陕西省2016中考数学复习针对性训练：二次函数的综合题二十一(针对陕西中考第25题)
2016年中考数学分类汇编二次函数压轴题含答案
2016年中考数学与二次函数有关的压轴题纵观2016年全国各省市中考数学试卷其中与二次函数有关的压轴题，其考点涉及：一次函数、二次函数的性质，函数图像上点的坐标与方程的关系；轴对称和等腰三角形的性质；特殊平行四边形性质；图形的旋转变换；相似三角形的性质；锐角三角函数应用；圆的性质；阅读理解，等.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；转化，等.现选取部分省市的2016年中考题展示，以飨读者.一、与特殊平行四边形性质的有关综合题【题1】（2016•成都第28题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点C代入抛物线解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出点A、B坐标．（2）先求出四边形ABCD面积，分两种情形：①当直线l边AD相交与点M1时，根据S=×10=3，求出点M1坐标即可解决问题．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2坐标．（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x 1=2，x 2=﹣4， ∴A （﹣4，0），B （2，0）．（2）∵A （﹣4，0），B （2，0），C （0，﹣），D （﹣1，﹣3）∴S 四边形ABCD =S △ADH +S 梯形OCDH +S △BOC =×3×3+（+3）×1+×2×=10． 从面积分析知，直线l 只能与边AD 或BC 相交，所以有两种情况： ①当直线l 边AD 相交与点M 1时，则S =×10=3，∴×3×（﹣y）=3∴y=﹣2，点M 1（﹣2，﹣2），过点H （﹣1，0）和M 1（﹣2，﹣2）的直线l 的解析式为y =2x +2．②当直线l 边BC 相交与点M 2时，同理可得点M 2（，﹣2），过点H （﹣1，0）和M 2（，﹣2）的直线l 的解析式为y =﹣x ﹣．综上所述：直线l 的函数表达式为y =2x +2或y =﹣x ﹣．（3）设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）且过点H （﹣1，0）的直线PQ 的解析式为y =kx +b ， ∴﹣k +b =0， ∴b =k ， ∴y =kx +k ． 由，∴+（﹣k ）x ﹣﹣k =0，∴x 1+x 2=﹣2+3k ，y 1+y 2=kx 1+k +kx 2+k =3k 2，∵点M 是线段PQ 的中点，∴由中点坐标公式的点M （k ﹣1， k 2）． 假设存在这样的N 点如图，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y =kx +k ﹣3 由，解得：x 1=﹣1，x 2=3k ﹣1，∴N （3k ﹣1，3k 2﹣3）∵四边形DMPN 是菱形， ∴DN =DM ，∴（3k ）2+（3k 2）2=（）2+（）2，整理得：3k 4﹣k 2﹣4=0， ∵k 2+1＞0， ∴3k 2﹣4=0， 解得k =±，∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．【题2】（2016•泰安第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M、N的坐标．【考点】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，∴当x=﹣=时，∴S四边形APCD最大=，（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．【题2】（2016•东营第25题）参考答案：【题3】（2016•扬州第28题）如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1.（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 在该二次函数的图像上，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图3，一次函数y kx =（k ＞0）的图像与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线TM ⊥OC ，垂足为点M ，且M 在线段OC 上（不与O 、C 重合），过点T 作直线TN ∥y 轴交OC 于点N 。
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。
(完整版)到陕西中考数学二次函数综合题(无答案)
二次函数与几何图形结合题（24题考查）（2007 陕西） 24．（本题满分10分）如图，在直角梯形OBCD 中，8110OB BC CD ===，，． （1）求C D ，两点的坐标；（2）若线段OB 上存在点P ，使PD PC ⊥，求过D P C ，， 三点的抛物线的表达式．（2008陕西）（2009 陕西）（第24题（2010 陕西）（2011 陕西） 24．（本题满分10分） 如图，二次函数x x y 31322—=的图像经过△AOC 的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n) 一、求A 、B 的坐标二、在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形三、这样的点C 有几个？四、能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点，若能求出平移后经过A 、C 两点的一条抛物线的解读式；若不能，说明理由。
(2012年24题)24.（2012）如果一条抛物线()2=++0y ax bx c a ≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线()2=-+>0y x bx b 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；（3）如图，△OAB 是抛物线()2=-+''>0y x bx b 的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O C D 、、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（2013年24题）２４.（2013）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A （1,0）B （3,0）两点.（1）写出这个二次函数图像的对称轴；（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y 轴交与点C ，它的对称轴与x 轴交与点E ，连接AC 、DE 和DB.当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式.（2014年24题）24.（2014）已知抛物线C:c bx x y ++-=2经过A(-3，0)和B(0，3)两点，将抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x 轴的交点记为N.(1)求抛物线C 的表达式； （2）求点M 的坐标；（3）将抛物线C 平移到抛物线C ’，抛物线C ’的顶点记为M ’、它的对称轴与x 轴的交点记为N ’。
