《原子物理学》教案

《原子物理学》教案

课程简介：《原子物理学》是在经典物理课程（力学、热学、电磁学、光学）之后的一门重要必修课程。它上承经典物理，下接量子力学，属于近代物理的范畴。它以力、热、光、电磁等课程的知识为基础，从物理实验规律出发，引进量子化概念，探讨原子、原子核及基本粒子的结构和运动规律，从微观机制解释物质的宏观性质，同时介绍原子物理学知识在现代科学技术上的重大应用。本课程强调物理实验的分析、微观物理概念和物理图像的建立和理解。通过本课程教学，使学生初步了解物质的微观结构和运动规律，了解物质世界中三个递进的结构层次，为学习量子力学和后续专业课程打下基础。

在内容体系的描述上，原子物理学采用了普通物理的描述风格，讲述量子物理的基本概念和物理图像，以及支配物质运动和变化的基本相互作用。该课程大致分为三个层次：第一是成熟、已有定论的基本内容，要求学生掌握并能运用；第二是目前已取得的最新研究成果，要求学生明确其物理概念和物理图像；第三是前沿研究课题内容，要求学生了解并知道其研究方向。

本课程注重智能方面的培养，力求讲清基本概念，而大多数问题需经学生通过阅读思考去掌握。部分内容由学生自行学习。

本课程原则上采用SI 单位制，同时在计算中广泛采用复合常数以简化数值运算。[通常用?（1?=10-10

m ）描

写原子线度，用fm (m fm 15

101-=)描写核的线度，用eV 、MeV 描述原子和核的能量等。]

第一章 原子的位形：卢瑟福模型

§1-1背景知识

“原子”概念（源于希腊文，其意为“不可分割的” ）提出已2000多年，至19世纪，人们对原子已有了相当的了解。

由气体动理论知，1mol 原子物质含有的原子数是1

23

10022.6-?=mol

N A 。因此可由原子的相对质量求出

原子的质量，如最轻的氢原子质量约为kg .27

10

671-?；原子的大小也可估计出来，其半径是nm .10(m 10

10-)

量级。这些是其外部特征，深层的问题：原子为何会有这些性质？原子的内部结构是怎样的？

一、电子的发现

1879年，克鲁克斯(英)以实验说明阴极射线是带电粒子，为电子的发现奠定基础。

1883年，法拉第(英)提出电解定律，据此推得：1mol 任何原子的单价离子均带有相同的电量。由此可联想到电荷存在最小的单位。

1881年，斯通尼(英)提出用“电子”这一名子来命名这些电荷的最小单位。

1897年，汤姆逊（son J.J.T hom ，1856-1940，英，15岁进入欧文学院读书，20岁进入剑桥三一学院学习，

在其94岁高龄的一生中，一直在剑桥教书和研究。自27岁起任卡文迪许实验室主任共34年。因发现电子而获1906年诺贝尔物理学奖。）通过实验确认电子的存在。高真空放电管中的阴极射线经狭缝约束后成一窄束射线，通过电场和磁场后到达荧屏，从其偏转可判断所受的电场力和磁场力，从而算得电子的荷质比

m

e 。

在汤姆逊之前，赫兹（德）做的类似实验未发现射线偏转（因高真空不易实现），误认为阴极射线不带电。休斯脱做过氢放电管中阴极射线偏转的研究，得出阴极射线粒子的荷质比为氢离子的千倍以上。但自己认为此结果是荒谬的，因为他认为射线粒子应比氢原子大。在1897年考夫曼（德）也做过与汤姆逊类似的实验且结果更精确，但他不承认阴极射线是粒子的假设，直到1901年才将实验结果公布。

