山东省烟台市2015_2016学年高一数学上学期期末试题(含解析)
2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f （x ），满足f （a ）f （b ）＜0（a ，b 为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f （）=＜0，f （1）=e ﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C ．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B ．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD ﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R （x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
高三数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．805．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．226．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．87．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．129．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．5010．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，故选：D．2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，∴z=2﹣4i，则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．故选：D．3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．80【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得等比数列的公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q2===，∴a7+a8=（a1+a2）q6=40×=135，故选：C．5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．22【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣98）=1+lg100=3，f（lg30）=10lg30﹣1==3，∴f（﹣98）+f（lg30）=3+3=6．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高．∴四棱锥的高h==2，∴棱锥的体积V==4．故选A．7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．【考点】圆的一般方程．【分析】设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），可得，解得：b=2，r=5，所以|MN|=2=2，故选：D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：∵△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，∴点M的坐标为（a+，2a•），即（，），又∵点M在双曲线E上，∴将M坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，b2=2a2，而c2=a2+b2=3a2，∴e2==，因此e=，故选：C．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．【解答】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，1）递减，而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R是奇函数，∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，如图示：，x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，综上：x∈（﹣2，2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出．【解答】解：∵向量，是相互垂直的单位向量，∴=0，．∵λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ﹣2=0．解得λ=2．故答案为2．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC及内部），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，代值计算可得z的最大值为2，故答案为：2．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①，再令x=﹣1，可得（m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②，由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0，故答案为：0．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=（n≥2），∴2=2S n a n﹣a n，∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，∴2=﹣，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，∴S2016==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…即，故．…（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…由余弦定理得．所以．…18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D为AA1的中点，∴DC=DC1．又，可得，∴DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD=D，∴DC1⊥平面BCD．∵BC⊂平面BCD，∴DC1⊥BC．…（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，∴CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知，，．则，，．设是平面BDC1的法向量，则，即，可取．设点P到平面BDC1的距离为d，则．…12分19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；（II）（i）使用乘法原理计算；（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程．【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种．故所求的概率．（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，所以x2+4y2=4，即…..（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．设C（x1，y1），D（x2，y2），则．…△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．…．①，…②．…又由，得，将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足）．所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣+，∴…（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…，，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0）则，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，所以ϕ（x）存在唯一零点x0，且满足x0∈（2，3），x0=1+ln（x0+1）．…由x＞x0时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：h（x）的最小值为．所以正整数k的最大值为3．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．【解答】解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，…又∵PC=ED=1，∴CE=2，∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴，…∴AC2=PC•AB=2，∴…证明：（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…∴，∴EF=BE．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的X围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
山东省烟台市2015-2016学年高一上期末数学试题(有答案)AwwMqK
2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N 分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N 分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
