专题：与圆有关的最值问题
B yC x A OD B O C A B O y A x P B O y A x P B O y A xP 与圆有关的最值(取值范围)问题引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(３，0）,点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点,且AC=2．设ｔan ∠ＢOC=m,则ｍ的取值范围是__＿__＿___.引例2：如图,在边长为１的等边△OAB 中,以边A Ｂ为直径作⊙D ，以O 为圆心ＯA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧AB 上的一个动点（不与A 、Ｂ两点重合),射线AC 交⊙Ｏ于点Ｅ,B Ｃ=a ,A Ｃ=b ,求a b +的最大值. 引例3：如图,∠BAC ＝6０°,半径长为１的圆O 与∠BA Ｃ的两边相切，P 为圆O 上一动点,以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、Ｅ两点，连接DE ，则线段ＤE 长度的最大值为（ ）．A ．3 B.6 332 D ．33此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1.引例1：通过隐藏圆(高中轨迹的定义)，寻找动点Ｃ与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切)进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性)进行了延伸考查,其实质是高中“直线斜率”的直接运用;２．引例２:通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、Ｂ构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；３.引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点,增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点Ｄ、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE ＝60°)，构造弦ＤE 、直径所在的直角三角形,从而转化为弦ＤE 与半径AP 之间的数量关系,其实质是高中“正弦定理”的直接运用;综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形;2.特殊位置,比较结果;3.理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量)之间的关系,建立等式，进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用如图,A 点的坐标为(－２，1)，以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B,P ()a b ，为⊙A 上的一个动点，请分别探索：①b a +的最大值；②b a +的最小值;③b a -的最大值；④b a -的最大值;A M D D OC B A 【拓展延伸】：①2b a +的范围；②2b a -的范围;例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ＡBC 中,∠AC Ｂ=９０°，ＡC=4,BC=3,点D 是平面内的一个动点,且ＡD=2,M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段ＣM 长度的取值范围是 ．2.如图,⊙O 的直径为４，C 为⊙Ｏ上一个定点,∠AB Ｃ＝3０°,动点Ｐ从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点Ｐ与点C 在直径AB 的异侧),当P 点到达B 点时运动停止,在运动过程中,过点C 作CP 的垂线C Ｄ交PB 的延长线于D 点.(1)在点Ｐ的运动过程中,线段CD 长度的取值范围为 ； (2）在点P 的运动过程中,线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 １.如图,△ABＣ中,∠BAC=６0°,∠ABC=４5°，A Ｂ=22是线段ＢC 上的一个动点，以A Ｄ为直径作⊙O 分别交ＡＢ,ＡＣ于E,Ｆ两点,连接ＥＦ,则线段ＥＦ长度的最小值为 .2. 如图，定长弦C Ｄ在以ＡＢ为直径的⊙O 上滑动(点Ｃ、D 与点A 、B 不重合)，M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥ＡB 于点P,若CD=３，ＡB=8,则PM 长度的最大值是 .例四、柯西不等式、配方法1.如图，已知半径为２的⊙O 与直线ｌ相切于点A ，点Ｐ是直径AB 左侧半圆上的动点，过点Ｐ作直线l 的垂线,垂足为C ，P Ｃ与⊙O 交于点D,连接P Ａ、PB,设PC 的长为x(2＜ｘ<4）,则当x= 时，PD•ＣD 的值最大，且最大值是为 .O A BC O P Q A N M B E B A C OD OD C EA B ２．如图，线段AB ＝４，C 为线段A Ｂ上的一个动点，以ＡＣ、ＢC 为边作等边△ACD 和等边△ＢCE ，⊙O 外接于△CDE,则⊙Ｏ半径的最小值为( ）.A.４ﻩB.233C.322ﻩD. ２3．在平面直角坐标系中，以坐标原点Ｏ为圆心,2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点,且P 在第一象限内，过点P 作⊙Ｏ的切线与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角)1.如图，在Rt △AB Ｃ中，∠C=90°，AC ＝6,BC=８，Ｄ为AB 边上一点,过点D 作CD 的垂线交直线ＢC 于点Ｅ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图,R ｔ△AＢC 中,∠C=9０°，∠A ＝３0°，AB=4，以AC 上的一点Ｏ为圆心OA 为半径作⊙Ｏ，若⊙O 与边ＢC 始终有交点(包括B 、Ｃ两点),则线段ＡO 的取值范围是 .3．如图,射线P Ｑ∥射线ＭN,P Ｍ⊥MN ，A 为PM 的中点，O 为射线P Ｑ上的一个动点,A Ｃ⊥AB 交MN 于点C,当以O 为圆心,以OB 为半径的圆与线段ＰM 有公共点时(包括Ｐ、M 两点），则线段ＯＰ长度的最小值为 ．l Q PN M A B C F E C B A O GD O B D CP例五、其他几何知识的运用如图所示,AC ⊥AB,AB=6,ＡＣ＝4,点D 是以AB 为直径的半圆Ｏ上一动点，ＤE ⊥C Ｄ交直线AB 于点E ，设∠DAB=α,（０°＜α<9０°).