离散数学课件命题演算(数)

二、原子命题和复合命题
原子命题或原子(atoms) 不含有逻辑联结词的命题。
复合命题(compositive propositions)
由原子命题和逻辑联结词共同组成的命 题。
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三、命题的表示
为了能用数学方法来研究命题之间的逻辑关 系和推理，需要将命题符号化。
原子命题通常记为p，q，r，s等小写拉丁 字母。 f表示恒假命题， t表示恒真命题。
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例：
如果我拿到奖学金，我请客。 p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后 件。 数学中还常把q→p，┐p→┐q， ┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命 题，逆否命题。
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双向蕴涵词(two-way implication) “当且仅当”(if and only if)， 用符号表示之。 pq读作“p双向蕴涵q”，“p当且仅当 q”，“p等价于q”。 设p，q为两命题，那么pq表示命题“p 当且仅当q”，“p与q等价”， 规定：当p与q同真值时pq为真，否则 为假。
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五、命题公式
依定义，若判断一个公式是否为命题公式，必 然要层层解脱回归到简单命题方可判定。 (p∧q) (p→(p∧q)) (((p→q)∧(q→r)) (p→r)) 都是命题公式。 p∨q∨ ((p→q)→( ∧q)) (p∨qr) →s 都不是命题公式, 没有意义, 我们不讨论。
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五、命题公式
0 0 1 1
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例：
p: 我选修人工智能。 q: 我选修算法理论。 则p∨q: 我选修人工智能或选修算法理论。
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析取词(disjunction)“或”(or)
在自然语言中的“或”具有二义性，有时 “或”是可兼的，有时是不可兼或(即排斥或)。 例如： (1) 张三或者李四考了90分。 (2) 第一节课上数学课或者上英语课。 (3)人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿
逻辑等价式A╞╡B可以从两个角度去理解： （1）A╞╡B表示断言“AB是重言式”。 （2）A╞╡B表示“A，B等值”，或理解 为“当A真时B亦真，当A假时B也假”，甚至 理解为“由A真可推出B真，且由B真可推出A 真”。
用符号∧表示。
设p，q表示两命题，那么p∧q表示合 取p和q所得的命题， p∧q读作“p并且q”或“p且q”。
规定：p和q同时为真时p∧q真，否则 p∧q为假。
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2)合取词(conjunction)“并且”(and)
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1
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例：
p: 教室里有10名女同学。 q: 教室里有15名男同学。
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三、命题的表示
1 用单个字母表示某一具体命题，这时该符 号称为“命题常元”。 2 用单个字母表示任一命题，这时该符号称 为“命题变元”。它们是以“真、假”为 取值范围的变元。
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四、逻辑联结词
下面介绍五个常用的逻辑联结词： ┐ 、∧、∨、→、 1)否定词(negation) 用符号 ┐表示
设p表示一命题，那么┐p表示命题p的否定。
┐p读作“并非p”或“非p”。 规定：p真时┐p假，而p假时┐p真。
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1)否定词(negation)
真值表
p
0
┐p 1 0
1
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1)否定词(negation)
例： 1)雪是白的。
2)上海是个大城市。
3)咱班的同学都大于20岁。
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2)合取词(conjunction)“并且”(and)
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双向蕴涵词(two-way implication) “当且仅当”(if and only if)， p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p q 1 0 0 1
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例：
p:△ABC是等腰三角形 q:△ABC中有两个角相等 命题p q就是"△ABC是等腰三角形当且仅当 △ABC中有两个角相等"。
命题“教室里有10名女同学与15名男同学”，
可表示为p∧q。
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例：
a: 今天下雨了。 b: 教室里有100张桌子。 可知a∧b就是命题
"今天下雨了并且教室里有100张桌子".
