二面角的几种求法

二面角的几种求法二面角的几种求法4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。

例1：如图2所示，在四面体ABCD 中，AC =AB =1, CD =BD =2, AD =3。

求二面角A -BC -D 的大小。

图2分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。

解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。

CD =BD =2，根据已知的条件AC =AB =1，可以知道AE ⊥BC 且DE ⊥BC 。

又BC是平面ABC 和平面DBC 的交线。

根据定义，可以得出：∠AED 即为二面角A -BC -D 的平面角。

可以求出AE =，DE ，并且AD =3。

2根据余弦定理知：AE +DE -AD=2AE ⨯DE222cos ∠AED =2+2-327=- 47即二面角A -BC -D 的大小为π-arccos 。

4同样，例2也是用概念法直接解决问题的。

例2：如图3所示，ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，PB =AB =1，求二面角A -PD -C 的大小。

图3解：作辅助线CE ⊥PD 于点E ，连接AC 、AE 。

由于AD =CD ，PA =PC ，所以三角形PAD ≅三角形PCD 。

即AE ⊥PD 。

由于CE ⊥PD ，所以∠AEC 即为所求的二面角的大小。

通过计算可以得到：PC，PD =，又CD =1，在三角形PCD 中可以计算得到CE =。

由此可以得到：AE =CE =，又AC =。

22222+-2AE +CE -AC 1由余弦定理：cos ∠AEC ===- 22AE ⋅AC 22⋅32π即：∠AEC =。

34.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。

下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。

例3：如图4所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE ，点F 在平面α内，点C 在平面β内。

求二面角F -DE -C 的大小。

图4分析：过点C 作辅助线CA 垂直于DE ，作CB 垂直于平面β于点B 。

4.2.1补角法直接求解二面角F -DE -C 的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角C -DE -B 。

因为二面角F -DE -C 与二面角C -DE -B 是互补的关系，现在先求出二面角C -DE -B 后，二面角F -DE -C 的大小就很容易计算了。

4.2.2三垂线法由于CA ⊥DE ，CB ⊥平面β。

那么根据三垂线定理可以得知：CA 在平面β内的射影AB 垂直于两平面的交线DE 。

即AC ⊥DE 且AB ⊥DE ，根据定义可知，二面角C -DE -B 的大小即为∠CAB 的大小。

那么二面角F -DE -C 的大小可以用补角法得到。

4.2.3切平面法切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。

如图4所示，可以作平面CAB 垂直于两个平面的交线DE ，平面CAB 与平面α的交线是AC ，平面CAB 与平面β的交线是AB ，根据二面角的定义知∠CAB 即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角F -DE -C 的大小。

下面用例4来详细讲解一下切平面法。

例4：在图5中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC =90o 。

其中PA =AB =1，PB =BC =E 是PC 的中点，DE ⊥PC 。

求二面角C -BD -E 的大小。

图5解：由于E 是PC 的中点，且∆PBC 是等腰三角形，那么BD ⊥PC 。

又DE ⊥PC ，可以推出：PC ⊥平面BDE 。

所以：PC ⊥BD 。

又PA ⊥平面ABC ，则BD ⊥PA ，所以BD ⊥平面PAC 。

可以得出：平面PAC 是平面CBD 和平面EBD 的公共切平面。

由此，根据切平面法知∠CDE 即为所求二面角的平面角。

由于V CDE ≈∆CPA ，那么：CD =CE CA ⋅CP =2=，DE =CE CA ⋅PA =1=。

又：CE =12PC ===1。

在三角形CDE 中根据余弦定理可知：4222cos ∠CDE =CD +DE -CE +1-1212CD ⋅DE ===23那么∠CDE =60o 。

即求二面角C -BD -E 的大小是60o 。

4.2.4补形法以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。

例5：在图6中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是一个直角梯形，其中PA =1，AD =1，CD =1，AB =1。

∠BAD =∠ADC =90︒。

求平面PAD 与平面PBC 所成二2面角的大小。

图6解：延长直线DA 与BC ，它们相交于点E ，连接PE 。

由题意可知，BA 平行于CD ，AB 的长度是CD 的一半，且BA ⊥AD ，BA ⊥PA ，那么BA ⊥平面PED ，CD ⊥平面PED ，AE =1，PE 。