若要使点E 在线段OA 上(包括O 、Ａ两点）,则tan α的取值范围为 .【题型训练】1.如图，已知直线l 与⊙Ｏ相离,OA ⊥l 于点A ，O Ａ=５,ＯA 与⊙O 相交于点P,AB 与⊙O 相切于点B,BP 的延长线交直线l 于点C,若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以ＡC 为底边的等腰三角形,则⊙O 的半径r 的取值范围为 .2．已知：如图,Rt ΔAB Ｃ中,∠B=90º，∠A=30º,B Ｃ＝６cm,点O 从A 点出发，沿ＡB 3的速度向B 点方向运动，当点Ｏ运动了ｔ秒(t ＞０)时,以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D,与边A Ｂ相交于Ｅ、F 两点,过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G.(1）若点G 在线段ＢC 上，则t 的取值范围是 ；（2）若点G 在线段B Ｃ的延长线上，则t 的取值范围是 ．3.如图,⊙Ｍ,⊙N 的半径分别为2ｃm ，4c ｍ,圆心距MN=10cm.P 为⊙M 上的任意一点,Ｑ为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Ｑ在两圆上任意运动时,tan α∠的最大值为( ）.6 (Ｂ）43 3Ｄ)44.如图，在矩形A ＢＣD 中，A Ｂ=3，BC=４，O 为矩形ABCD 的中心，以Ｄ为圆心1为半径作⊙D ，Ｐ为⊙D 上的一个动点,连接A Ｐ、ＯP ，则△A ＯP 面积的最大值为( )． (Ａ)4 (B)21 (Ｃ)35 （D ）17A Q C PB OA DBC E F C AD B Q P O A xy P 5.如图，在Rt △ＡBC 中,∠C=９0°,AC=８，B Ｃ＝６，经过点C 且与边A Ｂ相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q,则线段PQ 长度的最小值是（ ).A.194ﻩB.245Ｃ．5ﻩ D.426.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°,ＡＣ＝ＢC ＝4，D 是ＡB 的中点,点E 在AB 边上运动(点E 不与点A 重合),过A 、Ｄ、E 三点作⊙O ，⊙O 交ＡC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段E Ｆ长度的最小值为 .7.如图，A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、(0,2),⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为１，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( ).A.2 Ｂ．1 C.222- D.228.如图,已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0）、(0，1），⊙Ｃ的圆心坐标为（0，-1)，半径为1,Ｄ是⊙C 上的一个动点,射线AD 与y 轴交于点E,则△AB Ｅ面积的最大值是( ).A ．３B ．113 C ．103Ｄ.4 ９.如图,等腰Rt △ABC 中,∠ACB ＝9０°,ＡC=BC=4,⊙C 的半径为1，点Ｐ在斜边AB 上,ＰQ 切⊙Ｏ于点Q,则切线长P Ｑ长度的最小值为( ). 7 Ｂ.22 Ｃ. 3 D.４10．如图∠ＢA Ｃ=６0°,半径长1的⊙O 与∠BAC 的两边相切,P 为⊙O 上一动点,以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 交射线AB 、ＡC 于Ｄ、Ｅ两点,连接DE ，则线段D Ｅ长度的范围为 .１1．在直角坐标系中，点A 的坐标为（3,0),点P(m n ，）是第一象限内一点,且AB=2，则m n -的范围为 .O A B x y P １2.在坐标系中,点Ａ的坐标为(３，0)，点Ｂ是y 轴右侧一点，且AB ＝２,点C 上直线y ＝ｘ+1上一动点,且ＣB ⊥AB 于点Ｂ,则tan ACB m ∠=，则m 的取值范围是 .13.在平面直角坐标系中,M(3,４），P 是以M 为圆心,2０）,连接PA 、PB,则PA 2＋PB ２最大值是 .综合点评:与圆有关的最值问题,看着无从下手，但只要仔细观察,分析图形,寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口!。
与圆有关的最值范围问题(九种题型) Word版含解析【KS5U 高考】
与圆有关的最值范围问题一．基础知识回顾1、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.2、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于3、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.4、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.C PC r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C lC l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM lCPMC P P MN5、利用代数法的几何意义求最值（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题二．题型分类1.圆上动点到定点2.圆上两动点3.圆上动点到直线距离最值4.切线长最值5.圆内定点弦长最值6.面积最值7.代数式几何化最值—截距型 8.代数式几何化最值—斜率型 9.代数式几何化最值—距离型三．常用方法策略 1.数形结合 2.转化到圆心问题 3.三角换元 四．例题解析1.圆上动点到定点例1.若点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值范围是______．曲线2264120x y x y +--+=，即()()22321x y -+-=，表示圆心()3,2C ，半径1r =的圆，则223213OC =+因为点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，所以OC r OM OC r -≤≤+，131131OM ≤≤，即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦； 故答案为：13131⎡⎤⎣⎦例2.