高中数学人教A版必修2《空间中的平行关系》讲义
高中数学必修二《空间中的平行关系》课件
∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥B1C1.
(2)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明： 证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D
时，计算α和β的度数．
解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H， 则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC. ∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF， ∴. ∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC. ∴MN∥平面BEC.
证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG， ∴△ANF∽△GNB，∴. ∵FN＝AM，AC＝BF，∴. ∴， 则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线， ∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.
平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相 交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些 垂直关系来判定．Z````xxk
【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC； (2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长； (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短
平行． 8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的平行于直另线一个平面．
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A．过P只能作一条直线与平面α相交 B．过P可作无数条直线与平面α垂直 C．过P只能作一条直线与平面α平行 D．过P可作无数条直线与平面α平行 答案：Dzx``xk
高一数学课件必修2《空间中的平行关系》
D A
D A
C B
C B
学以至用
例1：已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．
A
ELeabharlann FD BC
直线和平面平行的性质：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面 的交线平行。
l∥ ,l ， m, l ∥ m
实例感受
A
B
A
B
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行．
a
a
b
b
a //
b// a
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能 得到线面平行的结论．
线线平行
线面平行
随堂练习
1．如图，长方体 ABCD ABCD中， 与AB平行的平面是 平面 ABCD 平面 CCD；D
1.2.2空间中的平行关系（1）
直线与平面有几种位置关系？ 三种： 线在面内 线面相交 线面平行
线面位置关系
关系 内容
直线在平面内
直线与平面相交 直线与平面平行
特征
有无数个
公共点
a 图形表示
有且只有一个 没有公共点 公共点
a
a
A
符号表示
a
a ∩=A
a ∥
怎样判定直线与平面平行
a
例2：AB∥平面 ，AC∥BD，且AC，BD与 分别
交于点C，D 求证：EF∥平面BCD．
A
B
C
D
例3：已知：长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：A1C1 // 平面B1AC
高一升高二暑假补课讲义 第六讲 空间中的平行关系
一、课题：空间中的平行关系二、学习目标：1掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化2.掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化.三、教学过程 知识回顾:1.线面平行直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α= ，//a α。
aαaAαaα线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．2.面面平行两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒（2）两个平面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
c b a βαb ab a ααP P a bβαC'D'CD A BA'PB'例题解析 基础练习：1.判断对错:直线a 与平面α不平行，即a 与平面α相交． （ ）直线a ∥b ，直线b 平面α，则直线a ∥平面α． （ ）直线a ∥平面α，直线b 平面α，则直线a ∥b ． （ ）如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) 如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) 如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )2.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ⊂α例题解析例1.如图，三棱柱ABC －111A B C 中，M 、 N 分别是BC 和11A B 的中点，求证:MN ∥平面11AA C C例2.有一块木料如图，已知棱BC 平行于面A ′C ′(1)要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC 有什么关系？拓展延伸：正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并给出证明。
高中数学 第七章 第四节_空间中的平面平行关系课件 新人教版
识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定 理．
2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些
空间图形的位置关系的简单命题．
1．直线和平面的位置关系
2．平面与平面的位置关系
3．直线与平面平行的判定与性质
4．平面与平面平行的判定与性质
[思考探究]
能否由线线平行得到面面平行？
个平面内的任一直线平行于另一平面.
[特别警示] 线面平行关系没有传递性，即平行线中的一 条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面.
两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面 相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证： MN∥平面BCE. [思路点拨]
[课堂笔记] 法一：过M作MP⊥BC，
2.性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅 助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行，进 而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据.
如图所示，两条异面直线BA、 DC与两平行平面α、β分别交于B、A 和D、C，M、N分别是AB、CD的中点. 求证：MN∥平面α.
[思路点拨]
[课堂笔记]
判定直线与平面平行，主要有三种方法：
1.利用定义(常用反证法).
2.利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直 线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出 该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边 或过已知直线作一平面找其交线.
3.利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一
法二：过M作MG∥AB交BB1于G，连接GN，则 ， ∵B1M＝C1N，B1A＝C1B， ∴ ，∴NG∥B1C1∥BC.
