义务教育北师大版九年级数学上《第4章图形的相似》单元测试含答案初三数学试题.doc
《第4章图形的相似》
一、选择题
1.已矢口
xy=mn.
.则把它改写成比例式后，
错误的是（
A.
x
B. 7 =n
C. X =y
D. X =n
n y ID X ID n m y
2.已知乎二2,
b
那么￥的值是（）
b
A.3
B. 4
C. 5
D. 6
3. 下列两个图形一定相似的是（）
A.两个矩形
B.两个等腰三角形
C.两个五边形
D.两个正方形
4. 如果两个相似多边形面积的比是4： 9,那么这两个相似多边形对应边的比是（）
A. 4： 9
B. 2： 3
C. 16： 81 D? 9： 4
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F,与ACEF 相似的三角形有（）个.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.如图，D为Z\ABC边BC上一点，要使△ ABD-ACBA,应该具备下列条件中的（）
AC = AB AB = BC AB = BD AC = CB
* CD _CD * CD _AD * CB _AB * CD "AC
AD 1
7.如图，在Z\ABC中，若DE/7BC,詈二￡ DE二3cm,则BC的长为（）
A D o
9.如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （3, 3） , D （4, 1）,以原点0为位似中心，在
第一象限内将线段CD 放大为原来的2倍后得到线段AB,则端点B 的坐标为（
）
① 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形;
② 位似图形一定有位似中心；
且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，
那么这两个图 形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P, P'与位似中心0的距离满足0P 二k ?OP ，?
A.①②③④
B.②③④
C.②③
D.②④
nn
点D 的坐标是（1, 3）,则CE 的长是（
D. (8, 2)
下列命题正确的有（
③如果两个图形是相似图形, C. (8, 6) 12cm
VTo D. 4
10.关于对位似图形的表述
11.如图，在直角梯形ABCD中，DC/7AB, ZDAB二90° , AC丄BC, AC二BC, ZABC的平分线分别
A. V2 - 1 B? 2+V2 C?A/2+1 D. V2
12.如图，AOAC和ABAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B,若0八-
二、填空题
13. 已知线段AB", C是线段AB的黄金分割点，且AC 14. 如图，在AABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE〃AC,若S AC0E=1: 4,则 BDE:S MCD二---- ? 15. —块矩形绸布的长AB二a m,宽AD二伽，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是 16. __________________ 如图，小亮在晚上由路灯A 走向路灯B,当他走到点C 时，发现身后他影子的顶部刚好接 触到路灯A 的底部，当他向前再步行12m 到达点D 时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 B 的底部.已知小亮的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m ?当小亮走到路灯B 时，他在路 灯A 下的影长是 m ? 18.如图，AD 是AABC 的高，点E, F 在边BC 上，点H 在边AB 上，点G 在边AC 上, AD 二80cm, BC=120cm. 最大面积是 ZABC 二90。, AD//BC, AD=6, AB 二7, BC 二8,点 P 是 AB 上一个 (1) 当AP 二3时，Z\DAP 与Z\CBP 相似吗？请说明理由. (1)若四边形EFGH 是正方形, 求正方形的面积. (2)若四边形EFGH 是长方形, 长方形的面积为y,设EF 二x,则y 二 (含x 的代数 三、解答题 17.如图，在 RtAABC 中，ZACB 二90° , CD 丄AB,垂足为 D. (1)证明:AACD^ACBD ； 时，y 最大, 动点. 式),当x 二 (2) 求PD+PC的最小值. 20.如图，在RtAABC中，ZABC二90°，点D为BC边上的点，BE丄AD于点E,延长BE交AC于点 F. (1)证明：BE2=AE*DE； ⑵若普器1,磊=——；并说明理由? nn 《第4章图形的相似》 参考答案 一、选择题 1.已知xy=mn,则把它改写成比例式后，错误的是（） A、厶』B?兰二卫 C. D D.