西安备战中考数学《二次函数的综合》专项训练
西安备战中考数学《二次函数的综合》专项训练一、二次函数1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
（2）点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。
【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。
∴AO=3。
∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。
∴BD=4。
∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，∴x 轴下方不存在B 点。
∴点B 的坐标为：（4，4）。
（3）存在。
∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 4442=+=。
若∠POB=90°，则∠POD=45°。
2016陕西中考数学试题及答案解析
2016陕西中考数学试题及答案解析2016年陕西中考数学试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是正确的？A. 2x + 3 = 5x - 1B. 2x + 3 = 5x + 1C. 2x + 3 = 5x - 2D. 2x + 3 = 5x + 2答案：B解析：将等式两边的x项和常数项分别合并，得到3x = 4，解得x = 4/3，代入选项B验证，等式成立。
2. 已知a、b、c是三角形的三边，下列哪个条件能保证三角形为直角三角形？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 - b^2 = c^2C. a^2 + b^2 > c^2D. a^2 + b^2 < c^2答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和，因此选项A正确。
3. 以下哪个函数是一次函数？A. y = 2x^2 + 3B. y = 2x + 3C. y = 3/xD. y = x^3 - 2答案：B解析：一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数，且k 不等于0。
选项B符合这一形式。
4. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 圆B. 正方形C. 等边三角形D. 所有选项答案：D解析：圆、正方形和等边三角形都是轴对称图形，因此所有选项都正确。
5. 以下哪个选项是正确的？A. √16 = 4B. √16 = -4C. √16 = ±4D. √16 = 4或-4答案：A解析：根据平方根的定义，√16 = 4，因为4的平方等于16。
6. 以下哪个选项是正确的？A. 3x - 2 = 7x + 4B. 3x - 2 = 7x - 4C. 3x - 2 = -7x + 4D. 3x - 2 = -7x - 4答案：C解析：将等式两边的x项和常数项分别合并，得到10x = 6，解得x = 3/5，代入选项C验证，等式成立。
7. 以下哪个函数是反比例函数？A. y = 2/xB. y = 2xC. y = x^2D. y = √x答案：A解析：反比例函数的一般形式为y = k/x，其中k为常数。
2016年全国中考数学真题分类 二次函数的图象与性质(习题解析)
2016年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象一、选择题10．（2016内蒙古呼和浩特，10，3分）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A．6 B．3 C．﹣3 D．0【考点】根与系数的关系；二次函数的最值．【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4（a﹣）2﹣3，当a=2时，（m ﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，代入即可得到结论．【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，∴m+n=2a，mn=2，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3，∵a≥2，∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6，故选A．10．（2分）（2016•沈阳，10，2分）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答．【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用了“数形结合”的数学思想．9．（2016四川攀枝花，9，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C 错误；由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．【答案】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，∴2a+b=0，∴选项A错误；∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴选项B错误；∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，∴选项C错误；当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，∴D点坐标为（1，﹣2），∴AE=2，BE=2，DE=2，∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，∴△ADB为等腰直角三角形，∴选项D正确．