运筹学习题解答(chap3 运输问题)
运筹学：chap3_运输问题
9
10
6
3
19 0
19
22
13
12
13
3
0
0
0
最小元素法（5）
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14 0
1
13
8 2
4
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27 2
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0
最小元素法（6）
1
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3
4
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19 0
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0
0
0
0
初始基础可行解（3）—Vogel法
x34
0
产销平衡运输问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i1 j1 n
s.t.
xij ai
j 1
m
xij bj
i 1
xij 0 i 1,2,..., m; j 1,2,..., n
m
n
ai bj
i 1
j 1
产销平衡问题
产销平衡运输问题的特点
1. A矩阵
第i个
第m+j个
mn
mn
mn
min z
(cij c)xij
运筹学运输问题
10
5
3
2
10
14
11
8
22
8
14
12
14
48
• 初始基可行解： x13=10,x14=6,x21=8,x23=2,x32=14,x34=8，Z=246
★★最大差额法（沃格尔法）
初看起来，最小元素法十分合理，但是，有时按 某一最小单位运价优先安排物品调运时，却可能 导致不得不采用运费很高的其它供销点对，从而 使整个运输费用增加。对每一个供应地或销售地， 均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中 找出最小单位运价次最小单位运价，并称这两个 单位运价之差为该供应地或销售地的罚数。当罚 数的值不大，当不能按最小单位运价安排运输时 造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大， 不按最小运价组织运输就会造成很大的损失，故 应尽量按最小单位运价安排运输。
– 非负性约束
xij≥0
(i=1,2,3；j=1,2,3,4)
二、表式运输模型
销地 产地
B1
c11 c21 x21
B2
c12 c22 x22
…
… … c1n c2n
Bn x1n
x2n
产量
a1 a2
A1
x11
x12
A2
… Am 销地
…
cm1 xm1 b1 cm2
…
xm2 b2
…
… … cmn
…
xmn bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1
m 行
n 列
例题的系数矩阵
0 0 A 1 0 0 0
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
运筹学第三章课后习题答案
＋1×5＝36
2020/1/1
22
经过调整和检验，得到最后一表3-30才是本问题的最优解 即z*=36。
经检查，沃格尔法计算所得结果z=35虽然不是最优解， 但是比较接近最优解。
2020/1/1
23
知识回顾 Knowledge Review
B4
6
A2 3 1
22 5 3 0
A3
3
71 5
1
销量
6
5
6
3
产量
8 8 4
σ14=6-0+5-4=7
2020/1/1
12
第三个闭回路σ22，走2→1→4→5线路
产地 销地
A1
B1
B2
B3
45 13 4
B4
6
A2 3 1
22 5 3 0
A3 销量
3
71 5
1
6
5
6
3
产量
8 8 4
σ22=2-1+4-5=0
量 1 2 34
4 51 34
6 8 302
④
A2 A3 销量
31
2
25
30 8 1 1 5
⑤
3
7 15
1 4 224 ⑥
6
5
6
3
列12 罚22 数3
vj 4
111 11 11 1
②
①⑦
③
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9
从上表计算知：x12=5，x13=3，x21=3，x23=2，x24=3， x33=1。总费用=5×1＋3×4＋3×1＋2×5＋3×0＋ 1×5=35，在上述三种计算方法中，这种方法计算所需 运输费用是最省的。但还不知是否最优。现用闭回路法 检验如下： 闭回路法检验如下：
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题。
这类问题一般可用线性规划模型来描述，当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法——表上作业法。
此外，有些线性规划问题从实际意义上看，并非运输问题，但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3.1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A 1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3—1所示（单位：千元/kt），问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少？设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量，即 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33 x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0，i=1，2，3；j=1，2，3 生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
