数列递推关系与单调性
高中数学数列与数列极限的性质及定理总结
高中数学数列与数列极限的性质及定理总结数列是高中数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
数列的研究对于理解数学的发展和应用具有重要意义。
本文将总结数列的性质及定理，并通过具体题目的分析，说明其考点和解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用数列。
一、数列的性质1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指其所有项都在某个范围内，无界数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是无界的，而数列{(-1)^n}是有界的，其项的取值范围在-1和1之间。
2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增数列是指其后一项大于或等于前一项，单调递减数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是单调递增的，而数列{3, 2, 1, ...}是单调递减的。
3. 有界单调性：数列既有界又单调，即既满足有界性，又满足单调性。
例如，数列{(-1)^n/n}既是有界的，其项的取值范围在-1和1之间，又是单调递减的。
二、数列极限的性质及定理1. 数列极限的定义：数列{a_n}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项a_n趋向于某个常数L。
用数学符号表示为lim(a_n) = L。
例如，数列{1/n}的极限是0，即lim(1/n) = 0。
2. 数列极限的唯一性：如果数列{a_n}的极限存在，那么它是唯一的。
即数列的极限不依赖于数列的前几项，只与数列的性质有关。
例如，数列{(-1)^n/n}的极限是0，无论数列的前几项是多少。
3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限的重要定理之一，它用于求解一些复杂的极限问题。
夹逼定理的核心思想是通过夹逼数列来确定数列的极限。
例如，对于数列{1/n^2}，我们可以通过夹逼定理得出其极限为0。
4. 递推数列的极限：递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。
递推数列的极限可以通过求解递推关系式来确定。
例如，对于数列{a_n = a_(n-1) +1/n}，我们可以通过求解递推关系式得出其极限为无穷大。
二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点5数列单调性的判断方法(五)——递推法
专题1 数列的单调性微点5 数列单调性的判断方法（五）——递推法12n n nn x x x ++++；112n b ⎛⎫− ⎪⎭⎝，若在k b 与m b m ++−n a (,m n ∈N参考答案：()1122941n a a −−⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅⋅+由10a >可得若21a a >，即，解得10a <<即当10a <<，此时数列k由③知∑是递增数列．21c c >>>>，11024， 是单调递增；当10n ≥时3n n++，由此利用错位相减法能求出）问得到m =)N n *∈时，12212333n n nn nnx x x +++++=+++，① 1133n n n n+−+++，② 211111()1111133(11333332313n n n n n n n ++⎡⎤−⎢⎥⎣⎦+++−=−=−−． m ，n ，使T 11m +=+112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭从而求得n t 的最大值，项,然后对{2k k +++=，当9k =时的情况即可求得是等比数列，且各项均为正数，所以112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭11142n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭112n ⎫⎛⎫⎛−⎪⎪⎭⎝⎭⎝224848n n n +=+233λ<<，2k k +++=9922−=+， 2019=m b ++，设m b m ++−212222m mm b m ++=++++， 22222m