导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结

一、知识网络结构

题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念，物理意义的应用

例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0

(2)(2)

lim

2h f h f h h

→+--；

(2)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++ ，求(0)f '.

考点二 导数的几何意义的应用

例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值

例3：已知曲线y=.3

43

13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.

题型二 函数单调性的应用

考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状

例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( )

导

数

导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值

常见函数的导数 导数的运算法则

考点二 求函数的单调区间及逆向应用

例1 求函数5224+-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）

例2 已知函数f (x )＝1

2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）

练习：求函数x

a

x x f +

=)(的单调区间。

例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2

＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）

练习1：已知函数0],1,0(,2)(3

>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。

2. 设a>0,函数ax x x f -=3

)(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。

总结：已知函数)(x f y =在),(b a 上的单调性，求参数的取值范围方法： 1、利用集合间的包含关系

2、转化为恒成立问题（即0)(0)(/

/

≤≥x f x f 或）（分离参数） 3、利用二次方程根的分布（数形结合） 例4 求证x x

练习：已知x>1，证明x>ln(1＋x)．

题型三 函数的极值与最值

考点一 利用导数求函数的极值。

例1 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x ＋1

4x ；(2)f(x)＝ln x ＋1x .（不含参函数求极值）

例2 设a>0，求函数f(x)＝x 2＋a

x (x>1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值.（含参函数求极值）

例3设函数f(x)＝a

3x 3＋bx 2＋cx ＋d(a>0)，且方程f ′(x)－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f(x)在(－∞，

＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．（函数极值的逆向应用）

例4 已知函数f(x)＝x 3

－3ax －1，a ≠0. （利用极值解决方程的根的个数问题） (1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．

题型四 函数的最值

例1 求函数[]2,2,1

4)(2

-∈+=

x x x

x f 的最大值与最小值。（不含参求最值）

例2 已知函数f(x)＝ax 3－6ax 2＋b ，试问是否存在实数a 、b ，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．(最值的逆向应用)

例3 已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝x 3＋ax 2－x ＋2. (1)求函数f(x)的单调区间．

(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f(x)≤g ′(x)＋2恒成立，求实数a 的取值范围．（利用极值处理恒成立

问题）

练习1 已知f (x )＝x 3－1

2

x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )

(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]恒有f (x )≥0成立，则a ＝________.

二、知识点

1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：

()()

2121

f x f x x x --.

2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='

→∆=)()(lim

)(000

00

．

3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()

y f x =在点

()()

00,x f x P 处的切线的斜率．

4、常见函数的导数公式：

①'

C 0=；②1')(-=αααx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；

⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '

=；⑧x

x 1)(ln '

= 5、导数运算法则：

()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦

； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '

''⋅=+⎡⎤⎣⎦；

()3()()()()()()

()()()2

0f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦

．

6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．

7、求解函数()y f x =单调区间的步骤：

（1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''

()y f x =；

（3）解不等式'

()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'

()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：

()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．

9、求解函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根

（4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：

()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；

()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最

小的一个是最小值．