电磁场习题解2(上)概述
电磁场理论习题解读
思考与练习一1．证明矢量3ˆ2ˆˆz y x e e e-+=A 和z y x e e e ˆˆˆ++=B 相互垂直。
2. 已知矢量 1.55.8z y e ˆeˆ+=A 和4936z y e ˆ.e ˆ+-=B ，求两矢量的夹角。
3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。
4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。
5．根据算符∇的与矢量性，推导下列公式：()()()()B A B A A B A B B A ∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇)(()()A A A A A 2∇⋅-∇=⨯∇⨯21 []H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明：u du df u f ∇=∇)(， ()du d u u A A ⋅∇=⋅∇， ()dud u u A A ⨯∇=⨯∇，()[]0=⨯∇⋅∇z ,y ,x A 。
7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。
证明下列结果，R R R R =∇'-=∇， 311R R R R-=∇'-=∇，03=⨯∇R R ，033=⋅∇'-=⋅∇RR R R )0(≠R 〔最后一式在0=R 点不成立〕。
8. 求[])sin(0r k E ⋅⋅∇与[])sin(0r k E ⋅⨯∇，其中0E a ,为常矢量。
9. 应用高斯定理证明 ⎰⎰⨯=⨯∇v sd dV f s f ，应用斯克斯〔Stokes 〕定理证明⎰⎰=∇⨯s Ldl dS ϕϕ。
10.证明Gauss 积分公式[]⎰⎰⎰⎰⎰∇+∇⋅∇=⋅∇s Vdv d ψφψφψφ2s 。
11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ⋅∇、()[]321q ,q ,q F ⋅∇∇、()3212q ,q ,q f ∇的表达式。
《电磁场与电磁波》课后习题解答(全)
（3）
【习题3.4】
解：（1）在区域中，传导电流密度为0，即J=0
将 表示为复数形式，有
由复数形式的麦克斯韦方程，可得电场的复数形式
所以，电场的瞬时值形式为
（2） 处的表面电流密度
（3） 处的表面电荷密度
（4） 处的位移电流密度
【习题3.5】
解：传导电流密度 （A/ ）
位移电流密度
【习题3.6】
（2）内导体表面的电流密度
（3）
所以，在 中的位移电流
【习题2.13】
解：（1）将 表示为复数形式:
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
而磁场的瞬时表达式为
（2）z=0处导体表面的电流密度为
z=d处导体表面的电流密度为
【习题2.14】
已知正弦电磁场的电场瞬时值为
式中
试求：（1）电场的复矢量；
（2）磁场的复矢量和瞬时值。
由安培环路定律： ，按照上图所示线路积分有
等式左边
等号右边为闭合回路穿过的总电流
所以
写成矢量式为
将 代入得
【习题3.18】
解：当 时， ，
当 时， ，
这表明 和 是理想导电壁得表面，不存在电场的切向分量 和磁场的法向分量 。
在 表面，法线
所以
在 表面，法线
所以
【习题3.19】
证明：考虑极化后的麦克斯韦第一方程
（1）
和 （2）
若采用库仑规范，即 （3）
对（1）式两边取散度，有
将（2）、（3）式代入，得
故电流连续性也是满足的。
【习题4.3】解：
【习题4.4】
证明：因为 即
故 满足连续性方程。
另外， 满足洛仑兹条件。
高等电磁场理论课后习题答案
由于是远场,
e 1 e 2 e 3 e 4 e e 1 e 2 e 3 e 4 e
2
I ka sin jkr jk r1 jk r2 E E 1 E 2 E 3 E 4 e e jk r3 e jk r4 e e 4r 1 H e k E
2.7
解：
H j E E j H E k 2 E 0 H 0 E 0
比如 E e z e 2.11
jkz
(1)
2 E ( E) ( E) k 2 E 2 E k 2 E 0 (2)
代入公式，可得，
I ka sin1 jkr1 H e e x cos 1 cos 1 e y cos 1 sin 1 e z sin 1 4r1
2
I ka sin 2 jkr2 e e x cos 2 cos 2 e y cos 2 sin 2 e z sin 2 4r2
推导1 1 1 R ˆ 4 lim 2 dV lim dS lim 3 4 R 2 R V 0 R 0 R 0 R R R V S 1 1 又知道 2 在R 0处值为零，符合 (r r ')函数的定义。 4 R 推导2 点电荷q (r r ')产生的电场强度为 q 1 4 0 R 4 R q (r r ') 1 E 2 4 (r r ') 0 R E q
所以有
H 2 E1 H1 E2 E1 J 2 E2 J1 H 2 M1 H1 M 2
电磁场与电磁波》(第四版 )答案二章习题解答
电磁场与电磁波》(第四版 )答案二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为$\rho=-\frac{4\epsilon U}{d}-4\times 10^{-3}x-2\times 10^{-3}$，式中阴极板位于$x=9$，阳极板位于$x=d$，极间电压为$U$。
