《经济数学基础》试题

华中师范大学网络教育《经济数学基础》练习测试题库

一、单项选择题：（从下列各题备选答案中选出最适合的一个答案。共46题，每题3分）

1. 下列函数中是偶函数的是Ａ. sin

y π

= B. x y e = C. ln y x = D.

sin y x =

2. 若()f x 在[,]a b 上单调增加，()g x 在[,]a b 上单调减少，则下列命题中错误的是

Ａ. (())f f x 在[,]a b 上单调增加 B. (())f g x 在[,]a b 上单调减少

C. (())g f x 在[,]a b 上单调增加

D. (())g g x 在[,]a b 上单调增加

3. 下列极限正确的是

Ａ. sin lim

1x x x π

→= B. 1

lim sin 1x x x →∞= C. 11lim sin x x x →∞不存在 D. sin lim 1x x

→∞= 4. 已知2

lim(

)021

x x ax b x →∞--=+，则Ａ. 11,24a b =-=- Ｂ. 11,24a b ==-

Ｃ. 11,24a b =-= Ｄ. 11

,24

a b ==

5. 设0x →时，2

cos x x x e e -与n x 是同阶无穷小，则n 为

Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 5

Ｄ. 2 6. 若2,1(),1x x f x a x

0()3,0

b x g x x x

连续，

则有Ｃ

Ａ. 2,a b =为任意实数，Ｂ. 2,b a =为任意实数，Ｃ. 2,3a b == Ｄ. 2,2a b == 7. 与()2f x x =完全相同的函数是

Ａ. 2ln x e Ｂ. ln 2x e Ｃ. sin(arcsin 2)x Ｄ.

arcsin(sin 2)x

8. 若(sin )cos 2f x x =，则()f x =

Ａ. 21x - Ｂ. 212x - Ｃ. 21x - Ｄ.

221x -

9. 函数()sin 2f x x =在0x =处的导数是Ａ. 1 B. 2 C. 0 D. 2cos2x 10. 若22()log f x x =，则y '= Ａ.

21x B. 212x C. 2ln 2x D. 22ln 2

x 11. ()f x -'与()f x +'都存在是()f x '存在的Ａ. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分也非必要条件

12. 已知可导函数()y f x =在点0x 处01

()2

f x '=，则当0x →时，dy 与x ? Ａ. 是等价无穷小Ｂ. 是同阶非等价无穷小

Ｃ. dy 比x ?高阶的无穷小Ｄ. x ?比dy 高阶的无穷小

13. 设可导函数()f x 有(1)1,(ln )f y f x '==，则|x e dy =为Ａ. dx Ｂ.

1e Ｃ. 1

dx e

Ｄ. 1 14. 设函数()f x 在(0)U 内有定义，若(0)x U ∈时，恒有2|()|f x x ≤，

则0x =一定是()f x 的

Ａ. 连续而不可导点；Ｂ. 间断点；

Ｃ. 可导点，且(0)0f '=；Ｄ. 可导点，且(0)0f '≠。 15. 31y x =-在点(1,0)处的法线的斜率是Ａ. 3 Ｂ. 13

- Ｃ. 2 Ｄ. 2- 16. 若(sin )cos 2f x x =，则()f x '=

Ａ. 2x - Ｂ. 12x - Ｃ. 1x - Ｄ.

21x -

17. 函数()f x =[0,1]使罗尔定理成立的ξ= Ａ. 0 B. 1

C. 23

D. 23

18. ()ln f x x =在[1,]e 上使拉格朗日定理成立的ξ=

Ａ. 1

e - B. 1e - C.

