等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)

等比数列知识点总结与典型例题

1、等比数列的定义:()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式:

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=??≠?≠,首项：1a ;公比:q

推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项:

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (２）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式:

(1）当1q =时,1n S na = (2）当1q ≠时,()11111n n n a q a a q

S q

--=

-- 11''11n n n a a

q A A B A B A q q

-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法:

（1)用定义：对任意的n ，都有1

1(0){}n n n n n n

a a qa q q a a a ++==≠?或

为常数，为等比数列 (２）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列（3)通项公式:()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法：

依据定义:若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：

(2)对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=。

(3)若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注:12132n n n a a a a a a --?=?=???

等差和等比数列比较:

经典例题透析

类型一：等比数列的通项公式?

例1.等比数列{}n a 中，1964a a ?=， 3720a a +=,求11a .

思路点拨:由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组,解出1a 和q ,可得

11a ;或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ,再求11a .

解析:

法一:设此数列公比为q ，则8

191126

371164

(1)20(2)

a a a a q a a a q a q ??=?=??+=+=??

由(2）得:24

1(1)20a q q +=..．..．．..．(3)

∴10a >.

由(１)得：421()64a q = , ∴4

18a q = (4)

(3)÷(4)得:421205

q q +==, ∴4

2520q q -+=,解得2

2q =或2

q =

当2

2q =时，12a =,1011164a a q =?=；

当2

q =

时，132a =,10

1111a a q =?=. 法二：∵193764a a a a ?=?=,又3720a a +=，

∴3a 、7a 为方程2

20640x x -+=的两实数根, ∴??

?==41673a a 或 ???==16

73a a

∵2

3117a a a ?=, ∴2

7113

1a a a ==或1164a =.

总结升华：

①列方程（组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量；

②解题过程中具体求解时，要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法(除式不为零).

举一反三:

【变式1】{ａｎ}为等比数列,a １=3，a 9=768，求a 6。【答案】±96

法一：设公比为q ，则768=a 1q ８，q 8

=２5６,∴q=±2,∴a 6=±9６;

法二：ａ５2

＝a １a 9?ａ5=±48?q ＝±2，∴ａ6=±96。

【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a １a 89=１6，求a 44a 45ａ4６的值。【答案】６4;

∵2

1894516a a a ==,又a n ＞0，∴ａ45＝4 ∴3

4445464564a a a a ==。

【变式3】已知等比数列{}n a ,若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。

【答案】1

2n n a -=或32n n a -=；

法一：∵2132a a a =,∴3

12328a a a a ==,∴22a =

从而1313

,4a a a a +=??

=?解之得11a =,34a =或14a =，31a = 当11a =时，2q =；当14a =时,12

q =

。故1

2n n a -=或32n n a -=。

法二：由等比数列的定义知21a a q =，2

31a a q =

代入已知得2

1112

1117

a a q a q a a q a q ?++=????=??

21331(1)7,8

a q q a q ?++=???=??2

11(1)7,(1)

2(2)a q q a q ?++=??

=? 将12a q

代入（1)得2

2520q q -+=, 解得2q =或12

q =

由（2)得112a q =??=?或1

a q =???=?? ,以下同方法一。

类型二:等比数列的前n 项和公式

例2．设等比数列{a n }的前n 项和为Ｓn ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q. 解析：若ｑ＝１，则有S 3=3ａ１,Ｓ6=6a 1,S 9=9ａ1.

因a １≠0,得S ３＋S 6≠2S 9,显然q=１与题设矛盾，故q ≠1.

由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1)

111a q a q a q q q q

---+=---，

整理得ｑ3

(2ｑ6

－q 3

－1)=０,

由q ≠0,得2ｑ6-q 3-1=0，从而（2q ３+1)(q 3

-1)＝0,

因q 3

≠１,故3

q =-,

所以2q =-。

举一反三:

【变式1】求等比数列11

1,,,39

的前6项和。

【答案】

364

243

; ∵11a =，1

3q =

，6n = ∴66

6111331364112324313

S ?????-?? ???????????==?-=?? ???????-。【变式2】已知：{a n }为等比数列，a １a ２a 3=27，S 3=13,求Ｓ5. 【答案】121

1219

或

； ∵32

2273a a =?=，31(1)1

13313

a q q q q -=

?==-或,则a 1=１或a 1=９

∴5555191131213121S 113913

S ?

?? ?-??==-－或＝＝－.

【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=,21128n a a -?=,126n S =，求n 和q 。【答案】1

q =

或2,6n =; ∵211n n a a a a -?=?，∴1128n a a = 解方程组1112866n n a a a a =??

+=?,得1642n

a a =??=? 或12

64n a a =??=?