如果$U=40V$，$d=1cm$，横截面$S=10cm^2$，求：（1）$x$和$x=d$区域内的总电荷量$Q$；（2）$x=d/2$和$x=d$区域内的总电荷量$Q'$。
解（1）$Q=\int\limits_{0}^{9}\rhoSdx+\int\limits_{d}^{9}\rho Sdx=-4.72\times 10^{-11}C(3d)$2）$Q'=\int\limits_{d/2}^{d}\rho Sdx=-0.97\times 10^{-11}C$2.2 一个体密度为$\rho=2.32\times 10^{-7}Cm^3$的质子束，通过$1000V$的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为$2mm$，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解：质子的质量$m=1.7\times 10^{-27}kg$，电量$q=1.6\times 10^{-19}C$。
由$1/2mv^2=qU$得$v=2mqU=1.37\times 10^6ms^{-1}$，故$J=\rho v=0.318Am^2$，$I=J\pi (d/2)^2=10^{-6}A$2.3 一个半径为$a$的球体内均匀分布总电荷量为$Q$的电荷，球体以匀角速度$\omega$绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解：以球心为坐标原点，转轴（一直径）为$z$轴。
设球内任一点$P$的位置矢量为$r$，且$r$与$z$轴的夹角为$\theta$，则$P$点的线速度为$v=\omega\times r=e_\phi \omegar\sin\theta$。
电磁场与电磁波(第四版)课后答案_谢处方_第二章习题 2
2.10 一个半圆环上均匀分布线电荷 ，求垂直于圆 平面的轴线z＝a处的电场强度，设半圆环的半径也为a。
解：
dq ldl ', dl ' a d ',
dE
R eza era a(ez ex cos ' ey sin '),
E r
l 4 0
c
R R3
dl
'
a
l
40
(ez ex cos ' ey sin ')a2 d '
的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。
解：将题中问题看做两个对称电流的叠加：
一个是密度为 J 均匀分布在半径为 b
的圆柱内，另一个是密度为 J 均匀
b
分布在半径为 a 的圆柱内。 a
由安培环路定律在 b 和 a 中分布的
d
磁场分别为
0 2
J
b
b b
Bb
0b2 J b 2 b2
b b
0
q(ex x ey y (x a)2
ez z exa)
y2
z2
3/ 2
2q(ex x ey y ez z exa)
(x
a)2
y2
z2
3/ 2
0
由此可得个分量为零的方程组：
q(x
a)
(x
a)2
y2
z2
3/ 2
2q(x
a)
(x
a)2
y2
z2
3/ 2
0
qy
(
x
2
a)2
y2
z2
3/ 2
2qy
解：（1）
d
q (r ) d 0 (r ) s dx
电磁场习题解2(上)
第二章习题解2-1.已知真空中有四个点电荷q C 11=，q C 22=，q C 34=，q C 48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。
解：设z r ˆ=,y r x r y r xr ˆ',ˆ',ˆ',ˆ'2321-=-=== z y r r R z x r r R z y r r R z xr r R ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ'44332211+=-=+=-=+-=-=+-=-=84ˆ15ˆ6ˆ3)ˆˆˆˆ(41024442333222221110πεπεz y x R R q R R q R R q R R q E ++=+++=2-2.已知线电荷密度为ρl 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。
(a) (b) (c)题2-2图解：(a) 由对称性04321=+++=E E E E E(b) 由对称性0321=++=E E E E(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为ya y x y x a E E E ll a ˆ2)}ˆˆ()ˆˆ{(40021περπερ-=--+-=+= 半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为y a E lb ˆ20περ=总电场为0=+=b a E E E2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为ρs ，求轴线上的电场强度。
解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ϕad 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为ϕρρad s l =,对ϕ积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为yd x yad r a E s ss ˆ)ˆc o s ˆs i n (22ˆ0000⎰⎰-=--==πππερϕϕϕπερπεϕρ题2-3图 题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。
