高中数学__数列全套导学案_新人教A版必修5
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》教案 新人教A版必修5
课题：2.1.1数列的概念与简单表示法（1）【学习目标】1、理解数列的概念；2、认识数列是反映自然规律的基本数学模型；3、初步掌握数列的一种表示方法——通项公式；【学习重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用【学习难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【授课类型】新授课【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法【学习过程】 一、复习引入：师 课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，…师 图2.1-2中的正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1， 无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1， 生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，二、新课学习：折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？ 生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…； 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数 生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列：各项相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列， 2.递减数列 ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16↓ ↓ ↓ ↓序号 你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式三、 特例示范1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n =1n n ;(2)a n =(-1)n·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 ［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数)定义域 R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式 y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列 4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41,…③的图象生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关 师 数列1,21 ,31 ,41,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数xy 1的图象有关师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点四、课堂小结本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式六、作业布置:六、课后反思：。
高中数学 第二章 数列 24 等比数列学案(无答案)新人教A版必修5 学案
2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题． 【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式． 一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念： ．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈． 强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比 时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为 ．3．等比数列的通项公式： ． 4．等比中项的定义： ． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧． （1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =． 三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为 ．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ． （2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想． 一.课前预习 预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。
人教A版高中数学必修5全册导学案
人教A版高中数学必修五全册导学案目录第一章解三角形 (1)1.1.1正弦定理 (1)1.1.2余弦定理 (4)1.2.1应用举例 (8)1.2.2解三角形实际应用举例习题 (12)必修五第一章测试题 (15)第二章数列 (19)2．1数列的概念与简单表示法 (19)2．2等差数列 (22)2．3等差数列的前n项和 (26)2．4等比数列 (31)2．5等比数列的前n项和 (34)必修五第二章测试题 (38)第三章不等式 (38)3.1不等式与不等关系 (38)课题：3.2一元二次不等式及其解法(1) (42)课题：3.2一元二次不等式及其解法(2) (47)课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1） (50)课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2） (52)课题：3.3.2简单的线性规划（1） ........................................................... 56 课题：3.3.2简单的线性规划（2） ........................................................... 61 课题：3.3.2简单的线性规划（3） ........................................................... 65 课题：3.42a b+ ................................................................ 69 课题：3.42a b + (73)必修五第三章测试题 (76)高中数学必修五全册导学案第一章解三角形1.1.1正弦定理【学习目标】1.通过对特殊三角形边角间的数量关系的探究发现正弦定理，初步学会由特殊到一般的思想方法发现数学规律。
（难点）2.掌握正弦定理，并能用正弦定理解决两类解三角形的基本问题。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和二导学案新人教A版必修5
2.5等比数列的前n 项和（二）【教学目标】1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.5等比数列的前n 项和（二）》课件“复习回顾”部分，对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理 等比数列前n 项和的性质阅读教材P 57第13行～P 58，完成下列问题．等比数列前n 项和的性质性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n －A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n (n ∈N *)，则S 偶S 奇＝q .②S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．三、合作探究问题1若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，那么数列{a n }是不是等比数列？若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？提示：当S n ＝2n －1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2n －1，n ≥2， n ∈N *是等比数列；当S n ＝2n ＋1－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n ，n ≥2， n ∈N *不是等比数列．问题2若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列吗？ 提示：设{a n }的公比为q ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n＝a 1q n ＋a 2q n ＋…＋a n q n ＝q n S n ，S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n＝a n ＋1q n ＋a n ＋2q n ＋…＋a 2n q n＝q n (S 2n －S n )，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为q n .