2019年西安五大名校铁一中数学3模A3
陕西省西安2019届高三第三次模拟考试数学试题(理科)
陕西省西安2019届高三第三次模拟考试数学试题(理科)注意事项：1、选择题请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B铅笔外，其余各题按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。
2、按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题区域的答案无效，在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求。
1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣84．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件D．既不充分也不不要条件6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A ．8B ．9C ．10D ．77．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上过F 的两个端点，设线段AB 的中点M 在l 上的摄影为N ，则的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．28．在△ABC 中， =5， =3，D 是BC 边中垂线上任意一点，则•的值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 9．已知F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 1=60°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．B ．4C ．2D ．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（ ） A ．8π B ．12π C ．πD ．3π11．已知函数f （x ）=，若函数g （x ）=f （x ）﹣mx 有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1，4] B ．（﹣∞，0] C ．（﹣∞，4] D ．（﹣∞，0]∪[1，4] 12．把曲线C ：y=sin （﹣x ）•cos （x +）上所有点向右平移a （a ＞0）个单位，得到曲线C ′，且曲线C ′关于点（0，0）中心对称，当x ∈[π，π]（b 为正整数）时，过曲线C ′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卡中的横线上）． 13、为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为0.850.25y x ∧=-. 由以上信息,得到下表中c 的值为 ．E B C 114、51+2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中整理后的常数项为 ．15、已知直线l ：y ＝k (x －2) 与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF|＝3|BF|，则直线l 的倾斜角为 ．16、已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)(x f '，且满足0)1(=f ，当0>x 时，)(2)(x f x f x <'，则使0)(>x f 成立的x 的取值范围为 ．三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17、（本小题满分12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10,12]的人数； （2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都成立．记2log n n b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：19、（本小题满分12分）已知直三棱柱111ABC A BC -中，△ABC 为等腰直角三角形，乙甲∠BAC ＝90°，且1AB AA =，D 、E 、F 分别为1B A 、1C C 、BC 的中点．（1）求证：直线DE ∥平面ABC ；（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为F （1,0）。
西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学(文)试题(解析版)
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，6，，，，则A.2， B. 6， C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分的条形统计图（甲为黑色条框，乙为浅色条框），设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，表示的复数所对应的点在复平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，则（）A. B.C. D.。
2019届陕西省西安地区高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高三3月联考数学(理)试题(解析版)
解：∵ （x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15• 6• ）（x﹣2），
∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，
故答案为：﹣40．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16．如图，已知圆柱和半径为 的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．
【详解】
将正三棱柱 沿侧棱展开，如图所示；
在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．
由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为 ，
所以矩形的长等于 ，宽等于7，
由勾股定理求得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化 空间问题转化为平面问题，化曲为直 的思想方法．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】 直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．
利用 的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．
【详解】
在 的内角A，B，C的对边分别为 ，且 ．
整理得： ，
利用正弦定理得： ，
即： ，
又 ，x2∈[﹣2π，2π]，∴2 ，2 ∈[﹣4π，4π]，要使 ﹣2 取得最大值，
则应有2 ＝3π，2 ＝﹣3π，
故 ﹣2 取得最大值为 +3π＝ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．
9．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（ ）
陕西省西安地区陕师大附中高新一中铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学(理)试题(解析版)
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵∴−−=3(−−)；∴=−−.故选：C.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）＝sinxB. f（x）＝e xC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的值域，属于中档题．9.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．10.抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 21【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．11.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【详解】解：∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．当且仅当时，的面积有最小值.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE 将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE ﹣B的余弦值都为定值．【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2x，OE，∴B（2，2x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），（﹣2，2x，﹣x），（2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴8＝0，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．【解析】【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k 的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，2a12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|，由|AB|6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（，），B（，），则，．由|AB|6，整理得：，原点O到AB的距离d．∴．当时，△AOB面积有最大值为9．综上，△AOB面积的最大值为．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x ＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．g（1）=e,得到函数草图如图所示.a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x＜2）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，2）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴h′（x）（x﹣1）,h（x）在（0，1）内单调递减．∴h（x）＞h（1）＝0,∴．因此+＞2成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝8．【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