电磁场与电磁波习题讲解02
ax
109
5 4 4 107
sin(5z)
ax
1 sin(5z) 20
习题讲解四
例题 已知某无耗媒质中的电场强度瞬时值形式为
Ez,t ay 4 sin(109t) cos(5z), 且=0
，求相应的磁场强度的复数表达式
解：E z, t
ay
4
cos(109 t
EH
t
1 2
H
B
1 2
E
D
J
E
坡印廷定理的物理意义：单位时间内通过曲面S进入体积 V的电磁能量等于单位时间内体积V内所增加的电磁场能 量与损耗的能量之和
5.3 麦克斯韦方程及边界条件
坡印廷矢量
S EH
坡印廷矢量的物理意义：它表示单位时间内通过垂直于能 量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是电磁能量 传输的方向
(3) E ax cos(t z) ay 2sin(t z)
解：E(
z,t)Βιβλιοθήκη axcos(t
z)
ay
2
cos(t
z
2
)
ax
Re[e
j(t z)
]
ay
2
Re[e
j (t
z 2
)
]
E(z) axe j z ay 2 je j z
ax
j2
e
j5z
ax
j2
e
j5z
r 0
工程电磁场-基本概念回顾及习题课
直角坐标系中 散度的计算公式
习题1-18
（5）无旋场
• 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 • 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 • 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场，J 称为 旋度源； • 若矢量场处处A=0，称之为无旋场(或保守场)。
6、准静态电场、准静态磁场
第六章
电磁场边值问题的解析方法
1. 例题6-1-2 2. “接地导体球面外放置 1点电荷，如何确定镜 像电荷的电荷量和位 置” 3. “镜像电流位置和数值 的确定方法”
3 二种媒质分界面恒定磁场的镜像法问题
解得
I
2 1 I 1 2
I
21 I 1 2
第1章 矢量分析与场论基础
（1）等值面；
工程电磁场基本概念回顾及习题课
（2）矢量线； （3）方向倒数与梯度的关系； （4）无源场或无散场； （5）无旋场
1
（1）标量场的等值面
设标量场u (M)是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的 任何一点 M0，可以作出这样的一个曲面S，在它上面每一点处， 函数u (M)的值都等于u (M0)，即在曲面S 上，函数u (M)保持着 同一 数 值 u (M0)，这样的曲面S叫做标量场u 的 等值面。等值 面的方程为
+
-
（5） 高斯通量定理
高斯通量定理的微分形式
例2-3-2 如图所示，真空中，半径为A的大圆球内有一个半径为 a的小圆球，两圆球面之间部分充满体密度为ρ的电荷，小圆球 内电荷密度为零(空洞)。求小圆球(空洞)内任一点的电场强度。
即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密 度与真空的介电常数之比。 高斯通量定理的积分形式 解：根据叠加原理，空洞内P点的电场强度，可以看作是由充满 电荷、电荷体密度为ρ的大球和充满电荷、电荷体密度为- ρ的 小球在P共同产生的电场强度。
电磁场与电磁兼容习题答案与详解-第2章
电磁场与电磁兼容习题答案与详解第二章麦克斯韦方程组：2.1.在均匀的非导电媒质(b = 0, = 1 )中，已知时变电磁场为E =a ： 300;rcos[期一扌y) (\7m), H =“」Ocos]期一扌)](A/m),利用麦克斯韦方程 组求岀0和解：将E 和H 用复数表示：.4E (j)= e z 300^e'Jj ' (1)4H (y)= e x 10e'(2) 由复数形式的麦克斯韦方程，有：W ' 1 K7 " 1 迟 40 -命 心、——―乞——=冬一e 3<3) JG )£ ]G)e cy比较(1)与(3), (2)与(4),得:-------------- =3 0 0 ” 30 " °HO”…Q “ o由此得：0 = 10" rad /ss r = 162.2.已知无源空间中的电场为E=a^.\sin(lO^)cos (6^x 109/-A )(V/m),利用麦克斯 韦方程求H 及常数0。
解：E 复数形式：E(x, z) = ^0.1 sin(l O/rx) &汹H(y)丄VxE 匕亠翌勺帔冷 际' W ㊈.呱由复数形式麦克斯韦方程D l ・ 2TT ・ 3、伍=Pi 即D }20“ _ 10〃 I K ・3、伍 3尽Vx£ =- --------J W O[-纟』・ 1 & $m(l 0开兀)+ 多打0.1 x 1 O^cos(lO^Tx) ] e~J/zVxH = jcoc Q E 7s =—i-VxZZ j 叫 1 7^o L y & 0.1 「 务 — 3 %0 1-将上式与题给的电场E 相比较，即可得:彳 一了(】0, )：： F 二 /“血二(6和】。
丁 X 紹歹二 400”::p = J400宀 I 。