在圆()()22232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______．()()22025382-+-+=>，∴点(0,5)-在圆外∴圆上与点(0,5)-距离最远的点，在圆心与点(0,5)-连线上，且与点(0,5)-分别在圆心两侧， 令直线解析式：y kx b =+，由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-，可得直线解析式：5y x =-， 与圆的方程联立，可得()()22222x x -+-=，3x ∴=或1x =∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-，其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.2.圆上两动点例1.已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．32B ．52C ．522+D ．322+【答案】C【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 2又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --222(12))(13)5CD =+++=，∴AB 的最大值为22522CD =+ C.例2.设圆221:104250C x y x y +-++=与圆222:142250C x y x y +-++=，点A ，B 分别是1C ，2C 上的动点，M 为直线y x =上的动点，则||||MA MB +的最小值为( ) A ．3157- B ．3137- C ．524- D ．534- 【答案】B【解析】根据题意，圆221:104250C x y x y +-++=，即22(5)(2)4x y -++=，其圆1C 的圆心(5,2)-，2r =，圆222:142250C x y x y +-++=，即22(7)(1)25x y -++=， 其圆2C 的圆心(7,1)-，5R =，如图所示：对于直线y x =上的任一点M ，有1212||||||||||||7MA MB MC MC R r MC MC ++--=+-， 求||||MA MB +的最小值即求12||||7MC MC +-的最小值，即可看作直线y x =上一点到两定点1C 、2C 距离之和的最小值减去7， 由平面几何的知识易知当1C 关于直线y x =对称的点为(2,5)C -， 与M 、2C 共线时，12||||MC MC +的最小值，其最小值为2||313CC =， 故||||MA MB +的最小值为3137-；故选：B ．3.圆上动点到直线距离最值例1.点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3yx的最短距离为（ ）A 2B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】圆22(1)2x y -+=的圆心为(1,0)，半径2r =则圆心(2,0)到直线30x y -+=的距离为22103221(1)d -++-所以直线与圆相离， 则点P 到直线3yx的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点P 到直线20l x y -+=:的最短距离为2222=C ． 例2.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP△面积的取值范围为（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．[]28,D ．[]4,6 【答案】A【解析】圆心()2,0到直线20x y ++=距离202222d ++==所以点P 到AB 距离即高h 的范围2,32⎡⎣，又可求得22AB = 所以ABP △面积12S AB h =⋅的取值范围为[]2,6.故选：A.4.切线长最值例1.直线1y x =-上一点向圆()2231x y -+=引切线长的最小值为（ ）A ．22B ．1C 7D ．3 【答案】B【解析】圆()2231x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直线10x y --=212=>. ()22211-=，故选：B例2.已知圆O ：223x y +=，l 为过2M 的圆的切线，A 为l 上任一点，过A 作圆N ：()2224x y ++=的切线，则切线长的最小值是__________.39【解析】由题，直线OM 2l 的斜率为2 故l 的方程为)221y x -，即230x y -=. 又N 到l 的距离22203312d -+-==+，251339433⎛⎫-== ⎪⎝⎭5. 圆内定点弦长最值例1.已知圆O ：2210x y +=，已知直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R 与圆O 的交点分别M ，N ，当直线l 被圆O 截得的弦长最小时，MN =（ ） A 35B 55C ．25D ．35 【答案】C【解析】直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R ，即()()210a x b y -++=，所以直线过定点()2,1A -，()22||215OA =+-=O 半径10r =点A 在圆O 内，所以当直线与OA 垂直的时候，||MN 最短， 此时22||2||25MN r OA =-=C ．例2.当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43- 【答案】C【解析】因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =，又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.6. 面积最值例1.点P 是直线2100++=x y 上的动点，P A ，PB 与圆224+=x y 分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________． 【答案】8【解析】如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ， 所以222122242=⨯=-=-四边形PAOB S OA PA OP OA OP 为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2100++=x y 的距离：min 22521==+OP 故所求最小值为()222548-=.7. 