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陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高三数学3月联考试卷2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3} 【答案】D 【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，，标准差分别为，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosxisinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵∴−−3−−；∴−−. 故选C. 【此处有视频，请去附件查看】5.张丘建筑经卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D.25 【答案】C 【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C. 6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）x2f（x2）＞x1f（x2）x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A.f（x）＝sinxB. f（x）＝exC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x| 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25C. D. 31 【答案】B 【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据题意，不等式f（）f（）＞f（）f（）等价为（﹣）[f（）﹣f（）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H 函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项综合可得答案．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣）1＝﹣cos2x1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为3π＝．故选A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H 函数”的含义，属于基础题．9.已知圆Cx2y2﹣2x﹣4y3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析方法一如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二设，则，记，令，得，，故选C．考点圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．10.抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点（ai，2ai2）处的切线与x轴交点的横坐标记为ai1，其中i∈N，若a2＝32，则a2a4a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 21 【答案】B 【解析】试题分析，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点1．导数的几何性质；2．等比数列．11.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（） A. B. 2C. D. 5 【答案】C 【解析】【分析】设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B 【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f （x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x ﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f （1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线Cy＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5xy|的取值范围为_____．【答案】[0，11] 【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示作直线l0﹣5xy＝0，再作一组平行于l0的直线l﹣5xy＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5xy取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以zmax＝﹣5（﹣2）0＝10．直线经过B 时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5xy|的取值范围为[0，11]．故答案为[0，11]．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40 【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【详解】解∵（x﹣2）＝（x66x415x220156）（x﹣2），∴常数项是20（﹣2）＝﹣40，故答案为﹣40．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π 【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得，利用正弦定理得，即，由于，解得．由于，所以，整理得，所以．当且仅当时，的面积有最小值. 【点睛】本题考查的知识要点三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，等边△ABC 中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O 为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A 的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE 的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【详解】解（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2x，OE，∴B（2，2x，0），E （，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），（﹣2，2x，﹣x），（2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴8＝0，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点D在靠近点A 的三等分点处．证明（2）平面ADE的法向量（0，1，0），（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE ﹣B的余弦值都为定值．【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少参考数据＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μσ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ2σ）＝0.9544．【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．【解析】【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【详解】（1）由频率分布直方图得[95，105）的频率为1﹣（0.0060.0260.0220.008）10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）质量指标值的样本平均数为＝800.06900.261000.381100.221200.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）20.06（﹣10）20.2600.381020.222020.08＝104．（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣210.2＜Z＜100210.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.954410﹣（1﹣0.9544）20]＝863200．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.已知椭圆C 过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）9 【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kxm，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【详解】解（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，2a12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|，由|AB|6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kxm，联立，得（3k21）x26kmx3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k21）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2144．设A（，），B（，），则，．由|AB|6，整理得，原点O到AB的距离d．∴．当时，△AOB面积有最大值为9．综上，△AOB面积的最大值为9．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法1几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；2代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数f（x）＝ex﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证x1x2＞2．【答案】（1）（e，∞）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f′（x）＝ex﹣ax．函数f（x）＝ex有两个极值点⇔f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明．构造函数h （x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】（1）解f′（x）＝ex﹣ax．∵函数f（x）＝ex 有两个极值点．∴f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，∞）．（2）证明由（1）可知a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴x＝1时，函数h （x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．∴h（x）＞h（1）＝0．∴．因此＞2成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【答案】（1）曲线Cy2＝4x，顶点为O （0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8 【解析】【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t 为参数）．代入抛物线方程可得t2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t2＝0 设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a4b的最小值．【答案】Ⅰm≤4Ⅱ【解析】试题分析（1）由函数定义域为R，可得|x1||x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）|x1||x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n4，变形7a4b，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析Ⅰ由题意可知＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数gx ＝＋，则m不大于函数gx的最小值．又＋≥＝4.即gx的最小值为4，所以m≤4 Ⅱ由Ⅰ知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝. 当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a ＋4b的最小值为. 点睛含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．【此处有视频，请去附件查看】。
