正项级数敛散性的判别
8.2正项级数敛散性的判别
∞
证 ： ≤1 级 发 ； >1 级 收 。 明 p 时 数 散 p 时 数 敛 ∞ 1 解: (1) p = 1时, 调和级数 ∑ 发散 . n =1 n ∞ ∞ 1 1 1 ( 2) p < 1时， ≤ p Q ∑ 发散，∴ ∑ 1 发散. 发散， p n n n =1 n n =1 n ( 3) p > 1时， 方向：证原级数 某一收敛级数 方向：证原级数<某一收敛级数 ∞ 1 1 1 1 1 1 1 ∑ np = 1 + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p + 7p +L n =1 1 1 1 1 1 1 < 1 + ( p + p ) + ( p + p + p + p ) + L 几何级数 2 2 4 4 34 4 2 n ∞ 1 1 1 1 收敛！ < 1 + p −1 + p−1 + p −1 + L = ∑ p−1 收敛！ 2 n=0 2 2 2 +∞ 1 此 论 广 积 ∫ dx的 散 相 。 敛 性 同 ∴ 原级数收敛。 结 与 义 分 原级数收敛。 p 1 x
的敛散性。 例2.判定∑ 2 sin n的敛散性。 3 n =1 解: 由于当 x > 0时， < sin x < x 0 n π 2 n n π 故0 < 2 sin n < 2 n = π ( n = 1,2L) 3 3 n 3 ∞ 2 2 Q ∑ π 为公比是 的几何级数， 收敛 的几何级数， n =1 3 ∞3 π n ∴由比较判别法知 ∑ 2 sin n收敛。 收敛。 3 n =1
第2节正项级数敛散性的判别
n1
2 3
n
,
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
例3
1
讨论 P 级数 n1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P
级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有
0
1 n
1 np
,
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故 p 1时, P 级数是发散的.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
n1
n1
(2) 0 时, vn 收敛 un 收敛.
综上所述,当 0 < x < a 时, 原级数收敛; 当 x a 时, 原级数发散.
n
an 1 a2n
lim a n n 1 a2n
a 1,
1 n
当a
1时,
lim n
n
an 1 a2n
lim
n
n
a
1
1 a
2n
1 a
1,
故 a 0 且 a 1时, 原级数收敛.
例8
判别
n1
x a
n
的敛散性.
(
x
>
0,
a
>
0
为常数)
解
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。
求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。
以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。
1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。
例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。
但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。
2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。
若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。
其中，$a_n$和$b_n$都是正数。
3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。
该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。
此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。
将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。
若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。
正项级数敛散性地判别
一、 正项级数敛散性的判别设∑∞=1n n u 是正项级数，假设 0lim ≠∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 发散。
若0lim =∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散。
可依照下面的思路判别其敛散性。
(1)若是通项n u 包括有n ！之类的因子，或关于n 的假设干因子连乘形式，那么用比值判别法，即ρ=+→∞n n n u u 1lim ，那么当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。
若是nn n u u 1lim +∞→不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n nv 应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。
(2)若是通项n u 包括有n 或关于n 的函数为指数的因子，那么用根值判别法，即ρ=∞→n lim n n u ，那么当1<ρ时∑∞=1n nu收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。
若是n lim n n u →∞不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n n v 应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，那么∑∞=1n n u 发散。
(3)当n u 不是以上情形时，寻觅∞→n 时n u 的等价无穷小，可利用等价无穷小的经常使用公式和麦克劳林展开式，取得)0(~>C nCu n α，第八讲 常数项级数敛散性的判别等价的通项，两级数应具有相同的敛散性。
因此当1>α时∑∞=1n n u 收敛；当1≤α时∑∞=1n nu发散。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
7.2-1 正项级数敛散性的判别
n 1
n 1
Sn s 一般级数收敛 lim n
正项级数收敛 S n 有上界 单调有界数列有极限
1 p 在p >1 时收敛， p 1 时发散. 例1. 证明 n 1 n
证：p =1,原级数为调和级数，发散；
1 1 1 1 p < 1时 n p n , n p 的部分和大于 n 的部分和 n 1 n 1
2 n1 un1 [(n 1)! ] ( 2n)! lim 1 / 4 1 lim lim n 2( 2n 1) n u n ( n! ) 2 [ 2( n 1)]! n
x n 例5. 判别 n( ) ( x 0) 的敛散性 n 1 2 n n 1 x x 解： un n , un1 ( n 1) 2 2 un1 n 1 x lim lim x/2 n u n n 2 n 由0 x / 2 1 0 x 2, 此时原级数收敛
由 x / 2 1 x 2, 此时原级数发散 由 x / 2 1 x 2, 原级数为 n 发散
n 1
当 0< x< 2时，收敛 x n 综上 n( ) ( x 0) n 1 2 当 x 2 时，发散
2. 根值判别法 n u r lim n 定理：设 un 为正项级数，若 n 则 r <1 ,级数收敛；r > 1,级数发散；r =1,此法失效.
