数字信号处理期末复习资料终极版

【1】 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A是常数；解：3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；【2】.设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； 解 令：输入为0()x n n -，输出为'000'0000()()2(1)3(2)()()2(1)3(2)()y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=故该系统是时不变系统。

12121212()[()()]()()2((1)(1))3((2)(2))y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+-1212[()()][()][()]T a x nb x na T x nb T x n +=+故该系统是线性系统。

（2）y(n)=x(n)sin(ωn) 解：令输入为x(n －n0)输出为 y ′(n)=x(n －n0) sin(ωn)y(n －n0)=x(n －n0) sin ［ω(n －n0)］≠y ′(n) 故系统不是非时变系统。

由于 T ［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn)=aT ［x1(n)］+bT ［x2(n)］ 故系统是线性系统。

【3】.给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。

y(n)=x(n)+x(n+1)解： 该系统是非因果系统， 因为n 时间的输出还和n 时间以后（（n+1）时间）的输入有关。

如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统【4】.用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F ≤50 Hz ， 信号最高频率为 1 kHz ， 试确定以下各参数：(1) 最小记录时间Tp min ；(2) 最大取样间隔Tmax ； (3) 最少采样点数Nmin ； (4) 在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F 缩小一半）的N 值。

解：（1）已知F=50 Hz ，因而s 02.05011min p ===F T （2）ms 5.010212113max mins max =⨯===f f T （3）40ms0.5s 02.0T T max min p min ===N （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大1倍，即为0.04 s ， 实现频率分辨率提高1倍（F 变为原来的1/2）。

80ms0.5s04.0min ==N【5】设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。

按照图写出x(n)和h(n)的表达式:()(2)(1)2(3)1()2()(1)(2)2x n n n n h n n n n δδδδδδ=-++-+-=+-+-因为 ()*()()()*()()x n n x n x n A n k A x n k δδ=-=- 所以1()()*[2()(1)(2)]212()(1)(2)2y n x n n n n x n x n x n δδδ=+-+-=+-+- 将x(n)的表达式代入上式，得到()2(2)(1)0.5()2(1)(2) 4.5(3)2(4)(5)y n n n n n n n n n δδδδδδδδ=-+-+-+-+-+-+-+-【6】两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0 n<0, 8≤ny(n)=0 n<0, 20≤n对每个序列作20点DFT ， 即 X(k)=DFT ［x(n)］ k=0, 1, …, 19Y(k)=DFT ［y(n)］ k=0, 1, …, 19 试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？解: 如前所述， 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT ［F(k)］=x(n) 20 y(n)。

fl(n)长度为27， f(n)长度为20。

由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为∑∞-∞=+=m ln Rm n f n f )()20()(20只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n ≤19【7】设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n －1)+y(n －2)+x(n －1) （1） 求系统的系统函数H(z)，（2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n) （3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。

解：（1）y(n)=y(n －1)+y(n －2)+x(n －1)进行Z 变换，得到 Y(z)=Y(z)z －1+Y(z)z －2+X(z)z －1因此11)(2211--=--=---z z zz z z z H ，零点为z=0 令z2－z －1=0， 求出极点： 2511+=z ，2512-=z(2) 由于限定系统是因果的，收敛域需选包含∞点在内的收敛域，即2/)51(+>z 。

由z z z H z H T Z n h c n d )(πj 21)]([)(11⎰--==，得()()1)(212z z z z z z z z z H --=--= 令()()211)()(z z z z z z z H z F n n --==-，得2511+=z ，2512-=z n ≥0时，h(n)=Res ［F(z), z1］+Res ［F(z), z2］()()()()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+-=---+---===n n n n z z nz z n z z z z z z z z z z z z z z z z z z 25125151z z 12221122112121因为h(n)是因果序列，n<0时，h(n)=0，故)(25125151)( n u n h nn ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（3）由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即|z 2|<|z|<|z 1|。

()()211)()(z z z z z zz H z F nn --==-① n ≥0时，c 内只有极点z 2，只需求z 2点的留数，nz z F n h )251(51]),([s Re )(2--==。

②n<0时，c 内只有两个极点：z 2和z=0，因为z=0是一个n 阶极点，改成求圆外极点留数，圆外极点只有一个，即z 1, 那么nz z F n h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=25151]),([s Re )(1。

最后得：)1(25151)(25151)(--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=n u n u n y nn。

【8】频域循环移位定理证明 ：DFT 的频域循环卷积定理重写如下:设h(n)和x(n)的长度分别为N 和Mh(n)x (n)(n)y m =L DFT[h(n)]H(k)=，LDFT[x (n)]X(k)=则∑-=-=O ==10)())(()(1)()(1)]([)(L j L L L m m k R k j X j H L k X k H L n y DFT k Y ，其中 L ≥max ［N ，M ］根据DFT 的惟一性，只要证明h(n)x (n)]IDFT[Y m (k)(n)y m ==，就证明了DFT 的频域循环卷积定理。

1j 0110j 011()j 001()[()]()(())()11 ()(())11 ()(()) 1()(())L m m L L N L kn L Nk L N jn k j nL N N k m k jL m y n IDFT Y k IDFT H j X j k R k L H j X k j W L L H j W X k j W L L h n X m L -=---==-----===-=⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=∑∑∑∑∑令110101()(())1 ()()()()N j N mn mnN L N j m N mnL N m W h n X m W L h n X m W h n x n L ------=--====∑∑∑【9】已知模拟滤波器的系统函数：1321)(2++=s s s H a ，试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。

设T=2 s 。

解：①用脉冲响应不变法： 112111321)(2+-++=++=s s s s s H a12112112111111111)(----=------+-=--+-=z e z e z e z ez H T T T②用双线性变换法：()()()()12121221211121111262111312111131121)()(11-----------+-=-++=++++++=++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==--z z z z z z z z z z z s H z H z z s a【10】已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N 的实序列。

设F(k)=DFT ［f(n)]n,0≤k ≤N －1(1)为实数b a bW b aW a k F kN N k N N,11j 11)(--+--=(2)F(k)=1+jN试求X(k)=DFT ［x(n)］N ， Y(k)=DFT ［y(n)］N 以及x(n)和y(n)。

解: 由DFT 的共轭对称性可知 x(n)X(k)=Fep(k) jy(n) jY(k)=Fop(k)令kN Nk N N bW b k B aW a k A ---=--=11j )( ,11)(只要证明A(k)为共轭对称的，B(k)为共轭反对称， 则就会有A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k)因为)(1111)()(*k A aW a aW a k N A k N Nk N N N=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--，共轭对称)(11j 11j )()(*k B bW bbW a k N B k N Nk N N N -=---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--共轭反对称所以ep 1()()()1NkN a X k F k A k aW -===-kNNbW b k B k F j k Y --===11)(j 1)(1)(op【11】已知FIR 滤波器的系统函数为)9.01.29.01(101)(4321----++++=z z z z z H 试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。