高中高一数学上学期第三次月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市航天高中高一（上）第三次月考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．设集合A={x|x﹣1＞0}，B={x|2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}2．若，且α是第二象限角，则cosα的值等于（）A． B． C．D．3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4．下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|5．幂函数y=x m（m∈Z）的图象如图所示，则m的值可以为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．26．函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（）A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定7．根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（）A．cos0＜cos＜cos1＜cos30°B．cos0＜cos＜cos30°＜cos1C．cos0＞cos＞cos1＞cos30°D．cos0＞cos＞cos30°＞cos19．若lgx﹣lgy=a，则=（）A．3a B．C．a D．10．若sinα，cosα是关于x的方程4x2+2x+3m=0的两根，则m的值为（）A．B． C．D．11．设函数f（x）=，若方程f（x）=m有三个不同的实数解，则m的取值X围是（）A．m＞0或m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜012．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是．15．函数，则=．16．当x＞0时，不等式（a2﹣3）x＞（2a）x恒成立，则实数a的取值X围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18．设，（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值．19．已知x∈[﹣，]，（1）求函数y=cosx的值域；（2）求函数y=﹣3（1﹣cos2x）﹣4cosx+4的值域．20．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3；当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数的单调区间．21．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，某某数q的取值X围；（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．22．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＜3成立，某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省某某市航天高中高一（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．设集合A={x|x﹣1＞0}，B={x|2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A={x|x＞1}，由B中不等式变形得：2x＞0，得到B=R，∴A∩B={x|x＞1}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若，且α是第二象限角，则cosα的值等于（）A． B． C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由sinα的值，以及α的X围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可．【解答】解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣．故选C【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x﹣），只是横坐标由x变为x﹣，∴要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．4．下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数单调性，周期性和奇偶性分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．函数y=tanx为奇函数，不满足条件．B．函数y=|sinx|满足既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数．C．y=cosx的周期为2π，不满足条件．D．y=|cosx|在（0，）上是减函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性，奇偶性和单调性．5．幂函数y=x m（m∈Z）的图象如图所示，则m的值可以为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【考点】幂函数的性质．【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，即可判断答案．【解答】解：根据幂函数的图象可知函数在第一象限内单调递减，且为偶函数．则m＜0且为偶数，故选：C．【点评】本题主要考查幂函数的图象和性质，要求熟练掌握幂函数的性质的应用．6．函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（）A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】利用对称轴的公式求出对称轴，根据二次函数的单调区间得到，得到选项．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+3的对称轴为∵函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数∴∴b=2a＜0故选B【点评】解决与二次函数有关的单调性问题，一般要考虑二次函数的开口方向、对称轴．7．根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令f（x）=e x﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．【解答】解：由上表可知，令f（x）=e x﹣x﹣2，则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．故f（1）f（2）＜0，故选：C．【点评】考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（）A．cos0＜cos＜cos1＜cos30°B．cos0＜cos＜cos30°＜cos1C．cos0＞cos＞cos1＞cos30°D．cos0＞cos＞cos30°＞cos1【考点】余弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将1和化为角度，再根据余弦函数的单调性，判断出四个余弦值的大小关系．【解答】解：∵1≈57.30°，∴≈28.56°，则0＜＜30°＜1，∵y=cosx在（0°，180°）上是减函数，∴cos0＞cos＞cos30°＞cos1，故选D．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，以及弧度与角度之间的转化，属于基础题．9．若lgx﹣lgy=a，则=（）A．3a B．C．a D．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】直接利用对数的性质化简表达式，然后把lgx﹣lgy2a代入即可．【解答】解： =3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）=3（lgx﹣lgy）=3a故选A．【点评】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．10．若sinα，cosα是关于x的方程4x2+2x+3m=0的两根，则m的值为（）A．B． C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用韦达定理求得sinα+cosα=﹣，sinα•cosα=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα•cosα=﹣，从而求得 m的值．【解答】解：∵sinα，cosα是关于x的方程4x2+2x+3m=0的两根，∴sinα+cosα=﹣，sinα•cosα=，再根据1+2sinαcosα=，∴sinα•cosα=﹣，∴m=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查韦达定理、同角三角函数的基本关系，属于基础题．11．设函数f（x）=，若方程f（x）=m有三个不同的实数解，则m的取值X围是（）A．m＞0或m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜0【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，数形结合可得m的取值X 围．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，如图所示：当﹣1＜m＜0时，函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，故选C．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．12．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选D．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是（π﹣2）rad ．【考点】弧长公式．【专题】计算题．【分析】由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．【解答】解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l由题意得2r+l=πr∴l=（π﹣2）r∴θ==π﹣2故答案为：（π﹣2）rad．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，且能利用公式建立方程进行运算，本题考查对公式的准确记忆能力15．函数，则= ﹣．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式先求出f（x）=，再把cos=代入，能求出结果．【解答】解：∵===，∵cos=，∴==．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意诱导公式的合理运用．16．当x＞0时，不等式（a2﹣3）x＞（2a）x恒成立，则实数a的取值X围是a＞3 ．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意结合幂函数的单调性列关于a的不等式组得答案．【解答】解：∵x＞0时，不等式（a2﹣3）x＞（2a）x恒成立，∴，解得：a＞3．故答案为：a＞3．【点评】本题考查函数恒成立问题，应用了幂函数的单调性，同时注意指数式的底数大于0且不等于1，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．已知（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】综合题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）直接弦化切，即可求tanα的值；（2）法一：求出sinα，cosα，分类讨论求的值．法二：原式分子分母同除以cos2α，弦化切，即可求的值．【解答】解：（1）∵，∴tanα=﹣tanα+1（2）法一：由（1）知：，∴或当，时，原式=当，时，原式=综上：原式=法二：原式分子分母同除以cos2α得：原式==【点评】本题考查同角三角函数关系，考查学生的转化能力，属于中档题．18．设，（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；作图题．【分析】由分段函数，按照基本函数作图，第一段一次函数，第二次二次函数，第三次为一次函数，要注意每段的定义域．【解答】解：（1）如图（2）由函数的图象可得：f（t）=3即t2=3且﹣1＜t＜2．∴t=【点评】本题主要考查分段函数的作图和用数形结合解决问题的能力，分段函数知识点容量大且灵活，是高考的热点，在解决中要注意部分与整体的关系．19．已知x∈[﹣，]，（1）求函数y=cosx的值域；（2）求函数y=﹣3（1﹣cos2x）﹣4cosx+4的值域．【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数y=cosx的值域．