①将1642

n a a =??=?代入11n n a a q S q -=-,得1

2q =，

由1

1n n a a q -=,解得6n =；

②将1264n

a a =??=?代入11n n a a q S q -=-，得2q =,

由1

1n n a a q -=，解得6n =。

∴1

q =

或2，6n =。类型三：等比数列的性质

例3. 等比数列{}n a 中,若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++．解析：

∵{}n a 是等比数列,∴110293847569a a a a a a a a a a ?=?=?=?=?= ∴1032313log log log a a a +++ 553123103563log ()log ()log 910a a a a a a =??=?==

举一反三：

【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·ａ100＝10０；则lga 1＋lga 2+……+lg ａ100＝___＿_____＿__＿．

【答案】1０0;

∵lg ａ1+lga 2＋l ｇa 3+……＋ｌga 1０0=l ｇ(a １·a 2·a 3·……·ａ１０0）而a 1·ａ10０=a 2·a 99=a 3·a 98＝……=a ５０·a 51

∴原式＝lg （ａ1·a 10０)50=5０ｌg(a 1·ａ10０)=50×lg1００=10０。

【变式2】在

83和272

之间插入三个数,使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。【答案】216;

法一：设这个等比数列为{}n a ，其公比为q ,

∵183a =

，445127823a a q q ===?，∴48116q =,294

q = ∴2336

2341111a a a a q a q a q a q ??=??=?3

389621634????

=?== ?

?????

。法二:设这个等比数列为{}n a ，公比为q ,则183a =,5272

a =，加入的三项分别为2a ，3a ,4a ，

由题意1a ，3a ，5a 也成等比数列，∴2

38273632

a =

?=,故36a =， ∴23

234333216a a a a a a ??=?==。

类型四:等比数列前n 项和公式的性质

例4.在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =,求3n S 。

思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k 项和,第2个ｋ项和，第3个ｋ项和，……,第n 个k 项和仍然成等比数列。

解析：

法一：令b １=S n =４8, b ２＝Ｓ2n -S n =6０－48=１2,b 3＝S 3ｎ-S 2n 观察ｂ1=a 1+a 2＋……+a ｎ,

ｂ2＝ａn ＋1+a n+2+……＋a 2n =ｑｎ

(a 1+ａ2＋……+a n ）,

b 3＝ａ2ｎ+１＋a 2n+2+……+a 3n =ｑ２ｎ

(a 1＋a 2＋……＋a ｎ)

易知b 1,b 2，b 3成等比数列，∴22

23112348

b b b ===,

∴S ３n =b ３+S 2n =３+60=63. 法二：∵22n n S S ≠,∴1q ≠，

由已知得121(1)

481(1)601n n

a q q a q q

?-=?

?-?=?-?①②

②÷①得514n q +=，即14

q = ③

③代入①得

641a q

=-, ∴3133(1)1

64(1)6314

n n a q S q -=

=-=-。法三:∵{}n a 为等比数列,∴n S ，2n n S S -,32n n S S -也成等比数列，

∴2

232()()n n n n n S S S S S -=-，

∴22

232()(6048)606348

n n n n n S S S S S --=+=+=。

举一反三:

【变式1】等比数列{}n a 中，公比ｑ=2, S 4=1,则S 8=_______＿_＿_．

【答案】17；

S ８=Ｓ4+a 5＋a 6+a 7+a ８=S 4+a 1q 4+a 2q ４+a ３q 4＋ａ4ｑ4=S 4+q ４(ａ１+a ２+a 3+a 4)=S ４+q 4S 4=S ４(１+q 4

)=１×(1+24

)=17

【变式２】已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 1０=10, S 2０=40,求：Ｓ30＝? 【答案】130；

法一:S 10,S ２0-S 10,S ３0－S 2０构成等比数列,∴(Ｓ20－S 1０)２

=S 10·(S ３0-S 20)

即３02

=1０（S 30－40),∴S 30=13０．法二：∵2S 1０≠S 20，∴1q ≠,

∵101)

1(10110=--=q

q a S ,20120(1)401a q S q -=

=-, ∴102011,14q q -=-∴10

3q =,∴

511-=-q

a ∴ 130)31)(5(1)1(330130=--=--=q

q a S .

【变式3】等比数列{}n a 的项都是正数,若S n =80, S 2n ＝65６0,前ｎ项中最大的一项为５4,求n ．

【答案】∵ 6560802=n n S S ，∴1q ≠(否则2

2=n n S S )

∴1(1)

1n n a q S q

-=-＝8０ ..．.． (1)

212(1)1n n a q S q

-=-＝656０．．....．..(2),

(2）÷（1）得：1+ｑn

=８2,∴q n

=8１..．...(3） ∵该数列各项为正数，∴由(3)知q>1 ∴{ａn ｝为递增数列，∴a n 为最大项54.