代数式几何化最值—截距型例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（ ） A ．52B ．52C ．6D ．5【答案】A【解析】由22(3)(2)1x y -+-=，令3cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则52)4x y πθ+=+，所以当sin()14πθ+=时，x y +的最大值为52．故选：A例2．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(2A ，则y x -的最大值与最小值之和为（ ） A ．4 B ．26C ．4- D ．26-【答案】C【解析】因为圆C ：()()2230x a y a -+=>经过点(2A ， 2(1)23a -+=．又0a >，所以2a =，y x -可看成是直线y x b =+在y 轴上的截距．如图所示，当直线y x b =+与圆相切时，纵截距b 2032b-+=26b =-±所以y x -的最大值为26-26-y x -的最大值与最小值之和为4-． 故选：C ．8.代数式几何化最值—斜率型例1.（多选题）（2022·山东泰安·三模）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0 C ．22x y +51 D ．x y ＋的最大值为32【答案】ABD【解析】由实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=可得点(,)x y 在圆()()22211x y -+-=上，作其图象如下，因为yx表示点(,)x y 与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为y kx =22111k k -=+，解得：0k =或43k =，40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A ，B 正确； 22x y +表示圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的最大值为+1OC ， 所以22x y +最大值为()21OC +，又2221OC + 所以22xy +的最大值为625+C 错，因为224240x y x y +--+=可化为()()22211x y -+-=， 故可设2cos x θ=+，1sin y θ=+，所以2cos 1sin 324x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋，所以当=4πθ时，即2221x y ==x y ＋取最大值，最大值为32，D 对， 故选：ABD ．9.代数式几何化最值—距离型例1.设(,)P x y 是圆22(2)1C x y -+=上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为()A ．6B ．25C ．26D ．36 【答案】【解析】22(5)(4)x y -++表示圆C 上的点到点(5,4)-的距离的平方，圆22(2)1C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径为1， 圆心C 到点(5,4)-的距离为22(25)45-+=，22(5)(4)x y ∴-++的最大值是2(51)36+=．故选：D ．例2.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB 312（|P A |2＋|PB |2）的最大值为（ ） A ．33B ．7＋3C ．8＋3D ．16＋3【答案】C【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．不妨令A（－1，0），则B（1，0），设P（x，y）．由||||PAPB32222(1)3(1)x yx y++=-+（x－2）2＋y2＝3为P的轨迹方程．∴22222222||||(1)(1)1 22PA PB x y x yx y ++++-+==++，其中x2＋y2可以看作圆（x－2）2＋y2＝3上的点（x，y）到点（0，0）的距离的平方，∴x2＋y2的最大值为（232＝7＋3∴x2＋y2＋1的最大值为8＋322||||2PA PB+的最大值为8＋3。
与圆相关的最值问题
与圆相关的最值问题
与圆相关的最值问题可以包括多个方面，例如圆的周长、面积、弧长等。
以下是一些常见的与圆相关的最值问题及其解决方法：
1. 圆的周长最值问题：
* 设圆的半径为r，则周长C=2πr。
当r取最小值时，C取最小值。
* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。
2. 圆的面积最值问题：
* 设圆的半径为r，则面积A=πr^2。
当r取最小值时，A取最小值。
* 解决方法：与周长最值问题类似，当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。
3. 圆的弧长最值问题：
* 设圆的半径为r，圆心角为θ，则弧长L=rθ。
当θ取最大值时，L取最大值。
* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时θ取最大值。
4. 圆内接四边形面积最值问题：
* 设圆内接四边形的边长分别为a, b, c, d，则面积S=(a×b+c ×d)/2。
当a=b=c=d时，S取最大值。
* 解决方法：当四边形为正方形时，S取最大值。
5. 圆内接三角形面积最值问题：
* 设圆内接三角形的边长分别为a, b, c，则面积S=(a×b+b×c+c×a)/4。
当a=b=c时，S取最大值。
* 解决方法：当三角形为等边三角形时，S取最大值。
以上是与圆相关的常见最值问题及其解决方法，希望对您有所帮助。
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)圆中最值域定值问题研究类型一：例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。
求MP+NP的最小值。
例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。
求PC+CD的最小值。
例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。
求PE+PF的最小值。
类型二：折叠隐圆基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。