（2）把函数y的解析式化为y=3（cosx﹣）2﹣，结合cosx∈[﹣，1]，利用二次函数的性质求得y的值域．【解答】解：（1）∵y=cosx在[﹣，0]上为增函数，在[0，]上为减函数，∴当x=0时，y取最大值1；x=时，y取最小值﹣，∴y=cosx的值域为[﹣，1]．（2）原函数化为：y=3cos2x﹣4cosx+1，即y=3（cosx﹣）2﹣，由（1）知，cosx∈[﹣，1]，故y的值域为[﹣，]．【点评】本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．20．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3；当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数的单调区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由题意得到A和周期，代入周期公式求ω，在由点（π，3）在此函数图象上结合φ的X围求得φ，则函数解析式可求；（2）直接由复合函数的单调性求函数的单调区间．【解答】解：（1）由题意可知：A=3，，∴T=10π，则，∴y=3sin（φ），∵点（π，3）在此函数图象上，∴，．φ=．∵|φ|＜，∴φ=．∴y=3sin（）；（2）当，即﹣4π+10kπ≤x≤π+10kπ，k∈Z时，函数y=3sin（）单调递增，∴函数的单调增区间为[﹣4π+10kπ，π+10kπ]（k∈Z）；当，即π+10kπ≤x≤6π+10kπ，k∈Z时，函数单调递减，∴函数的单调减区间为[π+10kπ，6π+10kπ]（k∈Z）．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数图象的求法，考查了复合函数的单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，是中档题．21．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，某某数q的取值X围；（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质．【专题】存在型；分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则，即，解得实数q的取值X围；（2）假定存在满足条件的q值，结合二次函数的图象和性质，对q进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）若二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的图象是开口朝上，且以直线x=8为对称轴的抛物线，故函数在区间[﹣1，1]上为减函数，若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则，即，解得：q∈[﹣20，12]；（2）若存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51，当0＜q≤8时，f（8）=q﹣61=﹣51，解得：q=10（舍去），当8＜q＜10时，f（q）=q2﹣15q+3=﹣51，解得：q=9，或q=6（舍去），综上所述，存在q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．22．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＜3成立，某某数a的取值X围．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）法一、把a=1代入函数解析式，由指数函数的单调性求得f（x）在（﹣∞，0）上的值域；法二、令换元，由x的X围求出t的X围，转化为二次函数求值域；（2）由f（x）＜3，即，分离参数a，然后利用换元法求函数的最小值得答案．【解答】解：（1）法一、当a=1时，，由指数函数单调性知f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，∴f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（﹣∞，1）的值域为（3，+∞）；法二、令，由x∈（﹣∞，0）知：t∈（1，+∞），∴y=g（t）=t2+t+1（t＞1），其对称轴为直线，∴函数g（t）在区间（1，+∞）上为增函数，∴g（t）＞g（1）=3，∴函数f（x）在（﹣∞，1）的值域为（3，+∞）；（2）由题意知，f（x）＜3，即，由于，在[0，+∞）上恒成立．若令2x=t，，则：t≥1且a≤h min（t）．由函数h（t）在[1，+∞）上为增函数，故φmin（t）=φ（1）=1．∴实数a的取值X围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了指数函数的单调性，训练了分离变量法，是中档题．。
山东省烟台市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 ( word版含答案)
2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜02．函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．3．设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．4．若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或45．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10D．11+6．直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2 7．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C 的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．14．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．15．已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．16．定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．18．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD ⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．20．如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．21．某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22．已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜0【考点】直线的一般式方程．【分析】根据题意，分析可得直线的斜率k为正，在y轴上的截距为正，即有﹣＞0，＜0，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象，则直线的斜率k 为正，在y轴上的截距为正，如图：则必有﹣＞0，＜0，分析可得：m＞0，n＜0，故应选：C．2．函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．3．设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，两条直线同垂直一平面，此两直线平行；B，由三垂线定理判定；C，由线面平行的判定定理判定；D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交；【解答】解：对于A，两条直线同垂直于一平面，此两直线平行，故正确；对于B，若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥n，由三垂线定理知正确；对于C，若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α，由线面平行的判定知正确；对于D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交，故错；故选：D4．若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0互相垂直，∴（k﹣3）×（k+1）+（k+4）×2（k﹣3）=0，即k2﹣9=0，解得k=3或k=﹣3，故选：A．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10D．11+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，求出几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图知：原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为S==12+．故选A．6．直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2【考点】直线的斜截式方程．【分析】根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，由直线的一般式方程分析可得：直线=0的斜率k=，倾斜角为60°，结合题意可得直线l的倾斜角为120°，进而可得其斜率，又由其在y轴上的截距是﹣1，可得直线l的方程，结合直线的方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，另一直线的方程为=0，变形可得y=（x﹣3），其斜率k=，则其倾斜角为60°，而直线l的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120°，且斜率k=tan120°=﹣，又由l在y轴上的截距是﹣1，则其方程为y=﹣x﹣1；又由其一般式方程为mx+y﹣1=0，分析可得：m=﹣，n=﹣2；故选：A．7．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．【解答】解：∵母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，120°=，∴侧面展开图的弧长为：1×=，弧长=底面周长=2πr，∴r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥体积V=×π×r2×h=π．故选：A．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由题意画出图形，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，则B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，可得B1G⊥BN，即异面直线C1M 与BN所成角为90°．【解答】解：如图，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，∴B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由题意可得Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，∴B1G⊥BN，即异面直线C1M与BN所成角为90°．故选：C．9．