/ =］。
朽开=SA.AXradlm而磁场的瞬时表达式为：II(x,z;f) = -e 5 0.23x10 3 sin(l O TTX )COS (6^X 109/-54.41Z ) -e. 0.13x1 O'3 cos(l Q JCX ) sin(6 龙 xl09/-54.4lz)A ! m髙斯定理:2.7.两个相同的均匀线电荷沿x 轴和y 轴放置，电荷密度A = 20/zc/w ,求点(3, 3, 3) 处的电位移矢量ZK解：设x 轴上线电荷在P(3, 3, 3)点上产生的电位移矢量为Di, x 轴上线电荷在P(3, 3, 3)点上产生的电位移矢虽:为D2.D2的单位方向矢量是因为以x 轴为轴心，3血为半径作单位长度圆柱，根拯髙斯左理\D\ ・ds = p(同理D,=単- dll dm ——a —- ox(10龙)2 +/^]sin(101o:)e" D I 的单位方向矢量是1-3抵小小小10〃 1 1 卞5“ 5u10“D = D + D厂五(石冷+厉勺+ J%F心+頑勺 F代2.8.p,= 30“/加的均匀线电荷沿z轴放置，以z轴为轴心另有一半径为2m的无限长圆柱而，其上分布有密度为Q$= -1・%兀卩c/m2的电荷，利用高斯怎理求各区域的电位移矢量D。
电磁场与电磁波课后习题及答案二章习题解答
二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为4320049U d x ρε--=-，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。
如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。
解 （1） 43230004d ()d 9dQ U d x S x τρτε--==-=⎰⎰110044.7210C 3U S dε--=-⨯ （2） 43230024d ()d 9dd Q U d x S x τρτε--''==-=⎰⎰11004(10.9710C 3U S d ε--=-⨯ 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=⨯的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量271.710kg m -=⨯、电量191.610C q -=⨯。
由212mv qU = 得61.3710v ==⨯ m s 故 0.318J v == 2A m26(2)10I J d π-== A2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。
设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为sin r φωθ=⨯=v r e ω球内的电荷体密度为343Qa ρπ=故 333sin sin 434Q Q r r a aφφωρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。
设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为sin a φωθ=⨯=v r e ω球面的上电荷面密度为24Q a σπ=故 2sin sin 44S Q Q a a aφφωσωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。
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第二章习题解2-1.已知真空中有四个点电荷q C 11=，q C 22=，q C 34=，q C 48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。
解：设zr ˆ= ,y r x r y r x r ˆ',ˆ',ˆ',ˆ'2321-=-===z y r r R z x r r R z y r r R z xr r R ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ'44332211+=-=+=-=+-=-=+-=-=84ˆ15ˆ6ˆ3)ˆˆˆˆ(41024442333222221110πεπεz y x R R q R R q R R q R R q E ++=+++=2-2.已知线电荷密度为ρl 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。
(a) (b) (c)题2-2图解：(a) 由对称性04321=+++=E E E E E(b) 由对称性0321=++=E E E E(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为yay x y x a E E E ll a ˆ2)}ˆˆ()ˆˆ{(40021περπερ-=--+-=+=半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为y a E lb ˆ20περ=总电场为0=+=b a E E E2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为ρs ，求轴线上的电场强度。