m +++，则2311212222m m T −=++++21111111112222222m m m m m m T ++=+++−=−−=2222222m m mm mb m m m ++++−=+−−=−，22mm+−，N *m ∈， 2122222m m ++++=−−+77922S =−21n b −+++112n ⎛ −+−⎝121n +单调递减，23=−，显然b,a ()3,⎫+∞⎪⎪⎭②，②－①即得()3,⎫+∞⎪⎪⎭考查数列的单调性的判定和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平(8n n b ++=256125125()2()()940n n b b b b b b b b b b n n ++−++=+++−++++=−+9,15940,6n n n n +≤≤+≥；）由题知12111(1)(1)(1)222n nA a a a =−−−， 21n +，则111()21(1)(1)(1)22ng n n a a =+−−−， (21)2(22)2n n n n ++3(1)g =都成立，则3a >.。
高中数学中数列与数列递推公式的性质与运算总结
高中数学中数列与数列递推公式的性质与运算总结数列是数学中常见的概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列在高中数学中有着重要的地位，它不仅是数学中的基础，也是其他数学分支的重要工具。
在学习数列的过程中，我们不仅需要了解数列的性质，还需要掌握数列的运算方法和数列递推公式的应用。
首先，数列有着一些基本的性质。
首先是数列的有界性。
一个数列如果存在上界或下界，那么它就是有界数列；反之，如果没有上界或下界，那么它就是无界数列。
其次是数列的单调性。
如果数列的后一项大于（或小于）前一项，那么这个数列就是递增（或递减）数列；如果数列的后一项大于等于（或小于等于）前一项，那么这个数列就是递增（或递减）数列。
此外，数列还有等差数列和等比数列等特殊类型。
等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等；等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等。
其次，数列的运算方法也是我们需要掌握的。
数列的运算主要包括四则运算和复合运算。
四则运算是指对数列中的每一项进行加、减、乘、除的运算；复合运算是指对两个或多个数列进行运算，如求和、求积、求差等。
数列的运算方法可以帮助我们进一步研究数列的性质和规律。
最重要的是数列递推公式的应用。
数列递推公式是指通过已知的数列前几项，推导出数列后续项的公式。
数列递推公式有两种形式：显式递推公式和递推关系式。
显式递推公式是指通过已知的数列前几项，直接得出数列后续项的公式；递推关系式是指通过已知的数列前几项，得出数列后续项与前几项的关系，然后再通过递推关系得出数列后续项的公式。
数列递推公式的应用可以帮助我们解决实际问题，如求解等差数列或等比数列的通项公式，求解复合数列的递推关系等。
总结起来，高中数学中数列与数列递推公式是我们必须掌握的重要内容。
数列的性质和运算方法可以帮助我们深入理解数列的规律和特点，数列递推公式的应用可以帮助我们解决实际问题。
通过对数列的学习和应用，我们不仅可以提高数学思维能力，还可以培养逻辑思维和问题解决能力。
递推数列的单调性
an 单调递增
2. an+1 an 恒成立
an 单调递减
3. an+1 an 恒成立
an 是常数列
例1.已知数列an的通项是 an n2 n n N *
若an单调递增，则 的取值范围是
.
分析： an1 n 12 n +1
an n2 n an1 an 恒成立 2n 1 0 恒成立
数列的给出形式
1.通项公式 an =f n a1 =f 1 a2 =f 2 a3 =f 3 an =f n
定义域？ 值域？
2.给出递推关系即及初始项
an+1 =f an ，a1 c
a1 c a2 f a1 a3 f a2 an =f an1 定义域？ 值域？
数列的单调性研究
1. an+1 an 恒成立
递推数列的单调性
a1 c
an+1 =f an
问题引入
2018学年第一学期9+1联盟高三期中试卷第17题
设数列an满足 an+1 =2 an 1n N *，
若存在常数M 0，使得对于任意 n N *，
恒有 an M ，则 a1的取值范围是
.
问题解决
一. 代数解法 数学归纳 法
二. 几何意义 研究单调性
记an+1 =f an , 则 f x x2
若
a1
=
1 2
，猜想an
的单调性.