故选D．12．（2016广西南宁，12，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴﹣＞0．设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，∵a＞0，∴＞0，∴a+b＞0．7．（2016湖南常德，7，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【答案】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，故②正确；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确正确的有3个，故选：C．11．（2016四川眉山，11，3分）若抛物线不动，将平面直角坐标系xoy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．2(2)5=-+y x=-+B．2(2)3y xC．21=+y xy x=-D．2410.(2016陕西10，3分）已知抛物线322+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为 【 D 】A.21B. 55 C. 552 D. 221．（2016台湾，21）坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a ）、（3，b ）、（﹣1，c ）、（﹣3，d ）四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a B ．b C ．c D ．d【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】根据抛物线顶点及对称轴可得抛物线与x 轴的交点，从而根据交点及顶点画出抛物线草图，根据图形易知a 、b 、c 、d 的大小． 【答案】解：∵二次函数图形的顶点为（2，﹣1）， ∴对称轴为x=2， ∵×PQ=×6=3，∴图形与x 轴的交点为（2﹣3，0）=（﹣1，0），和（2+3，0）=（5，0）， 已知图形通过（2，﹣1）、（﹣1，0）、（5，0）三点， 如图，由图形可知：a=b ＜0，c=0，d ＞0． 故选：D ．二、填空题18．（2016湖北荆州，18，3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为﹣1或2或1 ．【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b2﹣4ac=0，进而解方程得出答案．【解答】解：∵函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，解得：a1=﹣1，a2=2，当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：a=1．故答案为：﹣1或2或1．16．(2016辽宁大连，16，3分)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B （m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是（﹣2，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得=，解得x=﹣2，即A点坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．（2016•大庆，18，3分）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b=，化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，又∵OA⊥OB，∴=，解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．三、解答题25．（2016•广东茂名，25，8分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．【思路分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．【答案】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），设直线BD的解析式为：y=mx+n，则，解得，，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P的坐标为（2，2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=，∴当以F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．26．（2016四川眉山，26，11分）已知如图，在平面直角坐标系xoy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在⑵的条件下，请求出当||PM AM-的最大值时点M的坐标，并直接写出||PM AM-的最大值.【答案】（1）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c=++∵A(1，0)、B(0，3)、C(－4，0)，∴31640 a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解之34a=-，94b=-，3c=，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为239344y x x=--+…3分（2）∵OB＝3，OC＝4，∴BC＝AC＝5.当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP＝AC＝5，且点P到轴的距离等于OB.∴点P的坐标为(5，3).当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点P的坐标为(5，3)时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形…6分（3）设直线PA的解析式为(0)y kx b k=+≠225xy=-⎧⎨=-⎩.∴53k bk b+=⎧⎨+=⎩. 解之34k=，34b=-.