粗糙集研究综述

文针对粗糙集领域当前研究情况作了总结。文章第
３粗糙集理论扩展
针对经典粗糙集，国内外学者已经做了大量的 改进与推广工作。从粗糙集的基本要素来看，主要 有３个方面的工作：基于不可分辨关系的扩展¨６｜、 基于被近似集合的扩展、基于包含算子的扩展嵋１。 不可分辨关系可以说是经典粗糙集最基本的概念， 上、下近似算子可以被该关系所刻画，将等价关系
ａｒｅ
ａｌＳＯ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ；ｆｅａｔｕｒｅ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ；ｒｕｌｅ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ；ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ
１
引
言
实际问题中出现测量噪声及测量不完全问题。因而 对于粗糙集的研究与开发不仅仅集中在它的应用领
域，还包括粗糙集理论框架本身。目前针对ＲＳＴ 的扩展方法有很多，这些方法一般从３个方面人
法。比如，为了处理不完备信息系统，很多非等价
集。Ｖ＝Ｕｏ。。ｕＤＫ是属性的值域，其中，圪是属性 ａ的值域。．厂：Ｕ×（ｃｕＤ）一ｙ是信息决策函数。 当Ｄ≠囝时，该信息表是一个决策信息表。 不可分辨关系（等价关系）： 对于任意属性子集Ｂ∈ＣＵＤ， ＩＮＤ（Ｂ）＝｛（戈，Ｙ）∈己产Ｉｆ（戈，ａ）＝八Ｙ，ａ），Ｖａ∈Ｂ｝
（２）
关系如容差关系、相似关系、量化容差关系、限制 容差关系、优势关系及特征关系被引入进来扩展粗 糙集模型¨８｜。代数方法又称公理化方法，有时也 称为算子方法，它以近似算子为基础，给定满足某 些特性的近似算子，使用这些算子导出相应的二元 关系，使用这个二元关系又通过构造性方法产生给
定的近似算子。利用代数方法的主要优点是能够深
ａｌｌ
ｏｕｔｌｉｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｍａｊｏｒ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ，ｃｏｖｅｒｉｎｇ
ｖａｒｉａｂｌｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ，ｔｏｌｅｒａｎｃｅ，ｄｏｍｉｎａｎｃｅ—ｂａｓｅｄ ａｎｄ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ．Ｔｈｅ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｆｅａｔｕｒｅ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ
使用不可分辨关系可以对论域形成一个划分
Ｕ／ＩＮＤ（Ｂ）（或者Ｕ／Ｂ）。其中划分的每个小区域均
是一个等价类，记为
［戈］。＝｛Ｙ∈ＵＩ（戈，Ｙ）∈ＩＮＤ（Ｂ）｝
对于任意论域中的任意子集ｘ∈Ｕ，其相对于丑 的上近似与下近似可以分别记为 Ｂ（ｘ）＝｛茗∈ＵＩ［菇］。Ｃ＿Ｘ｝
ｆ３１
刻了解粗糙集的数学结构¨９｜。 目前关于公理化的研究主要集中在公理组的极 小化和独立性两个方面，同时该方法的应用对象也 由经典粗糙集算子扩展到模糊粗糙近似算子、粗糙 模糊近似算子以及直觉模糊近似算子等¨９’２¨。在 Ｐａｗｌａｋ粗糙集模型中被近似集合是清晰集（ｃｒｉｓｐ
为 ％＝７Ｐ（Ｑ）＝ｌＰＯＳ，（Ｑ）Ｉ／Ｉ ＰＯＳＲ（Ｄ）＝ＰＯＳｃ（Ｄ）
ＵＩ
（７）
对于条件属性的任一子集Ｒ∈Ｃ，如果：
ｆ８）
ｔａｂａｓｅ）系统已经建立，其中具有代表性的有ＫＤＤ－