例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？类型三：随动位似隐圆例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。
方法归纳：1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。
与圆有关的最值问题
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
高中数学经典例题—与圆有关的最值问题
高中数学经典例题-与圆有关的最值问题I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆()()22:1225C x y -+-=，直线()():211740,l m x m y m m +++--=为任意实数．（1）求证：直线l 恒过定点；（2）判断直线l 被圆截C 得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短长度． 【答案】（1）()3,1；（2）34-， 【解析】（1）直线l 的方程经过整理得()()2740x y m x y +-++-=．由于m 的任意性，于是有27,4.x y x y +-⎧⎨+-⎩解此方程组，得3,1x y =⎧⎨=⎩，即直线l 恒过定点()3,1D ．（2）因为直线l 恒过圆C 内一点D ，所以当直线l 经过圆心C 时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线l 垂直于CD 时被截得的弦长最短．由()()1,2,3,1C D ，可知直线CD 的斜率为12CD k =-，故当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的斜率为2，于是有2121m m +-=+，解得34m =-，此时直线l 的方程为()123y x -=-，即250x y --=。
又CD精彩解读【试题来源】人教A 版必修2P 144B 组T6．【母题评析】本题考查圆的有关最值问题，考查考生的分析问题、解决问题的能力． 【思路方法】结合圆的有关几何性质解题．线l 被圆C 截得的弦最短时m 的值为34-，最短长度是45。
II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅，则点P 的横坐标的取值范围是 ． 【答案】52,1⎡⎤-⎣⎦【解析】不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知052,52x ⎡⎤∈-⎣⎦．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-，故00250x y -+．B (1,7)A (-5,-5)2x-y+5=0Oyx52所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）．联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知052,1x ⎡⎤∈-⎣⎦．【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用．【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题．在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题．【难点中心】1．直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d r >，则直线与圆相离； 若d r =，则直线与圆相切；若d r <，则直线与圆相交． （2）代数法故填52,1⎡⎤-⎣⎦．【例3】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．【答案】()2212x y -+=【解析】解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而()()2221102r =-+--=，故标准方程为()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意222221112111m m m m r d m m m ++==+--==+++ 211m m=++21212mm+=，当且仅当1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意211m r d m --==+22211m m m ++=+，设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，m ∴∈R ，2．点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类似的也有几何法和代数法两种； 3．比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点．()()222410t ≥∴∆=---，解得02t ≤≤，maxd ∴=【例4】【2015高考广东卷】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）3325,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦．【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y yx x=--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且533E ⎛ ⎪⎝⎭，525,3F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C 相切时，由223402321k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±． 又250255743DEDFkk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=-=-，所以当332525,,44k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．III ．理论基础·解题原理考点一 与截距有关的圆的最值问题形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． 考点二 与斜率有关的圆的最值问题形如y bx aμ-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． 考点三 与距离有关的圆的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题．