问题3在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的？提示：在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可． 探究点1 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列提示：B [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式，∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n ＝a ，∴数列{a n }是等比数列．]名师点评：(1)已知S n 通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1. (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列． 探究点2 等比数列前n 项和的性质命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．提示：方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q (1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )，S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )．∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．名师点评：处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．命题角度2 不连续n 项之和问题例3 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( ) A ．－3B ．－13C ．3D.13提示：A [∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7)∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q ＝－3.]名师点评：注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快．探究点3 错位相减法求和例4 求数列{n2n }的前n 项和． 提示：设S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， 则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝121－12n 1－12－n 2n ＋1 ＝1－12n －n 2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋22n . 名师点评：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．四、当堂检测1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193 2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( ) A.13B ．－13C.12D ．－123．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )A ．180B ．108C ．75D ．634．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________.提示：1．C 2.C 3.D 4.－1五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．2．等比数列前n 项和中用到的数学思想：(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)也与指数函数相联系． (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q 当成整体求解。
高中数学 数列求和的常用方法(三课时)教案 新人教A版必修5 教案
数列求和的常用方法（三课时）数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。
数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。
下面介绍数列求和的几种常用方法： 一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，． 又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=， 解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312nn a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=．练习：设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。
新人教A版必修5高中数学学案教案： (2.4.1 等比数列的概念及通项公式)
2.4 等比数列2.4.1 等比数列的概念及通项公式从容说课本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性.准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的.教学重点1.等比数列的概念;2.等比数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等比数列与指数函数的关系.二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学生学习的积极性.三、情感态度与价值观1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学过程导入新课师现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？生一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，…师非常好的一个例子！现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：1，2，4，8，…①教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？生 思考、讨论，用现代语言叙述.师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，21，41，81，161，… ② 教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，20，202，203，204，… ③教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n ，这里n 为存期.生 列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.01985. ④师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？ 生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列. ［教师精讲］师 同学们概括得很好，这就是等比数列(geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progressio n ).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commo n r a tio)，公比通常用字母q 表示(q≠0).请同学们想一想，为什么q≠0呢？生 独立思考、合作交流、自主探究.师 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？生 分母为0了.师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？生 等比数列的首项不能为0.师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0. ［合作探究］师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.生 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 、b 的等比中项. 师 想一想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能用a 、b 表示G 吗？生 一起探究,a 、b 是同号的G b a G ，G=±ab ，G 2=ab . 师 观察学生所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？ 生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.［合作探究］探究：(1)一个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？(3)任一项a n 及公比q 相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备) ［合作探究］师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 生 推导等比数列的通项公式. ［方法引导］师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.