已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二次函数的性质；点到直线的距离公式．【分析】考虑a2+b2的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线3x+4y﹣20=0的距离即可．【解答】解：∵点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的几何意义是点M（a，b）到原点的距离，而原点到直线的距离d==4，则的最小值为：4．故选：B．10．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．过B点作BO⊥底面ACD，则点O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：∵边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，∴由题意可得：三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．如图所示：过B点作BO⊥底面ACD，垂足为O，则点O是底面的中心，AO==．在Rt△ABO中，由勾股定理得BO===．∴三棱锥D﹣ABC的体积V===．故选：D．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C 的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D 点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选C12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，该多面体的体积V ABCDEF=V BCF﹣GHE +V E﹣AGHD，由此能求出结果．法二：连接BE、CE，求出四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD=6，由整个几何体大于四棱锥E﹣ABCD的体积，能求出结果．【解答】解法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，∵在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，∴该多面体的体积：V ABCDEF=V BCF﹣GHE +V E﹣AGHD=S△BCF×EF+=+=．故选：D．解法二：如下图所示，连接BE、CE则四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD=×3×3×2=6，又∵整个几何体大于四棱锥E﹣ABCD的体积，∴所求几何体的体积V ABCDEF＞V E﹣ABCD，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】求出m，转化为直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离．【解答】解：由题意，m=8，直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离是=，故答案为：．14．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】画出分段函数的图象，由题意可得f（x）=k有两个不等的实根，数形结合得答案．【解答】解：由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．15．已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n 的值，得到答案．【解答】解：根据题意，得到折痕为A（0，2），B（4，0）的对称轴；也是C （6，3），D（m，n）的对称轴，AB的斜率为k AB=﹣，其中点为（2，1），所以图纸的折痕所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣2）所以k CD==﹣，①CD的中点为（，），所以﹣1=2（﹣2）②由①②解得m=，n=，所以m+n=．故答案为：．16．定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据有向距离的定义，及点P（x0，y0）与Ax1+By1+C的符号，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．【解答】解：对于①，若d1﹣d2=0，则若d1=d2，∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴①错误．对于②，由①知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴②错误．对于③，若d1•d2＞0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，∴点P1，P2分别位于直线l的同侧，∴直线P1P2与直线l相交或平行，∴③正确；对于④，若d1•d2＜0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，∴直线P1P2与直线l相交，∴④正确．故答案为：③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积和圆柱的体积，由，能求出剩余部分几何体的体积V．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，∴△ABC是直角边长为3cm，4cm的直角三角形，∴．…设圆柱底面圆的半径为r，则，…．…所以．…18．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线l1，把B的坐标代入直线l2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程．【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分．设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD ⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明AC⊥平面PCD，即可证明AC⊥PD；（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．利用已知条件，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．【解答】证明：（1）连接AC，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，…∵PD⊂平面PCD，所以AC⊥PD．…（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．…证明如下：分别取AP，PD的中点E，F，连接BE，EF，CF．则EF为△PAD的中位线，所以EF∥AD，且，又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC=EF，所以四边形BCFE是平行四边形，所以BE∥CF，…又因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD所以BE∥平面PCD．…20．如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）由，得顶点A．利用直线AB的斜率计算公式可得k AB，x轴是∠BAC的平分线，可得直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程．直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，可得直线BC 方程为．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，利用点到直线的距离公式可得：A到直线BC的距离d，即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）由，得顶点A（﹣2，0）．…又直线AB的斜率，x轴是∠BAC的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程为y=﹣x﹣2①直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，直线BC方程为y﹣3=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+6．②…联立方程①②，得顶点C的坐标为（4，﹣6）．…（2），…又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，所以A到直线BC的距离，…所以△ABC的面积=．…21．某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过，化简，求出x=4．得到一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．（2）设t=log25（x+1），设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，得到，利用分段函数，函数的单调性最值求解即可．【解答】解：（1）因为，则．…当f（x）=2时，，得，即x=4．所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．…（2）设t=log25（x+1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1．设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，则，…显然g（t）在[0，a]上是减函数，在[a，1]上是增函数，则f（x）max=max{g（0），g（1）}，…因为g（0）=3a+1，g（1）=a+2，则有，解得，…又a∈（0，1），故调节参数a应控制在内．…22．已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．【考点】直线与平面垂直的判定；球内接多面体；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（I）连接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，可得PE=EF=BC=AC，可得PA⊥PC①，由已知易证AB⊥面PCF，从而可得AB ⊥PC，利用线面垂直的判定定理可证（II）：（法一定义法）由AB⊥PF，AB⊥CF可得，∠PFC为所求的二面角，由（I）可得△PEF为直角三角形，Rt△PEF中，求解即可（法二：三垂线法）作出P在平面ABC内的射影为O，即作PO⊥平面ABC，由已知可得O为等边三角形ABC的中心，由PF⊥AB，结合三垂线定理可得AB⊥OF，∠PFO为所求的二面角，在Rt△PFO中求解∠PFO（III）由题意可求PABC的外接球的半径R=，（法一）PC⊥平面PAB，PA⊥PB，可得PA⊥PB⊥PC，所以P﹣ABC的外接求即以PAPBPC为棱的正方体的外接球，从而有，代入可得PA，从而可求（法二）延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．即PD=2，在直角三角形PFO中由tan⇒PO=，而OA=，利用OA2=OP•OD，代入可求【解答】解（Ⅰ）证明：连接CF．∵PE=EF=BC=AC∴AP⊥PC．∵CF⊥AB，PF⊥AB，∴AB⊥平面PCF．∵PC⊂平面PCF，∴PC⊥AB，∴PC⊥平面PAB．（Ⅱ）解法一：∵AB⊥PF，AB⊥CF，∴∠PFC为所求二面角的平面角．设AB=a，则AB=a，则PF=EF=，CF=a．∴cos∠PFC==．解法二：设P在平面ABC内的射影为O．∵△PAF≌△PAE，∴△PAB≌△PAC．得PA=PB=PC．于是O是△ABC的中心．∴∠PFO为所求二面角的平面角．设AB=a，则PF=，OF=•a．∴cos∠PFO==．（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R．∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，∴x=2R．∵4πR2=12π，∴R=．得x=2．∴△ABC的边长为2．解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．连接OA、AD，可知△PAD 为直角三角形．设AB=x，球半径为R．∵4πR2=12π，∴PD=2．∵PO=OFtan∠PFO=x，OA=•x，∴=x（2﹣x）．于是x=2．∴△ABC的边长为2．2017年2月28日。