解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ϕad 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为ϕρρad s l =,对ϕ积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为y d x y a d r a E ss s ˆ)ˆc o s ˆs i n (22ˆ00000⎰⎰-=--==πππερϕϕϕπερπεϕρ 题2-3图 题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。
解: 在平板上'x 处取宽度为'dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dx s l ρρ=，在点),(y x 处产生的电场为ρρρπε'ˆ21),(0dx y x E d s =其中 22)'(y x x +-=ρ；22)'(ˆˆ)'(ˆyx x y y xx x +-+-=ρ对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为)}2/2/(2ˆ)2/()2/(ln ˆ{4),(22220y a x arctg y a x arctg y ya x y a x x y x E s --+++-++=περ 2-5.已知电荷分布为ρ=≤>⎧⎨⎪⎩⎪r a r ar a220;;ρs b r a ==;r 为场点到坐标原点的距离，a ，b 为常数。
求电场强度。
解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理⎰⎰=⋅sqS d E 0ε等式左边为r sE r S d E ⎰⎰=⋅24π 半径为 r 的球面内的电量为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=ar ba a a r a r q ;554;542325ππ 因此，电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=ar rba a a r ar E r ;55;52023203εε2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为ρ=≤>⎧⎨⎪⎩⎪r a r ar a;;0r 为场点到z 轴的距离，a 为常数。
求电场强度。
解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理⎰⎰=⋅sqS d E 0ε等式左边为 r sE r S d E ⎰⎰=⋅π2半径为 r 的圆柱面内的电量为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a r a a r ar q ;32;3223ππ 因此，电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a r r a a r a r E r ;3;30202εε2-7. 在直角坐标系中电荷分布为ρρ(,,);;x y z x ax a =≤>⎧⎨⎩00求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为⎩⎨⎧><=a x aS a x xS q ;2;200ρρ因此，电场强度为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a x a a x xE x ;;0000ερερ 题2-9图题2-7图2-8. 在直角坐标系中电荷分布为ρ(,,);;x y z x x ax a =≤>⎧⎨⎩求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为 ⎩⎨⎧><=a x S a ax S x q ;;22因此，电场强度为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<=ax a a x x E x ;20;202002ερερ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<<--=a x a x a x E x ;20;20202εε2-9.在电荷密度为ρ（常数）半径为a 的带电球中挖一个半径为b 的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c<a)。
求空腔中的电场强度。
解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。
完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为3ερR E a =完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为3ερrE b -=所以，空腔中某点的电场为003)(3ερερcr R E E E b a =-=+= c为从球心指向空腔中心的矢量。
2-10.已知电场分布为E x b x b x b x x b x x b =-<<>-<⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22222;// ;/ ;/求电荷分布。
