例谈函数思想在数列问题中的应用
２ 运 用 函数 思 想 解 数 列的 求 和 问题
数列 求 和 是数 歹 知识 的一个 重 要 万 囱 ， 在求 Ｕ 向
与一般 的关 系 ， 是这 种关 系 ， 函数 思想方 法成 为 正 使
研究 和解决 数列 问题 的重 要 方 法． 们 可 以用 函数 我 的思想 、 方法 解 决 数 列 的 问题． 列 中 的通项 、 ／ 数 前 ７ ，
， 、 ＃一２
图 是 条 线那 三 点ｍ ）２ ） 的研 究 ， 出函数 的 最大值． 象 一 直 ，么 个 （ ，ｍ ， ， （， 求
、厶 ，
３ ｌｆ 的最大 一 ２÷ｌ 值问题， 通过对函数单调性
和 问题上 ， 我们 时 常会运用 到 函数 的单 调性 、 周期性
等性 质及 函数 的解析 式．
项 和、 递推关 系 、 最值 问题及 大小 比较 问题通 常都 可
以转化 为 函数 问题 来求 解．
ｕ ｝ 项 （２ ｓ ） ｛的 ｃ ＿ ， 通 ０ ｉ ｓ
其前 项和为 ， 则 为
斜率相等， 求出 ｓ 。的值． 解： 等差 数列 ｛ ｝ 的前 ｎ项 和 ＝ １ ＋
＋∞ ） 上是 减 函数 ， 最大值 是 ２ 其 ）＝一 ． ９
所 以有 ａ 一 ． ａ ＝ａ ４ ≥ ９ 又 ２ １－ ３＞ａ． １
综上 ， 所求 的 ａ的最小 值是 一 ． ９
识， 它们 的解析 式应是相 同的 ， 而得到 ｇ 口 的值． 从 ，。
有两种形式有时我们必须运用等差、 比数列的 等 知识去解决其它数列 问题 ， 将非等差 、 比的问题转化 等 为等差 、 等比问题加 以解决 ， 从而使 问题简单化
或其 子集上 的 函数． 列 与 函数 之 间的关 系是 特 殊 数
解得 ：一２ 了
．
所 一（） 一÷ 以 ＝ ＝ （ 号 ２
点 评 ： 列的知识 是在 等差 、 比数 列 的基础上 数 等
发展 起 来 的． 例 １中可 以 看 到 ， ｎ项 和 Ｓ 从 前 ＝
想、 函数思想 、 思想等 特别是 近几 年来 ， 转化 高考命 题 加大 了对 问题 的综合 程度和思想 方法 的深度考察 ， 数 列 与函数 的综合 更是 高考命题 的重点与热 点， 者结 两 合 的试 题常作 为能力考 查 的把关题 数 学思想方法 的
（一ｄ， 看关 凡二函， ： 口 ） 以成于的次数 鲁吉 ｎ 可 则
＋ｏ一 ｌ 看成关于ｎ 一次函 一次函 ｌ 寺ｄ可以 的 数 数的
＝
点评 ： ≥ａ ，， ａ ｉ∈Ｎ 是 一 个恒 成 立 问题 ， ｔ 将
， 、 ｎ一 ２
不 式 形 ≥ —２ ，化 求 数（ 等 变 为０ ３ １ ÷ｌ 转 为 函 厂 ） ｌ
（一ｄ是 于 的 个 次 数于 口 ） 关 ｎ一 一 函 ，是 。 ，
《 数学之友）
２１ ００年第 ２ 期 ｏ
２ ， ￣ ， ￣ － （ ， ，）３ 共 ， 即 厂）３，－ 显 可 明 在２ Ｊ ｍ ）２ ， ，） 根 Ａ ， （ （ ｍ ｍ 线 据 令（＝一 １１ 然 证 ）［
＝
解 ： １ ＝ ＝ ， ‘ ） ｎ ÷ ． ‘＝ Nhomakorabea・
．
．
）（） ÷ 一 ＝ ＝ ）ｃ ， （ ． ｓ ．
ｎ
’
—
黑一 【 黑９ ＝ 【一】 ５
＋ 】 （ ３ 一 ＝ｏ ２ ４ ５７ ．
．
— —
例 ３ 已知 等差数 列 ｛ｎ 的前 ｍ 项 和 为 ３ ， 凡｝ ０ 前
这是 一个 以 ３为周 期 的数 列 ， 用其周 期性 ， 利 可使 问
题 得到 解决．
项公 式不 易直接 求 得 ， 往 是用 一 定 的 函数关 系式 往 将 ｎ 与８ 的关 系表示 出来 ， 要 我们通 过适 当 的 需
变换 ， 运用 已有 的知识 来求 解．
解由｛ 一 ）３周 ， ： ｃ ｓ 以为期 于。 ｉ ｓ ｎ
２ ｍ项 和 为 １０ 则 它 的前 ３ 项和 为 ０， ｍ
等 比数 列前 ／项 和 为 ／ ， ５ ｎ （ 一 ｎ １ １ ｑ） １
ｎ
ｇ 一
分 析 ： 等差数 列前 ｎ和公 式 的变形 ， 对 得到 ：
＝ ｌ，
＋
比较 系数 ， ｑ－ １ 得
， －
１， ｃ＝
＝
例 知 （ ）函 ）ｎｎ０ ｌ已 点１ 是 数 ＝（ 且 ， ＞
