2016-2017年甘肃省定西市通渭二中高一上学期数学期末试卷带答案

2016-2017学年甘肃省定西市通渭二中高一（上）期末数学试卷一．选择题（12*5=60分）1．（5.00分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5.00分）在下列各函数中，偶函数是（）A．y=x3 B．y=x4 C．y=D．y=3．（5.00分）函数f（x）=lg的定义域为（）A．[0，1]B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）4．（5.00分）函数y=（a﹣1）x在R上为减函数，则a的取值范围是（）A．a＞0且a≠1 B．a＞2 C．a＜2 D．1＜a＜25．（5.00分）函数y=x3和图象满足（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称6．（5.00分）函数y=|x|﹣2的图象是（）A．B．C．D．7．（5.00分）下列图形中，不是三棱柱的展开图（）A．B．C．D．8．（5.00分）如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．6 C．D．9．（5.00分）下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]B．若直线的倾斜角为90°，则这条直线与y轴平行C．任意一条直线都有倾斜角和斜率D．若直线l的倾斜角为锐角，则它的斜率大于0；若直线l的倾斜角为钝角，则它的斜率小于010．（5.00分）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A．异面B．相交C．平行D．不能确定11．（5.00分）若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（）A．B．C．D．12．（5.00分）圆x2+y2=16上的点到直线x﹣y=3的距离的最大值为（）A．B．C．D．8二．填空题（4*5=20分）13．（5.00分）方程组的解构成的集合是．14．（5.00分）已知点A（1，﹣1），B（3，5），则线段AB的垂直平分线的方程为．15．（5.00分）求经过两条直线2x+3y+1=0和x﹣3y+4=0的交点，并且垂直于直线3x+4y﹣7=0的直线的方程为．16．（5.00分）不论k为任何实数，直线（k+1）x﹣（k+2）y+k﹣3=0恒过定点．三、解答题17．（10.00分）求圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点（3，﹣1）的圆的方程．18．（12.00分）求不等式log3（2x+7）＞log3（4x﹣1）中x的取值范围．19．（12.00分）已知直线l过点（2，﹣6），它在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．20．（12.00分）已知函数．（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．21．（12.00分）如图，E，F分别是三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC，A1C1的中点，证明：平面AB1F∥平面BC1E．22．（12.00分）已知点P（2，﹣1），求：（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．2016-2017学年甘肃省定西市通渭二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（12*5=60分）1．（5.00分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}所以∁U A={3，4，5}故选：B．2．（5.00分）在下列各函数中，偶函数是（）A．y=x3 B．y=x4 C．y=D．y=【解答】解：对于A是奇函数，对于B是偶函数，对于C是非奇非偶函数，对于D是奇函数，故选：B．3．（5.00分）函数f（x）=lg的定义域为（）A．[0，1]B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由知1﹣x2＞0，即x2＜1，进而得到﹣1＜x＜1故函数的定义域为（﹣1，1）故选：B．4．（5.00分）函数y=（a﹣1）x在R上为减函数，则a的取值范围是（）A．a＞0且a≠1 B．a＞2 C．a＜2 D．1＜a＜2【解答】解：由函数y=（a﹣1）x在R上为减函数，则0＜a﹣1＜1，即有1＜a＜2．故选：D．5．（5.00分）函数y=x3和图象满足（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【解答】解：由得到x=y3，所以这两个函数互为反函数，根据反函数图象的性质可知函数y=x3和的图象关于直线y=x对称．故选：D．6．（5.00分）函数y=|x|﹣2的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=|x|﹣2是偶函数，排除A，B，当x=0时，y=﹣2，排除D，故选：C．7．（5.00分）下列图形中，不是三棱柱的展开图（）A．B．C．D．【解答】解：根据三棱柱的结构特征知，A、B、D中的展开图都还原为三棱柱，但是C中展开图还原后的几何体没有下底面．故选：C．8．（5.00分）如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．6 C．D．【解答】解：由图形知，其平面图形为一个直角三角形，两个直角边的长度分别为3，4故其面积为×3×4=6故选：B．9．（5.00分）下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]B．若直线的倾斜角为90°，则这条直线与y轴平行C．任意一条直线都有倾斜角和斜率D．