单调递减
若a1 =1，猜想an的单调性. 常数列
相同的递推关系，首项不同，单调性不同
递推数列的单调性与函数的关系
1. an+1 an 恒成立
an 单调递增
an 单调递增 an+1 =f an
数列与数列的性质
数列与数列的性质数列是由一系列按照特定规律排列的数字所组成的序列。
数列的研究在数学中具有重要的地位，它们不仅有着广泛的应用，而且涉及到了许多重要的性质和定理。
一、数列的定义和表示数列可以通过显式公式或递推关系式来定义和表示。
显式公式以通项公式的形式将数列的每一项与项号n之间的关系表示出来，例如：a_n = 2n + 1递推关系式则将数列的每一项与前一项或前几项的关系表示出来，例如：a_{n+1} = a_n + 2，a_1 = 1其中，a_n表示数列的第n项。
二、数列的性质1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
如果数列的所有项都有上界和下界，并且能够找到这两个界，那么该数列就是有界数列；否则，就是无界数列。
2. 单调性：数列可以是递增的，也可以是递减的。
如果数列的每一项都大于等于前一项，则为递增数列；如果数列的每一项都小于等于前一项，则为递减数列。
3. 奇偶性：数列可以是奇数列，也可以是偶数列。
奇数列指的是数列的每一项都是奇数，偶数列指的是数列的每一项都是偶数。
4. 等差数列：等差数列指的是数列的每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列可以用通项公式an = a1 + (n-1)d 来表示，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
5. 等比数列：等比数列指的是数列的每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列可以用通项公式an = a1 * r^(n-1) 来表示，其中an表示第n项，a1表示第一项，r表示公比。
6. 斐波那契数列：斐波那契数列由0和1开始，之后的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列可以用递推关系式来表示：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，F(0) = 0，F(1) = 1三、数列的应用数列在实际问题中有广泛的应用。
例如：1. 财务规划：数列可以用来计算投资回报率，规划资产增长等。
2. 自然科学：数列可以用来描述物理过程中的波动、增长或衰减等现象。
3. 统计学：数列可以用来分析数据序列中的规律，预测未来趋势等。
新教材高中数学第1章数列的概念第2课时数列的递推公式与数列的单调性pptx课件湘教版选择性必修第一册
解析：A，B中没有说明第一项，无法递推．
5．数列{an}的通项公式an＝
1 ，则
n+ n+1
10－3是此数列的第__9___
项．
解析：∵an＝
1 n+ n+1
＝ n + 1 − n＝ 10－3
＝ 10 − 9，
∴n＝9.
题型探究•课堂解透
题型1 根据递推公式求数列的项
例1 (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋an1−1＝1(n≥2且n∈N＋) ，则
而n∈N＋，所以t>－3， 故t的取值范围是(－3，＋∞)．
方法二an＝n2＋tn＝ Nhomakorabean
+
t 2
2－t2，
4
由于n∈N＋，且数列{an}为递增数列，结合二次函数的图像得－2t <32，
解得t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞)．
【易错警示】
出错原因
纠错心得
用函数思想解决数列的问题时， 特别是研究数列的单调性时， 应注意数列的特征．要能够恰 当利用函数的性质，通过数形
数A列．{2ann}的通B项．公式n+n为1 nan＝(
)
C．n2＋1 D．n＋1
答案：A
解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1， 即由a累nan+乘1＝法n可+n1得，aa则n1＝aannn−1，＝所n−n以1 ，an＝aann2−−n12＝(n≥nn−−212)，，aann−−23＝nn−−23，…，aa21＝21，n≥2， 又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.
ቊaann≥≥aan−n+1，1 得n的取值范围，再由n∈N＋得到n的值．
数列知识点
数列知识点数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照一定顺序排列的数组成。
数列的知识点包括数列的定义、分类、性质以及数列的求和等。
以下是数列知识点的总结：1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一列数，通常用小写字母表示，如数列{a_n}。
2. 数列的分类：- 有穷数列：项数有限的数列。
- 无穷数列：项数无限的数列。
- 等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
- 等比数列：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数的数列。
3. 数列的性质：- 单调性：数列的项按照大小顺序单调递增或递减。
- 有界性：数列的项值在一定的范围内变动，即存在上下界。
- 收敛性：数列的项值随着项数的增加趋向于一个固定值。