陕西省西安市2019-2020学年中考数学三模考试卷含解析
陕西省西安市2019-2020学年中考数学三模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列各数：π，sin30°，﹣3 ，9其中无理数的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把ABC ∆向右平移3个单位长度得到111A B C ∆，再把111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒得到221A B C ∆，则点A 的对应点2A 的坐标是（ ）A ．(2,2)-B ．(6,0)-C ．(0,0)D ．(4,2)3．下列图形中为正方体的平面展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB ＝8 cm ，圆柱的高BC ＝6 cm ，圆锥的高CD ＝3 cm ，则这个陀螺的表面积是( )A ．68π cm 2B ．74π cm 2C ．84π cm 2D ．100π cm 25．解分式方程2236111x x x +=+-- ，分以下四步，其中，错误的一步是（ ） A ．方程两边分式的最简公分母是（x ﹣1）（x+1）B ．方程两边都乘以（x ﹣1）（x+1），得整式方程2（x ﹣1）+3（x+1）＝6C ．解这个整式方程，得x ＝1D ．原方程的解为x ＝16．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m ，这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A ．3.4×10-9mB ．0.34×10-9mC ．3.4×10-10mD ．3.4×10-11m7．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.0000000076克，将数0.0000000076用科学记数法表示为（ ） A ．7.6×10﹣9B ．7.6×10﹣8C ．7.6×109D ．7.6×1088．下列计算结果正确的是（ ）A ．329()a a -=B ．236a a a ⋅=C ．3332a a a +=D ．0(cos 600.5)1︒-=9．如图，已知函数3y x =-与k y x =的图象在第二象限交于点()1,A m y ，点()21,B m y -在ky x=的图象上，且点B 在以O 点为圆心，OA 为半径的O e 上，则k 的值为( )A ．34-B ．1-C ．32-D ．2-10．某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，成绩的中位数落在（ ）A ．50.5～60.5 分B ．60.5～70.5 分C ．70.5～80.5 分D ．80.5～90.5 分11．已知M ，N ，P ，Q 四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( )A ．∠NOQ ＝42°B ．∠NOP ＝132°C ．∠PON 比∠MOQ 大D ．∠MOQ 与∠MOP 互补12221)的结果是（ ）A ．221-B ．22-C ．12-D ．2+2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．计算()22133x y xy ⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭_______． 14．若圆锥的底面半径长为10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为_____．15．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x 个，则根据题意，可列出方程：__________．16．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．17．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC ．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A 到观景长廊BC 的距离AD 的长约为_____米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）18．如图的三角形纸片中，8,6,5AB cm BC cm AC cm ===，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则ADE ∆的周长为__________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）已知抛物线y=﹣2x 2+4x+c ．（1）若抛物线与x 轴有两个交点，求c 的取值范围； （2）若抛物线经过点（﹣1，0），求方程﹣2x 2+4x+c=0的根．20．（6分）如图，某游乐园有一个滑梯高度AB ，高度AC 为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB 的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD 比原滑梯AB 增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）21．（6分）如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD=CE ．求证：MD=ME ．22．（8分）如图,已知二次函数2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点,A 在B 左侧,点C 是点A 下方,且AC ⊥x 轴.(1)已知A(－3，0),B(－1，0),AC=OA ． ①求抛物线解析式和直线OC 的解析式；②点P 从O 出发,以每秒2个单位的速度沿x 轴负半轴方向运动,Q 从O 出发,以每秒2个单位的速度沿OC 方向运动,运动时间为t.直线PQ 与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM 时,求t 的值(直接写出结果,不需要写过程)(2)过C 作直线EF 与抛物线交于E 、F 两点(E 、F 在x 轴下方),过E 作EG ⊥x 轴于G ,连CG ,BF,求证：CG ∥BF23．（8分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.24．（10分）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A α=︒，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角点的仰角30β=︒，求树高AB(结果保留根号).6025．（10分）有A、B两组卡片共1张，A组的三张分别写有数字2，4，6，B组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？26．（12分）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部 a 85 b s初中2高中部85 c 100 160（1）根据图示计算出a、b、c的值；结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．27．（12分）某景区内从甲地到乙地的路程是12km ，小华步行从甲地到乙地游玩，速度为5/km h ，走了4km 后，中途休息了一段时间，然后继续按原速前往乙地，景区从甲地开往乙地的电瓶车每隔半小时发一趟车，速度是24/km h ，若小华与第1趟电瓶车同时出发，设小华距乙地的路程为()z y km ，第n 趟电瓶车距乙地的路程为()n y km ，n 为正整数，行进时间为()x h .如图画出了z y ，1 y 与x 的函数图象．（1）观察图，其中a = ，b = ； （2）求第2趟电瓶车距乙地的路程2y 与x 的函数关系式；（3）当1.5x b ≤≤时，在图中画出n y 与x 的函数图象；并观察图象，得出小华在休息后前往乙地的途中，共有 趟电瓶车驶过．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可． 【详解】 sin30°=129，故无理数有π，3 故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．D【解析】【分析】根据要求画出图形，即可解决问题．【详解】解：根据题意，作出图形，如图：观察图象可知：A2（4，2）；故选：D.【点睛】本题考查平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确画出图象，属于中考常考题型．3．C【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点依次判断解题．【详解】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知A，B，D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图，选项C可以拼成一个正方体，故选C．【点睛】本题是对正方形表面展开图的考查，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．4．C【解析】试题分析：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．考点：圆锥的计算；几何体的表面积．5．D 【解析】 【分析】先去分母解方程，再检验即可得出. 【详解】方程无解，虽然化简求得1x =，但是将1x =代入原方程中，可发现31x -和261x -的分母都为零，即无意义，所以1x ≠，即方程无解 【点睛】本题考查了分式方程的求解与检验，在分式方程中，一般求得的x 值都需要进行检验 6．C 【解析】试题分析：根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示10n a ⨯的形式，所以将1．11111111134用科学记数法表示103.410-⨯，故选C ． 考点：科学记数法 7．A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10n -,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【详解】解：将0.0000000076用科学计数法表示为97.610-⨯. 故选A. 【点睛】本题考查了用科学计数法表示较小的数，一般形式为a×10n -，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定. 8．C 【解析】 【分析】利用幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项及零指数幂的定义分别计算后即可确定正确的选项． 