ｎ ） 图象 上一 点 ， 比数列 ｛ 的 前 ｎ项 和 为 ≠１ 的 等 ａ｝
（ ） 一 一 半 ＋ （
＋一２ ＋ ｌ墨 （— ３） 广 ｏ — — ＿ ｕ ‘ Ｊ
＋
＋ ． ． ・
凡 ｃ求数 列 ｛ 的通项公 式． ）一 ． ｎ｝
《 数学之友》
２ １ 年第 ２ 期 ００ Ｏ
蹇例谈函数思想在数列问题中的应用
韩长 洲
（ 京 市 第 十 二 中 学 ，１ ００ 南 ２ ００ ）
数列是高 中数学 中 的重要 内容 ， 也是 初等数 学与 高等数学的衔接点之一 ， 是高考必考 的 内容 数列 部分
的内容蕴 含着 丰 富 的数 学思 想 ， 归纳 思想 、 如 方程 思
考查在 高考 中份 量也逐 年增加 ， 因此在 数列 的教学 中 要充分 重视挖掘题 材 中的数学思想 ， 养学生运用 数 培 学思想去分析 、 解决 问题 的意识和能九
数列 是一类 特 殊 的 函数 ， 定 义 在 自然 数 集 Ⅳ 是
（ ｃ． ｑ ， 相 函 的 ÷ 一 ｓ ｔ根 同数知 和 一 据 ＝ Ｚ １
．
— —
１ 用 函数 思 想 求 解 数 列 的通 项 公 式
数 列 的通 项公 式 是 数列 的重 要表 现 形式 ， 确 是
定 数列 的重要方 式 之 一 ， 而 在很 多 时 候 数列 的通 然
思 分 ：件 Ｃ 芋一ｎｔ ｃ ， 路 析条 中Ｏ ｓ 丁＝ｓ Ｓ ｉｒ 。 ２ ｌ ＇ Ｔ
例谈方程函数思想在初中数列中的妙用
个是 ３ 第 三 个 数 是 Ｉ 则 第 ｎ个数 是 Ｉ
Ａ） ８ － Ｂ） ｎ＋ ｎ５ ｚ２ Ｃ） ４ ｌ ｎ－
（
）
Ｄ） ２ ２４ ＋ ｎ－ ｎ ５
７ ７ ＝ １ ＝ ＋６ ３ ７ １ ：７ ＋ ９ ＋６ ６ ：７ ０ ＋６ ： ＋ ｌ ７ ６ ： ＋ ２ ７ ６ ＝ ＋ ３ ７ ６，
｛ 芝 之： ： 解得｛ 二
所以，Ａ ｎ与 ｎ的一次函数 的解析式为 Ａ ＝ ｋ １ ｎ ４－ ，因此，新数列的第 ｎ
个数是 ４一 。 ｎ １ 三 、具 体 应 用 俗话 说 ：“ 了 鸟枪 ，就 要 打 鸟 ” 请 看下 面的 例 子 吧 ！ 挂 ， 例 ｌ ，如 图 ，将 一 个 正 三角 形 纸 片 剪成 四个 全 等 的 小 三 角形 ， 再将 其 中 的一 个 按 同样 的 方 法 剪 成 四个 更 小 的 三 角 形 ， 如 此 继 续下 去 ， 结 果如 下表 ：
数 列 的 第 ｎ项 的函 数 解 析 式 的方 法 以及 在 解 决 较 难 问题 时 的妙 用 。
【 词１ 函数 关键
数列
妙用
“ 中数列 ”这 种说 法可能有点不妥当 。等差数列 、等 比数列 、公 初
差 、公 比 、 通项 公式 等 这 些 概 念 在 初 中 数 学 中 是 不 出现 的 ，但 其在 初 中 数 学 中 应用 是 非 常 广泛 的 。 所 解 决 数 列 问 题 在 通 常 情 况下 ，教 师是 通 过逐 项 分 析 、研 究 、哉 公 差 ，找 公 比 ， 最 后 摸 索 出通 项 公 式 ，再 利 用 其 它数 学知 识 ，解 决题 目 中 出 现 的 问题 。 这 样 做 对 初 中 学生 来 说 ， 确 实具 有很强 的挑 战性 ，而具有挑 战精 神的优 秀学生却乐此不彼。因此 ，我根 据平 时 的教 学经 验 ，摸 索 出 符 合 初 中生 特 点 的 用 方 程 函数 思 想 来 解 决 这 类 问题 的 方 法 。现 就 等 差 数 列 及 其相 关 内容 ，谈 一 谈 个 人看 法 并 写 出来 供 同行 参 考 。 提 出问题 请 看 这 道题 ：试 一 试 ， 观 察下 面 几 组 数 ：
函数思想在数列中的应用
应用函数思想解决数列问题上海市澄衷高级中学 丁志伟数列问题一向是高中数学的重点与难点，除了其自身的一些特殊性质外，从函数角度来看，数列从根本上讲是一种特殊的函数（通常是离散函数）。
所以很多数列问题都可以从函数的角度来考虑，运用函数的概念、性质、图像来解决问题。
所以本文主要说明如何应用函数思想来解决数列问题。