具体的，设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，根据等比数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1，即a n =a 1q n -1.师 根据等比数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进而有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1.亦得a n =a 1q n -1.师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？生 把a n 看成a n q 0，那么，每一道式子里，项的下标与q 的指数的和都是n .师 非常正确，这里不仅给出了一个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子 q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上面的式子改写成q a a q a a q a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是11-=n n q a a ,于是，得a n =a 1q n -1. 师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.师 让学生说出公式中首项a 1和公比q 的限制条件.生 a 1，q 都不能为0. ［知识拓展］师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.生 比较两种方法，思考它们的异同. ［教师精讲］通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你又发现了什么？生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：等差数列 等比数列 定 义从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数 从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数 首项、公差(公比)取值有无限制没有任何限制 首项、公比都不能为0 通项公式a n =a 1+(n -1)d a n =a 1q n -1 相应图象的特点直线y=a 1+(x-1)d 上孤立的点 函数y=a 1q x-1图象上孤立的点［例题剖析］【例1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？师 将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，….可知a 1=1;a 2=a 1×21;a 3=a 2×21. 于是，可得递推公式⎪⎩⎪⎨⎧==-)1(21,111＞n a a a n n . 由于211=-n n a a ，因此，这个数列是等比数列. 生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.练习：1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.师 启发、引导学生列方程求未知量.生 探究、交流、列式、求解.2.课本第59页练习第1、2题.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的定义.2.等比数列的通项公式.3.等比数列与指数函数的联系.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第1、2题.板书设计等比数列的概念及通项公式1.等比数列的定义 实例剖析2.等比数列的通项公式 从三个角度类比等差数列表 例1练习：1.(学生板演) 例2。
高中数学 2.2等差数列的性质导学案 新人教A版必修5
2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质，掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法，提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究，进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效，激励学生自主探究，发现规律，感受等差数列的内在奥妙. 【重点】：等差数列的性质. 【难点】：等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有什么关系？2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题？3. 若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的________，即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？ Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念，你能写出等差数列的通项公式吗？公差对数列的增减性有何影响？2.已知等差数列的公差为d ，第m 项为m a ，第n 项为n a （n>m ）则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ，公差为d ，（1）将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（2）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（3）取出数列中所有项数是7的倍数的项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（4）数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？【预习自测】1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B 等于（ ） A ．30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列，则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D ．一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中，741a a a ++=39，33852=++a a a ，则963a a a ++等于（ ） A ．30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究 探究一：等差数列的性质问题1：如果数列{a n}是等差数列，首项为a1,公差为d，则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n，a n，则点(n,a n)在直线____________上；点(n,a n)的横坐标每增加1，函数值增加_____.问题2：等差数列的性质：已知一个等差数列{a n}，其中首项是a1，公差为d，（1）下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…（k,m∈N*）组成公差为_____的等差数列.（2）a1+a2，a3+a4,a5+a6，…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.（3）若{b n}是公差为d0的等差数列，则数列{pa n+qb n}（p，q为常数）是公差为________的等差数列.（4）若{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都_______，且等于_______________.（5）若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗？说明理由.（6）若m+n=2p，则a m+a n_____2a p，a m+a n_____a2p（填“=”或“≠”）.【归纳总结】等差数列的性质有哪些？数列{a n}为等差数列，首项是a1，公差为d.（1）d＞0,{a n}是递增数列；d＜0，{a n}是递减数列；d=0,｛a n｝是常数列.（2）a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).（3）a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.（4）a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.（5）若数列{b n}是公差为b的等差数列，p，q为常数，则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.（6）若m,n,p,q∈N*，且满足m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.探究二：等差数列性质的应用（重难点）【例1】若{a n}是等差数列，a15=8,a60=20，求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质：（1）a1+a n=a2+a n-1=….（2）m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.（3）若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列，则a m,a n,a p成等差数列.（4）a n=a m+(n-m)d.