∴直线PA的解析式为3344y x=-……7分当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系||PM AM PA-<，当点M与点P、A在同一直线上时，||PM AM PA-=，∴当点M与点P、A在同一直线上时，||PM AM-的值最大，即点M为直线PA 与抛物线的交点……8分解方程组2334439344y xy x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩得111xy=⎧⎨=⎩、22592xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.∴点M的坐标为(1，0)或(－5，－92)时，||PM AM-的值最大……10分此时||PM AM-的最大值为5.……11分24. （2016湖南张家界，24，10分）已知抛物线2－3 (a0) 的图象与y轴交于点A(0，)，顶点为B. （1）试确定a的值，并写出B点的坐标；(2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；(3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；(4）若将抛物线平移m（m0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由。
陕西省铜川市中考数学专题题型复习04：二次函数的综合
陕西省铜川市中考数学专题题型复习04：二次函数的综合姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共2题；共15分)1. （10分） (2016九上·南岗期末) ⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG，与弦BC相交于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，求证：AG=CP；（2）如图2，过点P作AB的垂线，垂足为点H，连接DH，求证：DH∥AG；（3）如图3，连接PA，延长HD分别与PA、PC相交于点K、F，已知FK=2，△ODH的面积为2 ，求AC 的长．2. （5分） (2019九上·高要期中) 如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．二、综合题 (共20题；共310分)3. （15分） (2020八下·微山期末) 如图，在平面直角坐标系第一象限内有矩形，轴，过，两点作直线，已知，，点坐标为．（1）填空：点的坐标是________，点的坐标是________，点的坐标是________；（2）若直线沿轴上下平移，当直线与矩形有且只有一个公共点时，直接写出此时直线的解析式；（3）在（2）中平移过程中，设直线与轴，轴交点为，，那么直线是否会平分矩形的面积？若会，画出此时直线（不需证明）并求出的面积；若不会，请说明理由．4. （15分）(2013·梧州) 如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．5. （15分）(2018·黄石) 已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．6. （15分）(2020·沈阳) 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点，（1）求抛物线的表达式；（2）如图，线段绕原点O逆时针旋转30°得到线段 .过点作射线，点M是射线上一点(不与点B重合)，点M关于x轴的对称点为点N，连接①请直接写出的形状为_▲_.②设的面积为的面积为是，当时，求点M的坐标；（3）如图，在（2）的结论下，过点B作，交的延长线于点E，线段绕点B逆时针旋转，旋转角为得到线段，过点F作轴，交射线于点K，的角平分线和的角平分线相交于点G，当时，请直接写出点G的坐标为________.7. （15分）(2018·长春模拟) 在平面直角坐标系中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的关联直线为y=a（x ﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的关联直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．（1）如图，对于抛物线y=﹣（x﹣1）2+3．①该抛物线的顶点坐标为________，关联直线为________，该抛物线与其关联直线的交点坐标为________和________；（2）顶点在第一象限的抛物线y=﹣a（x﹣1）2+4a与其关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，直线AB与x轴交于点D，连结AC、BC．①求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．8. （20分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9. （15分）(2019·陕西模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）求点P，C的坐标；（2）直线l上是否存在点Q，使的面积等于的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10. （10分） (2020九上·长春期末) （知识回顾）我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（1）（定理证明）将下列的定理证明补充完整：已知：如图①，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC中点，连结DE ．求证：证明：（2）（定理应用）如图②，在△A BC中，AB＝10，∠ABC＝60°，点P、Q分别是边AC、BC的中点，连结PQ ．线段PQ的长为________．（3）以点C为一个端点作线段CD（CD与AB不平行），连结AD ，取AD的中点M ，连结PM、QM ．①在图②中补全图形．②当∠PQM＝∠PMQ时，求CD的长．③在②的条件下，当△PQM面积最大时，直接写出∠BCD的度数．11. （15分）(2020·连云港) 在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P.