2016年高考文科圆锥曲线大题 (1)

在直角坐标系xOy 中，直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线

C ：()220y px p =>于点P M ，关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点

H .

（I ）求

OH ON

；

（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点说明理由.

2. （新课标Ⅱ文数）

已知A 是椭圆E ：22

143

x y +

=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.

（I ）当AM AN =时，求AMN ?的面积

(II)当2AM AN =2k <<.

已知抛物线2

2C y x =：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点.

（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；

（Ⅱ）若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

4. （2016年北京文数）

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=过点2,00,1A B （），（）

两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；

（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.

已知椭圆:C ()22

2210x y a b a b

+=>>的长轴长为4，焦距为22.

（I ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)过动点()(0)0M m m >，的直线交x 轴与点N ，交C 于点A P ， (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交

C 于点B .

(i)设直线PM QM 、的斜率分别为'k k 、，证明'

k k

为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.

双曲线2

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、

B 两点.

（1）若l 的倾斜角为

，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b = 若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.

7. （2016年四川文数）

已知椭圆E ： ()22

2210x y a b a b

+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的

三个顶点，点1)2

P ，在椭圆E 上。

(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设不过原点O 且斜率为

的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A B ，，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C D ，，证明： MA MB MC MD =

设椭圆132

22=+

y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知|

|3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；学.科.网

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点

M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.

9. （2016年浙江文数）

如图，设抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1.AF -

（I ）求p 的值；

（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N AN ，与x 轴交于点.M 求M 的横坐标的取值范围.

答案

1. （Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2

t p

t P . 又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2

t p t N ，ON 的方程为x t

p y =，代入

px y 22

=整理得022

=-x t px ，解得01=x ，p t x 222=，因此)2,2(

t p

t H . 所以N 为OH 的中点，即

|=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下：直线MH 的方程为x t

p t y 2=

-，即)(2t y p t

x -=.代入px y 22=得

04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H

以外直线MH 与C 没有其它公共点.

2. 【答案】（Ⅰ）144

；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ?的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .

试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4

，又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.

将2x y =-代入22

143x y +

=得27120y y -=，解得0y =或127y =

，所以1127

y =. 因此AMN ?的面积11212144

227749

AMN S ?=???=.

（2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22

143x y +

=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.

由2121612(2)34k x k -?-=+得212

2(34)34k x k -=+，故12||2|34AM x k =+=+.

由题设，直线AN 的方程为1

(2)y x k

=-+，故同理可得||AN =. 由2||||AM AN =得22

23443k

k k

=++，即3246380k k k -+-=. 设

32()4638

f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，

22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，

所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，

因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

3. 解：（Ⅰ）由题设)

0,21

(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且

22111(,),(,),(,),(,),(,)222222

a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,学科&网两点的直线为l ，则l 的方程为

0)(2=++-ab y b a x . .....3分

（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .

记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则

2111k b a

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

. 所以FQ AR ∥. ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,21

21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=

??. 由题设可得

21211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1

2≠-=+x x y

b a . 而

y b

a =+2

，学科&网所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12

-=x y . ....12分

4. 解：（I ）由题意得，2a =，1b =．

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=．

又c =

所以离心率2

c e a =

=．（II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则22

0044x y +=．

又()2,0A ，()0,1B ，所以，直线PA 的方程为()0

022

y y x x =

--．

令0x =，得0022y y x M =-

-，从而0

02112y y x M BM =-=+-．直线PB 的方程为00

1y y x x -=

+．令0y =，得001

x x y N =-

-，从而0

0221x x y N AN =-=+-．

所以四边形ABNM 的面积

S =

AN ?BM 00002121212x y y x ?

???=++ ???--????

()

22000000000044484

222x y x y x y x y x y ++--+=

--+ 000000002244

x y x y x y x y --+=

--+

2=．

从而四边形ABNM 的面积为定值．

5. 【答案】(Ⅰ) 22

142x y +=.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB

的斜率的最小值为 .

【解析】

试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b 即得. (Ⅱ)(i)设

()()

0000,0,0P x y x y >>，

由M(0,m)，可得

()()00,2,,2.

P x m Q x m -

得到直线PM 的斜率00

2m m m

k x x -=

= ，直线QM 的斜率

0023'm m m

k x x --=

=-.证得.

(ii)设

()()

1122,,,A x y B x y ，

直线PA 的方程为y=kx+m ，

直线QB 的方程为y=-3kx+m.

联立 22

142y kx m x y =+???+=?? ，

整理得

()2

22214240

x mkx m +++-=.

应用一元二次方程根与系数的关系得到

()

()()

()()2222212

22223221812118121m m k m x x k

x k x k k x -----=

++++，

()()()()()()()()2

622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，

得到

2212161116.44AB

y y k k k x x k k -+??===+ ?-??

