2020年河南省名校联盟高考数学一模试卷(理科)
2020年河南省名校联盟高考数学一模试卷（理科）
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________
一、单选题（共12小题）
1.已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则（?R A）∩B＝（）
A．?B．（0，4] C．（1，4] D．（4，+∞）
2.下列命题中正确的是（）
A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则
3.设方程lg（x﹣1）+x﹣3＝0的根为x0，[x0]表示不超过x0的最大整数，则[x0]＝（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝，则B等于（）
A．45°或135°B．60°C．45°D．135°
5.下列四个结论：
①命题“?x0∈R，sin x0+cos x0＜1”的否定是“?x∈R，sin x+cos x≥1”；
②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；
③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；
④当a＜0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递减
其中正确的是（）
A．①④B．②③C．①③D．②④
6.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5＝（）
A．B．C．D．
7.（x﹣1）（2x+1）10的展开式中x10的系数为（）
A．﹣512 B．1024 C．4096 D．5120
8.直线l：y＝kx﹣1与曲线C：（x2+y2﹣4x+3）y＝0有且仅有2个不同的交点，则实数k的取值范围是（）
A．B．C．D．
9.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷
满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）
A．150 B．200 C．300 D．400
10.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x﹣3y＝0与椭圆
C相交于A，B两点．若|AF|+|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（，]
11.若函数f（x）＝sin（2x﹣）与g（x）＝cos（x+）都在区间（a，b）（0＜a＜b＜π）上单调递减，
则b﹣a的最大值为（）
A．B．C．D．
12.已知关于x的方程[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0恰有四个不同的实数根，则当函数f（x）＝x2e x时，实数k
的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（）
C．（）D．（2，）
二、填空题（共4小题）
13.若平面向量，满足|+|＝1，+平行于x轴，＝（2，﹣1），则＝﹣﹣．
14.实数x，y满足约束条件：，则z＝的取值范围为．
15.半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则△ABC，△ACD与△ADB面积
之和的最大值为．
16.如图，A1，A2分别是椭圆＝1的左、右顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点
为P，在x轴的上方交椭圆于点Q，则＝．
三、解答题（共7小题）
17.已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和S n满足＝a n（S n）．
（1）求S n的表达式；
（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．
18.如图所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，BC＝BB1＝，B1C的重点为O，
若线段A1C1上存在点P使得PO⊥平面AB1C．
（Ⅰ）求AB；
（Ⅱ）求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．
19.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘
客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5，10），[10，15），[15，20），…，[35，40]分组，制成频率分布直方图：
假设乘客乘车等待时间相互独立．
（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B．用频率估计概率，求“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；
（Ⅱ）在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．
20.已知O为坐标原点，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，
椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为﹣2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设T为直线x＝﹣3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P，Q，且?＝0，求的最小值．
21.已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．