∴a ｎ＝a 1q n-１=５４,∴a 1q n

=54q, ∴８1a 1=5４q.．.．．．.．．.(4) ∴1542813a q q =

=代入（1）得2

(181)80(1)3

q q -=-， ∴q=3,∴n=4．

【变式4】等比数列{}n a 中，若ａ1＋a ２=3２４, a 3＋a ４＝３６, 则a ５+a ６=_＿＿_＿_＿______．【答案】4;

令b 1=a 1+ａ2＝a １(1+q)，b ２=a ３+a 4=a 1q 2(１+q)，b 3＝ａ5+a ６=a 1q 4

(1＋ｑ),

易知:b 1, b 2, b 3成等比数列,∴b ３=122b b =324

362

＝4,即a 5+a ６=４．

【变式5】等比数列{}n a 中,若a 1+a 2+ａ3=7,a 4+a ５+ａ６=56, 求ａ7+a ８+a ９的值。【答案】448;

∵｛a n }是等比数列,∴（a 4+a 5＋ａ6)＝(ａ１+a 2+a ３）q 3,∴q 3=8，

∴a ７+a ８+a ９＝(ａ4＋a 5＋a 6)q 3

=56×8=448．

类型五：等差等比数列的综合应用例５．已知三个数成等比数列，若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去４,则又成等比数列.求原来的三个数.

思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提．考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.

解析:

法一：设成等差数列的三数为a －d, a,a+ｄ.

则ａ-d, ａ, a+d ＋32成等比数列,a －d, a-4，ａ+d 成等比数列.

∴?????+-=-++-=)2.().........

)(()4()1.().........32)((2

2d a d a a d a d a a

由（2)得a ＝8

2+d .．． (3)

由(1)得3２a=d 2

+32d ...．..．．..(4) （3)代(4)消a ，解得8

d =或d=８. ∴当83d =

时，269

a =;当d ＝8时,ａ=１0 ∴原来三个数为92,926,9

338

或２,1０,５0.

法二：设原来三个数为ａ, ａｑ, aq ２

，则ａ, a ｑ，ａq ２

-3２成等差数列，a, aq-4, ａq 2

-３2成等

比数列

∴?????-=--+=)2)......(

32()4()1........(3222

aq a aq aq a aq

由(2)得2

a q =-，代入（1)解得q=５或q=13

当ｑ=5时a=２；当q=13时2

a =.

∴原来三个数为2,10,５0或92,926，9

338

．

总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-ｄ, a, ａ＋d ；若三数成等比数列，可设此三数为

，x, xy 。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a ，公比q 来解决问题反而简便。

举一反三:

【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上４,,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.

【答案】为2，6,18或

21050,,999

-; 设所求的等比数列为a,a ｑ,aq 2

;

则 2(ａq ＋4)=a+ａq 2，且(aq+4）2=a(a ｑ２

+32)；

解得a ＝２，ｑ=３或2

a =

，q=-5; 故所求的等比数列为2，6，18或21050

,,999

【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为９1,求这三个数。【答案】1、3、９或―1、3、―9或9、３、1或―9、３、―１

设这三个数分别为

,,a

a aq q

，由已知得22222

91a

a aq q a a a q q

???=????++=??22

231(1)91a a q q =??

??++=?? 得4

98290q q -+=，所以2

9q =或2

q =

，即3q =±或13

q =±

故所求三个数为：1、３、9或―1、３、―９或9、3、1或―9、3、―1。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.

【答案】０，４,８，1６或1５，9,３，１; 设四个数分别是x,y,12－y,16－ｘ

∴??

?-=--+=)2).......(

16()12()1.......(1222

x y y y x y

由(1）得ｘ=3y －12，代入(２）得１44-２4ｙ+y ２

＝y(1６-3y+１2) ∴１4４－2４y+ｙ2=-３y ２＋2８y ， ∴4y 2

－5２y+144=0, ∴y ２

-１3y+36=0, ∴ y=４或９， ∴ ｘ=0或1５，

∴四个数为0，4,8，16或15,9,3，1．类型六:等比数列的判断与证明

例6．已知数列｛a n }的前ｎ项和Ｓｎ满足：ｌog ５(Ｓn ＋1）=n （ｎ∈N +),求出数列{ａｎ｝的通项公式,并判断｛ａn }是何种数列?

思路点拨：由数列{a n }的前ｎ项和S ｎ可求数列的通项公式,通过通项公式判断｛a n }类型.

