武汉理工控制工程第四章习题解答
武汉理工控制工程第四章习题解答
习题解答：
4-1 负反馈系统的开环传递函数()()()()
21++=s s s K s F s G G
，试绘制闭环系统的根轨迹。
解：根轨迹有3个分支，分别起始于0，-1，-2，终止于无穷远。1
-=a
σ
，?
±?=60,180a
φ
。实轴上的根轨
迹是（-∞，-2]及[-1,0]。
)
23(23=++ds
s s s d
可得，422
.01
-=s
，578
.12
-=s
；422
.01
-=s
是分离点。
根轨迹见图4-28。
图4-28
4-2系统的开环传递函数为()()()()()
421+++=s s s K s F s G G
，试证明点3
11
j s
+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨
迹增益G
K 和开环增益K 。
解：若点1
s 在根轨迹上，则点1
s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图4-29所示。
图4-29 对于311
j
s
+-=，由相角条件
=
∠)()(11s H s G )431()231()131(0++-∠-++-∠-++-∠-j j j
ππ
π
π
-=-
-
-
=6
3
2
满足相角条件，因此3
11
j s
+-=在根轨迹上。
将1
s 代入幅值条件：
1
4
31231131)()(11=++-?++-?++-=
j j j K s H s G G
所以，12
=G
K
，
2
3
8==
G K K
4-3 已知开环零点z ，极点p ，试概略画出相应的闭环根轨迹图。
（1）2-=z ，6-，0=p ，3-； （2）0=p ，2-，4
42
,1j z ±-=；
（3）1
1
-=p ，1
23
,2j p
±-=；
（4）0=p ，1-，5-，4-=z ，6-；
解：
图4-30（1）图4-30（2）
图4-30（3）图4-30（4）
4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数为
()()()()()
23235.31j s j s s s s K s G G
-+++++=
试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）。 解：系统有五个开环极点：
23,23,5.3,1,05
4
3
2
1
j p j p p p p --=+-=-=-== 1.实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-
2.渐近线： 1
3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππ?π--+-++--?==-???
+?==±±??
3.分离点：
02
312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 45
.01-=d , 4.22
-d (舍去) , 90.125.34
3j d ±-=、
4.与虚轴交点：闭环特征方程为
0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D
把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
?????=+-==-+=*0
5.455.43 )Im(05.795.10)Re(352
4ωωωωωωωj K j
可得，
???==*
0K ω ，
???=±=*
90
.7102.1K ω，
???-=±=*
3
.1554652.6K ω（舍去）
5.根轨迹的起始角为：
ο
ο
ο
ο
ο
ο
74
..923..1461359096..751804=----=p θ
由对称性得，另一起始角为ο
74.92，根轨
迹如图习题4-31所示。
图4-31
4-5 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数
()()()
1030++=
s s b s s G
试作出以b 为参量的根轨迹图。
解：作等效开环传递函数G *
(s)=)
40(30+s s b
1.实轴上的根轨迹：[]0,40--
2.分离点：
040
1
1=++d d
解得：20-=d
根轨迹如图4-32所示。
图4-32
4-6 单位反馈系统的开环传递函数为
)
5.0)(2()
52()(2-++-=
s s s s K s G G
试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的G
K 值范围。
解：根轨迹绘制如下：
图4-33
1.实轴上的根轨迹： []5.0,2-
2.分离点：
2
11211215.01j d j d d d --++-=++-
可得：
41
.01-=d
3.与虚轴交点：
0)52()5.0)(2()(2=+++-+=s s K s s s D G
把s=j ω代入上方程，令
??
?=-==-++-=0
)25.1())(Im(015)1())(Re(2ωωωωG G G K j D K K j D
解得：
??
?==2
.00G K ω
??
?=±=75
.025.1G K ω
根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的G
K 值范围为75.02.0< K ；又 G K K 5=， 所以系统稳定的K 值范围为75.31< 4-7 系统的框图如图4-26所示，试绘制以为τ变量的根轨迹图。 图4-26 解:系统的开环传递函数为) 1(1)(τ++= s s s G 系统闭环传递函数1 )1(1 )(1)() ()(2 +++=+= s s s G s G s u s y τ 系统闭环特征方程0)(1=+s G ，即 01)1(2 =+++s s τ 12=+++s s s τ 除以) 1(2 ++s s 得 1 12 =+++ s s s τ 得等效开环传递函数 1 )(2++= 's s s s G τ 令0 12 =++s s 得等效开环极点 2 /32 1 2,1j s ±-=，为0=τ时原系统的 闭环极点。 按常规根轨迹绘制方法作根轨迹。（1）根轨迹起点： 2/32 1 j ±- ，终点：0，-∞； （2）实轴上根轨迹：（-∞，0]区段；（3）分离点： s s s 12++- =τ， 012=-=s ds d τ ，1±=d ， 取1-=d ，分离角?=+= 90)12(l k a π θ。画出根轨迹如图 4-34所示。 图4-34 4-8实系数特征方程0)6(5)(2 3 =++++=a s a s s s A 要使其根全为实数，试确定参数a 的范围。 解：作等效开环传递函数 ) 3)(2() 1 (65)1()(2 3 +++=+++=s s s s a s s s s a s G 当0>a 时，需绘制常规根轨迹。 1.实轴上的根轨迹： []2,3--，[]0,1- 2.渐近线： ??? ??? ?±=-+=-=-+--=213)12(213132ππ?σk a a 3.分离点： 1 1 31211+= ++++d d d d 解得 47.2-=d 根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。 当0 0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：(]3,-∞-，[]1,2--， [)∞,0。