12e + D. 1

e + 19. 0ln(12)

lim tan 2x x x

→+= Ａ. 1 B. 2 C. ∞ D. 12

20. 函数1

()2

x x y e e -=-在(1,1)-内

Ａ. 单调增加Ｂ. 单调减少Ｃ. 不单调Ｄ. 是一个常数

21. 0()0f x '=是可导函数()f x 在0x 取得极值的Ａ. 必要条件Ｂ. 充分条件Ｃ. 充要条件Ｄ. 无关条件

22. 若0()0f x '=，0()0f x ''=，则函数()f x 在0x 处Ａ. 一定有极大值，Ｂ. 一定有极小值，Ｃ. 可能有极值Ｄ. 一定无极值 23. x y e -=在定义域内是单调

Ａ. 增加且的Ｂ. 增加且的凸Ｃ. 减少且的凸Ｄ. 减少且的凸 24. 曲线42346y x x x =-+的凸区间为Ａ. (2,2)- Ｂ. (,0)-∞ Ｃ. (0,)+∞ Ｄ. (,)-∞+∞

25. 函数()f x 的一个原函数为1

，则()f x '= Ａ. ln x B. 1

C. 21x -

D. 3

2x 26. 函数()f x 的一个原函数为cos2x ，则()f x dx '=? Ａ. cos2x B. cos2x C + C. 2sin 2x C -+ D. 2sin 2x - 27. 下列各项正确的是

Ａ. [()]()f x dx f x '=? B. [()]()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x C '=+? D. ()()dF x F x =? 28. 函数()F x 是()f x 的一个原函数，则2

()f x dx x =?

Ａ. 1()F x Ｂ. 1

()

F x

Ｃ. 1()F C x + Ｄ. 1()F C x

-+ 29. 若ln ()x

f x dx C x =

+?，则()f x = Ａ. 2

ln 1x x - Ｂ. 2

1ln 2x Ｃ. lnln x

Ｄ. 2

1ln x

x -

30. 若在(,)a b 内， ()()f x g x ''=，则下列成立的是Ａ. ()()f x g x =，Ｂ. ()()1f x g x =+ Ｃ. [()][()]f x dx g x dx ''=?? Ｄ. ()()f x dx g x dx ''=?? 31. 设()f x 的导数为ln x ，则()f x 的一个原函数为

Ａ. 223ln 124x x x x -++ Ｂ. 1

Ｃ. ln x x x - Ｄ. 1

x x

+ 32. tan darx x =?

Ａ. arctan x Ｂ.

+ Ｃ. arctan x C + Ｄ. 2

1C x ++

33. 下列各式中成立的是Ａ. 2

2231

x dx x dx >?? B. 22

231

x dx x dx

C. 22

2311x dx x dx =?? D. 2

2311x dx x dx =-?? 34. 2

12|ln |x dx =?

Ａ. 12112

ln ln xdx xdx +?? B. 12

112

ln ln xdx xdx -+?? C. 1

112

ln ln xdx xdx --?? D. 1

112

ln ln xdx xdx -??

35. 0(1)(2)x

y t t dx =--?，则(0)y '= Ａ. 2- B. 0 C. 1 D. 2

36. 若1

0(2)2x k dx +=?，则k = Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. 1- Ｄ. 1

37. 3

0|1|x dx -=?

Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. 2 Ｄ.

38. 若()f x 是连续函数，则()()b

a a f x dx f a

b x dx -+-=?? Ａ. 0，Ｂ. 1

Ｃ. [()][()]f x dx g x dx ''=?? Ｄ. ()()f x dx g x dx ''=?? 39. 22

sin 1x x

dx x π

-+? Ａ. 2 Ｂ. 1- Ｃ. a b + Ｄ.

()b

f x dx ?

40. 若1

0m xdx =?，1

0ln(1)n x dx =+?则Ａ. m n < Ｂ. m n > Ｃ. m n = Ｄ. 以上都不对

41. 设 1,10()1cos sin ,01x x f x x x x x +-<≤?

=?+<≤??

. 则0lim ()x f x →= A .= -1 ; B .不存在 ; C .1= ; D .0= . 42. 设/0()f x 存在, 则000

(2)()

lim

h f x h f x h

→--=

A . /0()f x ;

B . /02()f x - ;

C ./02()f x ;

D ./0()f x -

43. 设()f x 在区间(1,4)上有/()0,(3) 2.f x f ≡= 则 A .()f x 严格单调增加; B.()f x 严格单调减少;

C. ()2f x ≡;

D.()0f x ≡. 44. 函数

y =, 当

A .2x →时;

B .2x +→时;

C .2x -→时;

D .x →∞时. 45. . (3)x e dx =?