基础知识：用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：a n =a 1q n-1.可用指数函数的性质来理解.当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列；当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列.当q =1时，是一个常数列.当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.一、运用函数的有关概念解决问题1．运用函数图像上点的坐标的意义来解决问题例1已知等差数列{}n a 的前 m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（C ）A 、130B 、170C 、210D 、260分析:等差数列的前n 项和n S =21()22d d n a n +-,可以看成关于 n 的二次函数,则n S n 可以看成关于n 的一次函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点)3,3(),2100,2(),30,(3mS m m m m m m 就在同一条直线上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210. 2．运用复合函数概念解决问题例2、已知122113,,,3n n n n a a a n Z a -*+==∈=求分析:条件21n n a a +=理解为2(1)()f n f n +=，而1122423)1()2()1()(--==⋯⋯=-=-=n n f n f n f n f二 、运用函数图像使数列问题直观化具体化1、利用凸凹函数图像解决问题例3、 某厂2001年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同。
例析函数思想在数列问题中应用
=
2
f ( n) =
2n 1 1 的最大值 . 所以,a> . n 9n 20 9 9
2
3 利用均值不等式法求数列的最值 例 10、数列 a n 中， S n （2）求 f (n)
n 1 an ， a1 1. 2
(1)求an ；
Sn 的最大值及此时 n 的值。 (n 32) Sn 1 n 1 1 64 1 ， = 且当且仅当 n 即 n=8 时， f (n) 的值最大值是 。 50 n 34n 64 n 64 34 50 n n
函数图像。根据函数图像特点,判断出答案应选(C). 三 、运用函数问题的研究方法 1 直接利用函数值域求字母范围
2
例 8、 （1998 全国卷）等比数列 a n 中， a1 1, lim sn
n
1 ，求 a1 的范围（ ） a1
D、 1, 2
A、 1,
B、 1, 4
2
分析： （1）an n;（2） f (n) 4 运用待定系数法
例 11、 （1995 全国卷）已知等差数列 a n 、 bn 的前 n 项和分别为 S n 和Tn ，若
Sn a 2n , 则 lim n 等于（C） n b Tn 3n 1 n
3
A、1
2
B、
6 3
2
在 x 1.5 的左
侧也可以，因为 B 点可以比 A 点高。于是， 3 着眼于图像对称轴及与 x 轴交点位置
2
3 ，得 3. 2
例 6、 （1992 全国卷）等差数列 a n 中， a3 12 ， S12 0, S13 0 。求（1）数列的公 差 d 的取值范围;（2） S1 , S 2 , S3 S n 中，最大值是哪一个？ 分析： （1） S n 可以看成关于 n 的二次式函数，
浅谈结合函数思想巧解数列问题
浅谈结合函数思想巧解数列问题数列问题在数学中是一个常见的问题类型，需要通过数学方法来求解。
而结合函数思想可以巧妙解决很多数列问题，本文将从基本概念开始介绍函数思想与数列问题的结合，然后通过实例讲解如何利用函数思想巧解数列问题。
一、函数思想与数列问题的结合在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
而数列则是按照一定顺序排列的数的集合，可以看作是函数的一种特殊形式。
函数思想在解决数列问题时可以发挥重要作用，通过定义函数或利用函数的性质来解决数列问题，可以简化问题的复杂度，提高问题的解决效率。