【详解】A 、原式6a =，故错误；B 、原式5a =，故错误；C 、利用合并同类项的知识可知该选项正确；D 、cos600.5︒=，cos600.50︒-=，所以原式无意义，错误， 故选C ． 【点睛】本题考查了幂的运算性质及特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是能够利用有关法则进行正确的运算，难度不大． 9．A 【解析】 【分析】由题意(),3A m m -，因为O e 与反比例函数ky x=都是关于直线y x =-对称，推出A 与B 关于直线y x =-对称，推出()3,B m m -，可得31m m =-，求出m 即可解决问题；【详解】Q 函数3y x =-与ky x=的图象在第二象限交于点()1,A m y ， ∴点(),3A m m -O Q e 与反比例函数ky x=都是关于直线y x =-对称， A ∴与B 关于直线y x =-对称，()3,B m m ∴-， 31m m ∴=-，12m ∴=-∴点13,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭133224k ∴=-⨯=-故选：A ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图像与性质，圆的对称性及轴对称的性质.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现A ，B 关于直线y x =-对称． 10．C 【解析】分析：由频数分布直方图知这组数据共有40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，据此可得．详解：由频数分布直方图知，这组数据共有3+6+8+8+9+6=40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，所以中位数落在70.5～80.5分．故选C ．点睛：本题主要考查了频数（率）分布直方图和中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 11．C 【解析】试题分析：如图所示：∠NOQ=138°，选项A 错误；∠NOP=48°，选项B 错误；如图可得∠PON=48°，∠MOQ=42°，所以∠PON 比∠MOQ 大，选项C 正确；由以上可得，∠MOQ 与∠MOP 不互补，选项D 错误．故答案选C ． 考点：角的度量. 12．D 【解析】 【分析】将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可. 【详解】原式×+1）. 故选D. 【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．33x y - 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可. 【详解】()22133x y xy ⎛⎫-⋅⎪⎝⎭22133x y xy =-⨯⋅33x y =-故答案是：33x y -【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键.14．2【解析】【分析】侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长．依此列出方程即可．【详解】设母线长为x ，根据题意得2πx÷2=2π×5，解得x=1．故答案为2．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，难度不大． 15．300200(110%)20x x =⨯-- 【解析】 【分析】若设甲每小时检测x 个，检测时间为300x ，乙每小时检测()20x -个，检测时间为20020x -，根据甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，列出方程即可. 【解答】若设甲每小时检测x 个，检测时间为300x ，乙每小时检测()20x -个，检测时间为20020x -，根据题意有：()300200110%20x x =⨯--. 故答案为()300200110%.20x x =⨯-- 【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系.16．1【解析】【分析】由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．【详解】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，∴d ＝R ﹣r ＝5﹣2＝1cm ，故答案为1．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系．17．60【解析】【分析】根据题意和图形可以分别表示出AD 和CD 的长，从而可以求得AD 的长，本题得以解决．【详解】∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ∴BD=tan 56AD ︒，CD=tan 45AD ︒， ∴tan 56AD ︒+tan 45AD ︒=100， 解得，AD≈60 考点：解直角三角形的应用．18．7cm【解析】【分析】由折叠的性质，可知：BE=BC ，DE=DC ，通过等量代换，即可得到答案.【详解】∵沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，∴BE=BC ，DE=DC ，∴ADE ∆的周长=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=AB+BC+AC-BC-BE=8+6+5-6-6=7cm ，故答案是：7cm【点睛】本题主要考查折叠的性质，根据三角形的周长定义，进行等量代换是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19． (1)c ＞﹣2；(2) x 1=﹣1，x 2=1．【解析】【分析】（1）根据抛物线与x 轴有两个交点，b 2-4ac ＞0列不等式求解即可；（2）先求出抛物线的 对称轴，再根据抛物线的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系解答．【详解】（1）解：∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即16+8c ＞0，解得c ＞﹣2；（2）解：由y=﹣2x 2+4x+c 得抛物线的对称轴为直线x=1，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），∴方程﹣2x 2+4x+c=0的根为x 1=﹣1，x 2=1．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题、二次函数与一元二次方程，解题关键是运用了根与系数的关系以及二次函数的对称性．20．调整后的滑梯AD 比原滑梯AB 增加2.5米【解析】试题分析: Rt △ABD 中，根据30°的角所对的直角边是斜边的一半得到AD 的长，然后在Rt △ABC 中,求得AB 的长后用AD AB -即可求得增加的长度．试题解析: Rt △ABD 中，∵30ADB ∠=o ，AC=3米，∴AD=2AC=6(m)∵在Rt △ABC 中,58 3.53AB AC sin m =÷≈o ，∴AD−AB=6−3.53≈2.5(m).∴调整后的滑梯AD 比原滑梯AB 增加2.5米.21．证明见解析.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM ，可证△BDM ≌△CEM ，可得MD=ME ，即可解题．试题解析：证明：△ABC 中，∵AB=AC ，∴∠DBM=∠ECM.∵M 是BC 的中点，∴BM=CM.在△BDM 和△CEM 中，∵{BD CEDBM ECM BM CM=∠=∠=，∴△BDM ≌△CEM （SAS ）.∴MD=ME ．考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质.22． (1)①y=－x 2－4x －3；y=x ；②t=1118±或6350±；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式即可求出；由AC=OA 知C 点坐标为(-3,-3),故可求出直线OC 的解析式；②由题意得OP=2t,P(－2t ，0)，过Q 作QH ⊥x 轴于H,得OH=HQ=t,可得Q(－t,－t),直线 PQ 为y ＝－x －2t ，过M 作MG ⊥x 轴于G ,由12PG PM GH QM ==，则2PG ＝GH ，由2P G G H x x x x -=-，得2P M M Q x x x x -=-， 于是22M M t x x t --=+，解得533M M x t x t =-=-或，从而求出M(－3t,t)或M （51,33t t --），再分情况计算即可； (2) 过F 作FH ⊥x 轴于H ，想办法证得tan ∠CAG=tan ∠FBH ，即∠CAG=∠FBH ，即得证.【详解】2y x bx c =-++解：(1)①把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式得09301b c b c =--+⎧⎨=--+⎩解得43b c =-⎧⎨=-⎩∴y=－x 2－4x －3；由AC=OA 知C 点坐标为(-3,-3),∴直线OC 的解析式y=x ；②OP=2t,P(－2t ，0)，过Q 作QH ⊥x 轴于H,∵,∴OH=HQ=t,∴Q(－t,－t),∴PQ ：y ＝－x －2t ，过M 作MG ⊥x 轴于G , ∴12PG PM GH QM ==， ∴2PG ＝GH ∴2P G G H x x x x -=-，即2P M M Q x x x x -=-，∴ 22M M t x x t --=+， ∴533M M x t x t =-=-或，∴M(－3t,t)或M （51,33t t --） 当M(－3t,t)时：29123t t t =-+-，∴1118t ±=当M （51,33t t --）时：2125203393t t t -=-+-，∴6350t ±=综上：t =6350t ±= (2)设A(m,0)、B(n,0),∴m 、n 为方程x 2－bx －c=0的两根，∴m+n=b,mn ＝－c,∴y ＝－x2+(m+n)x －mn ＝－(x －m)(x －n),∵E 、F 在抛物线上，设()()2111E x x m n x mn -++-，、()()2222,F x x m n x mn -++-， 设EF ：y ＝kx+b,∴E E FE y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩ ， ∴()EF E F y y k x x -=- ∴()()2212121212E F E F x x m n x x y y k m n x x x x x x -+++--===+---- ∴()()()()12111:F y m n x x x x x m x n =+------，令x ＝m∴()()()()12111c y m n x x m x x m x n =+------＝()()()()112112+m x m n x x x n m x m x -+---=--∴AC=()()12m x m x ---,又∵1A E AG x x m x =-=-,∴tan ∠CAG=2AC x m AG=-， 另一方面：过F 作FH ⊥x 轴于H ，∴()()22FH x m x n =--，2BH x n =-，∴tan ∠FBH=2FH x m BH=- ∴tan ∠CAG=tan ∠FBH∴∠CAG=∠FBH∴CG ∥BF【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质及正确作出辅助线进行求解.23．（1）10300y x =-+（830x ≤<）；（2）定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元.（3）不能销售完这批蜜柚.【解析】【分析】（1）根据图象利用待定系数法可求得函数解析式，再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x 的取值范围；（2）根据利润=每千克的利润×销售量，可得关于x 的二次函数，利用二次函数的性质即可求得；（3）先计算出每天的销量，然后计算出40天销售总量，进行对比即可得.