二、 电子的电荷和质量

精确测定电子电荷的是密立根（美）油滴实验（1910年）, 得出电子电荷的值C e 19

10

6.1-?≈，再由

m

e 之

值求得电子质量kg m e 311011.9-?≈。密立根并据此发现电荷是量子化的。（电荷为何是量子化的机制至今仍未

解决）

15271.1836m m e

p =是原子物理学中两个重要的无量纲常数之一

（另一个为精细结构常数）。此常数决定了原子物理学的主要特征，物理学至今无法从第一性原理导出此常数。

由此还可得出u kg m p 007276470.11067.127=?≈-（在估算中可当作一个u ）

按照相对论质能关系2

mc E =，可得出???≈≈22

/27.938/51.0c

MeV m c

MeV m p e ，这是微观物理学中用能量单位表示质量的常

用方法。

三、 阿伏伽德罗常数：1

23

10

022.6-?=mol

N A

mol 1物质的所含是粒子数目与12克C 12

的原子数目相当。

A N 是联系宏观量与微观量的重要常数，起到桥梁的作用。

物质质量单位g 与原子质量单位u 之比为u g

N A 11=，(kg .u 27

10

6611-?=)；在热学中有k

R

N A =

；在电学

中法拉第常数F 也是通过A N 与e 相联系的，有e

F N A =。(法拉第常数F ：产生１摩尔的任何物质所需的电量为96493库仑，或表示为mol /C .4

10659?)

四、 原子大小的估算

1)从晶体中原子的规则排列估计：设原子挨排，某种原子X A

的质量密度为ρ，球形原子半径为r ，则有

3

3

433

4A

A N A

r A

N r πρρ

π=

?=

。据此式可估算出不同原子的半径(详见教材)，知不同原子的半径相差不大，其

数量级为?（1?=10-10

m)，这是经典物理学无法解释的。

2)从气体动理论估计：气体平均自由程n

d 2

21πλ=

，式中n 为分子数密度，d 为分子直径。若由实验得出

λ和n ，则可求出分子半径r 。单原子分子的半径即为原子半径，简单分子的半径的数量级与其原子半径的数量级相同。

3)从范德瓦尔斯方程估计：在RT )b V )(V

a p (=-+

2

中，b 值

按理论应为分子体积的4倍，由实验得出b 即可确定分子半径，其数量级与原子半径相同。

用不同的方法估算出的原子半径有些出入，但数量级都是10-10

m 。 §1.2卢瑟福模型

一、卢瑟福模型的提出

在汤姆逊发现电子之后，为解释原子中正负电荷分布的问题，曾先后有多种模型。

1.汤姆逊模型（也称西瓜模型或葡萄干面包模型。1898年提出，至1907年进一步完善）：原子中正电荷均匀分布在整个原子球体内，电子均匀地嵌在其中。电子分布在一些同心环上。此模型虽不正确，但其“同心环”概念及环上只能安置有限个电子的概念是可贵的。

2.长冈半太郎行星模型（1904年提出）：原子内正电荷集中于中心，电子绕中心运动。（但未深入下去）

3.卢瑟福核式结构模型（卢瑟福在其学生盖革、马斯顿的α粒子散射实验之后提出） 一个有用的电荷常数表示法：

MeV fm ?=44.14e

2

πε (m fm 15

10

1-=)

二、α粒子散射实验

α粒子即氦核，其质量为电子质量的7300倍。卢瑟福于1909年观察

到α粒子受铂箔散射时，除小角度散射外还有1/8000的α粒子属大角度散射（偏转大于900

），甚至有接近1800

的。他们的实验装置如图示。

大角度散射不能解释为是偶然的小角度散射的累积，它只可能是一次碰撞的结果。这不可能由汤姆逊模型所形成，所以这样的结果表明汤姆逊模型是不成立的。

卢瑟福在此基础上，于1911年提出其核式模型。 三、α粒子散射理论

设有一个动能为E(质量为m ，速度为v)的α粒子射到一个静止的原子核Ze 附近，在核的质量远大于α粒子质量时，可认为核不会被推动。则α粒子受库仑力作用而改变了方向。如右