则当 p > 1时广义p-级数收敛； p 1 时广义p-级数发散.
上述结论的证明有待于下次课的比较判别法 例10. 下列级数的敛散性如何？
1 1) n1 n( n 1)
8.2 正项级数敛散性的判别
1. n1
un
S
lim
n
Sn
S
un发散 {Sn }发散
n1
a
2. aqn1
1
q
n1
发散
q 1 q 1
1发散
n1 n
3.级数的性质，尤其是： n1
un收敛
lim
n
un
0
同号级数
正项级数
(un 0)
数项级数
负项级数 (un 0)
任意项级数
un与 (un )有相同敛散性
n1
n1
§8.2 正项级数
(2)解：lim n
n
un
lim n
n
1 3n
( n 1)n2 n
lim 1 ( n 1)n n 3 n
1 lim (1
n 3
1 )n n
e 1, 3
所以
n1
1 3n
(
n
n
1
)n2
收敛.
nn1
(3) n1 (n 1)n2
析：lim n n
un
lim n n
nn1 (n 1)n2
n1
n1
n1
n
n
证明： (1) Sn ui vi vn S
i 1
i 1
n1
即{Sn }有上界，由定理8.1可知 un收敛.
n1
由（1）
(2) 反证：假设 vn收敛 un收敛. 矛盾！
n1
n1
思路：先猜敛散再选择放大还是缩小
例1.判定
n1
1 n2n
的敛散性.
解：un
1 n2n
xn 发散.
n1 n
n1 n
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1、 aqn敛散性
n0
当q 当q
1时, 收 敛 1时, 发 散
2、调和级数
1 发散.
n1 n
§7.2 正项级数敛散性的判别
• 一、正项级数的概念 • 二、比较判别法 • 三、比值判别法 • 四、*根值判别法
一、正项级数
定义 如果级数 un中各项均有un 0,这种级数称为正项级数.
n1
注：大多数常数项级数的敛散性判别问题，都可以归结 为正项级数的敛散性判别问题！
n1
n
例
判定级数
n1
n2
5n 1 2n
3
的收敛性.
5n 1
解
因为
lim
n
n2
2n 1
3
lim
n
5n2 n2 2n
n
3
n
5 1
lim n
n 1
3
5
1 2 n n2
而级数
1 发散,
n1 n
1
级数
5 n 发散.
n1
1
2
1 n
3 n2
例
判定级数
n1
n 3n2
1
的收敛性.
解 因为
1
p
1
1
1
1 n p1
1
1 p1
即Sn有上界,
则p 级数收敛.
P-级数的结论(记住!)
p
级
数
:
n1
1 np
当p 当p
1时, 1时,
收敛 发散
级数
n1
1 n
和
n1
1 n2
均
为p
-
级数
n1
1 的特例！ np
1
n1 n
1 5
n n1 4
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 n (n2 1)
n1
{Sn
}无上界，lim n
S
n＝＋，lnim
S
n
不
存
在
，
n1
un发散。
例
设an 0, (n 1, 2,L
), 证明级数
an
n1 (1 a1 )(1 a2 )L
收敛. (1 an )
证明：显然，该级数为正项级数.