A .(3)x e c + ;

B .

(3);3

x e c + C .3x e c + ; D .

(3)1ln 3

e c ++ . 46. 设(n y x n =为正整数) , 则()(1)n y =

A . 0

B . 1

C . n

D . !n

47、设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ

１１１

A.１－ ──

B.１+ ──

C. ────

D.ｘｘｘ１－ｘ１

48、ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ

A.无穷大量

B.无穷小量

C.有界变量

D.无界变量 49、方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（） A.平行于ｘｏｙ面的平面 B.平行于ｏｚ轴的平面 C.过ｏｚ轴的平面 D.直线

50、下列函数中为偶函数的是（）

A.ｙ＝ｅ^x

B.ｙ＝ｘ^3＋１

C.ｙ＝ｘ^3ｃｏｓｘ

D.ｙ＝ｌｎ│ｘ│

51、设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ_1〈ｘ_2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）

A.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）

B.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

C.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）

D.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

52、设ｆ（X ）在 X ＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X ）在 X ＝Xo 可导的（）

A.充分必要的条件

B.必要非充分的条件

C.必要且充分的条件

D 既非必要又非充分的条件

二、填空题：（共48题，每题3分）

1. lim

)x x x →+∞

= 2. 01lim sin x x x

→= 3. 10lim(1)x

x x →-= 4. 1

1ln(2)

y x =

+-的定义域为

5. 若1()32x f e x -=-，则()f x ＝

6. tan x

y x =

的可去间断点为 7. 8

3lim(sin )2

x x π→= 8. 2222

lim

n n n n →∞++=- 9. ()x a '=

10. ()(1)(2)(49)f x x x x x =+++，则(0)f '= 11. 曲线的参数方程为sin ,cos 2,

x t y t =??

=?在4t π

=处的法线方程为

12. 设2cos y x x =+，则(50)0|x y =＝ 13. 若1()32x f e x -=-，则()f x '＝ 14. 232

(

),()arctan(),32

x y f f x x x -'==+ 则0|x y ='= 15. 若()2df x x =，则()f x = 16. ()(sin )n x =

17. 若函数()y f x =在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则当

时，有(,)

ξ∈

a b

，使得()0f ξ'=。

18. 若函数()y f x =在区间I 上连续，则当()f x ' 时，函数

()y f x =在区间I 上单调减少。

19. 若函数()y f x =在区间I 上，()0f x '≡，则函数()y f x =为函数。 20. 0

sin 2lim

sin 3x x

→= 21. 0()0f x ''=，则0x x =是函数()y f x =拐点的条件 22. 2

21x

y x =

+的最小值为 23.

y =

24. ()arctan f x x x =-的单调减少区间是 25. xdx = 2(1)d x -

26. 1

(

1)sin sin d x x +=? 27. 32dx x

=+?

28. 1x a dx +=? 29. ln xdx ?＝ 30. 32x e dx +=? 31. 2tan xdx =? 32. sin x xdx =? 33. 1

20x dx =? 34. 11e dx x

35. sin y x =在[0,]π上与x 轴围成的面积为 36. 21(cos )x tdt '=?

37. 2

22sin x xdx -=?

38. 函数()f x 在[,]a b 上有界是()f x 在[,]a b 上可积的条件

39. 函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的条件

40. 若21()ln 1x

f x dx x x =+-?，则()f x ＝

41. 若1,1x

y x

+ 则/y =. 42. 2

()1ln f x x =-的连续区间是

43. 已知/()()F x f x =, 则()x

a f t a dt +=? 44. 1

()()2

x x f x e e -=+的极小值为

45. ()f x 当0x x →时的右极限0()f x +及左极限0()f x -都存在且相等是

lim ()x x f x →存在的条件. 46. 1lim(

n n n →∞

+=+ 47. 2

cos ()t x d e dt -=?

48. 曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线方程为

49函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ^2 ＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ^2 _______________。

50函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点（０，１）处的切线方程是______________。

51设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。

ｘ

52∫─────ｄｘ＝_____________。１－ｘ^4

１

53ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x →∞ Ｘ

三、计算题：（共30题，每题6分）

1. 求3

57243lim 232

-+++∞→x x x x x . 2．求3

9lim

23--→x x x .