应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，

由题意知24,2a c ==

所以

2,a b ===，所以椭圆C 的方程为22

142x y +=.

(Ⅱ)(i)设

()()

0000,0,0P x y x y >>，

由M(0,m)，可得

()()00,2,,2.

P x m Q x m -

所以直线PM 的斜率

002m m m

k x x -=

= ，

直线QM 的斜率

0023'm m m k x x --=

=-.

此时'

k k =-，所以'

k k 为定值-3.

(ii)设

()()

1122,,,A x y B x y ，

直线PA 的方程为y=kx+m ，直线QB 的方程为y=-3kx+m.

联立 22

142y kx m x y =+???+

=?? ，

整理得

()2

22214240

k x mkx m +++-=.

由20122421m x x k -=+可得()

()21202221m x k x -=+ ，

所以

()

()21120

2221k m y kx m m

k x -=+=

++，

同理

()

()()

()22222

2262,181181m k m x y m

x k x ---=

+++.

所以

()()()()()()()2

222

2222

000

22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----=-=

++++，

()()()()()()()()2222

2222

000

622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=

++++ ，

所以2212161116.44AB

y y k k k x x k k -+??===+ ?-??

由

00,0

m x >>，可知k>0，

所以

6k k +

≥

，等号当且仅当

6k =时取得.

，即7m =

，符号题意.

所以直线AB

的斜率的最小值为 .

6. 解：（1）设(),x y A A A ．

由题意，()2F ,0c

，c =，()

2241y b c b A =-=，

因为1F ?AB

是等边三角形，所以2c A =，即()

24413b b +=，解得22b =．

故双曲线的渐近线方程为y =．（2）由已知，()2F 2,0．

设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．

由()2

213

2y x y k x ?-

=???=-?

，得()222234430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()

23610k ?=+>．

由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()

12223613k x x k +-=-，故

()2122

6143

k x k +AB =

=-=

=-，

解得23

k =

，故l 的斜率为．

7. （I ）由已知，a =2b .

又椭圆2

221(0)x y a b a b +

=>>过点1)2P ，故22

414b b

+=，解得21b =. 所以椭圆E 的方程是2

214

x y +=. （II ）设直线l 的方程为1

(0)2

y x m m =

+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由方程组2

21,41,2

x y y x m ?+=????=+?? 得22

2220x mx m ++-=，①

方程①的判别式为2

4(2)m ?=-，由?>0，即2

20m ->

，解得m <

由①得212122,22x x m x x m +=-=-. 所以M 点坐标为(,

)2m m -，直线OM 方程为12

y x =-，由方程组2

21,4

x y y x ?+=????=-??

得()22C D -.

所以25

()(2)224

MC MD m m m ?=-?=-. 又2

22212121212115[()()][()4]4416

MA MB AB x x y y x x x x ?=

=-+-=+- 22255

[44(22)](2)164

m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ??.

8. 【答案】（Ⅰ）22143

x y +=

（Ⅱ）4±

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由

113||||||

OF OA FA +=，得113()c c a a a c +=-，

再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠?||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位

置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.

试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由

113||||||c OF OA FA +=，即113()

c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，学.科网所以椭圆的方程为

143

x y +=.

（2）设直线的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，

设(,)B B B x y ，由方程组22

1,43

(2),x y y k x ?+

=???=-?

消去y ，整理得2

(43)1616120k x k x k +-+-=，解得2x =或22

k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243

y k -=+，由（1）知(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-，22

29412(,)4343k k

BF k k -=++，由BF HF ⊥，得0BF HF ?=，所以22

2124904343H

ky k k k -+=++，解得29412H k y k -=，因此直线MH 的方程为2

19412k y x k k

-=-+，

设(,)M M M x y ，由方程组2

194,12(2),

k y x k k y k x ?-=-+

???=-?

消去y ，得22

20912(1)M k x k +=+，在MAO ?中，MOA MAO ∠=∠?||||MA MO =，

即2

222(2)M M

x y x y -+=+，化简得1M x =，即22

209

112(1)

k k +=+，

解得k =

或k = 所以直线l

的斜率为4k =-

或4

k =. 考点：椭圆的标准方程和几何性质，学.科网直线方程

9. 【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞.

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同

时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.

试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得

=，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()2

4,F 1,0y x =，可设()

2,2,0,1A t t t t ≠≠±.

因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241

y x

x sy ?=?=+?消去x 得

2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B t

t ??

- ???.

又直线AB 的斜率为221t

t -，故直线FN 的斜率为212t t --，

从而的直线FN:()2112t y x t -=--，直线BN:2

y t

=-，

所以22

32,1t N t t ??

+- ?-?

?，设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：2

222

223

t t t t t m t t +

=+---，于是2

221

t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.

综上，点M 的横坐标的取值范围是()

(),02,-∞+∞.

考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.