（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；（2）当的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若与相似，求其“共根抛物线” 的顶点P的坐标.12. （15分）(2019·霞山模拟) 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），于y轴交于C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若M是抛物线的对称轴与直线BC的交点，N是抛物线的顶点，求MN的长；（3）若点P是抛物线上点，当S△PAB＝8时，求点P的坐标．13. （10分） (2017八下·东营期末) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14. （20分） (2018八上·常州期中) 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．15. （15分）(2018·衡阳) 如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC 轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与 AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．16. （15分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动，过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM，PN，当点N运动到点A时，M，N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t=________秒时，动点M，N相遇（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式（3）取线段PM的中点K，连接KA，KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．17. （20分）(2018·盐城) 如图，在以线段为直径的上取一点，连接、 .将沿翻折后得到 .（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使 .求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.18. （20分）(2017·越秀模拟) 设二次函数y1=a（x﹣2）2+c（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1），在x 轴上截得的线段长为．（1）求a、c的值．（2）对于任意实数k，规定：当﹣2≤x≤1时，关于x的函数y2=y1﹣kx的最小值称为k的“贡献值”，记作g（k）．求g（k）的解析式．（3）在（2）条件下，当“贡献值”g（k）=1时，求k的值．19. （15分）如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．20. （15分）(2019·海港模拟) 某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天)的关系如下表：时间t（天）1357…日销售量m（件）94908682…未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天)的函数关系式为y1=0．25+25(1≤t≤20，且t 为整数），后20天每天的价格y2=-0．5t+40（21≤t≤40，且t为整数），下面我们来研究销售这种商品的有关问题。
中考数学总复习《二次函数的图象与性质》专项测试卷带答案
中考数学总复习《二次函数的图象与性质》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是( )A.对称轴为x=-2B.顶点坐标为(2,3)C.函数的最大值是-3D.函数的最小值是-32.将抛物线y=x2向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是( )A.y=(x-3)2+4B.y=(x+3)2+4C.y=(x+3)2-4D.y=(x-3)2-43.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(3,y3)是抛物线y=-(x-2)2-m+4上的三个点,若x1>x2>3,则( )A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y1>y3D.y2<y3<y15.已知抛物线y=x2+bx+c过点A(m,n),B(m-4,n),且它与x轴只有一个公共点,则n 的值是( )A.4B.-4C.6D.166.(2024·内江中考)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上,则y1y2(填“>”或“<”).【B层·能力提升】7.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是( )A.(m,n+1)B.(m+1,n)C.(m,n-1)D.(m-1,n)8.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是( )A.b+c>1B.b=2C.b2+4c<0D.c<09.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:x…-4-2035…y…-24-80-3-15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )A.图象的开口向上B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x=110.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x =-1,下列四个结论:①abc <0;②4a -2b +c <0;③3a +c =0;④当-3<x <1时,ax 2+bx +c <0;其中正确结论的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个11.(2024·广安中考)如图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0)的图象与x 轴交于点A (-32,0),对称轴是直线x =-12,有以下结论:①abc <0;②若点(-1,y 1)和点(2,y 2)都在抛物线上,则y 1<y 2;③am 2+bm ≤14a -12b (m 为任意实数);④3a +4c =0,其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12.