在三角形PED中，PD =PE =，ED =AE +AD =2。

那么根据勾股定理可知∠DPE =90︒，即DP ⊥PE 。

CD ⊥平面PED ，DP ⊥PE ，且DP 是CP 在平面PED 内的射影，根据三垂线定理知：CP ⊥PE 。

又DP ⊥PE ，即∠CPD 即为所求的二面角。

在Rt ∆CDP 中，CD =1，PDPC =。

那么cos ∠CPD =3。

即：∠CPD =arccos所以平面PAD 与平面PBC所成二面角的大小是在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。

在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。

4.3空间向量法4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为θ1，那么θ1的取值范π围是(0,]。

而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角θ2的取值范围是2(0,π) 。

但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下：如果0≤θ2≤如果π2，θ2=θ1。

（1）π2≤θ2≤π，θ2=π-θ1。

（2）因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。

当然，前提是先求出两平面的夹角。

4.3.2平面法向量的求法两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。

如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。

如图7所示：例6：如图7所示在平面α内，已知三点X =(x 1, y 1, z 1) ，Y =(x 2, y 2, z 2) ，Z =(x 3, y 3, z 3) 。

图7v下面求解平面α的一个法向量n 。

解法一：求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即：v uu u v uu u v n =XY ⨯XZu u u v u u u v又XY ={x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1}，XZ ={x 3-x 1, y 3-y 1, z 3-z 3} 可以求出：v y 2-y 1n ={y 3-y 1z 2-z 1z 2-z 1,z 3-z 3z 3-z 3x 2-x 1x 2-x 1,x 3-x 1x 3-x 1y 2-y 1y 3-y 1解法二：设平面α的方程为Ax +By +Cz +D =0将点X ，Y ，Z 的坐标分别代入方程可以解出系数A ，B ，C ，D 。

在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解，如果有解，那么一定有无数多个解。

可以通过解方程，将A ，B ，C 全部用D 表示，这样就可以得到一个形如2Dx +5Dy +4Dz +D =0的方程，可以将新得到的方程两边同时除以D （D 一定不等于0，否则A =B =C =D =0，方程无意义），那么就可以得到平面的方程2x +5y +4z +1=0。

v得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标n ={A , B , C }。

解法三：uu u v uu u v在图7中，由所给的信息，可以求出向量XY 、XZ 的大小。

设平面α的一个法向v量n ={x , y , z }。

u u u v u u u v若XY ={a 1, b 1, c 1}，XZ ={a 2, b 2, c 2}。

v uu u v v uu u v由n ⋅XY =0，n ⋅XZ =0可以得到：⎧a 1x +b 1y +c 1z =0⎧⎧a 2x +b 2y +c 2z =0可以求解出x ，y ，z 的关系。

此方程一定有无数多个解，可以将x ，y 用z 表示。

v v如n ={2z ,4z , z }，由此可知向量n ={2,4,1}是平面α的一个法向量。

4.3.3两平面夹角的公式u v u u vθ两平面相交时，定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为〈n 1, n 2〉，其中u v。

于是：n i ={A i , B i , C i },i =1, 2u v u u vn 1⋅n 2co s θ==n 1⨯n 24.3.4两平面的夹角转化成二面角利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据（1）、（2）求出二面角的大小。

例7：如图8所示，四边形ABCD 是一个矩形，点E 和点F 分别在边AD 和边AB 上，其中AE =AF =ED =4，FB =6。

现在以直线EF 为折痕，将三角形AEF 折起，得到三角形A ' EF ，同时使得平面A ' EF 与底面ABCD 垂直。

求二面角A ' -FB -C 的大小。

图8解：以点A 为坐标原点，建立如图8所示的直角坐标系A -xyz ，设点H 是线段EF 的中点，连接A ' H 。

可以得到：u u u v u u vA(0,0,0)，A ，C (10,8,0)，F(4,0,0)，FA ' ={-，FB ={6,0,0}。

uuuu v uu u vA ' E =A ' F 由于，所以A ' H ⊥EF 。

又平面A ' EF 与底面ABCD 垂直。

uuuu v所以：A ' H ⊥平面ABCD 。

u u u v即HA ' =是底面ABCD 的一个法向量。

v uuu v v uu v v设n =(x , y , z ) 是平面A ' FB 的一个法向量。

那么：n ⋅FA ' =0，n ⋅FB =0⎧⎧-2x +2y +=0即：⎧6x =0⎧⎧v那么：x =0，y =-2，z =n ={0,-。

uuu v vuuu v v HA ' ⋅n cos = =HA ' ⋅n 即二面角A ' -FB -C 的大小为4.4另类方法比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。