冬二卫 n y in x m n m y 【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy-mn,与原式相等; B、两边同时乘以最简公分母mx得xy=mn,与原式相等； C、两边同时乘以最简公分母mn得xn=my,与原式不相等； D、两边同时乘以最简公分母my得xy=mn,与原式相等； 故选C. 2. 已知吕二2,那么平的值是（） b b A. 3 B. 4 C? 5 D? 6 【解答】解：由吕二2,得半二甲二3? b b 1 故选：A. 3. 下列两个图形一定相似的是（） A、两个矩形 B.两个等腰三角形 C.两个五边形 D.两个正方形 【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意； C、两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意. 故选D. 4. 如果两个相似多边形面积的比是4： 9,那么这两个相似多边形对应边的比是（） A. 4： 9 B. 2： 3 C. 16： 81 D. 9： 4 【解答】解：???两个相似多边形面积的比是4： 9, ???这两个相似多边形对应边的比是2： 3. 故选B. 5.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的延长线上一点，AE 与CD 相交于F,与ACEF 相似的三角形有（ ）个. 【解答】解：???四边形ABCD 是平行四边形, ???AB 〃CD, AD 〃BC, ??? ZFAE 二ZABE, ZD 二ZECF, ZDAF=ZE, .-.ABEA^ACEF, ADAF^ACEF. 故选B. 6.如图，D 为AABC 边BC 上一点，要使△ ABD-ACBA,应该具备下列条件中的（ AC = AB AB_ =BC AB_ = BD AC = CB * CD "CD * CD "AD * CB "AB * CD "AC 【解答】解：当器二器时， DU A D 又??? ZB=ZB, /.AABD^ACBA. 故选：C. AD 1 詈二吕DE=3cm,则BC 的长为（ A D O 7.如图，在Z\ABC 中，若 DE/7BC, A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 .-.OD =7I 2+32:Z VT O , ???CE =VT O , 故选C ? .AD_DE_1 AB BC 3' TDE 二3cm, .丄丄 ?'DE 3， 解得：DE-9cm. 故选C. 8.如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是 （1, 3）,则CE 的长是（ ） 【解答】解:VDE/7BC, .\AADE<^AABC, 9.如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （3, 3） , D （4, 1）,以原点0为位似中心，在 第一象限内将线段CD 放大为原来的2倍后得到线段AB,则端点B 的坐标为（ 因为以原点0为位似中心，在第一象限内将线段CD 放大为原来的2倍后得到线 段AB, 所以点B 的坐标为（4X2, 1X2）,即（8, 2）? 故选D. 10.关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（ ） ① 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ② 位似图形一定有位似中心； ③ 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图 形是位似图形； ④ 位似图形上任意一组对应点P, P'与位似中心0的距离满足0P 二k ?OP ，? A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 【解答】解：①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误； ② 位似图形一定有位似中心；正确； ③ 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图 形是位似图形；正确； ④ 位似图形上任意一组对应点P, P z 与位似中心0的距离满足0P 二k ?OP ，；正确. 故选B. 门.如图，在直角梯形ABCD 中，DC 〃AB, ZDAB 二90° , AC 丄BC, AC 二BC, ZABC 的平分线分别 交AD 、AC 于点E, F,则黑的值是（ ） 【解答】解: C. (8, 6) D. (8, 2) 12.如图，AOAC 和ABAD 都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B,若0八- AB~8,则k 的值为 -4? A. V2 - 1 B ? 2+V2 C. V2+1 【解答】解：作FG 丄AB 于点G, ???ZDAB 二90° , ???AE 〃FG, .BF = BG *'EF~GA J TAC 丄 BC, ???ZACB 二90° , 又??? BE 是ZABC 的平分线， ???FG 二FC, 在 RtABGF 和 RtABCF 中， JBF=BF \CF=GF /.RtABGF^RtABCF (HL), /.CB=GB, ???AC=BC, ???ZCBA 二45° , /.AB=V2BC, ? BF_BG ____ B C ______ 1— r- ■■EF "GA _V2BC-BC _V^-I ^Z 1 - D ? V2 ???