Ｒ，ＲｏｕｇｈＤＡＳ＆ＲｏｕｇｈＣｌａｓｓ［８｜，ＬＥＲＳ［９｜，Ｒｏｓｅｔｔａ［１０］
ＰＯＳＲ（Ｄ）≠ＰＯＳＲ山｝（Ｄ），ａ∈Ｒ
（或特征）集合’２ Ｊ。经典的ＲＳＴ（Ｐａｗｌａｋ提出的模
型）建立在等价关系上，要求很高，无法有效应对
收修定稿日期：２０１２・１ｌ－２５ 收稿日期：２０１２－０４－２０； 基金项目：国家自然科学基金（６１０７４１７６）；国家自然科学基金（６１１０４２１４）；国家自然科学基金创新群体（６０９２１００３） 作者简介：王学恩（１９８２一），男，山东邹城人，博士，主要研究方向为不确定信息处理、粗糙集理论等；韩崇昭（１９４３一），男，教授 博士生导师。
息处理工具有很强的互补性旧ｊ，因而将ＲＳＴ与其
高效的计算方法，从一开始它就被成功的用来解决 知识提取、数据约简、数据重要性评估、决策规则
提取、基于数据的推理解释等问题。从形式上看，
粗糙集使用上近似、下近似这样一对精确的概念 （集合）来描述一个含糊的概念（集合）。其中下近 似集合中包含的对象是可以确定的归入到某一感兴
基于粗糙集理论的ＫＤＤ（Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ
Ｄｉｓｃｏｖｅｒｙ ｉｎ Ｄａ－
ＢＮＤ日（Ｄ）＝Ｕｘ。Ｕ／ＤＢ（Ｘ）一Ｕ ｘ。Ｕ／Ｄ墨（ｘ）
（６）
式中，正区域表示的是基于Ｂ的划分区域中可以确 定的被划分到某一个基于Ｄ的划分区域中的所有区 域集合，反映的是属性集Ｂ相对于Ｄ的分类能力。 对于Ｐ，ＱｃＣＵＤ，Ｑ对Ｐ的依赖度可以定义
ｓｅｔ），针对非清晰集合已经有一些扩展模型，其中
Ｂ（Ｘ）＝｛戈∈ｕｆ［戈］。ｚ置≠⑦｝ 上近似是指在基于Ｂ的划分区域中可以确定的
被划分到ｘ类中对象集合。下近似是指基于日的
研究最多的是将被近似集合扩展到模糊集合，给出
模糊粗糙集模型相关理论。还有一些研究将被近似
划分区域中有可能被划分到ｘ类中对象集合。 对于属性集合Ｂ∈ｃ，其相对于决策集合Ｄ的 正区域、负区域（外部区域）和边界区域定义如下： ＰＯＳＢ（Ｄ）＝ｕｘ。ｗＤ墨（Ｘ）
这一情况文献给出一种变精度粗糙集模型旧３｜，该
万方数据
第１期
王学恩等：粗糙集研究综述
・３・
模型用一种多数包含算子取代原来的包含算子，允 许一定程度的错误分类率存在。此外，在Ｐａｗｌａｋ 的粗糙集模型中，所有的概念定义均基于一个论域
Ｕ，文献将粗糙集模型推广到两个不同但相关的论 域上Ⅲｊ，此种情况其实也可以看成一种对等价关 系的推广，此时的二元关系变成了２个不同论域笛
ｔｏ
ｃｅｎｔｌｙ．ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｉｔｓ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ前ｄｅｔｙ ａｐｐｌｉｅｄ
ｏｇｎｉｔｉｏｎ
ｍａｎｙ
ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｄａｔａ ｍｉｎｉｎｇ，ｐａｔｔｅｒｎ
ｒｅｅ—
ａｎｄ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｃｏｎｔｒ０１．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ
２７
文献标识码：Ａ
Ａ Ｓｕｒｖｅｙ ｏｆ Ｒｏｕｇｈ
ｓｅｔｓ
Ｔｈｅｏｒｙ
Ｑｉｎ９２
ＷＡＮＧ Ｘｕｅ—ｅ凡１。ＨＡＮ Ｃｈｏｎｇ—ｚｈａ０１，ＨＡＮ Ｄｅ－ｑｉａｎ９１，ＦＡＮ
（１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＩｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｘｉ’ａｌｌ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００４９，Ｃｈｉｎａ；