二、利用函数思想解决数列问题的基本方法1. 定义函数在解决数列问题时，可以定义一个函数来描述数列的规律。
通过函数的定义，可以找到数列中各个元素之间的关系，从而解决数列问题。
对于等差数列an = a1 + (n-1)d，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，来直观表示等差数列的通项公式。
通过定义函数，可以将数列问题转化为函数问题，更容易解决。
三、实例分析下面通过几个实例来说明如何利用函数思想巧解数列问题。
实例一：求等差数列的前n项和对于等差数列an = a1 + (n-1)d，要求前n项和Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，然后利用等差数列的性质来求解。
根据等差数列的性质，前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2 = (a1 + a1+(n-1)d) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2 = f(1) * n + d * n * (n-1) / 2，这样就用函数思想巧妙解决了等差数列的前n项和问题。
实例二：求斐波那契数列的通项公式对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，要求通项公式，可以利用递归函数的性质来求解。
浅谈用函数思想解决数列问题
浅谈用函数思想解决数列问题函数思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
函数思想是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
下面笔者谈一谈如何运用函数思想解决数列问题。
例1：设等差数列的前n项和为,若, ( 、是两个不等的正整数),求.点评：此题先由已知求出首项a和公差d，再求，过程较繁.若利用函数的性质求解较为方便.例2：设等差数列的前n项和为，已知=12，>0, <0,(1) 求公差d的取值范围；(2) 指出、、… 中那一个值最大，并说明理由.点评：在等差数列中，求的最大(小)值，若用其单调性来求出某项，使该项及它前面的项皆取正（负）值或零，而之后面的各项皆取负（正）值，则以第一项起到该项的各项和最大（小）.即：（1）当，时，解不等式组｛，可得达最大值的n值;(2)当时，解不等式组｛，可得达到的最小值的n值.小结：一般地，数列｛｝与数列｛｝的前n项和与：当时，有= ；当时，=- （k=1，2，）.若在中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零，设其和分别为,则有= ，所以= = .例5:已知数列｛｝的通项( .试问该数列｛｝有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数;若没有，请说明理由.思路:因是n的函数，难点是是一个一次函数（n+1）与一个指数函数的积.所以从一次函数或指数函数的增减性看，一增一减积不确定.但，不妨试从比较与的大小入手.数列｛｝有最大项或，其值为，其项数为9或10.小结：由通项公式研究数列是常用办法，此时要注意数列是一类特殊的函数，要重视函数思考方法的运用和函数性质的运用.例6：对于任意函数，可按图1构造一个数列发生器，总之，用函数思想指导解题就是利用函数知识或函数观点观察、分析和处理问题.在有些数列问题中，若用函数思想解决，会使问题变得简单。
函数思想在数列中的运用
函数思想在数列中的应用函数思想是数学思想的重要组成部分,也是中学数学中最基本、最重要的数学思想之一。
所谓函数思想，就是用运动变化的观点，分析和研究实际问题或数学问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究（一般借助函数的性质、图象等），从而更快更好地解决问题。
数列可以看作是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集｛1,2,…,n ｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