2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．如果集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，则实数m 的值为（ ）A ．0 错误！未找到引用源。
B ．1 错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
2D ．0或2 【答案】D【解析】试题分析：集合A 只有一个元素，即方程2420mx x -+=只有一个根．0m =时， 方程变形为420x -+=，必有一个根；0m ≠时，要使方程2420mx x -+=只有一个根，则16420m ∆=-⨯⨯=，解得2m =．综上可得0m =或2m =．故D 正确． 【考点】1集合的元素；2方程的根．【易错点睛】本题重点考查方程根的个数问题，属容易题．但在做题时极容易将方程2420mx x -+=误看做一元二次方程，只注意到使其判别式等于0时此方程只有一个根，而忽视二次项系数m 是否为0．当0m =时此方程为一次方程，一次方程必有一个根．注意当二次项系数含参数时一定要讨论其是否为0，否则极易出错．2．已知全集{}4,3,2,1,0,1-=M ，且{}4321，，，=B A ，{}32，=A ，则=)(A C B U （ ）A ．{}41， B ．{}1 C ．{}4 D ．φ 【答案】A【解析】试题分析：由题意分析可得1，4必在集合B 内，2，3可能在集合B 内．由已知可得{}1,0,1,4U C A =-，所以(){}1,4U B C A = ．故A 正确． 【考点】集合的运算．3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为（ ）A ．31B ．21C ．32D ．43【答案】C【解析】试题分析：甲乙同学各自在一个小组时共有6种可能，甲乙同学在同一组时共有3种可能，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为62633P ==+．故C 正确．试卷第2页，总14页【考点】古典概型概率．4．已知函数1)2)(2+++=mx x m x f （为偶函数，则)(x f 在区间()∞+，1上是（ ）A ．先增后减B ．先减后增C ．减函数D ．增函数 【答案】D【解析】试题分析：因为函数()f x 为偶函数，所以()200022m m m m +≠⎧⎪⇒=⎨-=⎪+⎩．所以()221f x x =+．所以函数()221f x x =+的图像是开口向上以y 轴为对称轴的抛物线，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增．故D 正确．【考点】1偶函数的性质；2二次函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查偶函数的性质和二次函数单调性问题，难度一般．偶函数的图像关于y 轴轴对称，在本题中由此可求得m 的值．二次函数的单调性由开口方向和对称轴同时决定．5．若以下程序框图的输出结果为120，则判断框中应填写的判断条件为（ ）A ．?5<iB ．?5>iC ．?6>iD ．?5≥i 【答案】B【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次可得: 122,213T i =⨯==+=；236,314T i =⨯==+=；6424,415T i =⨯==+=；246120,516T i =⨯==+=，此时应跳出循环输出120T =．所以判断框中应填入5?i >．故B 正确． 【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件输出“120T =”，否则很容易出现错误．在给出程序框图有输出结果而需要填判断框时只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件，此时即可得出判断框中所填内容．6．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=4)),2((4,1)(x x f f x x x f ，则=)3(f （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】试题分析：()()()()()35514413f f f f f ==-==-=．故C 正确． 【考点】分段函数求值．7．若a 是从区间[]2,0中任取的一个实数， b 是从区间[]3,0中任取的一个实数，则概率是（ ）A ．32B ．65C ．31D ．61【答案】A【解析】试题分析：试验的全部结果构成的区域（如图）为边长分别为2和3的矩形，面积为236⨯=．其中满足a b <的结果构成的区域为图中阴影部分，其面积为162242-⨯⨯=．则所求概率为4263P ==．故A 正确． 【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．几何概型的概率为长度比或面积比或体积比．所以应先根据已知条件作出满足初始条件的点所构成的可行域，再在其中标注出其中满足b a <的点构成的可行域．分别计算出其面积．即可求得所求概率．8．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，21S ，22S 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）试卷第4页，总14页A ．1x >2x ，21S ＜22S B ．1x ＝2x ，21S >22S C ．1x ＝2x ，21S ＝22S D ．1x ＝2x ，21S <22S【答案】B【解析】试题分析：181315151722156x +++++==；291415151621156x +++++==；()()()()()()222222211538151315151515151715221563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，()()()()()()222222221379151415151515151615211563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦．故B 正确．【考点】平均数，方差．9．函数54ln )(2++-=x x x x f 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】试题分析：函数()2ln 45f x x x x =-++的零点个数等价于函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像的交点个数问题．由数形结合可知函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像有2个交点．所以函数()f x 有2个零点．故C 正确．【考点】1函数零点；2转化思想．10．向顶角为0120的等腰三角形ABC （其中BC AC =）内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为（ ） A ．33π B ．93πC ．21D ．3π【答案】B【解析】试题分析：令1AC BC ==，则111sin1202ABC S ∆=⨯⨯⨯= ．满足AC AM <的点M 所在区域的面积为230136012ππ⨯⨯=．所以所求概率为9Pπ==．【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．因为几何概率的值为比值所以边长的取值对结果没有影响，为计算方便不妨令等腰三角形两腰长为1，从而可得此三角形的面积．AM小于AC时点M所在区域为以A为圆心以AC为半径的圆且在三角形内部的扇形部分，可得此扇形面积．扇形面积与三角形面积的比值即为所求．11．如果奇函数)0)((≠=xxfy在()0,∞-∈x时，1)(+=xxf，那么使0)2(<-xf成立的x的取值范围是（）A．()()∞+∞-31,B．()1,-∞-()1,0C．()()3,00,∞-D．()1,∞-()32，【答案】D【解析】试题分析：因为()y f x=为奇函数，所以()()f x f x-=-，即()()f x f x=--．x>时0x-<，()()()11f x f x x x=--=--+=-．()()()1,01,0x xf xx x+<⎧⎪∴=⎨->⎪⎩．()2020210xf xx-<⎧∴-<⇔⎨-+<⎩或20210xx->⎧⎨--<⎩1x⇒<或23x<<．故D正确．【考点】1奇函数；2不等式．12．若函数)2(log)(2xxxfa-=）且1,0(≠>aa在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>xf，则函数)(xf的单调递增区间是（）A．()0，∞- B．⎪⎭⎫⎝⎛∞-41， C．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21D．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，41【答案】A【解析】试题分析：2200x x x->⇒<或12x>．函数()f x的定义域为试卷第6页，总14页()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．要使区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>x f ，只需()min 0f x >当1a >时，此时存在33log log 1048a a f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭．故舍．当01a <<时，又函数22y x x =-在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 此时()()1log 10a f x f >==恒成立，符合题意． 综上可得01a <<．因为函数22y x x =-在(),0-∞上单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又01a <<所以函数)(x f 的单调递增区间(),0-∞．故A 正确． 【考点】对数函数单调性；二次函数单调性；复合函数单调性．二、填空题13．若六进制数)6(510k （k 为正整数）化为十进制数为239，则=k ． 【答案】3 【解析】试题分析：()321061051606656216652216239k k k k =⨯+⨯+⨯+⨯=++=+=， 解得3k =．【考点】进位制．14．幂函数1222)33)(+-+-=m mx m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【答案】2【解析】试题分析：由题意可知2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =．当1m =时，()0f x x =，在区间()0,+∞上为常数1，不具有单调性，故舍； 当2m =时，()f x x =，在区间()0,+∞上单调递增，符合题意． 