（5）若数列{a n}是等差数列，则a n=an+b（a,b为常数,n∈N*）.（6）若{a n}与{b n}均为等差数列，则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16，a4+a6=0，求{a n}的通项公式.探究三：综合应用（重难点）【例2】数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】（1）求通项公式常用的方法：①不完全归纳法；②公式法；③叠加法；④累积法.（2）判断一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法；②等差中项法；③函数法：若a n=an+b（a,b为常数）,则数列{a n}是等差数列.（3）求数列的最大（小）项常用的方法：①不等式组法；②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15 B．30 C．31 D．642.已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )A．20 B．48 C．60 D．723. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．A.a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 Ca3＋a100≤0 D．a51＝04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于( ) A．4 B．6 C．8 D．125. 在等差数列{a n}中，a18＝95，a32＝123，a n＝199，则n=________.6. 已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。
高中数学人教A版必修5自主学习导学案2.6数列求通项公式的典型方法(学生版 教师版) Word版含解析
数列求通项公式的典型方法（学生版）
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前项和公式都可以看作项数的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，
而数列的前项和可视为数列的通项
求数列通项公式方法较多，归纳起来常用的方法主要有一下几种：归纳法、公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等
．归纳法
【例】已知数列试写出其一个通项公式：
练习．已知数列，试写出下列数列的一个通项公式：
练习．数列，－，，－，…的一个通项公式是( )
．＝(－)＋·．＝(－)－·．＝(－)＋·．＝(－)－·
．公式法
利用＝(\\(，＝，－－，≥.))或利用等差、等比通项公式.
【例】已知下面各数列的前项和为的公式，求的通项公式．
()＝－；()＝－.
练习．已知下面各数列{}的前项和的公式，求数列{}的通项公式．() ＝＋；()＝＋＋.
【例】已知数列{}的前项和＝＋，求{}通项公式．
练习．设数列{}的前项和为，已知＝，＋＝(＝，…)．求证：数列是等比数列．
．累加法
累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有典型的特点：可以求和．其解题步骤是：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解．
【例】已知数列满足，，求．
【例】已知数列满足，，求．
练习．已知数列满足，求数列的通项公式。
练习．已知数列中，满足,求数列的通项公式．
练习．已知数列中，满足,求数列的通项公式．
．累乘法
累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有。
浙江省杭州市高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列教案 新人教A版必修5(2021年整理)
浙江省杭州市高中数学第二章数列 2.2 等差数列教案新人教A版必修5浙江省杭州市高中数学第二章数列2.2 等差数列教案新人教A版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省杭州市高中数学第二章数列2.2 等差数列教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1时间段落教学目标内容模块教学过程与方法第1段落10 分钟。
其中缄默情境下学生自主学习活动的时间 5 1. 通过具体实例的研究，学生能理解和掌握等差数列的定义。
2.学生经历从特殊到一般的研究数学问题的过程.3。
知道等差数列的分类.一、等差数列的定义1.文字语言表示2.等差数列定义的符号语言表示daann=--1（2≥∈nNn且)3.分类:>d，递增数列<d，递减数列=d，常数数列1.复习回顾:数列的定义及通项公式，递推公式。
（1分钟）2.教师举例,引导学生观察：上面的3个数列有什么共同特点？共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数,我们把这样的数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，记做d。
（3分钟）3.完善上述定义,明确关键词。
(2分钟）上面3个数列都是等差数列，公差依次是，，。
(3分钟）引导学生在理解等差数列的定义时候应注意什么？强调:“从第二项起”，这是为了保证每一项都有前一项（哪项没有前一项？) 每一项与它前一项的差必须是同一个常数,被减数和减数顺序不要弄错（这里体现了等差数列2分钟.的基本特征）；4.在理解概念的基础上，引导学生用数学符号表示等差数列的定义.其本质是：等差数列的递推公式5。
高中数学 第二章 2.1数列的概念与简单表示法(一)导学案新人教A版必修5(1)
§2.1 数列的概念与简单表示法(一)课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }． 3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n 答案 B2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋－n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1]B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)]C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1]答案 D解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项 答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －2C ．a n ＝n n ＋2D ．a n ＝n 2＋1答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2 答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n 为正奇数4n －n 为正偶数.则它的前4项依次为____________．答案 4,7,10,158．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．答案 10解析 ∵1n n ＋＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案 55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… (4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n ·2n－32n (n ∈N *)．(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)．(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 n 为奇数n 为偶数或a n ＝1＋－n2(n ∈N *)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)．12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． (1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝n －n －n －n ＋＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是______________________．答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2. 14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 n ＝2k －，n ＝2k ，其中k ∈N *.。
