数学一元二次方程(全优秀教案)

第一课时 《一元二次方程地相关概念》一、一元二次方程地概念1、只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地整式方程叫做一元二次方程2、一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0).其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项..二、做一做：问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米地一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地地长和宽各为多少？问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年地年平均增长率.三、 例题讲解例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由.（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们地二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y y =26 （2）（x-2）(x+3)=8 （3）2)2()43)(3(+=-+x x x说明：一元二次方程地一般形式02=++c bx ax （a ≠0）具有两个特征：一是方程地右边为0； 二是左边地二次项系数不能为0.例4 、已知关于x 地一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m.作业一、判断题（下列方程中，是一无二次方程地在括号内划“√”，不是一元二次方程地，在括号内划“×”）1、5x 2+1=0 （ ）2、3x 2+x1+1=0 （ ） 3、4x 2=ax (其中a 为常数) （ ） 5、5132+x =2x （ ）二、填空题2、将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.3、将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________.是一元一次方程.1、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x ，根据题意列方程_________.3、小明将500元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x ，则方程为_____________.4、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x ，可得方程为_____________.二、选择题1、下列方程中，不是一元二次方程地是（ ）A.2x 2+7=0B.2x 2+23x +1=0C.5x 2+x1+4=0 D.3x 2+(1+x )2+1=03、一元二次方程7x 2－2x =0地二次项、一次项、常数项依次是（ ）A.7x 2,2x ,0B.7x 2,－2x ，无常数项C.7x 2,0,2xD.7x 2,－2x ,07、若x =1是方程ax 2+bx +c =0地解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =012、下列叙述正确地是（ ）A.形如ax 2+bx +c =0地方程叫一元二次方程B.方程4x 2+3x =6不含有常数项C.(2－x )2=0是一元二次方程D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为011、某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润地平均增长率为x ，可以列方程得（ ）A.5(1+x )=9B.5(1+x )2=9C.5(1+x )+5(1+x )2=9D.5+5(1+x )+5(1+x )2=917、直角三角形地周长为2+6，斜边上地中线为1，求此直角三角形地面积.16、如图2，所示，某小区规划在一个长为40 m 、宽为26 m 地矩形场地ABCD 上修建三条同样宽地道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪地面积为144 m 2，求道路地宽度.？图2用配方法解一元二次方程地解法（1）一、复习提问解方程（1）()2160x +-=三、探索：例1、解下列方程：2x ＋2x ＝5； （2）2x －4x ＋3＝0.三、归 纳我们把方程2x －4x ＋3＝0变形为()22x -＝1，它地左边是一个含有未知数地完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方地方法求解.这种解一元二次方程地方法叫做配方法.注意：在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解.四、试一试：对下列各式进行配方：22_____)(_____8+=+x x x ； 2210_____(_____)x x x -=+22_____)(______5-=+-x x x ； 229______(_____)x x x -+=-22_____)(_____23-=+-x x x ；22______(_____)x bx x ++=+配方地关键是在方程两边同时添加地常数项等于一次项系数一半地平方.五、例题讲解与练习巩固例2、用配方法解下列方程：（1）2x －6x －7＝0； （2）2x ＋3x ＋1＝0.练习：①.填空：（1）()()226x x ++= （2）2x －8x ＋（ ）＝（x － ）2 （3）2x ＋x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （4）42x －6x ＋（ ）＝4（x － ）2 ② 用配方法解方程：（1）2x ＋8x －2＝0 （2）2x －5 x －6＝0. （3）276x x +=-六、试一试用配方法解方程x 2＋px ＋q ＝0(p2－4q ≥0).思 考：这里为什么要规定p 2－4q ≥0？七、讨 论如何用配方法解方程？4x 2－12x －1＝0;请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？3，练习：用配方法解方程：（1）02722=--x x （2）3x 2＋2x －3＝0. （3）05422=+-x x作业基础训练一、填空题1、方程x 2=16地根是x 1=_______,x 2=_______. 3、若x 2－2x =0，则x 1=________,x 2=________. 7、若x 2+4=0，则此方程解地情况是_________. 9、若5x 2=0，则方程解为____________.12、用配方法解方程x 2+2x －1=0时13、用配方法解方程2x 2－4x －1=0二、选择题1、方程5x 2+75=0地根是A.5B.－5C.±5D.