4. 数列的通项公式：数列的通项公式是表示数列中第n项的公式，如等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。
5. 数列的求和：- 等差数列求和公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)，其中S_n 是前n项和。
- 等比数列求和公式：S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r 是公比，且|r| < 1。
6. 数列的极限：数列的极限是指数列的项值随着项数的增加趋向于某个值的性质，记作lim (n→∞) a_n = L。
7. 数列的递推关系：数列的递推关系是指通过数列中前一项或几项来确定下一项的公式，如斐波那契数列的递推关系为a_n = a_(n-1) + a_(n-2)。
8. 数列的应用：数列在数学分析、概率论、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
9. 数列的收敛判别法：- 比较判别法：通过比较数列与已知收敛性数列的项来确定数列的收敛性。
- 比值判别法：通过计算数列项的比值来判断数列的收敛性。
- 根值判别法：通过计算数列项的n次方根来判断数列的收敛性。
10. 数列的级数：数列的级数是指将数列的项相加形成的无穷和，如级数∑a_n。
由递推关系X1=a和X（n+1）=f（Xn）确定数列极限常用方法
xn + 1
a. 若 x > 0，则当 xn ≥ 1( ≤ 1) 时，xn 单调递增（减）
xn + 1b. 源自 x < 0，则当 xn ≥ 1( ≤ 1) 时，xn 单调递减（增） 注： 由 xn+1 − xn 与 xn − xn−1 同号，即可判定 xn 单调。
3. 设数列 xn，由 x1 和 xn+1 = f(xn)(n = 1, 2, …), xn ∈ I 所确定 a. 若 f(x) 在 I 上单增，则 当 x1 ≤ x2 时，xn 单调递增； 当 x1 ≥ x2 时，xn 单调递减； b. 若 f(x) 在 I 上 单调递减，则 xn 不单调
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由递推关系 X1=a和 X（ n+1） =f（ Xn）确定数列极限常用方法
方法一（数列具有单调性）
1. 先证数列 xn 收敛（常用单调有界准则） 2. 令 limxn = A，等式两端取极限的 A = f(A)，解得 A 3. 下结论
方 法 二 （ 数 列 不 具 有 单 调 性 ） ——“先 斩 后 奏 ”
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数列递推关系与单调性
数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性）
11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 求数列的通项公式：法一：直接求n a ；法二：先求n S ，再求n a ，要注意n 的变化 ()n n S f a ⎧==⎨
⎩一.线性的二.非线性的
一．线性的
1.已知21n n S a =+ 求n a
2.已知21n n S a =+ 求n a
3.已知111,22n n a S a +==+，求n a 注意序号的变化
二．非线性的
1.已知0n a >，222n n n S a a =+-；求n a
2.已知0n a >，242n n n S a a =+，求n a
3.已知0n a >，12n n n
S a a =+，求n a 总结：（1）11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩这主要是解题的步骤；（2）决策好先求n a 还是n S ;（3）()n n S f a =与1()n n S f a +=的区别
递推关系：
（1）1()n n a a f n +=+
Exe1.已知11a =，1n n a a n +=+，求n a
2.已知11a =，12n n n a a +=+，求n a
3.已知11a =，12n n n a a n +=++，求n a
4.已知11a =，11(1)
n n a a n n +=++，求n a
（2）1()n n a a f n +=
Exe1.已知11a =，11
n n
n a a n +=+，求n a 2.已知11a =，12n n n a a n ++=，求n a 3.已知11a =，1n n a na +=，求n a
（3）1n n a Aa B +=+ （1A ≠） Way1:1()11n n B B a A a A A +-=---
Way2. 111n n n n n a a B A
A A +++=+ Exe.1已知11a =，121n n a a +=+，求n a
2.已知11a =，131n n a a +=+，求n
a
3.已知11a =，152n n a a +=+，求n a
（4）1()n n a Aa f n +=+ (1)A ≠
分为两类：1.()f n pn q =+ 2.()n f n q =
1.1n n a Aa pn q +=++
Way1.⇒（1）：：：111n n n n n a a pn q A A A
++++=+ Way2.⇒（2）：：：1(1)()n n a x n y A a xn y +-+-=--
Exe1.已知111,2n n a a a n +==+，求n a
2.已知111,321n n a a a n +==++，求n a
2.