又MG∩NG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面MNG∥平面ABCD，
高中数学人教A版必修2第二章空间中的平行关系复习课件(一)
相交于点Q，E为BC的中点
E
求证：平面MNC//平面AEQ.
归纳小结，巩固提升
1.空间中三种平行的相互转化关系
⑤
线线平行 ① 线面平行 ③ 面面平行
②
④
①直线与平面平行的判定定理： a ,b , a // b a //
②直线与平面平行的性质定理： a //, a , b a // b
空间中三种平行的相互转化关系
⑤
线线平行 ① 线面平行 ③ 面面平行
②
④
①直线与平面平Leabharlann 的判定定理： a ,b , a // b a //
②直线与平面平行的性质定理： a //, a , b a // b
③平面与平面平行的判定定理：a
,
b
,ab P a // ,b //
//
④平面与平面平行的定义： // , a a //
,
b
,ab P a // ,b //
//
④平面与平面平行的定义： // , a a //
a
空间中三种平行的相互转化关系
⑤
线线平行 ① 线面平行 ③ 面面平行
②
④
①直线与平面平行的判定定理：
②直线与平面平行的性质定理：
③平面与平面平行的判定定理： ④平面与平面平行的定义：
⑤平面与平面平行的性质定理： // , a, b a // b
②
④
①直线与平面平行的判定定理： a ,b , a // b a //
②直线与平面平行的性质定理： a //, a , b a // b
空间中三种平行的相互转化关系
⑤
线线平行 ① 线面平行 ③ 面面平行
②
④
①直线与平面平行的判定定理： a ,b , a // b a //
人教高中数学必修二A版《空间直线、平面的平行》立体几何初步说课复习(直线与平面平行)
如果_平__面__外___一条直线与___此__平__面__内_______的 一条直线__平__行____，那么该直线与此平面平行
符号语言 _a_⊄_α_，__b_⊂__α_，__且__a_∥__b__ ⇒a∥α
图形语言
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第八章 立体几何初步
■名师点拨 课件
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个人简历：课件/j ia nli/
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用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线 a 在平面 α 外，即 a⊄α.
(2)直线 b 在平面 α 内，即 b⊂α.
(3)两直线 a，b 平行，即 a∥b.
栏目 导引
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第八章 立体几何初步
解：过点 E 作 EG∥FD 交 AP 于点 G，连接 CG，连接 AC 交
BD 于点 O，
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连接
FO.
因为 EG∥FD，EG⊄平面 BDF，
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1.2.2《空间中的平行关系》课件1
如果一个角的两边与另一个角的两边 分别对应平行，并且方向相同， 分别对应平行，并且方向相同，那么这 两个角相等。 两个角相等。
等角定理： 等角定理：如果一个角的两边与另一个 角的两边分别对应平行，并且方向相同， 角的两边分别对应平行，并且方向相同，那 么这两个角相等。 么这两个角相等。
C1 B1 A1
已知E、 、 、 分别是空间四边形四条 例3.已知 、F、G、H分别是空间四边形四条 已知 的中点， 边AB、BC、CD、DA的中点， 、 、 、 的中点 求证： 是平行四边形. 求证：EFGH是平行四边形 是平行四边形
练习1：在空间四边形 练习 ：在空间四边形ABCD中，E、 中 、 F、G、H分别是棱 分别是棱AB ,BC,CD，DA的 、 、 分别是棱 ， 的 中点，若对角线AC与 相等 求证： 相等， 中点，若对角线 与BD相等，求证： 四边形EFGH是菱形。 是菱形。 四边形 是菱形
A
E
H
B F C G
D
练习2 是空间四边形, 练习2：已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别 的中点, 是边AB、AD的中点, F,G 分别是边CB,CD上的点,且 上的点,
CF CG 2 = = , CB CD 3 求证: 求证:四边形EFGH是梯形
c
β
b a
？
b a c
一条直线的两直线平行， 一条直线的两直线平行，在空间中此 结论仍成立吗？ 结论仍成立吗？
问题1：在同一平面内， 问题 ？ ：在同一平面内，平行于同
问题：把一张长方形的纸对折几次， 问题：把一张长方形的纸对折几次， 打开，观察折痕， 打开，观察折痕，这些折痕之间有什么 关系？ 关系？
已 ： BAC 和∠B AC1的 AB // A B， 知 ∠ 边 1 1 1 1 AC // AC1， 且方 并 向相 。 同 1 求 ： ABC = ∠A B C1 证 ∠ 1 1
人教A版高中数学必修二《空间中的平行关系》PPT
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
空间中的平行关系-人教A版高中数学必修第二册上课用PPT
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
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5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
课堂小结
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
《空间直线、平面的平行》PPT教学课件人教A版高中数学
训练题
1.［2019·山东济南联考］如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分
别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的 交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC. 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM.