△OAC和ABAD都是等腰直角三角形，???0A二何C, AB=V2AD, 0C二AC, AD二BD, ?/OA2-AB2=8, /. 2AC2 - 2AD2=8,即AC2 - AD2=4, ???(AC+AD) (AC-AD) =4, ???(OC+BD)?CD二4, ???点B在第四象限， .*.a*b= - 4, ??.k二- 4. 故答案为：-4. 二、填空题 3 _ Q斥 13.已知线段AB二1, C是线段AB的黄金分割点，且AC 【解答】解:由于C为线段AB二1的黄金分割点， 且ACVCB, 则AC=1 - ?I-"逅. 2 2 故本题答案为：—? 14.如图，在AABC中,D、E分别是AB、BC上的点，且DE〃AC,若S△如S AC0E=1: 4,则 BDE：S^A CD二1：2°? 「?BE ： BC =1: 5, TDE 〃AC, /.ABED^ABCA, 二 匹、2 二丄 ^ABCA BC 25' 设 SaED=k ，则 S^oec^k, S AABC =25k, ■ ?S^ADC~20k, ? ?S/XBOE ： S A DCA =1 : 20. 故答案为：仁20. 15. —块矩形绸布的长AB 二a m,宽AD 二1m,按照图中所示的方式将它裁成相同的n 面矩形彩 旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a 的值应当是 【解答】解：???使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同, 1 a T _2L ? a ? 2_ 丄 ? ■ a - n /.BE ： EC=1: 4, 故答案为：五. 16.如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小亮的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m?当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6 m. A C D B 【解答】解：如图，当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长为BH, CE二DF二BG二1.5叫AM二BN二9m, CD=12m, ???CE〃BN, /.AACE^AABN, ?空二坐印1?5二M * * BN" AB J卩可一丽 AC二BD, AC 二BD 二*AB AC+CD+DB二AB, 4-AB+12+4-AB=AB,解得AB二18, BG〃AM, AHBG^AHAM, 即当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3. 6m. 故答案为3.6? 【解答】证明：(1) VZACB=90° , CD±AB, ???ZCDA 二ZCDB 二90° , ?/ ZA+ZACD=ZACD+ZBCD=90° 、 ??? ZA^ZBCD, AACD^ACBD ； (2)由(1)知厶ACD^ACBD, .AD _CD …而药， ???CDJ A D ?BD 二 2X4二8, ???CD 二 2 屈 18.如图，AD 是Z\ABC 的高，点E, F 在边BC±,点H 在边AB 上, AD 二80cm, BC=120cm. (1)若四边形EFGH 是正方形，求正方形的面积. (2)若四边形EFGH 是长方形，长方形的面积为y,设EF 二x,则y 二 代数式)，当x 二60cm 时，y 最大，最大面积是240cm? (2)已知 AD=2, BD=4,求 CD 的长. 三、解答题 17.如图，在 RtAABC 中，ZACB 二90° , CD 丄AB,垂足为 D. (1)证明:AACD^ACBD ； 点G 在边AC 上, 9 - ￡<2+80X ?(含 X 的 【解答】解：(1) ???四边形EFGH是正方形， ???HG〃EF, GH二HE二ID, /. AAHG^AABC, .-.Al： AD二HG： BC, TBC二120cm, AD二80cm, .80-HG HG '■ 80 一120， 解得：HG-48cm, ???正方形EFGH的面积=HG2=482=2304 (cm2)； (2)???四边形EFGH是长方形, ???HG〃EF, /.AAEF^AABC, /.Al: AD二HG： BC, Hn80-HE x P 80 一120' 2 解得:HE二--yx+80, 0 9 0 ???长方形EFGH 的面积y二x ( — x+80)二—x2+80x=— (x - 60) 2+240, 0 0 0 ??_ —<0 ? 3 ， ???当x=60,即EF=60cm时,长方形EFGH有最大面积,最大面积是240cm2； 9 故答案为:——X2+80X, 60cm, 240cm . 19.如图，在直角梯形ABCD 中，ZABC二90° , AD〃BC, AD二6, AB二7, BC二8,点P 是AB 上一个 动点. (1)当AP二3时，ADAP与ACBP相似吗？请说明理由.