（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；
（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．
22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．
23.已知函数f（x）＝|2x﹣a|．
（1）当a＝2，求不等式f（x）+|x|≤6的解集；
（2）设f（x）+|x﹣1|+3x≤0对x∈[﹣2，﹣1]恒成立，求a的取值范围．
2020年河南省名校联盟高考数学一模试卷（理科）
参考答案
一、单选题（共12小题）
1.【分析】可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|x＜﹣1，或x＞4}，B＝{x|x＞1}；
∴?R A＝{x|﹣1≤x≤4}；
∴（?R A）∩B＝（1，4]．
故选：C．
【知识点】交、并、补集的混合运算
2.【分析】利用不等式的性质即可判断出结论．
【解答】解：A．c＜0时不成立；
B．a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，因此不正确；
C．ab＞0，a＞b，则，正确．
D．取a＝2，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣3，满足条件a＞b，c＞d，但是不成立．
故选：C．
【知识点】不等关系与不等式
3.【分析】构造函数，利用函数的零点判断定理，判断函数的零点所在区间，然后求解即可．
【解答】解：构造函数f（x）＝lg（x﹣1）+x﹣3，由于函数y＝lg（x﹣1）与y＝x﹣3在定义域上都是单调递增函数，
故f（x）＝lg（x﹣1）+x﹣3在定义域上单调递增，
由f（2）＝0+2﹣3＝﹣1＜0，f（3）＝lg（3﹣1）+3﹣3＝lg2＞0，
则函数f（x）的零点在（2，3）之间，故2＜x0＜3，[x0]＝2．
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
4.【分析】由正弦定理求出sin B＝＝＝．从而由0＜B＜π即可得到B＝45°或
135°，又由a＝＞b＝，可得B＜A，从而有B，可得B＝45°．
【解答】解：由正弦定理知：sin B＝＝＝．
∵0＜B＜π
∴B＝45°或135°
又∵a＝＞b＝，∴B＜A，∴B
∴B＝45°
故选：C．
【知识点】正弦定理
5.【分析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函
数的形状判断④的正误；
【解答】解：①命题“?x0∈R，sin x0+cos x0＜1”的否定是“?x∈R，sin x+cos x≥1”；满足命题的否定形式，正确；
②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；
③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以③不正
确；
④当a＜0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y＝，可知：x∈
（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；
故选：A．
【知识点】命题的真假判断与应用
6.【分析】利用正项等比数列{a n}的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出a1＝1，q＝，由此能
求出S5的值．
【解答】解：正项等比数列{a n}的前n项和为S n，
，
∴，
解得a1＝1，q＝，
∴S5＝＝＝．
故选：B．
【知识点】等比数列的前n项和
7.【分析】先将二项式变形为x（2x+1）10﹣（2x+1）10，分别写出两个二项式展开式的通项，并分别令
x的指数为10，求出两个参数的值，代入展开式之后将两个系数相减可得出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）（2x+1）10＝x（2x+1）10﹣（2x+1）10，
二项展开式x（2x+1）10的通项为，
二项展开式（2x+1）10的通项为，
令，得，
所以，展开式中x10的系数为．
故选：C．
【知识点】二项式定理
8.【分析】求出直线l：y＝kx﹣1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值范围．
【解答】解：如图所示，直线y＝kx﹣1过定点A（0，﹣1），
直线y＝0和圆（x﹣2）2+y2＝1相交于B，C两点，
圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心O（2，0），半径r＝1，
k AB＝＝，k AC＝＝1，
过A（0，﹣1）作圆O的切线AE、AD，切点分别为E，D，连结AO，
由题意E（2，﹣1），设∠OAE＝α，则∠DAE＝2α，
k AO＝tanα＝＝，
∴k AD＝tan2α＝＝＝，
∵直线l：y＝kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3＝0有且仅有2个公共点，
∴结合图形得k＝，或k＝1，或k＝，
∴实数k的取值范围是{}．
故选：C．
【知识点】直线与圆的位置关系
9.【分析】由已知求出P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，进一步求出P（90≤X≤105）＝P（90≤X
≤120）＝0.3，则答案可求．
【解答】解：∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，
∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，
∴P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3，
∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．
故选：C．
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
10.【分析】设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可得：AF′＝BF，BF′＝AF，可得|AF′|+|AF|
＝|BF|+|AF|＝6＝2a，解得a＝3．根据点P到直线l的距离不小于，可得≥
，解得b范围，根据离心率e＝＝即可得出．
【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可得：|AF′|＝|BF|，|BF′|＝|AF|，∴|AF′|+|AF|＝|BF|+|AF|＝6＝2a，解得a＝3．
∵点P到直线l的距离不小于，
∴≥，解得b≥2，
又b＜a，∴2≤b＜3．
∴＜1．
∴离心率e＝＝∈．
故选：C．
【知识点】椭圆的简单性质
11.【分析】直接利用三角函数的性质，求出函数的单调区间，进一步求出最大值．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
与g（x）＝cos（x+）在区间（）上单调递减，在上单调递增，
所以：这两个函数在区间上单调递减，
故：b＝，
即所求的最大值．
故选：B．
【知识点】余弦函数的单调性、正弦函数的单调性
12.【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设t＝f（x），将方程根的个
数转化为一元二次方程根的分别进行求解即可．
【解答】解：函数f′（x）＝2xe x+x2e x＝（x+2）xe x，
由f′（x）＞0得（x+2）x＞0，得x＞0或x＜﹣2，此时f（x）为增函数，
由f′（x）＜0得（x+2）x＜0，得﹣2＜x＜0，此时f（x）为减函数，
即当x＝0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（0）＝0，
当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝，
当x→0，f（x）＞0，且f（x）→0，
作出函数f（x）的图象如图：
设t＝f（x），则当0＜t＜时方程t＝f（x）有3个根，当t＝时方程t＝f（x）有2个根，
当t＝0或t＞时方程t＝f（x）有1个根，
则方程[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0等价为t2﹣kt+1＝0，
若[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0恰有四个不同的实数根，
等价为t2﹣kt+1＝0有两个不同的根，
当t＝0，方程不成立，即t≠0，
其中0＜t1＜或t2＞，
设h（x）＝t2﹣kt+1，
则满足，得，
即，即k＞+，
即实数k的取值范围是（），
故选：B．
【知识点】函数与方程的综合运用
二、填空题（共4小题）
13.【分析】设出＝（x，y），根据题意列出方程组，求出方程组的解来．
【解答】解：设＝（x，y），
∵|+|＝1，+平行于x轴，＝（2，﹣1），
∴+＝（x+2，y﹣1），
∴；
解得，或；
∴＝（﹣3，1）或＝（﹣1，1）．
故答案为：（﹣3，1）或（﹣1，1）．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角、平面向量共线（平行）的坐标表示
14.【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如下图：
其中B（2，1），
因为z＝表示（x，y）与点（1，0）连线斜率，
由图可得：当点（x，y）在点B处时，它与点（1，0）连线斜率最小为：＝1．
所以z＝的取值范围为：[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【知识点】简单线性规划
15.【分析】首先求出长方体的外接球的半径，进一步利用三角形的面积和基本不等式的应用求出结
果．
【解答】解：半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，
如图所示
则设四面体ABCD置于长方体模型中，外接球的半径为2，
故x2+y2+z2＝16，
S＝S△ABC+S△ACD+S△ABD＝，
由于2（x2+y2+z2）﹣4S＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2≥0，
所以4S≤2?16＝32，故S≤8，
故答案为：8．
【知识点】球内接多面体
16.【分析】连结A2P，可得△OP A2是边长为a的正三角形，由此算出P A1、PO的方程，联解求出点P
的横坐标m＝﹣1．由A2P与圆A1相切得到A2P⊥P A1，从而得到直线A2P的方程，将P A2
的方程与椭圆方程联解算出Q点横坐标s＝．由＝＝，把前面算出的
横坐标代入即可求得的值．
【解答】解：连结PO、P A1，可得△POA1是边长为2的等边三角形，
∴∠P A1O＝∠POA1＝60°，可得直线P A1的斜率k1＝tan60°＝，
直线PO的斜率k2＝tan120°＝﹣，
因此直线P A1的方程为y＝（x+2），直线PO的方程为y＝﹣x，
设P（m，n），联解PO、P A1的方程可得m＝﹣1．
∵圆A1与直线P A2相切于P点，
∴P A2⊥P A1，可得∠P A2O＝90°﹣∠P A1O＝30°，
直线P A2的斜率k＝tan150°＝﹣，因此直线P A2的方程为y＝﹣（x﹣2），
代入椭圆+y2＝1，消去y，得x2﹣x+＝0，解之得x＝2或x＝．
∵直线P A2交椭圆于A2（2，0）与Q点，∴设Q（s，t），可得s＝．
由此可得＝＝＝＝．
故答案为：
【知识点】直线与椭圆的位置关系
三、解答题（共7小题）