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§1.1数列的概念 (1学习目标1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;3. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式.一、预习案(预习教材P 1~ P 6,找出疑惑之处复习1:函数3x y =,当x 依次取1,2,3,…时,其函数值有什么特点?复习2:函数y =7x +9,当x 依次取1,2,3,…时,其函数值有什么特点?二、探究案探究点1:数列的概念(一基础知识探究⒈数列的定义: 的一列数叫做数列.⒉数列的项:数列中的都叫做这个数列的项.反思:⑴如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们是相同的数列?⑵同一个数在数列中可以重复出现吗?3. 数列的一般形式:123,,,,,n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第项.4. 数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用来表示,那么n a 就叫做这个数列的通项公式.反思:⑴所有数列都能写出其通项公式?⑵一个数列的通项公式是唯一?⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系?5.数列的分类:1根据数列项数的多少分数列和数列;2根据数列中项的大小变化情况分为数列,数列,数列和数列.(二知识综合应用探究探究点2例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:⑴ 1,-12,13,-14;⑵2, 0, 2, 0.变式:写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:⑴12,45,910,1617;⑵ 1,-1, 1,-1;小结:要由数列的若干项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中的项的构成规律,将项表示为项数的函数关系.例2已知数列2,74,2,…的通项公式为2nan bacn+=,求这个数列的第四项和第五项.变式:已知数列5,11,17,23,29,…,则55是它的第项.小结:已知数列的通项公式,只要将数列中的项代入通项公式,就可以求出项数和项.当堂检测1. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:⑴ 1, 13,15, 17; ⑵ 1,2,3,2 .2. 写出数列2{}n n -的第20项,第n +1项.三、总结提升※学习小结1. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式;2. 会用通项公式写出数列的任意一项.※知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考:设(f n =1+12+13+…+131n -(n ∈*N 那么(1(f n f n +-等于(A. 132n +B.11331n n ++ C. 113132n n +++ D. 11133132n n n ++++学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:1. 下列说法正确的是( .A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列C. 1,1,1,1…不是数列D. 两个数列的每一项相同,则数列相同2. 下列四个数中,哪个是数列{(1}n n +中的一项( .A. 380B. 392C. 321D. 2323. 在横线上填上适当的数:3,8,15, ,35,48.4.数列(12{(1}n n --的第4项是 .5. 写出数列121-⨯,122⨯,123-⨯,124⨯的一个通项公式 . 训练案1. 写出数列{2n }的前5项.2. (1写出数列2212-,2313-,2414-,2515-的一个通项公式为 .(2已知数列3,7,11,15,19,… 那么311是这个数列的第项.§2.1数列的概念与简单表示法(2学习目标1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;2. 会由递推公式写出数列的前几项,并掌握求简单数列的通项公式的方法. 学习过程一、课前准备(预习教材P 31 ~ P 34 ,找出疑惑之处复习1:什么是数列?什么是数列的通项公式?复习2:数列如何分类?二、新课导学※学习探究探究任务:数列的表示方法找每层的钢管数n a 与层数n 之间有何关系?问题:观察钢管堆放示意图,寻1. 通项公式法:试试:上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的一个通项公式是 .2. 图象法:数列的图形是 ,因为横坐标为数,所以这些点都在y 轴的侧,而点的个数取决于数列的 .从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.3. 递推公式法:递推公式:如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项,且任一项n a 与它的前一项1n a -(或前n 项间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试:上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 .4. 列表法:试试:上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示?反思:所有数列都能有四种表示方法吗?※典型例题例1 设数列{}n a 满足11111(1.n n a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.变式:已知12a =,12n n a a +=,写出前5项,并猜想通项公式n a .小结:由递推公式求数列的项,只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.例2 已知数列{}n a 满足10a =,12n n a a n +=+, 那么2007a =( . A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D. 22004变式:已知数列{}n a 满足10a =,12n n a a n +=+,求n a .小结:由递推公式求数列的通项公式,适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※动手试试练1. 已知数列{}n a 满足11a =,223a =,且111120n n n n n n a a a a a a -+-++-= (2n ≥,求34,a a .练2.(2005年湖南已知数列{}n a 满足10a =,1331n n n a a a +-=+ (*n N ∈,则20a =( .A .0 B.-3 C.3 D. 32练3. 在数列{}n a 中,12a =,1766a =,通项公式是项数n 的一次函数. ⑴求数列{}n a 的通项公式; ⑵ 88是否是数列{}n a 中的项.三、总结提升※学习小结1. 数列的表示方法;2. 数列的递推公式.※知识拓展n 刀最多能将比萨饼切成几块? 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块,以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块,两刀最多能切成4块,而三刀最多能切成7块(如图.请你帮他算算看,四刀最多能将饼切成多少块?n 刀呢? 解析:将比萨饼抽象成一个圆,每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交点,所以第n 刀最多与前n -1刀的切痕都各有一个不同的交点,因此第n 刀的切痕最多被前n -1刀分成n 段,而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n 刀切下去最多能使饼增加n 块. 记刀数为1时,饼的块数最多为1a ,……,刀数为n 时,饼的块数最多为n a ,所以n a =1n a n -+. 由此可求得n a =1+21(+n n .学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分: 1. 已知数列130n n a a +--=,则数列{}n a 是( .A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列2. 数列{}n a 中,2293n a n n =-++,则此数列最大项的值是( . A. 3 B. 13 C. 1318 D. 123. 数列{}n a 满足11a =,12n n a a +=+(n ≥1,则该数列的通项n a =( . A. (1n n + B. (1n n - C.(12n n + D.(12n n -4. 已知数列{}n a 满足113a =,1(12n n n a a -=- (n ≥2,则5a =.5. 已知数列{}n a 满足112a =,111n na a +=-(n ≥2,则6a = .课后作业1. 数列{}n a 中,1a =0,1n a +=n a +(2n -1 (n ∈N ,写出前五项,并归纳出通项公式.2. 数列{}n a 满足11a =,12(2n n n a a n N a +=∈+,写出前5项,并猜想通项公式n a .§2.2等差数列(1学习目标1. 理解等差数列的概念,了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列;2. 探索并掌握等差数列的通项公式;3. 正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.学习过程一、课前准备(预习教材P36 ~ P39 ,找出疑惑之处复习1:什么是数列?复习2:数列有几种表示方法?分别是哪几种方法?二、新课导学※学习探究探究任务一:等差数列的概念问题1:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有什么共同特征?① 0,5,10,15,20,25,…② 48,53,58,63③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5④ 10072,10144,10216,10288,10366新知:1.