【详解】（1）设 y kx b =+，将点（10，200）、（15，150）分别代入，则1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴10300y x =-+，∵蜜柚销售不会亏本，∴x 8≥，又0y >，∴103000x -+≥ ，∴30x ≤，∴ 830x ≤≤ ；（2） 设利润为w 元，则 ()()810300w x x =--+=2103802400x x -+-=2210(19)1210x x --+，∴ 当19x = 时， w 最大为1210，∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元；(3) 当19x = 时，110y =，110×40=4400＜4800，∴不能销售完这批蜜柚.【点睛】 本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.24．6+332【解析】【分析】如下图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，设AB 长为x ，则易得AF=x-4，在Rt △ACF 中利用∠α的正切函数可由AF 把CF 表达出来，在Rt △ABE 中，利用∠β的正切函数可由AB 把BE 表达出来，这样结合BD=CF ，DE=BD-BE 即可列出关于x 的方程，解方程求得x 的值即可得到AB 的长. 【详解】解：如图，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，设AB=x ，则AF=x-4，∵在Rt △ACF 中，tan ∠α=AF CF ， ∴CF=4tan30x -︒=BD ， 同理，Rt △ABE 中，BE=tan60x ︒， ∵BD-BE=DE ，∴4tan30x -︒-tan60x ︒=3， 解得332答：树高AB 为（332 . 【点睛】作出如图所示的辅助线，利用三角函数把CF 和BE 分别用含x 的式子表达出来是解答本题的关键. 25．（1）P （抽到数字为2）=13；（2）不公平，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．试题解析: （1）P=13； （2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P=4263=， 乙获胜的情况有2种，P=2163=， 所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．26．（1）85,85,80; （2）初中部决赛成绩较好；（3）初中代表队选手成绩比较稳定．【解析】【分析】分析:（1）根据成绩表，结合平均数、众数、中位数的计算方法进行解答；（2）比较初中部、高中部的平均数和中位数，结合比较结果得出结论；（3）利用方差的计算公式，求出初中部的方差，结合方差的意义判断哪个代表队选手的成绩较为稳定. 【详解】详解: （1）初中5名选手的平均分75808585100a 855++++==，众数b=85， 高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80； （2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好；（3）222222++++=5S 初中（75-85）（80-85）（85-85）（85-85）（100-85）=70， ∵22S S 初中高中＜，∴初中代表队选手成绩比较稳定．【点睛】本题是一道有关条形统计图、平均数、众数、中位数、方差的统计类题目，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念及计算方法是解题的关键.27．（1）0.8；2.1；（2）2=y 2424(0.51)x x -+≤≤；（2）图像见解析，2【解析】【分析】（1）根据小华走了4千米后休息了一段时间和小华的速度即可求出a 的值，用剩下的路程除以速度即可求出休息后所用的时间，再加上1.5即为b 的值；（2）先求出电瓶车的速度，再根据路程=两地间距-速度×时间即可得出答案；（2）结合1y 的图象即可画出1.5x b ≤≤的图象，观察图象即可得出答案． 【详解】解：（1）450.8()a h =÷=，1.585 3.1()b h =+÷=故答案为：0.8；2.1．（2）根据题意得：电瓶车的速度为120.524/km h ÷=∴21224(0.5)2424(0.51)y x x x =--=-+≤≤．（2）画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：小华在休息后前往乙地的途中，共有2趟电瓶车驶过．故答案为：2．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，能够从图象上获取有效信息是解题的关键．。
西安铁一九年级下第三次模拟考试数学试卷 word
2019-2019西安铁一九年级第三次模拟考试数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．在4-，12-，1-，83-这四个数中，比2-小的数有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．如图由四个相同的小立方体组成的立体图像，它的主视图是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．计算232332x y x y xy ⋅÷的结果是（ ）．A ．55xB ．46xC ．56xD ．46x y4．如图，直线a 、b 及木条c 在同一平面上，将木条c 绕点O 旋转到与直线a 平行时，其最小旋转角为（ ）．A ．100︒B ．90︒C ．80︒D ．70︒5．学校小组5名同学的身高（单位：cm ）分别为：147，156，151，152，159，则这组数据的中位数是（ ）．A ．147B ．151C ．152D ．1566．设1x ，2x 是一元二次方程2230x x --=的两根，则2212x x +=（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．12 7．点1(1,)A y -，2(2,)B y -在反比例函数2y x =的图象上，则1y ，2y 的大小关系是（ ）．A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定8．某城2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2016年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（ ）．A ．300(1)363x +=B ．2300(1)363x +=C ．300(12)363x +=D ．2300(1)363x -=9．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，7BC =，点E 为BC 上一动点，把ABE △沿AE 折叠，当点B 的对应点B '落在ADC ∠的角平分线上时，则点B '到BC 的距离为（ ）．A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．4或510．已知二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的不符对应值如下表：且方程20ax bx c ++=的两根分别为1x ，2x 12()x x <，下面说法错误的是（ ）．A ．2x =-，5y =B ．212x <<C ．当12x x x <<时，0y >D ．当12x =时，y 有最小值二、填空题（每题3分，共12分）11．多项式322a a a -+分解因式的结果是__________．12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．A ．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，OAB △沿x 轴向右平移后得到O A B '''△，点A 的对应点A '是直线45y x =上一点，则点B 与其对应点B '间的距离为__________．B ．比较sin53︒__________tan37︒的大小．13．如图，已知点A ，B 是双曲线(0)k y k x=>上的点，A ，B 两点的横坐标是a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若6AOC S =△，则k =__________．14．如图，抛物线223y x x =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点C 关于抛物线的对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，则四边形EDFG 周长的最小值为__________．三、解答题（共78分）15．（本题满分5分）计算：201(π2015)22sin 603-⎛⎫+-+︒ ⎪⎝⎭．16．（本题满分5分）先化简，再求值：22111211a a a a a a ---÷----，其中1a =． 17．（本题满分5分）如图，已知ABC △，请用尺规过点C 作一条直线，使其将ABC△分成面积比为1:3两部分．（保留作图痕迹，不写作法）18．（本题满分6分）某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A ，B ，C ，D 、四个等级，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求此时结果为C 等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？19．（本题满分6分）如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，角AB 于E ，F 在射线DE 上，并且EF AC =．（1）求证：AF CE =；（2）当B ∠的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论．20．（本题满分7分）如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角60CED ∠=︒，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30︒，求拉线CE 的长（结构保留一1.41≈ 1.73≈）21．（本题满分7分）某农场急需铵肥8吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司A 、B ，A 公式有铵肥3吨，每吨售价750元；B 公司有铵肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b（单位：元/千米）与运输重量a（单位：吨）的关系如图所示．（1）根据图象求出b关于a的函数解析式；（2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m 千米，设农场从A公司购买x吨铵肥，购买8吨铵肥的总费用为y元（总费用=购买铵肥费用+运输费用），求出y关于x的函数解析式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．22．（本题满分7分）桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；（2）若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？23．（本题满分8分）如图，在ABC△中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D 作DE BC⊥于点E，且BDE A∠=∠．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若16AC=，3A=，求⊙O的半径．tan424．（本题满分10分）已知，抛物线2=++的顶点为(1,2)y ax x cM--，它与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．（1）求点B、点C的坐标；（2）将这个抛物线的图象沿x轴翻折，得到一个新抛物线，这个新抛物线与直线:46l y x =-+交于点N ．①求证：点N 是这个新抛物线与直线l 的唯一交点； ②将新抛物线位于x 轴上方的部分记为G ，将图象G 以每秒1个单位的速度向右平移，同时也将直线l 以每秒1个单位的速度向上平移，记运动时间为t ，请直接写出图象G 与直线l 有公共点时运动时间t 的范围．25．（本题满分12分）（1）如图①已知四边形ABCD 中，AB a =，90B D ∠=∠=︒，求：①对角线BD 长度的最大值；②四边形ABCD 的最大面积；（用含a ，b 的代数式表示） （2）如图②，四边形ABCD 是某市规划用地的示意图，经测量得到如下数据：20cm AB =，30cm BC =，120B ∠=︒，195A C ∠+∠=︒，请你利用所学知识探索它的最大面积（结果保留根号）。