综上可得2m =．【考点】1幂函数的概念；2函数的单调性．【思路点睛】本题主要考查幂函数的概念和函数的单调性，难度一般．根据幂函数的定义: a y x =叫做幂函数，可知2331m m -+=，从而可得m 的值．将其分别代入()f x 验证是否满足()f x 在区间()0,+∞上单调递增．15．函数)(x g 是函数)2(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的反函数，则函数)(x g 的图象过定点 ． 【答案】()3,0【解析】试题分析：()3log 10a f == ，∴函数()()log 2a f x x =-的图像过定点()3,0．所以函数()g x 的图像过定点()0,3．【考点】互为反函数的性质．【思路点睛】本题重点考查对数函数过定点和互为反函数的性质问题，属容易题．根据对数公式log 10a =可求得()f x 所过的定点．因为互为反函数的两个函数图像关于y 轴对称，所以函数()f x 图像过的定点()00,x y 关于y 轴的对称点()00,y x 即为函数()g x 的图像过的定点．16．0x 是x 的方程x a a x log =)10(≠>a a ，且的解，则0,1,x a 这三个数的大小关系是 ． 【答案】10<<x a【解析】试题分析：当1a >时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像无交点，所以此时方程log x a a x =无解，不合题意故舍； 当01a <<时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像只有一个交点，即此时方程log x a a x =只有一个解0x ．由数形结合分析可知00001,0log 1x x a x a <<<=<，又01a <<，0000log 1log 1log log 1x a a a a x a x a ∴<<⇔<<⇒>>． 综上可得10<<x a ．【考点】1指数函数，对数函数图像；2对数不等式；3数形结合思想．三、解答题17．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时试卷第8页，总14页生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（1）如果y 对x 有线性相关关系，求回归方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？参考公式：x b y aˆˆ-=，∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ∑∑==--=ni ini ii x n xyx n yx 1221【答案】（1）52107ˆ-=x y；（2）机器的运转速度应控制在7614转/秒内． 【解析】试题分析：（1）根据已给公式求,x y ，再求ˆb，ˆa 从而可求得回归方程．（2）根据题意解不等式ˆ10y≤即可求得所求． 试题解析：解：（1）设所求回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则由上表可得 12=x ，8=y ，107ˆ=b， 52107128ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ∴回归方程为52107ˆ-=x y ．（2）由y ≤10得1052107ˆ≤-=x y，解得7614≤x ， 所以机器的运转速度应控制在7614转/秒内．【考点】线性回归方程．18．（1）计算20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π（2）计算3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-【答案】（1）0；（2）3． 【解析】试题分析：（1）根据指数的性质及运算法则即可求得其值； （2）根据对数的性质及运算法则即可求得其值．试题解析：解：（1）20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π232)34(2)2764(21681÷-⨯-=- 22)43(2)43(249⨯-⨯-=0=（2）3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-3log 2log 23664log 3++-=6log 246+-=12+=3=【考点】1指数的性质及运算法则；2对数的性质及运算法则．19．已知集合A 是函数][))(2(log )(a x a x x g a ---=)1,0(≠>a a 且的定义域，集合B 和集合C 分别是函数x x f 39)(-=的定义域和值域。
山东省临沂第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试(第四次诊断)数学试题含答案
临沂一中2015级高一上学期第四次教学诊断测试题数学第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{1,2,3,4},U =集合{1,3},{4}S T ==，则()u C S T 等于（ ）(A){2,4} (B){4} (C)∅ (D){1,3,4}2.已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（ ）1(B)2(D)1+3.函数1()lg(6)f x x =-的定义域是（ ） (A){|6}x x > (B){|36}x x -≤< (C) {|3}x x >- (D){|36x x -≤<且5}x ≠4.直线70x ax +-=与直线(1)2140a x y ++-=互相平行，则a 的值是（ ）(A)1 (B)-2 (C)1或-2 (D)-1或25.已知函数23,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2f f 的值是（ ） (A)-3 (B)3 (C)13 (D) 13- 6.下列函数是偶函数且在(0,)+∞上是增函数的是（ ） (A)23y x = (B)1()2xy = (C)ln y x = (D)21y x =-+ 7.正三棱锥的一个侧面面积与地面面积之比为2:3，则此三棱锥的高与斜高之比是（ ）(C)12８．下列命题正确的是（ ）①平行于同一平面的两直线平行②垂直于同一平面的两直线平行③平行于同一直线的两平面平行④垂直于同一直线的两平面的平行(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④9.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为(A)(4π+(B)6(2π+(C)2)π(D)8+10.函数的零点所在的区间为（ ）(A)(1,0)- (B) (1,2) (C)(0,1) (D)(2,3)11.对于每个实数x ，设()f x 取41,2,24y x y x y x =+=+=-+三个函数中的最小值，则()f x 的最大值 为（ ） (A)43 (B)53 (C)73 (D)8312.已知函数2()4,()f x x g x =-是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时2()log g x x =，则函数()()y f x g x =⋅的大致图像为（ ）第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过点P (3,1)-，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是____.14.已知，lg 2,lg3a b ==则2log 12______________.=（用a ，b 表示）.15.已知球的某截面的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为____.16.已知函数(),()22x xx xe e e ef xg x ---+==，（其中e=2.71718...），有下列命题：①()f x 是奇函数，()g x 是偶函数；②对任意,x R ∈都有(2)()();f x f x g x =③()f x 在R 上单调递增，()g x 在(,0)-∞上单调递减；④()f x 无最值，()g x 有最小值；⑤()f x 有零点，()g x 无零点.其中正确的命题是_______.（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）设全集U R =，集合(,3][6,)A =-∞+∞ ，2{|log (2)4}B x x =+<．(1)求如图阴影部分的集合；(2)已知{|21}C x a x a =<<+，若B C B = ，求实数a 的取值范围．１８．（本小题满分1２分）已知ABC 的顶点(1,3)B --，ＡＢ边上的高ＣＥ所在直线的方程为310x y --=，ＢＣ边上中线ＡＤ所在直线的方程为8930x y +-=。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
山东省烟台市2015届高三上学期期末统考数学(理)试题word版含答案
2014—2015年度第一学期高三期末检测数学（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}|11M x x =-<，集合{}2|23N x x x =-<，则R MC N =( )A ．{}|02x x <<B ．{}|12x x -<<C ．{}|123x x x x -<<≤<或 D ．φ 2、若函数()35(2)5x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()2f 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3、将函数sin(2)3y x π=-的图象向右平移12π个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到解析式为（ ） A ．5sin()12y x π=-B ．cos y x =C ．cos y x =-D ．sin y x =- 4、如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是（ ）A ．等腰三角形B ．对边三角形C ．直角三角形D ．无两边相等的三角形5、已知ABC ∆的重心为G ，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若2330aGA bGB cGC ++=，则sin :sin :sin A B C =（ ）A ．1:1:1B 2C ．2:1D ．3:26、某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学没道题都随机地从中选出一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是（ ）A ．4310-⨯ B ．5310-⨯ C ．6310-⨯ D ．7310-⨯7、在7(1)ax +的展开式中，3x 项的系数是2x 项系数和5x 项系数的等比中项，则实数a 的值为（ ）A ．259 B ．45 C ．253D ．538、已知函数()()2,log x a f x ag x x -==（其中0a >且1a ≠），若()()440f g -<，则()(),f x g x 在同一坐标系内的大致图象是（ ）9、已知双曲线22221x y a b-=的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线22y px =的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线所得的线段长为4，则抛物线方程为（ ） A ．24y x = B．2y = C．2y = D ．28y x = 10、定义在R上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当(]0,2x ∈时，()(](]220,1l o g1,2x x x f x x x ⎧-⎪=⎨-⎪⎩，若(]4,2x ∈--时，()142t f x t ≤-有解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)()2,00,1- B ．[)()2,01,-+∞ C ．[]2,1-- D ．(](],20,1-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