图示，b 为瞄准距离(也称碰撞参数)，可由力学原理证明α粒子的路径是双曲线，瞄准距离b 与偏转角θ的关系

E

Zke a 2

2=

(导出过程此略。此式在理论上重要，但在实验中无法测量b) 显然，πθ=时，b a 2=

设薄箔面积为A ，厚度为t(甚薄，以致薄箔中的原子对射来的α粒子无遮蔽)。

瞄准距离在)(db b b -→为半径的环形面积内的α粒子，即通过以b 为外半径，（b-db ）为内半径的环形面积（db b π2）的α粒子，必定散射到角度在)(θθθd +-间的空心圆锥体内。

从空间几何知，[面元的立体角为2

r

dS d =

Ω。立体角的单位叫球面度(sr)]，空心圆锥体的立体角为θθ

θ

πθθπθ

θπd d r

rd r r

dS d 2

cos

2sin

4sin 2sin 22

2

==?=

=

Ω

α粒子散射到立体角Ωd 内每个原子的有效散射截面为σd 。

2

sin

sin 82

sin

2cos 4

2

sin

4

2

cot

2

224

2

32

2

θ

θθπθθθ

πθ

θθ

π

πσd a

d a

d a a db b d ==

?

==

α粒子打在环上的几率：

2

842

θ

θ

θπσ

sin

d sin A a A d =

对于薄箔而言，对应于一个原子核就有一个这样的环，设薄箔上的原子核数密度为n ，则在体积At 内共有nAt 个环，故一个α粒子打在薄箔上被散射到θθθd +-(即Ωd 方向)范围内的几率为：

nt d nAt A

d )(dp ?==

σσθ

若有N 个α粒子打在薄箔上，则在Ωd 方向可测到散射的α粒子数应为：

2

sin

)

4

()(4

2

θ

σθΩ=?=='d a Nnt nt Nd Ndp N d

定义微分截面：Ω

'=

Ω

=

Nntd N d d )(d )(c θσθσ。

卢瑟福散射公式的物理意义：α粒子散射到θ方向单位立体角内每个原子的有效散射截面。)(c θσ具

有面积的量纲，单位：sr /m 2

。(sr ：球面度，为立体角的单位。)

通常以靶恩(b ，简称靶；2

28

10

1m b -=)为截面单位，则相应的微分散射截面)(c θσ的单位为sr /b 。

以上推导中假定原子核不动。在实际应用时必须将其转为实验室坐标系的形式。 四、卢瑟福公式的实验验证 1、盖革-马斯顿实验(1913)

此实验证明了卢瑟福散射公式是正确的。1920年查德威克用改进的装置首次用所测数据代入卢瑟福公式得出原子的电荷数Z ，确定了Z 等于该元素的原子序数。

卢瑟福公式据经典理论导出而在量子理论中仍成立，这是很少见的。 2、 原子核的大小

(这是两个粒子在有相互作用时能靠近的最小距离，与瞄准距离不同。)

设α粒子（Z 1）距核（Z 2）很远时速度为v ，距核近到感受到核的库仑力时速度为v '，据能量守恒律有：

r

ke

Z Z v m mv

2

212

2

2

121+

'=

因α粒子在有心力场中运动，其角动量守恒，故：

mvb dr

d mr

v m r L ==?=?2

(常数)

当m r r =时，径向速度为0，只有切向速度(“近日点”特征)，于是m m r mv mvb = 经整理后得：m

m

r ke Z Z mv

E 2

21221+

=

?m

m

r ke Z Z mr L

E 2

212

22+

=

上式中，右边第一项是α粒子的离心能，第二项是在近日点的势能。由此解得：

此解是对于两体相斥的情况，称为“近日点公式”。上式为两体相斥时的解，若两体相吸，则将“1”换为“－1”

即可。

当πθ=时，a r m =为其最小值(原子核线度的上限)，这是两体在斥力场中对心碰撞时能靠近的最小距离。 实际上，从经典物理学的角度也可简单地得到，当粒子e Z 1以能量(2

2

1mv )打向核，当能量全部转化为势能

实验中，利用上式得出

Po 210

的α粒子对Cu 29

作180°散射时的fm a 8.15=，故铜的原子核半径一定小于

fm 8.15。

五、对α粒子散射实验的进一步说明

在α粒子散射实验中，理论推演中包含有两个假定：1）计算散射面积时，把单原子的散射截面乘以原子数，这就假定在铂箔中原子核前后不互相遮蔽；2）通过铂箔的α粒子只经过一次散射。