运筹学_第3章_运输问题习题
第三章运输问题3.1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3—1所示（单位：千元/kt），问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少？（只建模型，不求解）设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2min f= 4x11+8x12+5x13+6x21+3x22+6x23+2x31+5x32+7x33x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65x11+x21+x31 = 20x12+x22+x32 = 70x13+x23+x33 = 70x ij≥0，i=1，2，3；j=1，2，3例3.2设有某物资从A1，A2，A3处运往B1，B2，B3，B4四个地方，各处供应量、需求量及单位运价见下表。
问应如何安排运输方案，才能使总运费最少？解：先用最小元素法求解。
用位势法对基可行解进行最优性检验。
位势方程组为u1+v1=3 u1+v3=6 u1+v4=4u2+v1=2u3+v2=3u3+v3=8取u1=0，解上述方程组得u1=0u2=－1u3=2v1=3v2=1v3=6v4=4各非基变量的检验数为σ12 =c12－（u1+v2）=7－（0+1）= 4>0σ22 =c22－（u2+v2）=4－（－1+1）= 2>0σ23 =c23－（u2+v3）=3－（－1+6）= －2<0σ24 =c24－（u2+v4）=3－（－1+4）= 0σ31 =c31－（u3+v1）=8－（2+3）= 3>0σ34 =c34－（u3+v4）=9－（2+4）= 3>0由于σ23 =－2<0，故表中基可行解不是最优解。
由于σ该闭回路上，偶数顶点上的基变量最小值为5，以该调整量进行调整得到如表3—11的新的基可行解。
运筹学第3章：运输问题
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
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第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
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第三章运输问题
一、建立下列问题的数学模型
1、P119, 3.6
某厂按照合同规定须于当年每季度末分别提供10，15，25，20台同一规格的柴油机。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。
又如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度，存储维护费用0.15万元。
要求在完成合同的情况下，使得全年生产（存储）费用最小的决策。
将此问题归结为运输问题，试建立该问题的产销平衡及单位运价表。
解：以四个季度为产地和销地，建立产销平衡运输表如下：
2、P119, 3.7
上题中若允许某些季度末交货时发生短缺，但全部合同必须于Ⅳ季度末完成。
又缺货时，每台每晚交一个季度，罚款0.1万元。
为使总的生产、存储和缺货罚款损失费用最小，重新列出用运输问题求解时的产销平衡和单位运价表。
解：以四个季度为产地和销地，建立产销平衡运输表如下：
3、P119, 3.8
某造船厂在某年算起的连续三年的年末各提供三条规格相同的货轮，已知该厂今后三年的的生产能力及生产成本如下表所示。
已知加班生产时每条货轮成本比正常生产时高70万元，又知造出的货轮如当年不交货，每条每积压一年增加维护费用40万元。
在签订合同时，已有以前积压的两条，该厂希望在第三年末交货后多留一条备用。
问该厂应如何安排生产计划，满足上述要求，并使得总费用最小。
请列出产销平衡表和单位运价表。
解
4、P120, 3.9
为确保飞行的安全，飞机上的发动机每半年必须强迫更换进行大修。
某维修厂估计某种型号的战斗机从下一个半年起的今后三年内每半年需更换的发动机数量分别为：100,70,80,120,150,140（台）。
更换发动机时，可以换上新的，也可以用经过大修的旧的发动机。
已知每台新发动机的购置费是10万元，而旧发动机的维修方式有两种：快修，每台2万元，半年交货（本期拆下，下期即可用上，半年为一期）；慢修，每台1万元，一年才能交货（本期拆下，下下期可用上）。
该厂新接手该项发动机的更换维修任务，又知三年后这种战斗机将退役，退役后这种发动机将报废。
问：今后三年的每半年内，该厂为满足需要，应新购、快修、慢修发动机各多少台，使总的维修费用最省？将此问题归结为运输问题，试建立该问题的产销平衡及单位运价表。
解：产销平衡及单位运价表如下：
某煤炭公司下属A,B,C三个煤矿，年生产能力分别是120,160,100万吨，公司同三个城市签订了下一年度的供货合同，城市1为110万吨，城市2为150万吨，城市3为70万吨，但城市3表示愿意购买剩余的全部煤炭。
另有城市4虽未签合同，但也表示只要公司有剩余煤炭，愿全部收购。
已知从各矿至4各城市的煤炭单位运价如下表(单位：元/吨)。
请列出该问题的产销平衡及单位运价表。
解：该问题的产销平衡及单位运价表如下
二、求解下列运输问题
解：这是一个产销平衡的运输问题，可用表上作业法求解。
（1）最小元素法得初始解：
单位运价；16----------。