等差数列:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它一项的等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的,常用字母表示.2.等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列,这时数叫做数和的等差中项,用等式表示为A=探究任务二:等差数列的通项公式问题2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么?若一等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则据其定义可得:21a a -= ,即:21a a =+32a a -=, 即:321a a d a =+=+43a a -= ,即:431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得:n a =∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项1a 和公差d ,便可求得其通项n a .※典型例题例1 ⑴求等差数列8,5,2…的第20项;⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?变式:(1求等差数列3,7,11,……的第10项.(2100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.小结:要求出数列中的项,关键是求出通项公式;要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数n 值,使得n a 等于这一数.例2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+,其中p 、q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是多少?变式:已知数列的通项公式为61n a n =-,问这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?小结:要判定{}n a 是不是等差数列,只要看1n n a a --(n ≥2是不是一个与n 无关的常数.※动手试试练1. 等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==, 求数列的首项与公差.三、总结提升※学习小结1. 等差数列定义: 1n n a a d --= (n ≥2;2. 等差数列通项公式:n a =1(1a n d +- (n ≥1.※知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1n a a n d =+-或(n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式,可知其为一次函数,图象上表现为直线1(1y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列,且已知和时,可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列,可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:1. 等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( .A. 92B. 47C. 46D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+,则此数列是( . A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n的等差数列3. 等差数列的第1项是7,第7项是-1,则它的第5项是(.A. 2B. 3C. 4D. 64. 在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则∠B= .5. 等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b,a+b,那么a=,b= . 课后作业1. 在等差数列{}na中,⑴已知12a=,d=3,n=10,求n a;⑵已知13a=,21na=,d=2,求n;⑶已知112a=,627a=,求d;⑷已知d=-13,78a=,求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm,75cm,把梯形的两腰各6等分,用平行木条连接各分点,构成梯形架的各级,试计算梯形架中间各级的宽度.§2.2等差数列(2学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式;2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.学习过程一、课前准备(预习教材P 39 ~ P 40,找出疑惑之处复习1:什么叫等差数列?复习2:等差数列的通项公式是什么?二、新课导学※学习探究探究任务:等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中,d 为公差, m a 与n a 有何关系?2. 在等差数列{}n a 中,d 为公差,若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+,则m a ,n a ,pa ,q a 有何关系?※典型例题例1 在等差数列{}n a 中,已知510a =,1231a =,求首项1a 与公差d .变式:在等差数列{}n a 中, 若56a =,815a =,求公差d 及14a .小结:在等差数列{}n a 中,公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m n a a dm n-=-求出.例2 在等差数列{}n a 中,23101136a a a a +++=,求58a a +和67a a +.变式:在等差数列{}n a 中,已知234534a a a a +++=,且2552a a = ,求公差d .小结:在等差数列中,若m +n =p +q ,则 m n p q a a a a +=+,可以使得计算简化.※动手试试练1. 在等差数列{}n a 中,14739a a a ++=,25833a a a ++=,求369a a a ++的值.练2. 已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少个相同项?三、总结提升※学习小结1. 在等差数列中,若m +n =p +q ,则m n p q a a a a +=+注意:m n m n a a a ++≠,左右两边项数一定要相同才能用上述性质. 2. 在等差数列中,公差m n a a d m n-=-.※知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法,即: (11n n a a d +-=; (2(0n a pn q p =+≠; (32n S an bn =+.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:1. 一个等差数列中,1533a =,2566a =,则35a =( . A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列{}n a 中16a a +=,41a =,则12a 的值为( . A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中,3a ,10a 是方程2350x x --=,则56a a +=( . A. 3 B. 5 C. -3 D. -54. 等差数列{}n a 中,25a =-,611a =,则公差d = .5. 若48,a ,b ,c ,-12是等差数列中连续五项,则a = ,b = ,c = .课后作业1. 若 12530a a a +++= , 671080a a a +++= , 求111215a a a +++ .2. 成等差数列的三个数和为9,三数的平方和为35,求这三个数.§2.3 等差数列的前n项和(1学习目标1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 学习过程一、课前准备(预习教材P42 ~ P44,找出疑惑之处复习1:什么是等差数列?等差数列的通项公式是什么?复习2:等差数列有哪些性质?二、新课导学※学习探究探究:等差数列的前n项和公式问题:1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n=?新知:数列{}a的前n项的和:n一般地,称为数列{}a的前n项的和,用n S表示,即n Sn反思:①如何求首项为a,第n项为n a的等差数列{}n a的前n项的和?1②如何求首项为a,公差为d的等差数列{}n a的前n项的和?1试试:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S .⑴184188a a n =-=-=,,;⑵114.50.715a d n ===,,.小结: 1. 用1(2n n n a a S +=,必须具备三个条件: .2. 用1(12n n n dS na -=+,必须已知三个条件: .※典型例题例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?小结:解实际问题的注意:①从问题中提取有用的信息,构建等差数列模型;②写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解.例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗?变式:等差数列{}n a 中,已知1030a =,2050a =,242n S =,求n .小结:等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程,已知几个量,通过解方程,得出其余的未知量.※动手试试练1.一个凸多边形内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n 为( .A. 12B. 16C. 9D. 16或9三、总结提升※学习小结1. 等差数列前n 项和公式的两种形式;2. 两个公式适用条件,并能灵活运用;3. 等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个.※知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+(A 0≠,A 、B 是与n 无关的常数,则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列,S n 是其前n 项和,设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列,公差为2k d . 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为( . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:1. 在等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( . A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间,所有末位数字是1的整数之和是( . A .5880 B .5684 C .4877D .45663. 已知等差数列的前4项和为21,末4项和为67,前n 项和为286,则项数n 为( A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中,12a =,1d =-,则8S = .5. 在等差数列{}n a 中,125a =,533a =,则6S = .课后作业1. 数列{n a }是等差数列,公差为3,n a =11,前n 和n S =14,求n 和3a .2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少?§2.3 等差数列的前n 项和(2学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式;2. 了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大(小值.学习过程一、课前准备(预习教材P 45 ~ P 46,找出疑惑之处复习1:等差数列{n a }中, 4a =-15, 公差d =3,求5S .复习2:等差数列{n a }中,已知31a =,511a =,求n a 和8S .二、新课导学※学习探究问题:如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++,其中p 、q 、r 为常数,且0p ≠,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?※典型例题例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n=+,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?变式:已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++,求这个数列的通项公式.小结:数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1(2nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩,由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377,,,....的前n 项和为n S ,求使得n S 最大的序号n 的值.变式:等差数列{n a }中, 4a =-15, 公差d =3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结:等差数列前项和的最大(小值的求法.(1利用n a : 当n a >0,d <0,前n 项和有最大值,可由n a ≥0,且1n a +≤0,求得n 的值;当n a <0,d >0,前n 项和有最小值,可由n a ≤0,且1n a +≥0,求得n 的值(2利用n S :由21(22n d d S n a n=+-,利用二次函数配方法求得最大(小值时n 的值.※动手试试练1. 已知232n S n n =+,求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.三、总结提升※学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系;2. 等差数列前项和最大(小值的两种求法.※知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下: 1°若项数为偶数2n ,则S S nd 偶奇-=;1(2n n S a n S a +≥奇偶=;2°若项数为奇数2n +1,则1n S S a +奇偶-=;1n S na +=偶;1(1n S n a ++奇=;1S nS n +偶奇=. 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分: 1. 下列数列是等差数列的是( . A. 2n a n = B. 21n S n =+ C. 221n S n =+ D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中,已知1590S =,那么8a =( .A. 3B. 4C. 6D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( . A.70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于100的正整数中共有个数被7除余2,这些数的和为 .5. 在等差数列中,公差d =12,100145S =,则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中,所有奇数项和为165,所有偶数项和为150,求n 的值.2. 等差数列{n a },10a <,912S S =,该数列前多少项的和最小?§2.4等比数列(1学习目标1理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质;2. 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;3. 体会等比数列与指数函数的关系.学习过程一、课前准备(预习教材P 48 ~ P 51,找出疑惑之处复习1:等差数列的定义?复习2:等差数列的通项公式n a = , 等差数列的性质有:二、新课导学※学习探究观察:①1,2,4,8,16, (112,14,18,116,…③1,20,220,320,420,…思考以上四个数列有什么共同特征?新知:1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第项起, 一项与它的一项的等于常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母表示(q ≠0,即:1n n a a -=(q ≠02. 等比数列的通项公式:21a a = ; 3211(a a q a q q a === ;24311(a a q a q q a === ; … …∴ 11n n a a q a -==⋅等式成立的条件3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是:※典型例题例1 (1 一个等比数列的第9项是49,公比是-13,求它的第1项;(2一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.例2 已知数列{n a }中,lg 35n a n =+ ,试用定义证明数列{n a }是等比数列.小结:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n ,1n na a +是一个不为0的常数就行了.※动手试试练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年?练2. 一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q =( . A. 32B.352C.512- D.512+三、总结提升※学习小结1. 等比数列定义;2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系.※知识拓展在等比数列{}n a 中,⑴当10a >,q >1时,数列{}n a 是递增数列; ⑵当10a <,01q <<,数列{}n a 是递增数列; ⑶当10a >,01q <<时,数列{}n a 是递减数列; ⑷当10a <,q >1时,数列{}n a 是递减数列; ⑸当0q <时,数列{}n a 是摆动数列; ⑹当1q =时,数列{}n a 是常数列.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:1. 在{}n a 为等比数列,112a =,224a =,则3a =( . A. 36 B. 48 C. 60 D. 722. 等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,这个数列的项数n =( .A. 3B. 4C. 5D. 6 3. 