以上是分析α散射实验时的假定，但实际如何呢？

对假定1）：例如铂箔很薄，其厚度为5×10-7

m 。可原子的直径约3×10-10

m ，可见还有1000多个原子的厚度。但如果考虑到原子核线度约为原子线度的10-4

，则原子核的几何截面最多是原子的10-8

，这样前后遮蔽机会不大。所以要求铂箔厚度适度。

对假定2）：α粒子通过铂箔，实际上经过了好多核的邻域，是经过多次散射的。但因为核很小，原子空间很大，因此α粒子通过铂箔时，多次接近核的机会不大。只有瞄准距离b 小时散射角才大。实际观测到的较大的θ角可设想是由于一次大角度散射和多次小角度散射合成的。但由于多次小角度散射在各方向都有可能，所以合并产生的方向改变小得多。所以有大角度散射时可不计小角度散射，一次散射理论适用。至于实际观测到的较小的θ角，是多次小角度散射的结果，一次散射理论就不适用了。这就是为什么在450

以上的大角度散射与理论符合较好的原因。由于卢瑟福核式结构的证实是依据大角度散射的，所以复杂的小角度散射不影响结论。

此外，原子核外的电子，因其质量较小（约为α粒子质量的1/7300倍），对α粒子的运动产生的影响微不足道。

六、行星模型的意义及困难 意义：

1)行星核式模型提出以核为中心的概念，承认高密度核的存在； 2)卢瑟福散射这种研究物质结构的方法，对近代物理有着重要的影响；

3)卢瑟福散射为材料分析提供了一种手段。1967年，美将一α源送上月球，对月球表面进行卢瑟福散射来分析其成份。其结果与1969年取回的月球样品分析结果基本相符。

困难：

1)无法解释原子的稳定性

由经典理论知，电子绕核做加速圆运动必发射电磁波而放出能量，则电子能量将逐渐减少(形成绕核的螺旋运动)。最后电子落入核内，原子崩溃。但实际并非如此，何故？

2)无法解释原子的同一性(宇宙中同种原子结构相同称为同一性。)

3)无法解释原子的再生性(原子在外来影响撤除后，立即恢复原来的状态称为再生性。) 对困难1）的定量估计：设电子绕核作半径为R 的圆周运动，则L

kZe v R

Ze k

R

v

m

2

2

22

=

→=

电子加速度为4

3

24

2

2

2

2

22

)()(

L

kZe m

L

kZe kZe

m v kZe

mv R

v

a ==

?=

=

据电动力学知，单位时间内辐射的能量为2

3

23

2a c

e k

P =

设电子至动能耗尽需时τ，则2

2

1mv P =

τ，再考虑到电子角动量mR kZe L 2

2=

可得：2

43

e

Zcr R

=

τ。其中电子的经典半径fm mc

ke r e 818.22

2==

若取Z ＝1，R ＝0.1nm ，可得出电子作螺旋运动最终落入核内需时s 10

102.3-?≈τ

但实际上并非如此，原子是稳定的。 附录：中心力

理论力学中，在一保守力场中运动的单体，有?????=??-

=??00r U r d F

中心力及其对应的势能都是矢径r

的函数，即???==)

(?)(r U U r r F F

保守力不一定是中心力，而中心力必定是保守力。

在中心力场中运动的粒子，?

??

??

??

?无限

不闭合

闭合有限

轨道

可证明，只有在两种中心力（2

1~r

F ，如万有引力、库仑力；r F ~，如谐振力）场中运动的粒子轨道才

可能闭合。

例：粒子在力场（2

1~

r

F ）中运动的可能轨道

??

?

?

???

?=>?

??

??<=>　无限，抛物线

　无限，双曲线排斥吸引库仑力　有限，椭圆

　无限，抛物线　无限，双曲线万有引力（吸引）

00)2000)1