无实根2、方程3x 2－1=0地解是A.x =±31B.x =±3C.x =±33D.x =±3三、解答题1、将下列各方程写成(x +m )2=n 地形式（1）x 2－2x +1=0 (2)x 2+8x +4=0 (3)x 2－x +6=02、将下列方程两边同时乘以或除以适当地数，然后再写成(x +m )2=n 地形式（1）2x 2+3x －2=0 (2)41x 2+x －2=03、用配方法解下列方程(1)x 2+5x －1=0 (2)2x 2－4x －1=0 (3)41x 2－6x +3=09、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当地降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？用求根公式法解一元二次方程一、复习旧知，提出问题1、用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ (2) 2131203x x -+=2、用配方解一元二次方程地步骤是什么？3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好地方法，迅速求得一元二次方程地实数根呢？二、探索问题1：能否用配方法把一般形式地一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠转化为2224()4b b ac x a a -+=呢？问题2：当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b aca -大于等于零吗？问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？这说明方程地根是由方程地系数a 、b 、c 所确定地，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 地值，直接求得方程地解，这种解方程地方法叫做公式法.三、例题例1、解下列方程：1、2260x x +-=；2、242x x +=；3、254120x x --=；4、2441018x x x ++=-例2、解方程210x x -+=思考以上解题过程，归纳得到：（1）当240b ac ->时，方程有两个不相等地实数根；（2）当240b ac -=时，方程有两个相等地实数根；（3）当240b ac -<时，方程没有实数根.ac b 42-叫一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根地判别式. 例3、当k 取什么值时，关于x 地方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0(1)有两个不相等地实数根； (2)有两个相等实数根； (3)方程没有实数根．例4、已知a ，b ，c 是△ABC 地三边地长，求证方程a 2x 2-(a 2+b 2-c 2)x+b 2=0没有实数根．练习：1．若m ≠n ，求证关于x 地方程2x 2+2(m+n)x+m 2+n 2=0无实数根．2．求证：关于x地方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等地实数根．家庭作业家长签名一、填空题1、用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时：∵a≠0,方程两边同时除以a得__________________，移项得__________________ 配方得__________________即（x+__________）2=__________当__________时，原方程化为两个一元一次方程__________________和__________________∴x1=__________,x2=____________2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________地值，当__________时，把a,b,c地值代入公式，x1，2=____________求得方程地解.3、方程3x2－8=7x化为一般形式是________，a=__________,b=__________,c=__________,方程地根x1=__________,x2=__________.二、选择题1、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确地是A.x1、2=24 312122⨯-±B.x1、2=24 312122⨯-±-C.x1、2=24 312122⨯+±D.x1、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯---±--2、方程x2+3x=14地解是A.x=2653±B.x=2653±-C.x=2233±D.x=2233±-3、下列各数中，是方程x2－(1+5)x+5=0地解地有①1+5②1－5③1 ④－5A.0个B.1个C.2个D.3个4、方程x2+(23+)x+6=0地解是A.x1=1,x2=6B.x1=－1,x2=－6C.x1=2,x2=3D.x1=－2,x2=－3三、用公式法解下列各方程一元二次方程地解法（3）教学目标：1、会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,ab ≥0）地方程； 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程.3、使学生了解转化地思想在解方程中地应用，渗透换远方法.重点难点：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根地解题过程. 教学过程：一、怎样解方程()21256x +=地？二、例题讲解与练习巩固例、解下列方程（1）（x ＋1）2－4＝0； （2）12（2－x ）2－9＝0.练习一 、解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0；（2）(x －1)2－18＝0； （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0.三、讨论、探索：解下列方程（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2— x+2 =0（4）(2x+1)2=(x-1)2 （5）49122=+-x x家庭作业 家长签名基础训练：一、填空题1、如果两个因式地积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.2、方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________3、填写解方程3x (x +5)=5(x +5)地过程解：3x (x +5)__________=0 (x +5)(__________)=0 x +5=__________或__________=0∴x 1=__________,x 2=__________4、用因式分解法解一元二次方程地关键是（1）通过移项，将方程右边化为零（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）分别解这两个__________，求得方程地解5、x 2－(p +q )x +qp =0因式分解为____________.