2019年陕西师大附中、西安高中、西工大附中等八校高考数学模拟试卷(文科)(3月份)-含详细解析
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}，C={x∈N|3x∈A}，则B∩C=（）A. 2，B. 6，C.D.2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为甲，乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A. 甲乙甲乙B. 甲乙甲乙C. 甲乙甲乙D. 甲乙甲乙3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix=cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A. B.C. D.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 256.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为=kx+b，则（）A. k与r的符号相同B. b与r的符号相同C. k与r的符号相反D. b与r的符号相反7.如果对定义在R上的奇函数y=f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y=f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. B. C. D.8.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 319.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-2x2的最大值为（）A. B. C. D.10.已知圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.11.抛物线x2=y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 2112.已知双曲线：＞，＞的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x=1，则|PF|=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=-5x+y的最大值为______．15.设函数，则函数f（log210）=______．16.如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，A1，B1，C1，D1四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P-EFB的体积．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值及方差s2；（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．20.已知椭圆C过点，，两个焦点，，，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求△AOB 面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x-ax（a∈R）有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．23.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3，6，9}， B={3x|x ∈A}={3，6，9，18，27}， C={x ∈N|3x ∈A}={1，2，3}， ∴B∩C={3}． 故选：D ．先分别求出集合A ，B ，C ，由此能求出B∩C ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙， 则＞，σ甲＜σ乙．故选：A ．甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：由题意可得，e 2i=cos2+isin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．由已知可得e2i=cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.【答案】A【解析】解：；∴；∴．故选：A．根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】C【解析】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，∴k与r的符号相同．故选：A．根据相关系数知相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．r为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果．本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．7.【答案】D【解析】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）=sinx，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）=e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=x|x|=，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f （x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d==25．故选：B．将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．9.【答案】A【解析】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）=sin（2x-+）+1=-cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）=4，则g（x1）=g（x2）=2，或g（x1）=g（x2）=-2（舍去）．故有g（x1）=g（x2）=2，即cos2x1=cos2x2=-1，又x1，x2∈[-2π，2π]，∴2x1，2x2∈[-4π，4π]，要使x1-2x2取得最大值，则应有2x1=3π，2x2=-3π，故x1-2x2取得最大值为+3π=．故选：A．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1-2x2的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，得：（x-1）2+（y-2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为等边三角形的高，．故选：B．化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．11.【答案】B【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），整理，得4a i x-y-2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．12.【答案】C【解析】解：F2（c，0），直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|==b，即有|OP|==a，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，可得|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e====．故选：C．求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由y=2x2，得x2=，则p=；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+=2+=，故答案为：．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.【答案】10【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（-2，0），所以z max=-5×（-2）+0=10．z=-5x+y的最大值为：10．故答案为：10．作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.【答案】【解析】解：∵函数，∴函数f（log10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1==．故答案为：．10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1，由此推导出函数f（log能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】4【解析】解：设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得a2=6-2h2，其中，所以，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V=a2h=（6-2h2）h=-2h3+6h，其中，构造函数f（h）=-2h3+6h，其中，则f′（h）=-6h2+6，令f′（h）=0，得h=1．当0＜h＜1时，f′（h）＞0；当时，f′（h）＜0．所以，函数V=f（h）在h=1处取得极大值，亦即最大值，则V max=f（1）=4．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理h2+r2=3，得出a2=6-2h2，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．17.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．整理得：（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C，利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）由于，，所以：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以：△ =3．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，有BH=CH=2，∴∠BCH=45°．又在△DAB中，有AD=AB=2，∴∠ADB=45°．∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD．∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，则CD∥平面PAB，在Rt△PDA中，由AD=PD=2，可得D到PA的距离为，即D到平面PAB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为．在Rt△PAB中，由AB=2，PA=，且F为PA的中点，可得△ △ =．∴V P-EFB=V E-PBF=．【解析】（1）过点B作BH⊥CD于H，证明BC⊥BD．PD⊥BC，通过直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD；（2）求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥P-EFB的体积．本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）内的频率为：1-（0.006+0.026+0.022+0.008）×10=0.38，由此能补全频率分布直方图如下：（2）质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，质量指标值位于（80，122.5）的频率为：+=0.95．∴该产品为合格品的概率为0.95．【解析】（1）由频率分布直方图求出[95，105）内的频率为0.38，由此能补全频率分布直方图．（2）由频率分布直方图求出质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差．（3）求出质量指标值位于（80，122.5）的频率，由此能求出该产品为合格品的概率．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．则c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解得：c=2，a=6，b2=12．∴椭圆C的标准方程为：=1．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x=±3，可得△AOB 面积S==9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．联立，化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，△=4t2m2-4（t2+3）（m2-36）＞0，y1+y2=-，y1y2=．则|AB|===6•，令t2+3=n≥3，则△AOB面积S=d•|AB|=×3×6•=9=9≤9×=6，当且仅当n=6，t=时，△AOB面积取得最大值6．【解析】（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．可得c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解出即可得出．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x，可得△AOB面积S=9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，利用根与系数的关系可得|AB|=，令t2+3=n≥3，可得△AOB面积S=d•|AB|．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）由f（x）=e x-ax，得f'（x）=e x-a，当a＜0时，f（x）在R上为增函数，函数f（x）最多有一个零点，不符合题意，所以a＞0．当a＞0时，f'（x）=e x-a=e x-e ln af'（x）＜0⇔x＜ln a；f'（x）＞0⇔x＞ln a；所以f（x）在（-∞，ln a）上为减函数，在（ln a，+∞）上为增函数；所以f（x）min=f（ln a）=a-a lna；若函数f（x）有两个零点，则f（ln a）＜0⇒a＞e；当a＞e时，f（0）=1＞0，f（1）=e-a＜0；f（3a）=（e a）3-3a2＞0；由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）和（1，3a）上各有一个零点．结合函数f（x）的单调性，当a＞e时，函数f（x）有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为（e，+∞）．（2）证明：由（1）得a＞e，0＜x1＜x2；由ex1=ax1，ex2=ax2得x1=ln a+ln x1，x2=ln a+ln x2；所以x2-x1=ln x2-ln x1=ln；设=t（t＞1），则，解得x1=，x2=；所以x1+x2=，当t＞1时，x1+x2＞2⇔＞2⇔ln t-＞0；设h（t）=ln t-，则h'（t）=，当t＞1时，h'（t）＞0；于是h（t）在（1，+∞）上为增函数；所以，当t＞1时，h（t）＞h（1）=0，即ln t-＞0；所以x1+x2＞2．【解析】（1）利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围；（2）由e x1=ax1，e x2=ax2得x1=lna+lnx1，x2=lna+lnx2；得到所以x1+x2=；构造函数h（t）=lnt-，求证即可．本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．|AB|=|t1-t2|===8．【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019年西安五大名校交大数学3模A3
1交大附中中考模拟数学真卷（三）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 下列各数中不是无理数的是（ ） A.2 B.2πC.8D.9 2. 如图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是（ ）A.长方体B.三棱柱C.三棱锥D.四棱锥3. 下列各式中，计算结果为7a 的是（ ）A. a a +6B.52a a ⋅ C.()43a D.214a a ÷4. 如图，一把直尺经过一块三角板DCB 的直角顶点B ，若将边AB 绕点B 顺时针旋转，使∠ABC=20°，已知∠C=30°，则∠DEF 度数为（ ）A.25°B.40°C.50°D.80° 5. 直线kx y =过点A （m ，n ）、B （m-3,n+4），则k 的值是（ ） A.34 B.34- C.43 D.43- 6. 若线段AD 、AE 分别是△ABC 的BC 边上的中线和高线，则（ ）A. AD ≥AEB.AD ＞AEC.AD ≤AED. AD ＜AE7. 若直线l 1经过点A （0，-6），直线l 2经过点（3，2），且l 1与l 2关于y 轴对称，则l 1、l 2与x 轴的交点之间的距离（ ） A.1 B.23 C.3 D.298. 如图,点I 为△ABC 角平分线的交点，AB=8， AC ＝6， BC=4，将∠ACB 平移使其顶点C 与I 重合,则图中阴影部分的周长为（ ）A.9B.8C.6D.49. 如图，半径为5的⊙O 中，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，AB=8，F 是弧BD 上一点，连接AF ，DF.则tan ∠F 的值为（ ） A.B.C.D.10. 如图是c ax -ax y 2+=是二次函数(a ，c 都是常数且a ≠0)的图象，如果x=m 时，y<0，那么x=m-1时，函数值（ ）A.c y =B.0<yC.c <yD.c y <<0二、填空题（本大题共4小题，共小题3分，计12分） 11. 因式分解34x x -的结果为___________.12. 把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE ，则这个正六边形的面积为___________.13. 已知反比例函数y=xky =(k ≠0)，点A ()1y m ，，B ()2y 2m ，+是函数图象上两点,且满足1-y 1y 121=,则k 的值为___________.2※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…14. 如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形EFCH ，EH=3，EF=4，那么线段AD 与AB 的比值等于__________.三、解答题（本大题共11小题，共78分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）（） 15. （本小题满分5分）计算29-2-2-282-⨯.16. （本小题满分5分）解方程13x 23-x 3x =+-+.17. （本小题满分5分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC> BC ，利用尺规在线段AB 上求作一点D ，使直线CD 把△ABC 分为两个等腰三角形（保留作围痕连,不写作法）.18. （本小题满分5分）如图，点E 是△ABC 的BC 边上的一点，∠AEC=∠AED ，ED ＝EC,，∠D=∠B.求证：AB=AC.19. （本小题满分7分）某校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下： 数据收集：从全校随机抽攻20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min ）：30 60 81 50 40 110 130 146 90 100 60811201407081102010081整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：课外阅读时间x(min)0≤x<4040≤x<8080≤x<120120≤x<160等级 人数分析数据:补全下列表格中的统计量：平均数 中位数众数80得出结论:(1)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为___________.(2)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的平均数估计该校学生每人一年(接52周计算)平均阅读多少木课外书？320. （本小题满分7分）如图为某景区五个景点A ，B ，C ，D ，E 的平面示意图.B ，A 在C 的正东方向，D 在C 的正北方向，D 和E 均在B 的北偏西18°方向上，E 在A 的西北方向上.C ，D 相距1000米，E 在BD 的中点处.求景点B ，A 之间的距离 （结果保留整数）（参考数据3.018sin ≈︒；9.018cos ≈︒；3.018tan ≈︒；9.072sin ≈︒；3.072cos ≈︒；1.372tan ≈︒；4.12≈）21. 春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两家水果店，平时以同样的价格出售品质相同的草莓.“草莓节"期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，顾客的折后付款金额甲y 、乙y （单位：元）与标价应付款金额x （单位：元）之间的函数关系如图所示.(1)求甲y 、乙y 关于x 的函数关系式.(2)“草莓节”期间，选择甲、乙两家哪家水果店购买草莓更省钱？22. 经过某十字路口的行人,可能直行,也可能左拐或右拐,假设这三种可能性相问,现有甲、乙两人经过该路口,求下列事件的概率（1）甲经过路口时左拐的概率.（2）利用画树状图或列表的方法求至少有一人直行的概率.23. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB ，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，连接 BF. （1）求证：BD=BE.（2）若DE=2，BD=52，求AE 的长.4※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…24. （本小题满分10分）如图，抛物线1C 的图象与x 轴交于A 、O 两点，顶点为点B （-1，-1）. （1）求抛物线1C 的函数表达式.（2）将抛物线1C 绕点A 旋转180°得到抛物线2C ，设抛物线2C 的顶点为点'B ，试通过计算判断抛物线2C 是否过点B.（3）在抛物线1C 或2C 的图象上是否存在点D ，使BO B BD B S S ''△△ ?若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由.（2）如图②，等腰直角△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=23，D 是AB 上一点，AD=22，在BC 边上是否存 在点P ，使∠APD=45°？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由. 问题解决（3）如图③为矩形足球场的示度图，其中宽AB =66米，球门EF=8米，且EB=FA ，点P 、Q 分别为BC,AD 上的点，BP=7米,，∠BPQ=135°.一位左前锋球员从点P 处带球，沿PQ 方向跑动，球员在PQ 上的何处才 能使射门角度( ∠EMF)最大？求出此时PM 的长.。