因此，有些数列的问题可用函数思想来解决。
一、 函数的定义在数列中的应用等差、等比数列作为两个特殊的数列，其通项公式、求和公式和一次函数、二次函数、指数函数都有一定的联系。
充分挖掘二者的联系，可以加深对等差、等比数列的理解。
例1、给出一下三个结论：①{}n a 是等差数列的充要条件是n a 是n 的一次函数；②{}n a 是等差数列的充要条件是其前n 项和n S 是n 的二次函数；③{}n b 是等比数列，则n b 是关于n 的指数函数。
其中正确的个数为（ ）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3评析：{}n a 是等差数列，其通项为11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，其前n 项和211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+-。
当0d =时，n a 不是n 的一次函数，n S 也不是n 的二次函数，因此①、②都不对，不难证明，{}n a 是等差数列2n n a an b S en fn ⇔=+⇔=+（其中a b e f 、、、是常数）。
{}n b 是等比数列，其通项11n n b b q -=不是n 的指数函数，故选（A ）。
例2、在等比数列中，前n 项和为n S ，已知23S =，415S =，求n S ． 分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式()111n n a q S q-=-列出关于1a 和q 的方程组，解出1a 和q ，但计算十分繁琐。
浅谈函数思想在数列中的应用
浅谈函数思想在数列中的应用浅谈函数思想在数列中的应用众所周知，数列是一类特殊的函数。
在解决数列问题时，适当地运用函数思想可以简化问题，达到事半功倍的效果。
下面我就此做几点分析。
一、运用函数思想掌握数列定义。
在讲解数列定义时，我们可以将其与函数定义展开对比，通过具体实例让学生体会数列与我们前面所学习过的任何一种函数没有本质区别，只是定义域不同而已。
因此导致其图象不具备连续性，而是一系列孤立的点，同时也可体会数列作为函数的特殊性。
我在教学过程中先是给出了几个常见的基本函数：y=2x+1 y=1/x，y=sinπx，y=2x然后让学生分别求它们在正整数集上的函数值，接着给出数列的定义，及表示方法，这样学生就自然而然低接受了数列是函数这一思想，为以后的应用奠定了基础。
二、运用函数思想研究数列的性质。
这一点主要体现在数列周期性，以及单调性的研究上。
问题1、在数列{a n}中a1=1，a2=5，a n+2=a n+1-a n(a∈N+)则a100等于（）A、1B、-1C、5D、-5分析：由递推关系式可以看出数列应具备周期性。
结合在学习函数时出现过的式子f(x+2)=f（x+1）-f(x)=f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1)可作类似推导，a n+2=-a n-1即a n+3=-a n故a n+6=-a n+3=a n因此数列{a n}是周期为6的周期性数列，所以a100=a4=-a1=-1 问题2、已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+k n+2，若对于n∈N+都有a n+1>a n,则实数K的取值范围为分析：由>a n，可知该数列是一个递增数列。
而通项公式an=n2+k n+2可以看作是关于n的二次函数，其单调性由对称轴n=-k/2来决定，考虑到数列的特殊性，只需a1-3。
这里显示比较容易忽略n为正整数这一特殊性，做出-k/2<1 即k>-2的结论。
问题3、数列{a n}中，a n =2n 156n（n∈N*）则改数列的最大项是第项。
浅谈结合函数思想巧解数列问题
浅谈结合函数思想巧解数列问题在数学中，一个数列可以被定义为一个有限或无限的数字序列。
这些数字可能以规则的方式重复出现，也可能没有重复。