若一个函数的图象关于y 轴对称,则称这个函数为偶函数,如二次函数y =-x 2是偶函数.若二次函数y =2x 2+(3-a )x +8是偶函数,则a 的值为 . 13.如图,已知二次函数y =x 2+bx +c 图象经过点A (1,-2)和B (0,-5).(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标; (2)当y ≤-2时,请根据图象直接写出x 的取值范围.【C层·素养挑战】14.已知二次函数y=x2-2ax+1.(1)若二次函数的图象经过点(1,-2),求a的值;(2)在(1)的条件下,当m-2≤x≤2时,二次函数的最大值是6,求m的值;(3)已知点A(-2,7),B(3,2),直线AB与x轴和y轴分别交于点E,F,若y=x2-2ax+1与直线AB有两个不同的交点,其中一个交点在线段AF上(包含A,F两个端点),另一个交点在线段BE上(包含B,E两个端点),直接写出a的取值范围.参考答案【A层·基础过关】1.已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是(C)A.对称轴为x=-2B.顶点坐标为(2,3)C.函数的最大值是-3D.函数的最小值是-32.将抛物线y=x2向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是(A)A.y=(x-3)2+4B.y=(x+3)2+4C.y=(x+3)2-4D.y=(x-3)2-43.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(3,y3)是抛物线y=-(x-2)2-m+4上的三个点,若x1>x2>3,则(B)A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y1>y3D.y2<y3<y15.已知抛物线y=x2+bx+c过点A(m,n),B(m-4,n),且它与x轴只有一个公共点,则n 的值是(A)A.4B.-4C.6D.166.(2024·内江中考)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上,则y1<y2(填“>”或“<”).【B层·能力提升】7.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是(D)A.(m,n+1)B.(m+1,n)C.(m,n-1)D.(m-1,n)8.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是(A)A.b+c>1B.b=2C.b2+4c<0D.c<09.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:x … -4 -2 0 3 5 …y … -24-8-3-15 …则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D) A.图象的开口向上B.当x >0时,y 的值随x 值的增大而减小C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x =110.如图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x =-1,下列四个结论:①abc <0;②4a -2b +c <0;③3a +c =0;④当-3<x <1时,ax 2+bx +c <0;其中正确结论的个数为(D)A.1个B.2个C.3个D.4个11.(2024·广安中考)如图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0)的图象与x 轴交于点A (-32,0),对称轴是直线x =-12,有以下结论:①abc <0;②若点(-1,y 1)和点(2,y 2)都在抛物线上,则y 1<y 2;③am 2+bm ≤14a -12b (m 为任意实数);④3a +4c =0,其中正确的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个12.若一个函数的图象关于y 轴对称,则称这个函数为偶函数,如二次函数y =-x 2是偶函数.若二次函数y =2x 2+(3-a )x +8是偶函数,则a 的值为 3 . 13.如图,已知二次函数y =x 2+bx +c 图象经过点A (1,-2)和B (0,-5).(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标; (2)当y ≤-2时,请根据图象直接写出x 的取值范围.【解析】(1)把A (1,-2)和B (0,-5)代入y =x 2+bx +c 得,{1+b +c =-2c =-5,解得{b =2c =-5∴二次函数的表达式为y =x 2+2x -5 ∵y =x 2+2x -5=(x +1)2-6 ∴顶点坐标为(-1,-6); (2)如图:∵点A (1,-2)关于对称轴直线x =-1的对称点C 为(-3,-2) ∴当y ≤-2时,x 的取值范围是-3≤x ≤1.【C 层·素养挑战】14.已知二次函数y =x 2-2ax +1.(1)若二次函数的图象经过点(1,-2),求a 的值;(2)在(1)的条件下,当m -2≤x ≤2时,二次函数的最大值是6,求m 的值;(3)已知点A (-2,7),B (3,2),直线AB 与x 轴和y 轴分别交于点E ,F ,若y =x 2-2ax +1与直线AB 有两个不同的交点,其中一个交点在线段AF 上(包含A ,F 两个端点),另一个交点在线段BE 上(包含B ,E 两个端点),直接写出a 的取值范围. 【解析】(1)∵二次函数的图象经过点(1,-2) ∴-2=1-2a +1 ∴a =2.(2)由(1)可知二次函数为y =x 2-4x +1 ∵y =x 2-4x +1=(x -2)2-3∴抛物线y =x 2-4x +1开口向上,对称轴为直线x =2,顶点为(2,-3) ∵当m -2≤x ≤2时,二次函数的最大值是6 ∴当x =m -2时,二次函数的最大值是6 ∴(m -2-2)2-3=6解得m =1或m =7(舍去),故m 的值为1. (3)∵已知点A (-2,7),B (3,2)∴设直线AB 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 将A (-2,7),B (3,2)代入得:{-2k +b =73k +b =2解得:{k =-1b =5,经过E (5,0)时,a =135∴43≤a ≤135.。
专题06 二次函数(好题精选)-2016年中考数学优质试题专项训练【原卷版】
