n a nC.2)1(+=n n a nD.2)1(-=n n a n 2. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（ ）A ．m ＜0B ．m ≤－1C ．m ≤0D ．m ≤13. 数列11++=n n a n *)(N n ∈，若其前n 项和为10，则n 为（ ）A.11B.99C.120D.1214. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+,0,0,012x y y x 则y x 2+的最大值是（ ） A.0 B.21 C.2 D.以上都不对 5. 如果a 1,a 2,…, a 8为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则 ( ) A. 5481a a a a >B. 5481a a a a < C .5481a a a a +>+ D. 5481a a a a =6. 等比数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1010=S ，7030=S ，则=40S （ ）A.150B.－200C.150或－50D.150或－2007. 2x 2—5x —3＜0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．—321<<x B ．—021<<x C ．—213<<x D ．—61<<x 8. 已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f (x )+2>0的解集是 （ ） A ．(－2，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)9. 设n S ，n T 分别是两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.若对一切正整数n ，231n n S n T n =+ 恒成立，则65a b =（ ） A 、34 B 、1114 C 、914 D 、5710. 在△ABC 中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a 的取值范围是（ ）A ．222<<aB ．42<<aC ．22<<aD ．222<<a11. 各项均不为零的等差数列}{n a 中，若2110(,2)n n n a a a n n *-+--=∈≥N ，则2009S 等于 （ ）A ．0B ．2C ．2009D ．401812. 下列四个结论：（1）命题“平行四边形是矩形”的否定是真命题；（2）已知n n a n λ-=2，若数列}{n a 是增数列，则2≤λ；（3）等比数列}{n a 是增数列的充要条件是321a a a <<；（4）ABC ∆中，B A sin sin >的充要条件是B A cos cos <.其中正确的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 在数列7,9,11,13，…，中,99是第 项.14. 若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则=a .15. 不等式2282001x x ax ax -+<--对任意实数x 恒成立，则a 的范围为 . 16. 29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值为 . 三、解答题（共70分）17.（本小题满分10分）解不等式组⎩⎨⎧>++>+-.044,01827422x x x x 18.（本小题满分12分）已知关于x 不等式2360ax ax -+>的解集为}1|{b x x x ><或.（1）求a 、b 的值； （2）解关于x 不等式0)(2<++-bc x b ac ax .19.（本小题满分12分）在△ABC 中，已知45B =o ，D 是BC 边上的一点，AD=5,AC=7,DC=3.求AB 的长.20. （本小题满分12分）已知数列}{n a 中，21=a ，32211+=++n n n n a a ， ⑴求数列}{n a 的通项公式；⑵求数列}{n a 的前n 项和.21.（本小题满分12分）⑴在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==求A AC cos 的值及AC 的取值范围； ⑵在ABC ∆中，已知CB A 222cos cos cos 1+=+，试判断ABC ∆的形状.22.（本小题满分12分）{},:n n a n S 已知正项数列的前项和为且满足22(*),n n n a S a n N =-∈11(1){}(2)3(1)2,(0)*;.n n a n n n n n a b b b n N λλλλ-+=+-⋅≠>∈求的通项公式；设是否存在整数使对一切的恒成立？若存在，求出若不存在，说明理由南阳一中2012年秋期高二期中考试数学答案由0442>++x x 解得2-,2-><x x 或， ∴原不等式组的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<--<6,432,2|x x x x 或或. 18.（本小题满分12分）解：（1）由题意知：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=+a b b 6131 ⎩⎨⎧==∴23b a19.（本小题满分125620．（本小题满分12分）解：⑴n n n a b 2=，则1112+++=n n n a b ， 由题 31+=+n n b b 则31=-+n n b b }2{n n a ∴是公差为3,首项为1 的等差数列， ∴23)1(312-=-+=n n a n n n n n a 2)23(⋅-=∴ （2）设n n n n n S 2)23(2)53(272421132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=-Λ则14322)23(2)53(2724212+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ 相减得1322)23()222(32+⋅--++++=-n n n n S Λ 1122)23(12)12(232+-⋅----⋅+=n n n 112)23()42(32++⋅---+=n n n12)35(10+⋅-+-=n n12)53(10+⋅-+=∴n n n S21.（本小题满分12分）解：（1）设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=⇒= 由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<o o o o ，又01803903060θθ<-<⇒<<o o o o o ，故3045cos θθ<<⇒<<o o ，2cos AC θ∴=∈（2）由题，C B A 222sin sin 2sin 2--=-，∴C B A 222sin sin sin +=由正弦定理得222c b a +=，∴ABC ∆为直角三角形.22.（本小题满分12分）nn a a a a a S a n a a a a a a a a a a a a S S a a a S a a S a n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n =⋅-+=∴=∴=-==∴>=-∴+=+-+--=---=∴-=++++++++++1)1(1,21.1}{)0(1))(()(2)1()2()2(2)1(2)1(111112111111122111212时，而当为公差的等差数列是以恒成立即得：ΘΘ.1,0,12311)23(321)23(32)2(332)22323)23(322)23(32)2(332)1*32)2(3032)2(30)2)1(3(2)1(3.*0)2(1111-=∴≠<<-∴<∴⋅=⋅=-⋅⋅-<->∴--=⋅-=-⋅⋅->∈⋅->-⋅⋅>⋅+-⋅>⋅-+-⋅-+∈>--+++λλλλλλλλλλλλ为整数且又综上所述，的最小值为时，而当恒成立为：为奇数时，不等式可化当，的最大值为时而当恒成立，为：为偶数时，不等式可化当恒成立对即即恒成立对由题可知Θn n nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n N n N n b b。