解:由0/ερ=⋅∇E得⎪⎩⎪⎨⎧><=⋅∇=2/;02/;200b x b x b E εερ2-11. 已知在圆柱坐标中，电场分布为E Cr r a r br a r b=<<<>⎧⎨⎪⎩⎪ ;;,0求电荷分布。
解: 由0/ερ=⋅∇E得00=⋅∇=Eερ在r=a,r=b 的面上，电场不连续，有面电荷.电荷面密度为⎩⎨⎧=-====b r b C ar a C E D n n s ;/;/000εεερ2-12.若在直角坐标系中电位为B Ax +=Φ其中A ，B 均为常数，求电荷密度。
解:由02/ερ-=Φ∇得=Φ∇-=20ερ02-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位。
(a) (b)解:(a) 方形均匀线电荷在轴线上的电位 对于方形，每条边均匀线电荷的电位2/)2(2/)2(ln4''4)(222202/2/220L L d L Ld x d dx d l L L l -+++=+=Φ⎰-περπερ 其中 222)2/(L z d += 方形均匀线电荷在轴线上的电位为2/2/2/2/ln )(22220L L z L L z z l -+++=Φπερ(b) 圆形均匀线电荷在轴线上的电位22020222'4)(za a za ad z ll+=+=Φ⎰ερϕπερπ2-14.计算题2-5给出的电荷分布的电位。
解: 题2-5给出的电荷分布的电场为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=a r r ba a a r ar E r ;55;52023203εε 由电位的定义,电位为⎰∞=Φrr dr E r )(对于r>a⎰∞+=+=Φrr ba a dr r ba a r 02320235555)(εε对于r<a20402022032023202055555)(a r a ba a dr a r dr r ba a r a arεεεεε-++=++=Φ⎰⎰∞ 2-15.半径为a ，长度为L 的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为P P z=0 (P 0为常数）。
求介质中的束缚电荷以及束缚电荷在轴线上产生的电场。
解: (1)介质中的束缚电荷体密度为0'=⋅-∇=Pρ(2) 介质表面的束缚电荷面密度为P ns ⋅=ˆ'ρ 在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为0'P s ±=ρ.(3) 上下端面上束缚电荷产生的电场由例题2.2, 圆盘形电荷产生的电场为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++->+-=0');''1(20');''1(2)'(220220z a z z z a z z z E s sz ερερ式中a 为圆盘半径。
将坐标原点放在圆柱介质棒中心。
对上式做变换,2/'L z z -=,0P s =ρ,可上端面上束缚电荷产生的电场为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--+->+---=2/);)2/(2/1(22/);)2/(2/1(2)(22002201L z a L z L z P L z a L z L z P z E z εε同理,做变换,2/'L z z +=,0P s -=ρ,可下端面上束缚电荷产生的电场为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<++++->+++--=2/);)2/(2/1(22/);)2/(2/1(2)(22002202L z a L z L z P L z a L z L z P z E z εε上下端面上束缚电荷产生的总电场为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-<+---+++<<-+---++++->+---+++=2/);)2/(2/)2/(2/(22/2/);)2/(2/)2/(2/2(22/);)2/(2/)2/(2/(2222200222200222200L z a L z L z a L z L z P L z L a L z L z a L z L z PL z a L z L z a L z L z P E z εεε2-16.半径为a 的介质球均匀极化，P P z=0 ，求束缚电荷分布及束缚电荷在球中心产生的电场。
解: (1)介质中的束缚电荷体密度为0'=⋅-∇=Pρ(2) 介质表面的束缚电荷面密度为 θρc o s ˆˆˆ'00P P r z P n s =⋅=⋅= 题2-16图(3) 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场在介质球表面取半径为θsin a r =宽度为θad dl =的环带,可看成 半径为θsin a r =,θcos a z -=,电荷线密度为θθρd aP l cos 0=的线电荷圆环,例2.1给出了线电荷圆环的电场,对θ积分得00020002/32223003c o s c o s 2])c o s ()s i n [(cos sin 2εθθεθθθθθεππP d P a a d a P E z =-=+=⎰⎰2-17.无限长的线电荷位于介电常数为ε的均匀介质中，线电荷密度ρl 为常数，求介质中的电场强度。