2016年中考数学优质试题专项训练【好题精选】专题06一、选择题（共 6 小题，每题 5分，共30分）1.【试题来源】2016届陕西省西安市蓝田县九年级上学期期末数学试卷已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a ，b ，c 为常数）的y 与x 的部分对应值如下表：判断方程ax 2+bx+c=0的一个解x 的取值范围是（ ）A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.262.【试题来源】2016届山东省潍坊市诸城市枳沟中学九年级上学期1月月考数学试卷抛物线y=x 2﹣4x ﹣7的顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣11）B ．（﹣2，7）C ．（2，11）D ．（2，﹣3）3.【试题来源】2016届云南省昆明市西山区团结民族中学九年级上学期期末考试数学试卷已知二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图像如图所示，对称轴为x= -1，则下列式子正确的个数是（ ）（1）abc ＞0 （2）2a+b=0 （3）4a+2b+c ＜0 （4）b 2-4ac ＜0A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4.【试题来源】2016届浙江省宁波市江北中学九年级上学期期中数学试卷如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（ ）①abc ＞0；②3a+b ＞0；③﹣1＜k ＜0；④k ＞a+b ；⑤ac+k ＞0．A．1 B．2 C．3 D．45.【试题来源】2015届浙江省杭州市西湖区中考一模数学试卷已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（）．A、若y1=y2，则x1=x2 B．若x1=﹣x2，则y1=﹣y2A．C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y26.【试题来源】2015届山东省枣庄市滕州市鲍沟中学中考模拟数学试卷如图，⊙O被抛物线y=12x2所截的弦长AB=4，则⊙O的半径为（）．A．2 B．C．4二、填空题（共6小题，每题 5分，共 30分）7.【试题来源】2015届福建省泉州第一中学高中自主招生考试数学试卷已知函数()()()()22113513x xyx x⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为________．8.【试题来源】2015届吉林省长春市朝阳区中考一模数学试卷如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-2）2与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B，C重合），连结PC，PD，则△PCD面积的最大值是．9.【试题来源】2015届湖北省黄冈市关口中学中考模拟数学试卷黄冈市与A 市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m 与该列车每次拖挂车厢节数n 的部分数据如下：（1）请你根据上表数据，在三个函数模型：①y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）；②y ＝k x （k 为常数，k ≠0）；③y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）中，选取一个适合的函数模型，求出的m 关于n 的函数关系式是m ＝ （不写n 的取值范围）（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q 最多（每节车厢载客量设定为常数p ）．10.【试题来源】2015届山东省枣庄市周村中学中考模拟数学试卷若把二次函数y=x 2+6x+2化为y=（x-h ）2+k 的形式，其中h ，k 为常数，则h+k= ．11.【试题来源】2015届江苏省扬州市江都区八校联考中考模拟数学试卷如图，抛物线l ：x x y 222-=，将该抛物线向左并向上平移，使顶点Q 的对应点是Q ′，抛物线l 与x 轴的右交点P 的对应点是P ′，点P ′、Q ′都在坐标轴上，则在这个平移的过程中，抛物线l 上曲线段PQ 扫过的面积（即图中阴影部分的面积）为 ．12.【试题来源】2015年初中毕业升学考试（湖南邵阳卷）数学抛物线y=x 2+2x+3的顶点坐标是 ．三、解答题（共4小题，每题10分，共40分）.13.【试题来源】2015届天津市蓟县中考一模数学试卷如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？14.【试题来源】2015届湖北省武汉市元月九年级调考数学试卷某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件．设这段时间内售出该商品的利润为y元．（1）直接写出利润y与售价x之间的函数关系式；（2）当售价为多少元时，利润可达1000元；（3）应如何定价才能使利润最大？15.【试题来源】2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟数学试卷阅读以下材料：对于三个数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2，3}=123433-++=；min{-1，2，3}=-1，…解决下列问题：（1）填空：如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为；（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x；②根据①，你发现了结论：如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么（填a、b、c的大小关系），证明你发现的结论．③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，+2x-y，则x+y=（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x-1）2，y=2-x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x-1）2，2-x}的最大值为．16.【试题来源】2015届江苏省扬州市仪征市中考一模数学试卷东方专卖店专销某种品牌的钢笔，进价12元/支，售价20元/支．为了促销，专卖店决定凡是买10支以上的，每多买一支，售价就降低0．10元（例如，某人买20支钢笔，于是每只降价0．10×=1元，就可以按19元/支的价格购买），但是最低价为16元/支．（1）求顾客一次至少买多少支，才能以最低价购买？（2）写出当一次购买x支时（x＞10），利润y（元）与购买量x（支）之间的函数关系式；（3）有一天，一位顾客买了46支，另一位顾客买了50支，专卖店发现卖了50支反而比卖46支赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/支至少要提高到多少，为什么？。