17.【分析】（1）运用数列的递推式：a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），代入化简整理，再由等差数列的定义和通
项公式即可得到所求；
（2）求得b n＝＝＝（﹣），运用数列的求和方法：
裂项相消求和，即可得到所求和．
【解答】解：（1）∵＝a n（S n），
a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），
∴S n2＝（S n﹣S n﹣1）（S n），
即2S n﹣1S n＝S n﹣1﹣S n，…①
由题意S n﹣1?S n≠0，
将①式两边同除以S n﹣1?S n，
得﹣＝2，
∴数列{}是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．
可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
得S n＝；
（2）证明：b n＝＝＝（﹣），
∴T n＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
＝（1﹣）．
【知识点】数列的求和、数列递推式
18.【分析】（Ⅰ）设AB的长为t，依题意可知BA，BC，BB1两两垂直，以B为原点，BC，BB1，BA
所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB的长．
（Ⅱ）求出平面AB1C的一个法向量和平面A1B1C的法向量，利用向量法能求出二面角
A﹣B1C﹣A1的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）设AB的长为t，依题意可知BA，BC，BB1两两垂直，
以B为原点，BC，BB1，BA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，t），C（），B1（0，1，0），
C1（），O（，，0），A1（0，1，t），
∴＝（），＝（），＝（），
设＝＝（），
解得P（），∴＝（，），
∵OP⊥平面AB1C，∴，
解得t＝，，∴AB的长为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝＝（）是平面AB1C的一个法向量，
＝（），＝（0，0，），
设平面A1B1C的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，，0），
设二面角A﹣B1C﹣A1的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值为．
【知识点】点、线、面间的距离计算、与二面角有关的立体几何综合题
19.【分析】（Ⅰ）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B乘车等待
时间都小于20分钟”，C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，由题意得：P
（A）＝（0.012+0.040+0.048）×5＝0.5，P（B）＝（0.016+0.028+0.036）×5＝0.4，由此
能求出“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出随机变量X的分布
列与数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B乘车等待时间都小于20分钟”，
C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，
由题意得：P（A）＝（0.012+0.040+0.048）×5＝0.5，
P（B）＝（0.016+0.028+0.036）×5＝0.4，
∴“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率：
P（C）＝P（MN）＝P（M）P（N）＝0.5×0.4＝0.2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为0.4，
∴乙站乘客乘车时间等待时间小于20分钟的概率为，
X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
X0123
P
E（X）＝3×＝．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列、频率分布直方图
20.【分析】本题第（1）题根据题意可得方程组，解此方程组可得a、c的值，进一步可
得a2，b2的值，即可得到椭圆C的标准方程；
第（2）题由?＝0可知⊥．再设T点坐标为（﹣3，m），则直线TF1的
斜率为﹣m．通过垂直关系可得直线PQ的斜率，进而通过分析可得直线PQ的方程为
x＝my﹣2．再联立直线PQ的方程与椭圆C的方程，化简整理得到一元二次方程，然
后通过韦达定理可得y1+y2，y1?y2关于m的表达式，再根据弦长公式计算||，最后化
简计算，根据均值不等式可得最小值．
【解答】解：（1）由题意，可知
，解得．
则a2＝6，c2＝4，b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2．
故椭圆C的标准方程为+＝1．
（2）由（1），知F1（﹣2，0），
∵?＝0，∴⊥．
设T点坐标为（﹣3，m），则||＝，且直线TF1的斜率为﹣m．
①当m≠0时，直线PQ的斜率为，此时直线PQ的方程为x＝my﹣2；
②当m＝0时，直线PQ的方程为x＝﹣2，也符合方程x＝my﹣2．
故直线PQ的方程为x＝my﹣2．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则联立直线PQ的方程与椭圆C的方程，得
，
整理，得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，
则△＝16m2+8（m2+3）＝24（m2+1）＞0．
y1+y2＝，y1?y2＝﹣．
∴||＝?|y1﹣y2|
＝?