1n n n a Aa q +=+111111111111:::()2:::()13:::1:::((1))(())A=12:::n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a q way A A A A way a xq A a xq a A a way q q q q way a x n y q A a xn y q q a a way q q q ++++++++++⎧⎧=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪≠-=-⎨⎪⎪⎪⎪=⋅+=⎨⎪⎩⎪⎪⎧-++=-+⎪⎪⎪⎨=+⎪⎪⎩⎩
当A q 时，当时， Exe1.已知111,23n n n a a a +==+，求n a
2.已知111,32n n n a a a +==+，求n a
3.已知111,22n n n a a a +==+，求n a
4.已知111,232n n n a a a +==++，求n a
5.已知111,231n n n a a a n +==+++，求n a
（5）1()()n n a f n a p n +=+ Way:::(1)()()
h n f n h n += Exe1.已知11111,n n n a a a n n
++==
+，求n a 2.已知111,1n n n a a a n n +==++，求n a （6）21n n n a Aa Ba ++=+；
Way1.：：
化三项为两项处理
Way2.:::公式法处理;这个递推关系的二阶特征根方程为2
x Ax B =+
（1）当方程有两个不同根12,x x ，
设 2212n a x tx λ=+，其中t 与λ是由首项确定的
（2）当方程有两个相同实数根时12x x =,
设1()n n a n t x λ=+，其中t 与λ是由首项确定的
（3）当方和无解时，它将和周期有关系(sin cos )n n a r A n B n θθ=+
Way3.可以构建方程；1111.......(1) (2)
n n n n n n a a t a a αββλα----⎧-=⋅⎪⎨-=⋅⎪⎩ Exe1. 已知121a a ==，21712n n n a a a ++=-， 求n a
2. 已知121a a ==，2156n n n a a a ++=-， 求n a
3. 已知121a a ==，2144n n n a a a ++=-， 求n a
4. 已知121a a ==，12n n n a a a ++=+， 求n a （7） (ad bc ≠ )
Way1:找1()n n a f a +=对应的背景函数()y f x =利用函数的不动点()f x x = Way2:利用特征根方程：ax b x cx d
+=+ （1）若有两个不相等的根12,x x ，则12
{}n n a x a x --为等比数列； （2）若方和有两个相等的实数解：则11{
}n a x -为等差数列； （3）若方程没有实数解，则数列{}n a 为周期数列； Exe1.已知11a =，164
n n n a a a +-=-，求n a 2.已知11a =，143
n n n a a a +-=-，求n a 3.已知11a =，111n n a a +=-
+，求n a 4.已知11a =，1383
n n n a a a +-=-，求n a 这里要注意，分式结构的变化很多，它可以： 1n n n aa b a ca d
++=+
110n n n n a a Aa Ba C ++⋅+++=就是分式结构的转换， 可以是：110n n n n a a Aa Ba ++⋅++=考查没有常数项，同除以1n n a a +⋅这样就比上面的模型快
（8）()1f n n n a Aa +=
Way:::主要是降幂，取对数；
Exe1.已知11a =，212n n n a a a +=+，求n a
2.已知11a =，1(1)12n n n n a a
++=，求n a
(9)其它形式 （1）已知11a =，2121n n a a +=-，求n a
（2）已知1()f x x =，((()))()n n f
f f f x f x =个，1()(())n n f x f f x +=，求()n f x
（3）已知11a =，12n n a a n ++=，求n a
（4）11a =，22a =，22
(1)13sin 1(1)22n n n n n n a a a π+-+=+++-，求n a
数列的单调性⇔函数的单调性
（1）{}n a 为单调递增110n n n n a a a a ++⇔>⇔->
（2）{}n a 为单调递减110n n n n a a a a ++⇔<⇔-<
（3）{}n a 为常数列110n n n n a a a a ++⇔=⇔-=
（4）{}n a 为摆动数列
策略：（1）作差与作商，（2）构建函数
Exe1.数列{}n a 满足2n a n n λ=+，且为递增的，求λ的取值范围；
2.数列{}n a 满足32n n n a λ=-⋅，且为递增的，求λ的取值范围；
3.数列{}n a 满足3(2)n n n a λ=-⋅-，且为递增的，求λ的取值范围；
4.判断1111()123
2f n n n n n =+++++++的单调性； 5.判断1111()12321
f n n n n n =++++++++的单调性；
6.数列{}n a 满足：1a a =，12n n a a n ++=，若数列{}n a 递增，求a 的取值范围。