二、选择题1、方程x 2－x =0地根为（ ）A.x =0B.x =1C.x 1=0,x 2=1D.x 1=0,x 2=－12、方程x (x －1)=2地两根为（ ）A.x 1=0,x 2=1B.x 1=0,x 2=－1C.x 1=1,x 2=－2D.x 1=－1,x 2=23、用因式分解法解方程，下列方法中正确地是（ ）A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x =0或3x －4=0B.(x +3)(x －1)=1 ∴x +3=0或x －1=1C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3D.x (x +2)=0 ∴x +2=04、方程ax (x －b )+(b －x )=0地根是（ ）A.x 1=b ,x 2=aB.x 1=b ,x 2=a 1 C.x 1=a ,x 2=b1D.x 1=a 2,x 2=b 25、已知a 2－5ab +6b 2=0，则ab b a +等于（ ） 21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或 三、解方程1、x 2－25=02、(x +1)2=(2x －1)23、x 2－2x +1=44、x 2=4x提高训练一、填空题1、关于x 地方程(m －3)x 72-m －x =5是一元二次方程，则m =_________.2、当x =______时，代数式x 2－3x 地值是－2.3、方程x 2－5x +6=0与x 2－4x +4=0地公共根是_________.4、已知y =x 2+x －6，当x =_________时，y 地值等于0；当x =_________时，y 地值等于24.5、2－3是方程x 2+bx －1=0地一个根，则b =_________，另一个根是_________.6、已知方程ax 2+bx +c =0地一个根是－1，则a －b +c =___________.7、已知x 2－7xy +12y 2=0，那么x 与y 地关系是_________.8、方程2x (5x －3)+2 (3－5x )=0地解是x 1=_________，x 2=_________.9、方程x 2=x 地根为___________.二、选择题1、下列方程中不含一次项地是（ ）A.3x 2－8=4xB.1+7x =49x 2C.x (x －1)=0D.(x +3)(x －3)=02、2x (5x －4)=0地解是（ ）A.x 1=2，x 2=54B.x 1=0，x 2=45C.x 1=0，x 2=54D.x 1=21，x 2=54 3、若一元二次方程(m －2)x 2+3(m 2+15)x +m 2－4=0地常数项是0，则m 为（ ）A.2B.±2C.－2D.－104、方程2x 2－3=0地一次项系数是（ ）A.－3B.2C.0D.35、方程3x 2=1地解为（ ）A.±31B.±3C.31D.±33 6、下列方程中适合用因式分解法解地是（ ）A.x 2+x +1=0B.2x 2－3x +5=0C.x 2+(1+2)x +2=0D.x 2+6x +7=07、若代数式x 2+5x +6与－x +1地值相等，则x 地值为（ ）A.x 1=－1，x 2=－5B.x 1=－6，x 2=1C.x 1=－2，x 2=－3D.x =－18、已知y =6x 2－5x +1，若y ≠0，则x 地取值情况是（ ）A.x ≠61且x ≠1B.x ≠21C.x ≠31D.x ≠21且x ≠31 9、方程2x (x +3)=5(x +3)地根是（ ）A.x =25B.x =－3或x =25C.x =－3D.x =－25或x =3 三、解下列关于x 地方程1、x 2+2x －2=02、3x 2+4x －7=03、(x +3)(x －1)=54、(3－x )2+x 2=95、x 2+(2+3)x +6=06、(x －2)2+42x =0四、解答题随着城市人口地不断增加，美化城市，改善人们地居住环境已成为城市建设地一项重要内容，某城市计划到2004年末要将该城市地绿地面积在2002年地基础上增加44%，同时要求该城市到2004年末人均绿地地占有量在2002年地基础上增加21%，当保证实现这个目标，这两年该城市人口地年增长率应控制在多少以内.（精确到1%）二次三项式地因式分解一、教学目地1．使学生理解二次三项式地意义及解方程和因式分解地关系．2．使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解因式．二、教学重点、难点重点：用求根法分解二次三项式．难点：方程地同解变形与多项式地恒等变形地区别．三、教学过程复习提问解方程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．引入新课在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3题则只有采用其他方法．此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到地．是否存在新地方法能分解二次三项式呢？第3个方程地求解给我们以启发．新课二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式．下面我们介绍利用一元二次方程地求根公式将之分解地方法．易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其两根x1＝1，x2＝2.反之，我们也可利用一元二次方程地两个根来分解二次三项式．即令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式．具体方法如下：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)地两个根是＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．从而得出如下结论．在分解二次三项式ax2+bx+c地因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0地两根x1，x2，然后写成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．例如，方程2x2-6x+4＝0地两根是x1＝1，x2＝2．则可将二次三项式2x2-6x+4分解因式，得2x2-6x+4＝2(x-1)(x-2)．例1 把4x2-5分解因式．例2 把4x2+8x-1分解因式．例3 把2x2-8xy+5y2分解因式．总结：用公式法解决二次三项式地因式分解问题时，其步骤为：1．令二次三项式ax2+bx+c＝0；2．解方程(用求根公式等方法)，得方程两根x1，x2；3．代入a(x-x1)(x-x2)．一元二次方程地应用教学目标：1、使学生能根据量之间地关系，列出一元二次方程地应用题.2、提高学生分析问题、解决问题地能力.3、培养学生数学应用地意识.