陕西省西安地区等八校2019届高三3月联考数学(理)试题(解析版)
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【解析】∵∴−−=3(−−)；∴=−−.故选：C.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）＝sinxB. f（x）＝e xC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的值域，属于中档题．9.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．10.抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 21【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．11.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【详解】解：∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．当且仅当时，的面积有最小值.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE 将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE ﹣B的余弦值都为定值．【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2x，OE，∴B（2，2x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），（﹣2，2x，﹣x），（2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴8＝0，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．【解析】【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，2a12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|，由|AB|6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（，），B（，），则，．由|AB|6，整理得：，原点O到AB的距离d．∴．当时，△AOB面积有最大值为9．综上，△AOB面积的最大值为．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．g（1）=e,得到函数草图如图所示.a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x＜2）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，2）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴h′（x）（x﹣1）,h（x）在（0，1）内单调递减．∴h（x）＞h（1）＝0,∴．因此+＞2成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝8．【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
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2019年铁一中第三次模拟试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一． 选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1．-27的立方根是（ ）
A ．3
B ．-3
C ．3±
D ．
33±
2．如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（ ）
3.如图,直线c 与直线a,b 相交,在下列条件中,不能判定直线a 与b 平行的是( ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠3=∠5 D.∠3+∠4=180°
4.下列计算正确的是（ ） A.3
2
a a a -= B.(
)
3
26
a
a -= C.22
236a a a -•=- D.()2
22
24ab a b =
5.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠B=22.5°,CD⊥AB,垂足为D,CE 为△ABC 的边AB 上的中线，若DE=
22，则AD 的长为（ ）
A ．422-
B ．
62
2
- C ．2 D ．4 6.如图,在等边三角形AOB 中,A(a,0)(a<0).若正比例函数y=kx 的图象经过点B 和(3,m),则m 的值为（ ） A ．3-
B ．33-
C ．33
D ．3 7.如图,四边形ABCD 是边长为8的正方形,点
E 在边AB 上,BE=6,过点E 作EF∥BC,分别交BD,CD 于G 、
F 两点，若M 、N 分别是D
G 、CE 的中点,则MN 的长为( ) A ．5 B ．41 C ．27 D ．32 8. 将一次函数y=1
32
x -
+的图象沿x 轴向右平移3个单位,则平移后,y >0时,x 的取值范围是（ ） A ．x < 9 B ．x >12 C ．x > 9 D ．x <3
9.如图,在半径为3的⊙O 中弦BC,弦DE 所对的圆周角分别是∠A,∠F,且∠A+∠F=90°，若BC=4.则DE 的长为（ ）
A ．13
B ．4
C ．5
D ．25
10.已知抛物线2
()(0)y ax a c x c a =+++<交y 轴的正半轴于点C,交x 轴于A,B 两点若AB=4,则该抛物线的对称轴是( )
A.直线x =-3
B.直线12x =
C.直线x =1
D.直线3
2
x =
二． 填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11.比较大小:23 32
12.如图,在五边形 ABCDE 中,∠A+∠B+∠E=300°,∠EDC 与∠BCD 的平分线交于点P,则∠P 的度数是 13.如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC 平行于y 轴,点B(3,5),若反比例函数k
y x
=的图象经过点A 和C,则k 的值为
14.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AC=3,AB=210,点D 、E 在BC 边上,BD=CE=1,点G 、F 分别是边AB 、AC 上的两个动点,则四边形DEFG 周长的最小值为
三． 解答题（共11小题，计78分）
15．(5分) 计算：()1
021328(2)2π-⎛⎫
-+⨯--+- ⎪⎝⎭
2
16.（5分）化简：
2
1
16
23369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭
17.（5分）如图,已知C 为∠AOB 的边OB 上一定点,请用尺规作图法,在OA 上求作一点P,使∠APC=2∠AOB(不
写作法,保留作图痕迹)
18.（5分）在△ABC 中,AB=AC.E 、F 分别为AC 、AB 上的点,连接BE 、CF,交点为P,若BP=CP,求EP=FP .
19.(7分)为了了解同学们在哪些方面的安全意识薄弱,便于今后更好地开展安全教有活动,某学校组织了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识的调查活动,根据调结果,绘制出图1，图2两幅不完整的统计图. 请结合图中的信息解答下列问题:
(1)本次调查的总人数为 人，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占 % (2)补全条形统计图；
(3)若该校共有1500名学生,请估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数
20.(7分)如图所示,某数学活动小组为了测量小河对岸大树BC 的高度,他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处,在A 处测得大树顶端B 的仰角是60°.若坡角∠FAE=30°,求大树的高度。
21. 某商场销售A、B两种品牌的教学设备,该商场计划购进这两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获利润9万元,这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
进售价（万元/套） 1.65 1.4
(1)该商场计划购进A、B两种品牌的教学设备各多少套?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少A种设备的购进数量,增加B种设备的购进数量,且用于购进这两种设备的总资金不超过69万元.已知B种设备增加的数量是A种设备减少数量的1.5倍,设A 种设备减少了a套,该商场获得的利润为W万元,求出W与a之间的函数关系式,并求出该商场最多能获得利润多少万元?
22.(7分)某同学报名参加运动会,有以下4个项目可供选择:
径赛项目:100m,400m(分别用A1、A2表示);
田赛项目:跳远,跳高(分别用B1、B2表示
(1)该同学从4个项目中任选一个,求恰好选择的是田赛项目的概率;
(2)该同学从4个项目中任选两个,利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果,并求恰好上是一个田赛项目和一个径赛项目的概率23.(8分)如图,在菱形ABCD中,O为对角线BD上的点,⊙O经过A、D两点,交BD于点E,连接AE并延长,交BC于点F.若BA是⊙O的切线;
(1)求证:BC是⊙O的切线
(2)若⊙O的半径为3,求EF的长
4
24.(10分)如图所示,抛物线2
2y x x c =-+的顶点A 在直线l ：5y x =-上。
(1)求抛物线顶点A 的坐标；
(2)设抛物线与y 轴交于点B,与x 轴交于点C 、D(点C 在点D 的左侧),判断△ABD 的形状, 并说明理由； (3)将抛物线沿直线l 的方向平移,平移后抛物线的顶点为A′,是否存在点A',使以点A'A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在求平移后所有满足条件的抛物线的函数表达;不存在,请说明理由。
25.(本小题满分12分) 问题提出：
(1)如图1,等边三角形ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点,若AE=2,则EM+CM 的最小值为 ；
(2)如图2,在四边形ABCD 中,∠BAD=90°,∠B+∠D=180°,AB=AD,AC=4,求四边形ABCD 的面积 问题解决
(3)如图3所示,BC⊥AB,AD⊥AB,»CD
所对的圆心角为
60°,AB=现想在该图形内选取一点P,在»CD
上选一点E,使得线段PA 、PB 、PE 之和最短,试求PA+PB+PE 的最小值。