已知数列a ,a (1-a ,2(1a a -,…是等比数列,则实数a 的取值范围是( . A. a ≠1 B. a ≠0且a ≠1 C. a ≠0 D. a ≠0或a ≠14. 设1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,公比为2,则123422a a a a ++= .5. 在等比数列{}n a 中,4652a a a =-,则公比q = .课后作业在等比数列{}n a 中,⑴ 427a =,q =-3,求7a ;⑵ 218a =,48a =,求1a 和q ;⑶ 44a =,76a =,求9a ;⑷ 514215,6a a a a -=-=,求3a .§2.4等比数列(2学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;2. 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.学习过程一、课前准备(预习教材P 51 ~ P 54,找出疑惑之处复习1:等比数列的通项公式n a = = . 公比q 满足的条件是复习2:等差数列有何性质?二、新课导学※学习探究问题1:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,则2G b G ab G a G=⇒=⇒=新知1:等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = (a ,b 同号.试试:数4和6的等比中项是 .问题2:1.在等比数列{n a }中,2537a a a =是否成立呢?2.211(1n n n a a a n -+=>是否成立?你据此能得到什么结论?3.2(0n n k n k a a a n k -+=>>是否成立?你又能得到什么结论?新知2:等比数列的性质在等比数列中,若m +n =p +q ,则m n p k a a a a =.试试:在等比数列{}n a ,已知19105,100a a a ==,那么18a = .※典型例题例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论.例自选1 自选2n a23(3n⨯nb 152n --⨯ n na b1410(3n --⨯{}n n a b 是否等比是变式:项数相同等比数列{n a }与{n b },数列{n na b }也一定是等比数列吗?证明你的结论.小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{n a }中,已知47512a a =- ,且38124a a +=,公比为整数,求10a .变式:在等比数列{n a }中,已知7125a a = ,则891011a a a a = .※动手试试练1. 一个直角三角形三边成等比数列,则( . A. 三边之比为3:4:5 B. 三边之比为1:3:3 C. 较小锐角的正弦为512- D. 较大锐角的正弦为512-练2. 在7和56之间插入a 、b ,使7、a 、b 、56成等比数列,若插入c 、d ,使7、c 、d 、56成等差数列,求a +b +c +d 的值.三、总结提升※学习小结1. 等比中项定义;2. 等比数列的性质.※知识拓展公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质:1. 数列{||}n a ,2{}n a ,{}(0n ca c ≠,*{}(nm a m N ∈,{}kn a 等,也为等比数列,公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列,则{}n n a b ,{}n na b 也等比.2. 若*m N ∈,则n m n m a a q -= . 当m =1时,便得到等比数列的通项公式.3. 若m n k l +=+,*,,,m n k l N ∈,则m n k l a a a a = .4. 若{}n a 各项为正,c >0,则{log }c n a 是一个以1log c a 为首项,log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列,则{}nb c 是以1b c 为首项,d c 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时,这个数列是非零的常数列. 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为( . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:1. 在{}n a 为等比数列中,0n a >,224355216a a a a a ++=,那么35a a +=( .A. ±4B. 4C. 2D. 82. 若-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1=( .A .8B .-8C .±8D .983. 若正数a ,b ,c 依次成公比大于1的等比数列,则当x >1时,log a x ,log b x ,logc x ( A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1,16之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中,569a a = , 则log 31a + log 32a +…+ log 310a = .课后作业1. 在{}n a 为等比数列中,1964a a = ,3720a a +=,求11a 的值.2. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0,且1a ,3a ,9a 成等比数列,求1392410a a a a a a ++++.§2.5等比数列的前n 项和(1学习目标1. 掌握等比数列的前n 项和公式;2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题.学习过程一、课前准备(预习教材P 55 ~ P 56,找出疑惑之处复习1:什么是数列前n 项和?等差数列的数列前n 项和公式是什么?复习2:已知等比数列中,33a =,681a =,求910,a a .二、新课导学※学习探究探究任务: 等比数列的前n 项和故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”新知:等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0,公式的推导方法一:则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩ (1n q S ∴-=当1q ≠时,n S = ①或n S = ②当q =1时,n S =公式的推导方法二: 由等比数列的定义,32121n n a a a qa a a -==== ,有231121n n n n na a a S a qa a a S a -+++-==+++- ,即1n n nS a qS a -=-.∴ 1(1n n q S a a q -=-(结论同上公式的推导方法三:n S =123n a a a a +++=11231(n a q a a a a -++++ =11n a qS -+=1(n n a q S a +-. ∴ 1(1n n q S a a q -=-(结论同上试试:求等比数列12,14,18,…的前8项的和.※典型例题例1已知a 1=27,a 9=1243,q <0,求这个等比数列前5项的和.变式:13a =,548a =. 求此等比数列的前5项和.例2某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位?※动手试试练1. 等比数列中,33139,.22a S a q ==,求及练2. 一个球从100m 高出处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下,当它第10次着地时,共经过的路程是多少?(精确到1m三、总结提升※学习小结1. 等比数列的前n 项和公式;2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法;3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个.※知识拓展1. 若1q ≠-,*m N ∈,则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列,公比为m q .2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为,,a a aqq. 若四个同符号的数成等比数列,可设这四个数为33,,,a a aq aqqq.3. 证明等比数列的方法有: (1定义法:1n na qa +=;(2中项法:212n n n a a a ++= .4. 数列的前n 项和构成一个新的数列,可用递推公式11 1(1n n n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:1. 数列1,a ,2a ,3a ,…,1n a -,…的前n 项和为( .A. 11na a -- B.111n aa+--C.211n aa+-- D. 以上都不对2. 等比数列中,已知1220a a +=,3440a a +=,则56a a +=( . A. 30 B. 60 C. 80 D. 1603. 设{}n a 是由正数组成的等比数列,公比为2,且30123302a a a a ⋅⋅⋅=,那么36930a a a a ⋅⋅⋅=( . A. 102 B. 202 C. 1 D. 6024. 等比数列的各项都是正数,若1581,16a a ==,则它的前5项和为 .5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+,则a = .。