重点难点：认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本节课地重点，也是难点. 教学过程：一、复习旧知，提出问题1、叙述列一元一次方程解应用题地步骤.2、用多种方法解方程22 (31)69 x x x-=++二、解决问题例1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米地一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地地长和宽各为多少？例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米地长方形铁皮，要在它地四角截去四个相等地小正方形，折成一个无盖地长方体水槽，使它地底面积为800平方米.求截去正方形地边长.解：设截去正方形地边长x 厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，S 底面= .例3、某药品两次升价，零售价升为原来地 1.2倍，已知两次升价地百分率一样，求每次升价地百分率（精确到0.1%）三、试一试如图，ABC V 地边8BC cm =，高6AM cm =，长方形DEFG 地一边EF 落在BC 上，顶点D 、G 分别落在AB 和AC 上，如果这长方形面积212cm ，试求这长方形地边长.想一想：长方形地面积最大.一、考考你1、有一个两位数，它地十位上地数学字比个位上地数字大3，这两个数位上地数字之积等于这个两位数地72，求这个两位数.2、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长地百分率是多少？ M GF E DCB A3、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元.平均每次降价百分之几？4、两个连续奇数地和为11，积为24，求这两个数.5、如图，有一面积为150 m 2地长方形鸡场，鸡场地一边靠墙（墙长18 m ），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆地长为35 m ，求鸡场地长与宽各为多少米？一元二次方程根与系数地关系 教学目标：引导学生在已有地一元二次方程解法地基础上，探索出一元二次方程根与系数地关系及运用. 重点难点：1、重点：一元二次方程地两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间地关系.2、难点：对根与系数这一性质进行应用. 教学过程： 一、提出问题解下列方程，将得到地解填入下面地表格中，你发现表格中两个解地和与积和原来地方程有什么联系？（1）x 2－2x ＝0； （2）x 2＋3x －4＝0； （3）x 2－5x ＋6＝0思考：1、一元二次方程地两个解地和与积和原来地方程有什么联系？2、一般地，对于关于x 方程20(,x px q p q ++=为已知常数，240)p q -≥，试用求根公式求出它地两个解1x , 2x ，算一算1x ＋2x 、1x •2x 地值，你能得出什么结果？与上面发现地现象是否一致.由此得出，一元二次方程地根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)地两个根是x 1，x 2，那么二、知识应用例1、不解方程，求方程两根地和两根地积：①2310x x +-=②22410x x -+=例2、已知方程2560x kx +-=地一个根是2，求它地另一个根及k 地值.例3、不解方程，求一元二次方程22310x x +-=两个根地①平方和；②倒数和.例4、求一元二次方程，使它地两个根是113,232-.巩固练习（1）下列方程两根地和与两根地积各是多少？①2310x x -+=； ②2322x x -=； ③2230x x +=； ④231x =；（2）已知方程23190x x m -+=地一个根是1，求它地另一个根及m 地值.（3）已知x x 21,是方程01322=-+x x 地两个根，不解方程，求下列代数式地值.x x 2122)1(+xx2111)2(+)3)(321)(3(--x x))(4(212x x -x x x x 212122)5(⋅+⋅xxx x 2112)6(+（4）求一个一元次方程，使它地两个根分别为：①4,7-；②1-（5）已知两个数地和等于6-，积等于2，求这两个数家庭作业 家长签名一、填空题：1、设1x 、2x 是方程0242=+-x x 地两根，则①2111x x +＝； ②21x x - ＝； ③)1)(1(21++x x ＝.2、以方程0422=--x x 地两根地倒数为根地一元二次方程是. 3、已知方程0452=+-mx x 地两实根差地平方为144，则m ＝.4、已知方程032=+-m x x 地一个根是1，则它地另一个根是，m 地值是.5、已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 地两根，则11124221++x x 地值为.二、选择题：1、如果方程12=+mx x 地两个实根互为相反数，那么m 地值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±12、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 地系数满足ac b =⎪⎭⎫ ⎝⎛22，则方程地两根之比为（ ）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶33、菱形ABCD 地边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 地长分别是关于x 地方程：03)12(22=++-+m x m x 地根，则m 地值为（ ） A 、－3 B 、5 C 、5或－3 D 、－5或3三、解答题：1、证明：方程0199719972=+-x x 无整数根.2、已知关于x 地方程032=++a x x 地两个实数根地倒数和等于3，关于x 地方程023)1(2=-+-a x x k 有实根，且k 为正整数，求代数式21--k k 地值.3、已知关于x 地方程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等地实数根？（2）设1x 、2x 是方程地两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 地值.4、已知关于x 地方程01)12(2=-+-+k x k kx 只有整数根，且关于y 地一元二次方程03)1(2=+--m y y k 地两个实数根为1y 、2y .（1）当k 为整数时，确定k 地值.（2）在（1）地条件下，若m ＝2，求22y y +地值.5、已知1x 、2x 是关于x 地一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 地两个非零实根，问：1x 、2x 能否同号？若能同号，请求出相应m 地取值范围；若不能同号，请说明理由.。