＝?
＝．
＝
＝?
＝?（+）
≥?2
＝．
当且仅当＝，即m＝±1时，等号成立．
∴的最小值为．
【知识点】椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系
21.【分析】（1）先求得导函数，根据定义域为（0，+∞），可构造函数g（x）＝xe x﹣1﹣a，通过求导
及分类讨论，即可求得a的取值范围．
（2）由（1）令﹣a＝0，通过分离参数得a＝，同时求对数，根据
函数f（x0）≥0，可得1﹣x0﹣lnx0≥0．构造函数g（x）＝1﹣x﹣lnx及H（x）＝x﹣lnx
﹣1，由导数即可判断H（x）的单调情况，进而求得H（x）的最小值，结合f（x0）＝
（1﹣x0﹣lnx0）即可证明不等式成立．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．
∴．
令g（x）＝xe x﹣1﹣a，
则g′（x）＝（x+1）e x﹣1＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．
又∵当x→0时，g（x）→﹣a，当x→+∞时，g（x）→+∞．
∴当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不存在
极值点；
当a＞0时，g（x）的值域为（﹣a，+∞），必存在x0＞0，使g（x0）＝0．
∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）存在极小值点．
综上可知实数a的取值范围是（0，+∞）．
证明：（2）由（1）知﹣a＝0，即a＝．
∴lna＝lnx0+x0﹣1，
f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）．
由f（x0）≥0，得1﹣x0﹣lnx0≥0．
令g（x）＝1﹣x﹣lnx，由题意g（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
又g（1）＝0，∴由f（x0）≥0，得0＜x0≤1，
令H（x）＝x﹣lnx﹣1，（x＞0），则H′（x）＝1﹣＝，
当x＞1时，H′（x）＞0，函数H（x）单调递增；
当0＜x＜1时，H′（x）＜0，函数H（x）单调递减；
∴当x＝1时，函数H（x）取最小值H（1）＝0，
∴H（x）＝x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣1≥lnx，即e x﹣1≥x，
∴，1﹣x0﹣lnx0≥1﹣x0﹣（x0﹣1）＝2（1﹣x0）≥0，
∴f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）≥?2（1﹣x0）＝2（﹣），
∴f（x0）≥2（x02﹣x03）．
【知识点】利用导数研究函数的极值
22.【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化
为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，
由此能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），
消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．
∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，
∴ρ2＝4ρsinθ，
∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．
（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，
设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），
∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，
点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，
∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，
∴sin（）＝±1，
∵0＜α＜π，∴，
∴，解得．
【知识点】参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程
23.【分析】（1）将a＝2代入，利用零点分段讨论即可得解；
（2）原题转化为4x+1≤a≤﹣1对x∈[﹣2，﹣1]恒成立，进而得解．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）+|x|≤6，即|2x﹣2|+|x|≤6，
当x≤0时，原不等式化为2﹣2x﹣x≤6，得，即；
当0＜x≤1时，原不等式化为2﹣2x+x≤6，即x≥﹣4，即0＜x≤1；
当x＞1时，原不等式化为2x﹣2+x≤6，得，即．
综上，原不等式的解集为．
（2）因为x∈[﹣2，﹣1]，所以f（x）+|x﹣1|+3x≤0，可化为|2x﹣a|≤﹣2x﹣1，
所以2x+1≤2x﹣a≤﹣2x﹣1，即4x+1≤a≤﹣1对x∈[﹣2，﹣1]恒成立，
则﹣3≤a≤﹣1，所以a的取值范围是[﹣3，﹣1]．
【知识点】绝对值不等式的解法、利用导数求闭区间上函数的最值