山东省菏泽市高一数学上学期期中试卷(a卷)(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高一（上）期中数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1≤x＜3}2．函数f（x）=+1的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称3．已知f（x﹣1）=x2+1，则f（x）的表达式为（）A．f（x）=x2+1 B．f（x）=（x+1）2+1 C．f（x）=（x﹣1）2+1 D．f（x）=x24．下列图象是函数y=的图象的是（）A．B．C．D．5．三个数a=0.36，b=60.7，c=log0.5的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b6．若偶函数f（x）在[1，2]上为增函数，且有最小值0，则它在[﹣2，﹣1]上（）A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值07．函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．08．函数，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f （x1）的值为（）A．恒为正B．等于零C．恒为负D．不小于零9．下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是（）A．y=0.001e x B．y=1000lnx C．y=x1000D．y=1000•2x10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y=[] B．y=[] C．y=[] D．y=[]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）11．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=．12．已知函数f（x）=x2﹣2kx+8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值X围是．13．现测得（x，y）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y=x2+1，乙：y=3x﹣1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用作为函数模型．14．已知函数f（x）=a x﹣2﹣2的图象恒过点P，且对数函数y=g（x）的图象过点P，则g（x）=．15．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有两个零点，则实数k的取值X围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（2013秋•某某县校级期末）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x﹣k≤0}，16．（12分）（1）若k=1，求A∩∁U B（2）若A∩B≠∅，求k的取值X围．17．（12分）（2015秋•某某期中）已知函数．（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．18．（12分）（2015秋•某某期中）不用计算器求下列各式的值．（1）设=3，求x+x﹣1的值；（2）若xlog34=1，求4x+4﹣x的值；（3）[（1﹣log63）2+log62•log618]÷log64（4）．19．（12分）（2011•封开县校级模拟）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？20．（13分）（2015秋•某某期中）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a ＞0，a≠1）．（1）求F（x）=f（x）+g（x）的定义域，（2）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求f（x）的最值，（3）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值X围．21．（14分）（2009春•通州区期末）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．（1）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调减函数（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值X围．2015-2016学年某某省某某市高一（上）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1≤x＜3}【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；集合．【分析】分别求解两函数的定义域得到M，N，取交集得答案．【解答】解：由3﹣x＞0，得x＜3，∴M=（﹣∞，﹣3）；由x+1≥0，得x≥﹣1，∴N=[﹣1，+∞）．∴M∩N=[﹣1，3）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2．函数f（x）=+1的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=+1，观察知该函数是一个偶函数，解答本题要先证明其是偶函数再由偶函数的性质得出其对称轴是y轴．【解答】解：函数的定义域是R．∵f（﹣x）=+1=+1=f（x）∴f（x）=+1是一个偶函数由偶函数的性质知函数f（x）=+1的图象关于y轴对称．故选：A．【点评】本题考点是奇偶函数图象的对称性，考查了偶函数的证明以及偶函数的性质，属于一道基本题．3．已知f（x﹣1）=x2+1，则f（x）的表达式为（）A．f（x）=x2+1 B．f（x）=（x+1）2+1 C．f（x）=（x﹣1）2+1 D．f（x）=x2【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】利用换元法进行求解即可．【解答】解：设x﹣1=t，则x=1+t，则函数f（x﹣1）=x2+1等价为f（t）=（t+1）2+1，即f（x）=（x+1）2+1，故选：B．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用换元法是解决本题的关键．4．下列图象是函数y=的图象的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】从单调性上分段判断函数图象，【解答】解：当x＜0时，y=x2，为二次函数，对称轴为x=0，故y=x2在（﹣∞，0）上是减函数，当x≥0时，y=x﹣1，为一次函数，且是增函数，f（0）=﹣1，故选：C．【点评】本题考查了分段函数的图象，基本初等函数的图象与性质，是基础题．5．三个数a=0.36，b=60.7，c=log0.5的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=0.36＜1，b=60.7＞1，c=log0.5＜0，∴b＞a＞c，故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若偶函数f（x）在[1，2]上为增函数，且有最小值0，则它在[﹣2，﹣1]上（）A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值0【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，可知f（x）在区间1，2]上的单调性，再由所给最小值为0，可求f（x）在[﹣2，﹣1]上的最值．【解答】解：因为f（x）在[1，2]上为增函数，且有最小值0，所以f（1）=0，又f（x）为偶函数，所以f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，f（x）≥f（﹣1）=f（1）=0．即f（x）在区间[﹣2，﹣1]上的最小值为0，综上，f（x）在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，且最小值为0．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属基础题．7．函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点．由所得的个数选出正确选项．【解答】解：当x≤0时，令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3；当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：B．【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题．8．函数，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f （x1）的值为（）A．恒为正B．等于零C．恒为负D．不小于零【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】易知函数在（0，+∞）上是增函数且连续，再由f（x0）=0且0＜x1＜x0判断即可．【解答】解：易知函数在（0，+∞）上是增函数且连续，∵实数x0是函数f（x）的零点，∴f（x0）=0，∵0＜x1＜x0，∴f（x1）＜f（x0）=0，故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与函数的连续性的判断，同时考查了函数的零点的应用．9．下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是（）A．y=0.001e x B．y=1000lnx C．y=x1000D．y=1000•2x【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快；在指数函数中，底数越大，增长速度越快．【解答】解：在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，底数越大，增长速度越快，故选：A．【点评】本题考查了对数函数，幂函数，指数函数的增大速度的差异．10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y=[] B．y=[] C．y=[] D．y=[]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题．【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．【解答】解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．【点评】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）11．