若直线l的倾斜角为锐角，则它的斜率大于0；若直线l的倾斜角为钝角，则它的斜率小于0【解答】解：对于A，直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°），故错；对于B，若直线的倾斜角为90°，则这条直线与y轴平行或重合，故错；对于C，直线都的倾斜角为900时无斜率，故错；对于D，当倾斜角θ≠900时，直线的斜率k=tanθ，由正切函数的性质可判定，直线l的倾斜角为锐角，则它的斜率大于0；若直线l的倾斜角为钝角，则它的斜率小于0，故正确．故选：D．10．（5.00分）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A．异面B．相交C．平行D．不能确定【解答】解：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c．又b⊂α，α∩β=l，∴b∥l．∴a∥l．故选：C．11．（5.00分）若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，则圆锥的高h=r，由题意得：πr•2r=，解得：r=2，故选：C．12．（5.00分）圆x2+y2=16上的点到直线x﹣y=3的距离的最大值为（）A．B．C．D．8【解答】解：圆心（0，0）到直线的距离为=，又圆的半径等于4，故圆x2+y2=16上的点到直线x﹣y=3的距离的最大值为4+，故选：C．二．填空题（4*5=20分）13．（5.00分）方程组的解构成的集合是{（1，1）} ．【解答】解：解得所以方程组的解构成的集合是{（1，1）}故答案为{（1，1）}14．（5.00分）已知点A（1，﹣1），B（3，5），则线段AB的垂直平分线的方程为x+3y﹣8=0．【解答】解：设线段AB的中点M的坐标为（x，y），则x==2，y==2，所以M（2，2）因为直线AB的斜率为=3，所以线段AB垂直平分线的斜率k=﹣，则线段AB的垂直平分线的方程为y﹣2=﹣（x﹣2）整理得x+3y﹣8=0故答案为x+3y﹣8=015．（5.00分）求经过两条直线2x+3y+1=0和x﹣3y+4=0的交点，并且垂直于直线3x+4y﹣7=0的直线的方程为4x﹣3y+9=0．【解答】解：联立，解得交点P．设垂直于直线3x+4y﹣7=0的直线的方程为4x﹣3y+m=0，把P代入上式可得：m=9．∴要求的直线方程为：4x﹣3y+9=0．故答案为：4x﹣3y+9=0．16．（5.00分）不论k为任何实数，直线（k+1）x﹣（k+2）y+k﹣3=0恒过定点（﹣5，﹣4）．【解答】解：方程整理得：（x﹣y+1）k+x﹣2y﹣3=0，无论k取何值，当时，方程一定成立，解得：x=﹣5，y=﹣4，则直线恒过（﹣5，﹣4）．故答案为（﹣5，﹣4）．三、解答题17．（10.00分）求圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点（3，﹣1）的圆的方程．【解答】解：设圆心C（a，5﹣3a），则由所求的圆经过原点和点A（3，﹣1），可得CO=CA，即=，求得a=，可得圆心为（，0），半径为=，故圆的方程为+y2=．18．（12.00分）求不等式log3（2x+7）＞log3（4x﹣1）中x的取值范围．【解答】解：原不等式化为，解得：＜x＜4．∴不等式log3（2x+7）＞log3（4x﹣1）中x的取值范围是（）．19．（12.00分）已知直线l过点（2，﹣6），它在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．【解答】解：设直线l在x轴上的截距为a，则直线在y轴上的截距为2a，当a=0时，设直线方程为y=kx，直线过点（2，﹣6），∴2k=﹣6，解得k=﹣3，∴直线l的方程为y=﹣3x；当a≠0时，设直线l的方程为+=1，直线过点（2，﹣6），∴+=1，解得a=﹣1，∴直线l的方程为﹣x﹣=1，即2x+y+2=0；综上，直线l的方程为y=﹣3x或2x+y+2=0．20．（12.00分）已知函数．（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2分）证明如下：设x1、x2是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2，则（1分）f（x1）﹣f（x2）==（3分）∵x2＞x1＞0∴x1+x2＞0、x2﹣x1＞0、（x1x2）2＞0（1分）∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（1分）（2）由（1）知函数f（x）在区间[1，3]上是减函数，（1分）所以当x=1时，取最大值，最大值为f（1）=2当x=3时，取最小值，最小值为（3分）21．（12.00分）如图，E，F分别是三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC，A1C1的中点，证明：平面AB1F∥平面BC1E．【解答】证明：∵在三棱柱中，E，F分别是AC，A1C1的中点，∴FE∥B1B，FE∥AE，C1F=AE，∴四边形FEBB1，C1FAE是平行四边形，∴B1F∥BE，AF∥EC1，B1F∩AF=F，BE∩EC1=E，∴平面AB1F∥平面BC1E．22．（12.00分）已知点P（2，﹣1），求：（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，﹣1），可见，过P （2，﹣1）垂直于x 轴的直线满足条件． 此时l 的斜率不存在，其方程为x=2．若斜率存在，设l 的方程为y +1=k （x ﹣2），即kx ﹣y ﹣2k ﹣1=0． 由已知，过P 点与原点距离为2，得=2，解之得k=．此时l 的方程为3x ﹣4y ﹣10=0．综上，可得直线l 的方程为x=2或3x ﹣4y ﹣10=0． （2）作图可证过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l •k OP =﹣1，所以k l =﹣=2．由直线方程的点斜式得y +1=2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣5=0，即直线2x ﹣y ﹣5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为=．（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。