二、平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交 文字语言 线_平__行__
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a_∥__b__
图形语言
注意 空间三种平行的关系 1.由直线与直线平行可以判定直线与平面平行； 2.由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行； 3.由直线与平面平行可以判定平面与平面平行； 4.由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与 直线平行. 5.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想 方法.
同理EH∥FG.
故四边形EHFG是平行四边形.
◆证明线线平行的四种常用方法
（1）定义法：在同一平面内没有公共点的两直线平行.
（2）平行公理：a∥b，b∥c a∥c.
a∥
（3）线面平行的性质定理：a
a∥b.
b
∥
（4）面面平行的性质定理：
a
a∥b.
b
◆常用的面面平行的其他几个性质 （1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 平面. （2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. （3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. （5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平 行.
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（同步复习精讲辅导）北京市2017-2018学年高中数学 空间中的平
行关系讲义 新人教A 版必修2
引入
还记得上一讲我们讨论过的正方体截面问题吗？我们用运动的观点，找出了正方体截面很多不同的形状：三角形，矩形，梯形，五边形，六边形。
这里请同学们思考一下，正方体截面可以是正五边形吗？为什么？
重难点易错点解析
题1
题面：下列命题，其中正确的是（ ）．
①若直线a ∥b ，b 在面α内，则 a ∥α；
②若直线a ∥α，b 在面α内， 则 a ∥b ；
③若直线a ∥b ，a ∥α， 则 b ∥α；
④若直线a ∥α，b ∥α， 则 a ∥b
A ．①④ B．①③ C．② D．均不正确
金题精讲
题1 题面：βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（ ）．
A ．,m n 是α内的两条直线，且//,//m n ββ
B ．α内不共线三点到β的距离都相等
C ．βα,都垂直于平面γ
D ．,m n 是两条异面直线，,m n αβ⊂⊂，且//,//m n βα
题2
题面：l 、m 为直线，α为平面，且l α⊥，下列四个命题：①若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α，其中真命题．．．
的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
题3
题面：已知平面βα,，EF α
β=，直线AB ，//AB α且//AB β，求证：AB //EF ．
题4
题面：直三棱柱111ABC A B C -中，D 是AB 的中点．求证：1//AC 平面1CDB ．
题5
题面：如图，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，求证：MN //平面ABD ．
题6 题面：已知正方体1111D C B A ABCD -中，M ,N 分别为B A 1,AC 上的点，
NC AN MB M A ::1=，求证：//MN 平面C C BB 11．
题7
题面：如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．求证：//EF 平面SAD ．
思维拓展
S
B F
E D
C A
A C B
A 1 C 1
B 1
D
题1
题面：判断：已知//a α，过平面内一点作//b a ，则b α⊂．
学习提醒
线面平行是基础；挖掘中点利用好；还有困难造平面。
讲义参考答案
重难点易错点解析题1
答案：D．
金题精讲
题1
答案：D．
题2
答案：C．
题3
答案：证明略．题4
答案：证明略．题5
答案：证明略．题6
答案：证明略．题7
答案：证明略．思维拓展
题1
答案：对．。