Q
Sn
a1 (1 a1 )
a2
(1 a1 )(1 a2 )
an (1 a1 )(1 a2 )L
复习
1、常数项级数敛散性判断：
1)计算部分和：sn u1 u2 un
2)计算极限lim n
sn
不存存在在，，则则uun收n发敛散
2、常数项级数发散的判断方法：
1)若
lim
n
un
0, 则 级 数
un发 散 。
2)若 un收敛， vn发散，则 (un vn )发散。
3)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
二、比较判别法
定理(比较判别法)设 un和vn均为正项级数，且un vn (n 1, 2, ),
n1
n1
若 vn 收敛,则 un 收敛;反之,若 un 发散,则 vn 发散.
n1
n1
n1
n1
注：大的收敛，则小的收敛；小的发散则大的发散。
注：比较判别法在使用时，两个级数的项的不等式关系
从第一项开始就要满足，而有些级数也许一开始不
正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛 部分和数列
{Sn }有上界.
分析
：
n1
un收敛，即
lim
n
S
n
存在
证：）Sn1 Sn un Sn 0 Sn
{Sn }是单调递增数列，而已知{Sn }有上界
根据单调有界数列必有极限：lim n
Sn存在。
）(考虑逆否命题：{Sn }无上界 un发散)
np
n1
aqn
.
例
判定级数
sin 1 的收敛性.
n1
n
1
解 因为
sin lim n 1, n 1
而级数
1 发散,
n1 n
n
级数 sin 1 发散.
n1
n
例 判定级数 ln(1 1 ) 的收敛性.
n1
n
ln(1 1 )
解 因为 lim
n 1,
n
1
而级数
1 发散,
n1 n
n
级数 ln(1 1 ) 发散.
解：
Q n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 ln(n 1)
解： Q
1
1
ln(n 1) n 1
且
1 发散,
n1 n 1
所以原级数发散.
例
判断级数
n1
n 2n
1
n的敛散性.
解：
Q
n 2n
1
n
1 2
n
且
n1
1 2
满足而从某一项开始满足，针对此给出下面推论
推论
设 un和 vn都是正项级数 ,且存在常数c和自然数N ,
n1
n1
使得当n N时, 有un cvn ,则
（1）当 vn收敛时， un收敛;
n1
n1
（2）当 un发散时， vn发散.
n1
n1
判断 un的敛散性. n1
c 对欲求级数进行
缩小应缩小为发 n
且有
lim
n
un
n
l,则
(1)若0
l
,则级数
un与
同时收敛或发散
n
n1 n1
(2)若l 0, 且 n收敛,则 un收敛;
n1
n1
(3)若l , 且 n发散,则 un发散
n1
n1
一般是判断 un的敛散性, 选择合适的级数 vn使用该判别法.
n1
n1
调和级数
n1
1，p-级数
n
n1
1 ，几何级数
n
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
n4 1- n4 1 的敛散性.
n1
解： Q
n4 1- n4 1
2 n4 1
n4 1
2
2
n4 1 n2
且
n1
2 n2
收敛,
所以原级数收敛.
三、比较判别法的极限形式
定理(比较判别法的极限形式)
设
n1
un与
n1
n均为正项级数,
n
3
lim
n
3n2 1 1
n n2
lim
n
3n2
1
3
n2
n2
lim
n
3n2
1
1 3
而级数
n1
1
3
n2
收敛,
级数
n1
n 3n2
1
收敛.
例
判定级数
n1
3n
1
n
的敛散性.
1
解
lim 3n n n 1
3n
3n
(1 an )
1
1
1
1
L L
(1 a1 ) (1 a1 ) (1 a1 )(1 a2 )
1
1
(1 a1 )(1 a2 )L (1 an1 ) (1 a1 )(1 a2 )L (1 an )
1 1
(1 a1 )(1 a2 )L
(1 an )
1 {Sn }有界.
从而原级数收敛.
un
vn
散级数.
放大，缩小的方向
对欲求级数进行 放大应放大为收 敛级数.
敛散性已知的级数,如p级数， 几何级数，调和级数等.
例 讨论p 级数1
解
当
p
1,
1 np
1 2p 1,
n
11
1
3p
4p
L
np
L
y
则p 级数发散.
n1
n1p的(敛p散 性 0) .
当 p 1,
1 np
n dx x n1 p
1 y x p ( p 1)
111
1
Sn 1 2p 3p 4p L np
o
x
1 234
21
31
n1
1 1 x p dx 2 x p dx L n1 x p dx
1 2 dx
2 p 1 x p
1
n 1
1 xp
dx
1
1 1
p
1 x p1n 1 Nhomakorabea1 3 dx
3 p 2 x p