解析:∵log 5(S ｎ+1)=n ，∴S n +1=5n ,∴Ｓn ＝5n

-1 (n ∈N +）,

∴ａ１=S 1＝5１

－1=４,

当ｎ≥2时,a n =S ｎ-S n-1＝(5n -1)-(5n-1-１)=5n -5n-1=5n-1（５-1)=4×5ｎ-1

而n=1时，4×5ｎ-1=4×５1-1

=4＝a 1,

∴n ∈N +时,a n =4×５ｎ－1

由上述通项公式，可知{ａn }为首项为4,公比为５的等比数列. 举一反三:

【变式1】已知数列{C ｎ},其中Ｃn ＝２n +3n

，且数列｛C ｎ＋1-ｐC n }为等比数列,求常数ｐ。【答案】ｐ＝２或p=3； ∵｛C n ＋1-pC n }是等比数列,

∴对任意n ∈N 且n ≥２,有（C ｎ+1－pC n ）2

=(C n ＋2-p Ｃｎ+1)（Ｃn -pC n-1)

∵C n ＝２n +3ｎ,∴[（2n+1+３n+1)－p （2n ＋３n )]2＝[（2n+2＋3n ＋２)-p （2n ＋1＋3n ＋1)]·［（2n +3n )-p(2n-1+3ｎ-1

)]

即[(2-p ）·2n ＋（3－p)·3ｎ]2＝[(２-p)·2ｎ+１+(3-p)·3ｎ+1]·[(2－p ）·2n-1+(3-p ）·3n-１

］

整理得:

(2)(3)2306

n n p p --??=,解得:p=2或p ＝３, 显然C ｎ+1-pC n ≠0，故p=２或p=３为所求．

【变式２】设{ａn }、{b n ｝是公比不相等的两个等比数列，C ｎ=a n +b n ,证明数列{C n ｝不是等比数列．【证明】设数列{a ｎ}、｛ｂn }的公比分别为p, q ，且ｐ≠q

为证{Ｃn ｝不是等比数列，只需证2

132C C C ?≠. ∵222222

2111111()2C a p b q a p b q a b pq =+=++,

222222221311111111()()()C C a b a p b q a p b q a b p q ?=++=+++

∴22

13211()C C C a b p q ?-=-,

又∵ p ≠q ， a 1≠0, b １≠0,

∴21320C C C ?-≠即2

132C C C ?≠

∴数列｛C ｎ}不是等比数列．【变式3】判断正误：

(1){ａｎ}为等比数列?a 7＝ａ3a 4；

(２)若b 2

=ac ，则ａ,b,c 为等比数列；

(3){a n }，{b n ｝均为等比数列,则{a ｎb n }为等比数列;

（４)｛ａn }是公比为q 的等比数列,则2

{}n a 、1n a ??????

仍为等比数列；

(5)若a ，b,c 成等比,则lo ｇm a ，ｌog m b ，l ｏg m c 成等差. 【答案】

(１）错;a 7＝a 1q ６，ａ3a 4=ａ1q ２·ａ1ｑ3=a 12q 5

，等比数列的下标和性质要求项数相同；

（2)错;反例：０2

=0×0，不能说０，0,0成等比； (3)对;{a n b n ｝首项为a １b １,公比为ｑ1q 2;

（4)对；221

11,1n n n

a a q a q a ++==;

(5）错;反例：-2，-4,-8成等比，但log m (-２)无意义．类型七：S n 与a n 的关系

例7．已知正项数列｛a n }，其前n 项和S n 满足2

1056n n n S a a =++,且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列

{a n ｝的通项a ｎ.

解析：∵2

1056n n n S a a =++， ① ∴2

1111056a a a =++，解之得a 1=2或a 1=3. 又2

1111056(2)n n n S a a n ---=++≥， ②

由①-②得22

1110()5()n n n n n a a a a a --=-+-,即11()(5)0n n n n a a a a --+--=

∵a n +a ｎ-1>０，∴a n -a n-1=５（n ≥2）.

当ａ1=３时，a ３=13，a １5=73，a １，a 3,ａ１5不成等比数列 ∴a １≠３;

当a 1=２时，a ３=1２，ａ１5＝７2，有ａ３2

=a 1ａ15, ∴a 1=2,∴a ｎ=5n-３.

总结升华:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是1

1(1)(2)n n

n a n a S S n -=?=?-≥?,尤其注意首

项与其他各项的关系.

举一反三:

【变式】命题1:若数列｛a n }的前n 项和S n =ａn

+b （a ≠1)，则数列｛a ｎ｝是等比数列;命题2:若数列{a

ｎ}的前ｎ项和Ｓｎ＝n ａ-ｎ，则数列{a ｎ}既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为个．

【答案】0;

由命题１得，a 1=ａ+ｂ,当n ≥2时，a ｎ=S ｎ－Ｓn-1=（a-1)·ａn －1

若｛a n ｝是等比数列,则

21a a a =,即(1)a a a a b

-=+，所以只有当b=-1且a ≠0时，此数列才是等比数列．

由命题２得,a 1=a-1,当n ≥2时，ａn =S n －S n －1=ａ－１，显然{a n }是一个常数列,即公差为0的等差数列，

因此只有当ａ-1≠0，即a ≠1时数列{ａn }才又是等比数列.