【中考全程总复习】2016中考数学(陕西专版)总复习专题综合强化课件：专题五 二次函数的综合探究
1 2
x＋
1)，(x,0)．
∴MN＝PN－PM＝－
5 4
x2－
17 4
x
＋1－(－12x＋1)＝－54x2－145x＝－54(x＋32)2＋4156，
则当x＝－32时，MN的最大值为4156；
(3)存在点N，使得四边形BCMN是菱形． 连接MC、BN、因为四边形BCMN是菱形，由于BC∥ MN，即MN＝BC，且BC＝MC， 即－54x2－145x＝52，且(－12x＋1)2＋(x＋3)2＝245， 解得：x＝－1，故当N(－1,4)时，四边形BCMN是菱 形．
注意二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有以下变换规律：
(1)平移：二次函数图象左右或上下平移，a值不变；
(2)轴对称：二次函数图象关于x轴对称后，a值为原 来的相反数；二次函数图象关于y轴对称后，a值不 变；
(3)旋转：以二次函数图象的顶点为中心，旋转180° 的图象变换，a值变为原来的相反数．
∴抛物线的表达式为：y＝ 33x2－233x；
(2)过点M作MF⊥OB于点F，
∵y＝
33x2－2 3 3x＝
33(x2－2x)＝
33(x2－2x＋1－1)＝
3 3
(x－1)2－ 33，
∴M点坐标为：(1，－ 33)，
3
∴tan∠FOM＝
3 1
＝
33，
∴∠FOM＝30°，
∴∠AOM＝30°＋120°＝150°；
(3)在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得 两种情形，①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点， ②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点．讨论时可 设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，
进而描述面积函数．利用二次函数最值性质可求得 最大面积．
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二次函数的综合题二十一(针对陕西中考第25题)
1．如图，△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A ，C 分别是一次函数y ＝－34
x ＋3的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数y ＝18
x 2＋bx ＋c 的图象上，且该二次函数的图象上存在一点D ，使四边形ABCD 构成平行四边形．
(1)求二次函数的解析式；
(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒一个单位的速度运动，请问当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积最小是多少？
解：
(1)∵y ＝－34
x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，∴A(0，3)，当y ＝0时，x ＝4，∴C(4，0)，B(－4，0), ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴D(8，3), 把B(－4，0), D(8，3)两
点代入y ＝18x 2＋bx ＋c 中， 解得b ＝－14，c ＝－3，即二次函数的解析式为 y ＝18x 2－14
x －3 (2)如图，∵OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5，∵S 四边形PDCQ ＋S △APQ ＝S △ACD, 且S △ACD ＝12
×8×3＝12，∴S △APQ 的面积最大时，四边形PDCQ 的面积最小， 设运动时间为t ，则AP ＝t ，CQ ＝t ，AQ ＝5－t ，过点Q 作QH ⊥AD 于点H, 则△AQH ∽△CAO ，∴QH AO ＝AQ CA ，∴QH 3＝5－t 5，解得，QH ＝35(5－t), ∴S △APQ ＝12AP ×QH ＝12t ×35(5－t)＝－310(t －52)2＋158
，∴当t ＝52时，S △APQ 的最大值是158，∴S 四边形PDCQ ＝12－158＝818，∴当点P 运动52
个单位时，四边形PDCQ 的面积最小，且四边形PDCQ 的面积最小值是818
2．(2010·陕西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－
1)三点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q ，P ，A ，B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．
解：
(1)设该抛物线的表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ，根据题意，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝13
，b ＝－23，c ＝－1，
∴所求抛物线的表达式为y ＝13x 2－23x －1 (2)①AB 为边时，只要PQ ∥AB 且PQ ＝AB ＝4即可．又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或－4，这时符合条件的点P 有两
个，分别记为P 1，P 2，而当x ＝4时，y ＝53；当x ＝－4时，y ＝7，此时P 1(4，53
)，P 2(－4，7) ②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可，又知点Q 在y 轴上，Q 点横坐标为0，且线段AB 中点的横坐标为1，∴由中点坐标公式，得点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个，记为P 3，而且当x ＝2时y ＝－1，此时P 3(2，－1)，综上，满
足条件的P 为P 1(4，53
)，P 2(－4，7)，P 3(2，－1)。