摘
要：粗糙集理论提供了一种有效处理不完整、不确定信息的数学工具。近年来，它被
广泛应用于决策分析、数据挖掘、模式识别、智能控制等领域，介绍了粗糙集的基本理论以及 其扩展模型，其中详细介绍了变精度、容差、优势、模糊等粗糙集模型。在应用研究方面，主 要介绍了粗糙集在特征选择、模式分类两个方面研究进展。 关键词：粗糙集；特征选择；规则提取；分类 中图分类号：ＴＰ
２．Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｃｈｉｎａ ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ，Ｓｉｃｈｕａｎ
６１００３６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｐｒｏｖｉｄｅｓ
ａ
ｕｓｅｆｕｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｈａｎｄｌｉｎｇ ｉｍｐｅｒｆｅｃｔ ａｎｄ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｒｅ。
在机器学习、模式识别、数据挖掘、智能控制 等领域，如何有效处理不完整、不确定信息，实现 知识的提取是智能计算领域一个重要的研究课题， 有着十分重要的理论和实践意义。Ｐａｗｌａｋ在１９８２
年提出了粗糙集理论¨ｏ（Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔ Ｔｈｅｏｒｙ，简称 ＲＳＴ），成为该领域重要的理论与方法之一。
ＲＳＴ是一个好的数学工具，可用于设计开发出
扩展到非等价关系显然可以得到不同的粗糙集模
２节对经典粗糙集理论作了介绍，第３节介绍了基 于粗糙集的各种扩展模型。基于粗糙集的应用研究 结果在第４节给出。
２粗糙集基本理论
一个信息表可以描述为¨４’１５ Ｊ： Ｓ＝（Ｕ，Ｃ，Ｄ，ｙ∽
（１） 式中，ｕ是论域，ｃ是条件属性集；Ｄ是决策属性
型，对此主要有两种研究方式：构造化方法和代数 方法‘１７］。构造化方法以二元关系为基础，定义粗 糙集近似算子并构造粗糙集代数系统。因此这种方 法多是根据实际问题直接够造新的二元关系，所建 立的模型有很强的实用价值，也是最为常用的方
万方数据
・Hale Waihona Puke ・控制工程第２０卷
邻（ｎｅａｒｅｓｔ ｎｅｉｇｈｂｏｒ，ＮＮ）法，并将它们用于各个领 域如医学图像处理∞一ｏ、字符识别。刊等。 粗糙集理论发展近三十年来，无论在理论研究 还是应用研究均取得了很多成果。从１９９２年至今， 每年都召开以粗糙集为主题的国际会议，主要的 ＲＳＣＴＣ、ＲｓＦＤＧ圯和ＲＳＫＴ。在国内，从２００１年开 始每年将举办粗糙集与软计算学术会议。此外很多
粗糙集（ＦＲＳ）模型、粗糙模糊集（ＲＦＳ）模型拉１’地２９１，
ＰＯＳ印（Ｄ）＝Ｕ工。ｗＤ当（Ｘ）
ⅣＥＧ肇（Ｄ）＝Ｕ—Ｕｘ。啪＆（ｘ）
（１３） （１４）
ＢＮＤ邛（Ｄ）＝Ｕ－＝ｒ；ｗＤ％（ｘ）一ＵＪ。ｗＤ当（Ｘ）（１５）
２０ １
３年１月
控
制
工
程
Ｊａｎ．２ ０ ｌ ３
Ｖ０１．２０，Ｎｏ．１
第２０卷第１期
Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｏｆ Ｃｈｉｎａ
文章编号：１６７１－７８４８（２０１３）０１４３００１－０８
粗糙集研究综述
王学恩１，韩崇昭１，韩德强１，范
卿２
（１西安交通大学综合自动化研究所，陕西西安７１００４９；２中国电子科技集团公司第二十九研究所，四川成都６１００３６）