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日常自然用语里的联结词“和”、“与”、 “并且”，一般是表示两种同类有关事物的并 列关系的。 在逻辑语言中仅考虑命题与命题之间的形式 关系或说是逻辑内容，并不顾及日常自然用语 中是否有此说法。这样"∧"同"与"、"并且"又 不能等同视之。日常自然用语句，因a, b毫无 联系，然而在数理逻辑中a∧b是可以讨论的。
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一、命题
例： 8) 2＋2＝5 9) 1＋101＝110 10) x+y≤0
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一、命题
例：
11) 我正在说谎。 12) 我只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。
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一、命题
14)雪不是白的。
15)今晚我去商店或者去打球。
16)若数a是4的倍数，则它一定是2的倍 数。 逻辑联结词或命题联结词
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五、命题公式
指派 命题公式代表一个命题，但只有当公式 中的每一个命题变元都用一个确定的命题代入 时，命题公式才有确定的真值，成为命题。 设公式A为含有命题变元p1，p2，…,pn 的命题公式，对p1，p2，…,pn分别指定一个 真值,A均有一个确定的真值。称为对公式A 的一组真值指派。 公式与其命题变元之间的真值关系，可以 用真值表的方法表示出来。
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五、命题公式
定义1.1 归纳定义命题公式(proposition formula)： (1)命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子 公式或原子。 (2)如果A，B是命题公式，那么(┐A)，(A∧B)， (A∨B)，(A→B)，(AB)也是命题公式。 (3)只有有限步引用条款(1)，(2)所组成的符号 串是命题公式。
3
2
3
三、离散数学课程的特点
以离散量为研究对象，内容丰富，涉及面较宽。 因此概念多、定理多、推理多并且内容较为抽象。 但由于它是为学生后继专业知识的学习做必要的 数学准备，因此它研究的内容均比较基础，难度 不大。
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课程安排
学时：48
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第一章
命题演算及其 形式系统
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重点:范式
掌握命题的概念；掌握五个基本的 命题联结词的概念； 掌握命题公式的概念；了解什么是 成真赋值，什么是成假赋值； 掌握简单语句的形式化；
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析取词(disjunction)“或”(or)
用符号∨表示。
p∨q读作“p或者q”，“p或q”。
设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和 q的析取， 规定：当p和q有一为真时，p∨q为真， 只有当p和q均假时p∨q为假。
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析取词(disjunction)“或”(or)
p q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
七、重言式
定义1-2 命题公式A称为重言式(tautology)，如 果对A中命题变元的一切指派均弄真A。 因而重言式又称永真式。
A称为可满足式(satisfactable formula)，如果 至少有一个指派弄真A， 否则称A为不可满足式或永假式、矛盾式。
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这三类公式间有如下关系: 1. 公式A永真， 当且仅当┐A永假。
设p，q表示两命题，那么p→q表示命 题“如果p，那么q”。
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蕴涵词(implication) “如果……，那么……”(if…then…) 规定：当p真而q假时，命题p→q为假， 否则均认为p→q为真。
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蕴涵词(implication) “如果……，那么……”(if…then…)
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q 1 1 0 1
2. 公式A可满足, 当且仅当┐A非永真。
3. 不是可满足的公式必永假。 4. 不是永假的公式必可满足。
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七、重言式
例 对任何公式A，
A∨┐A 是重言式 A∧┐A 是矛盾式 这两个事实揭示人们通常的思维所遵循的逻辑 排中律和矛盾律。 对任何原子命题p，p与┐p都是 可满足式 。
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七、重言式
例 构造下列命题公式的真值表，并判断它们是何 种类型的公式
为使公式的表示更为简练，我们作如下约定： (1)公式最外层括号一律可省略。 (2)联结词的结合能力强弱依次为 ┐，(∧，∨)，→， (∧，∨)表示∧与∨平等。 (3)结合能力平等的联结词在没有括号表示 其结合状况时，采用左结合约定。
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五、命题公式
通常采用省略一部分又保留一部分括 号的办法，这样选择就给公式的阅读带来 方便。如 (p→(q∨r)) 可写成p→(q∨r)或p→q∨r。 (p→(p→r)) 可写成p→(p→r)。
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1.1 命题与联结词
一、命题： 对确定的对象作出判断的陈述句 。
该定义有3层含义：
(1)命题是一个陈述句； (2)命题具有真假值。 (3)确定的对象；
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一、命题
例： 1.雪是白的。 2.雪是黑的。 3.好大的雪啊！ 4. 昨天下雪了吗？
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一、命题
例： 5.陈胜、吴广起义的那天杭州下雨。 6.2006年10月1日天晴。 7.别的星球上有生物。
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重点:范式
掌握重言式和矛盾式的概念，并能用真值 表法和命题演算法判断一个命题公式是重言 式还是矛盾式；
掌握逻辑等价式和逻辑蕴涵式的概 念；熟练掌握基本的逻辑等价公式；
掌握命题演算证明的三种方法。
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重点:范式
掌握析取范式、合取范式、主析取 范式、主合取范式的概念；熟练掌握利 用求任意命题公式的主析取范式和主合 取范式的方法：
毛。
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析取词(disjunction)“或”(or)
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 0