3．求x

x x x 3sin lim

30+→. 4．若(1)lim(

n n x f x n →∞

++=-，求()f x 5．若数列{}n x 满足：12x =，12n n x x +=+(2,3,)n =，求lim n n x →∞

6．若2ln(1)y x x =++，求y '

7. 求函数22,01

()1,12x x f x x x <≤?=?+<

的导数。

8. 若()f x 可导，22(sin )()y f x f x =+，求y ' 9. 若()y y x =由方程1x y e xy ++=确定，求dy dx 和0|x dy dx

= 10. 2cos(2x +1)dx .

11. sin 0lim

x x x →+

12. 求2

(2)(1)y x x =-+的单调区间

13. 在区间(, 0]和[2/3, )上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]

上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 。求a 为何值时，1()sin sin 33

f x a x x =+在3

x π

=处取得极大值。

。求331y x x =+-在[1,2]-的最大值与最小值。2

1dx x

。求11x

dx e

。3

1x dx x +? 。3(1)

x x +?

。4

(1)

x x +? 21．4

(1)

x x +?22．350sin sin x xdx π

-? 23．222

24．若1

220()1()f x x x f x dx =-?，求()f x 25．dx x x ?++4

22. 26．设2ln(1)arctan x t y t t

?=+?=-? , 求dy dx ,22d y

27．22ln(x

e y e x x a =++ 求/y 28．3

tan sin lim

x x x

x →- 29．/(2)xf x dx ?, 其中()f x 的原函数为

sin x

30．32222

sin (cos cos 2)1x x

x x dx x π

π-++?

ｓｉｎ（９ｘ^2－１６）

31、求ｌｉｍ ─────────── 。 x →4/3 ３ｘ－４

32、求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

___

33、设ｕ＝ｅx ＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求ｄｕ。

x asin θ

34、计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。

0 0

四、证明题（共12题，每题6分） 1. 证明方程x 34x 21

0在区间（0, 1）内至少有一个根.

2. 证明2

111lim(

)11

n n n n n

→∞

=+++

3. 若()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>。证明：存在(,)a b ξ∈，使得()f ξξ=。

4. 若2

()

()f

x x a φ=，且1

()()ln f x f x a

，证明()2()x x φφ'=

5. 若()f x 在(,)-∞+∞内可导，且22()(1)(1)F x f x f x =-+-。证明：

(1)(1)F F ''=-。

6. 设2e a b e <<<，证明222

ln ln ()b a b a e ->- 7. 证明: 当x 1时, x

x 1

->.

8. 证设f (x )ln(1x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日

中值定理的条件, 根据定理, 就有

f (x )f (0)f ()(x 0), 0<

由于f (0)0, x

x f +='11)(, 因此上式即为 ξ

+=+1)1ln(x

x .

又由0

x , 有

x x

x <+<+)1ln(1. 9. 因为()()f x T f x += 所以00

()()()()a T

T a T

f x dx f x dx f x dx f x dx

++=++????

0()T

f x dx =?

10. 令24x <<

293373x x x x -=+-<-

∴0ε?>, 令73x ε-<, 即37

x ε

取7

δ=, 当3x δ-<时

有29x ε-<成立

故23

lim 9x x →= 11. 用反证法, 设方程有四个根1234,,,x x x x . 又设

()f x =2()x e ax bx c -++

则有()()()112223334,,,,,x x x x x x ξξξ∈∈∈,

使得()()123()0f f f ξξξ'''===

同理有()()1

12223,,,ηξξηξξ∈∈, 使得()()120f f ηη''''==

存在()12,ζηη∈, 使得()0f ζ'''= 而()0x f x e '''=≠

故方程不可能有四个根, 也不可能有四个以上的根, 得证.

12. 证作)]()([2

1)(x f x f x g -+=, )]()([2

1)(x f x f x h --=, 则 f (x )=g (x )+h (x ),

且 )()]()([2

1)(x g x f x f x g =+-=-,

)()]()([2

1)]()([2

1)(x h x f x f x f x f x h -=---=--=-.

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