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=．【考点】对数函数的值域与最值；交集及其运算．【专题】规律型；函数的性质及应用．【分析】先求出集合A，B，利用集合的基本运算求A∩B．【解答】解：∵A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，B={y|y=（）x，x＞1}={y|0}，∴A∩B={y|y＞0}∩{y|0}={y|0}，故答案为：【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的性质以及集合的基本运算，比较基础．12．已知函数f（x）=x2﹣2kx+8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值X围是（﹣∞，5]∪[20，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令对称轴不在区间[5，20]上即可．【解答】解：f（x）的对称轴为x=k，∵f（x）=x2﹣2kx+8在区间[5，20]上具有单调性，∴k≤5或k≥20．故答案为（﹣∞，5]∪[20，+∞）．【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，属于基础题．13．现测得（x，y）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y=x2+1，乙：y=3x﹣1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用甲作为函数模型．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数的性质及应用．【分析】将点的坐标代入验证，即可得到结论．【解答】解：甲：y=x2+1，（1，2），（2，5）代入验证满足，x=3时，y=10；乙：y=3x﹣1，（1，2），（2，5）代入验证满足，x=3时，y=8∵测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），∴选甲．故答案为：甲【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，属于基础题．14．已知函数f（x）=a x﹣2﹣2的图象恒过点P，且对数函数y=g（x）的图象过点P，则g（x）=log x．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令x﹣2=0求出P点坐标，使用待定系数法求出g（x）．【解答】解：令x﹣2=0得x=2，∴f（x）恒过点（2，﹣1）．设g（x）=log a x，则log a2=﹣1．解得a=．∴g（x）=log x．故答案为：．【点评】本题考查了指数函数的性质及待定系数法求函数的解析式．是基础题．15．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有两个零点，则实数k的取值X围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=与y=k的图象，从而可知当k∈（0，1）时，函数f（x）=与y=k的图象有两个交点；从而解得．【解答】解：作函数f（x）=与y=k的图象如下，，结合图象可知，当k∈（0，1）时，函数f（x）=与y=k的图象有两个交点，故答案为；（0，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（2013秋•某某县校级期末）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x﹣k≤0}，16．（12分）（1）若k=1，求A∩∁U B（2）若A∩B≠∅，求k的取值X围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】（1）把k=1代入B中求出解集确定出B，进而确定出B的补集，找出A与B补集的交集即可；（2）由A与B的交集不为空集，求出k的X围即可．【解答】解：（1）把k=1代入B得：B={x|x≤1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＞1}，∵A={x|﹣1≤x＜3}，∴A∩∁U B={x|1＜x＜3}；（2）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x﹣k≤0}={x|x≤k}，且A∩B≠∅，∴k≥﹣1．【点评】此题考查了交集及其运算，以及交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．（12分）（2015秋•某某期中）已知函数．（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．【考点】函数图象的作法；函数的值域；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）利用函数的解析式直接求出函数的图象；（2）通过函数的图象直接写出函数的单调区间以及函数的值域．【解答】解：（1）图象如下图所示；…（5分）（2）由图可知f（x）的单调递增区间[﹣1，0]，[2，5]， (8)值域为[﹣1，3]；…（12分）【点评】本题考查函数的图象的作法，函数的值域以及函数的单调区间，考查基本知识的应用．18．（12分）（2015秋•某某期中）不用计算器求下列各式的值．（1）设=3，求x+x﹣1的值；（2）若xlog34=1，求4x+4﹣x的值；（3）[（1﹣log63）2+log62•log618]÷log64（4）．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；方程思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）通过平方化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．（3）利用对数运算法则化简求解即可．（4）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）设=3，平方可得x+x﹣1+2=9，∴x+x﹣1=7，（2）xlog34=1，x=log43，4x+4﹣x=+==，（3）[（1﹣log63）2+log62•log618]÷log64====1．（4）=﹣1++e=．（每个结果3分）【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．19．（12分）（2011•封开县校级模拟）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【考点】函数模型的选择与应用；一元二次不等式的应用．【专题】应用题．【分析】（1）先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；（2）由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．【解答】解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈（100，300]n=kx+b（k＜0），∵0=300k+b，即b=﹣300k，∴n=k（x﹣300）（3分）y=（x﹣100）k（x﹣300）=k（x﹣200）2﹣10000k（x∈（100，300]）（6分）∵k＜0，∴x=200时，y max=﹣10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．（8分）（2）解：由题意得，k（x﹣100）（x﹣300）=﹣10000k•75%x2﹣400x+37500=0解得x=250或x=150所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数的性质及函数的最值，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．20．（13分）（2015秋•某某期中）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a ＞0，a≠1）．（1）求F（x）=f（x）+g（x）的定义域，（2）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求f（x）的最值，（3）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值X围．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用对数函数有意义的条件，求F（x）=f（x）+g（x）的定义域，（2）当a=2时，f（x）=log a（1+x）在[3，63]上为增函数，即可求f（x）的最值，（3）f（x）﹣g（x）＞0即f（x）＞g（x，分类讨论，即可求使f（x）﹣g（x）＞0的x 的取值X围．【解答】解：（1）要使F（x）有意义，须，∴﹣1＜x＜1，∴函数的定义域为（﹣1，1）…（3分）（2）当a=2时，f（x）=log a（1+x）在[3，63]上为增函数，因此当x=3时，f（x）有最小值为2，当x=63时，f（x）有最大值为6．…（7分）（3）f（x）﹣g（x）＞0即f（x）＞g（x），当a＞1时，log a（1+x）＞log a（1﹣x），满足，所以0＜x＜1，当0＜a＜1时，log a（1+x）＞log a（1﹣x），满足，所以﹣1＜x＜0，综上，a＞1时，解集为{x|0＜x＜1}，0＜a＜1时，解集为{x|﹣1＜x＜0}．…（13分）【点评】本题考查对数函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）（2009春•通州区期末）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．（1）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调减函数（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值X围．【考点】奇偶性与单调性的综合；对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）设x1＜x2≤0，则﹣x1＞﹣x2≥0，利用f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数的性质得出不等式，再由偶函数的性质即可得出f（x1）＞f（x2），再由定义即可得出单调性；（2）由于函数是一个偶函数，故可以分两类来解这个不等式，即lgx＜0与lgx＞0两类来讨论．【解答】解：（1）证明：设x1＜x2≤0，则﹣x1＞﹣x2≥0∵f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．∴f（﹣x1）＞f（﹣x2）又定义在实数集R上的偶函数f（x）∴f（﹣x1）=f（x1），f（﹣x2）=f（x2），f（x1）＞f（x2）∴函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调减函数（2）当0＜x≤1时，lgx＜0由f（1）＜f（lgx）得f（﹣1）＜f（lgx），函数f（x）在区间（﹣∞，0]上时单调减函数∴当x≥1时，lgx＞0由f（1）＜f（lgx），f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数∴lgx＞1，x＞10综上所述，x的取值X围是（0，）∪（10，+∞）．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，求解问题的关键是正确理解函数的性质并能用这些性质进行灵活变形转化证明问题．本题中的函数是抽象函数，故证明问题时要注意依据题设灵活转化．本题中的易错点是第二问求解时易丢掉一部分解，做题时要注意考虑完善．。