解决数列问题对于我们学习数学知识和提高解题能力来说是至关重要的。
而在解决数列问题中，如果能够结合函数思想，就可以更快更准确地解决问题。
一、常见数列和函数在解决数列问题中，常见数列如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
而相应地，我们可以结合函数思想将这些数列用函数表示出来，以简化计算。
1.等差数列等差数列是指相邻两项的差值都相等的数列。
以数列${a_1, a_2, a_3, …, a_n}$为例，用函数表示为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$a_1$为首项，$d$为公差。
3.斐波那契数列$$f_n= \begin{cases} 1& n=1,2 \\ f_{n-1}+f_{n-2} & n \geq 3 \end{cases}$$结合函数思想，我们可以快速地解决一些数列问题。
设等差数列为${a_1, a_2, a_3, …, a_n}$，其中，$a_1$为首项，$d$为公差，$S_n$为前$n$项和。
则有：例如，求等差数列${1,3,5,7,9}$前20项的和，可以利用以上公式计算得到。
2. 求等比数列的和三、结合函数思想的优势结合函数思想的优势主要体现在以下两个方面：1. 规律更易发现对于一些数列，我们可能很难直接看出规律。
然而，用函数的形式表示数列，可以清楚地表达数列的规律，帮助我们更快更准确地找到解题思路。
2. 计算更加简便对于某些数列问题，直接计算可能需要用到很多的算式和公式，十分繁琐。
而将数列用函数形式表示后，可以直接利用相应的公式进行计算，大大简化了计算的难度和复杂度。
四、结论结合函数思想是解决数列问题的一种有效方法。
在实际应用中，我们可以将不同的数列用函数形式表示出来，以便更简便快捷地解决问题。
同时，函数思想也有助于我们发现数列的规律和特点，提高数学解题能力。
函数思想在数列中的应用 2
浅谈函数思想在数列中的应用新化十六中 方小玲数列性质的研究主要是通过其通项公式、前n 项和公式以及相邻项的关系（递推关系）来进行的。
而且我们知道：数列可以看成是以正整数n 为变量的函数，数列的性质就可通过函数的性质反映出来。
故我们可用函数思想、方法解决数列问题。
根据我的教学经验，从以下几个方面来阐述函数思想在数列中的应用。
一、利用函数的单调性解决数列的增减问题{}叫递增数列。
则数列都有任意正整数中对在数列}{,,1n n n n a a a n n a >+{}叫递增数列。
则数列都有任意正整数中对在数列}{,,1n n n n a a a n n a >+这一定义类似于函数的单调性定义，但又有所区别，故可以用函数思想解决数列单调性问题。
个递增数列了。
数，因此该数列也是一该函数是一个单调增函，我们已经知道解此题时可以引入函数，判断数列的单调性。
其中例如数列x x f n n a n a )21(1)()21(1},{-=-=二、利用函数图像求数列中的项的最值的最大项，最小项求数列，已知数列}{,7252}{n n n a n n a a --= 做出函数图象如下解决此问题可借用,27117252)(-+=--=x x x x f {}。
此题就很直观的解决了，最小值由图象可看出数列,3143=-=a a a n细叙述了。
的方法，这里就不再详解决此题可用上述一样分别为：项项中最大的项与最小的则它的前其又例如：已知数列301091091301,D. ,C. ,. , . ) (30,9897},{a a a a a a B a a A n n a a n n --=三、利用一次函数，二次函数性质解决数列问题的二次函数。
正整数是关于项和公式为：等差数列的前整数的一次函数。
通项公式是定义域为正为常数，则此等差数列的通项公式为n n d a n d d n n na s n d a d a dn d n a a n n )2(22)1(,),()1(121111-+=-+=-+=-+= x 3 3.5 4y o743 ,724函数。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。