常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -；（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积． （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离． 考点四 与面积相关的最值问题与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿．与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题，通常以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题、中档题；若以解答题的形式呈现，则有一定难度． 【技能方法】1．数形结合法处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如y bx aμ-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2．建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解．2．利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a b ⋅或者a b +的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值．同时需要注意，“一正二定三相等”的验证．V ．举一反三·触类旁通考向1 与斜率有关的圆的最值问题【例1】如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x mm m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3443， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3443， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3443， D ．⎪⎭⎫⎝⎛3443，【答案】C【解析】函数()11x f x m+=+恒过定点()1,2-．将点()1,2-代入直线2140ax by -+=可得22140a b --+=，即()7,0,0a b a b +=>>．由点()1,2-在圆()()221225x a y b -+++-=内部或圆上可得()()22112225a b --+++-≤即2225a b +≤()0,0a b >>．2273425a b a b a b +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩或43a b =⎧⎨=⎩．所以点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以min 303404b a -⎛⎫==⎪-⎝⎭，max404303b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭．所以3443b a ≤≤．故C 正确． 【例2】已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 （ ）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53- 【答案】A【跟踪练习】1．已知实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则22-+y x xy的最小值为 （ ）A ．222-B ．222-C ．222+D ．222-- 【答案】A2．在平面直角坐标系x y O 中，圆1C :()()221625x y ++-=，圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA =AB ，则半径r 的取值范围是_______． 【答案】[]5,55【解析】由题，知圆1C 的圆心为(1,6)-，半径为5，圆2C 的圆心为(17,30)，半径为r ，两圆圆心距为22(171)(306)30++-=，如图，可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值，所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值，当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =，||2||PA AB =，所以min 5r =，max 55r =．3．过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ． 【答案】: 30x y +-=【解析】：要使ACB ∠最小，由余弦定理可知，需弦长AB 最短．要使得弦长最短，借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短．因圆心和()1,2M 所在直线的42131k-==-，则所求的直线斜率为1-，由点斜式可得1(2)30y x x y -=--⇒+-=．【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题．4．若圆C ：034222=+-++y x y x 关于直线062=++by ax 对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值是_____________． 【答案】4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形．考向2 与截距有关的圆的最值问题【例3】【2017北京海淀模拟】设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_____．【答案】或者【解析】由题设到直线的距离，解之得，应填答案．【跟踪练习】1．【2017江苏南通高三第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是____．【答案】2点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论．2．【2018安徽六安模拟】若直线2x y m =-+与曲线2142y x =-恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．2) B ．(2121) C ．(121) D ．21)思路分析：直线2x y m =-+与曲线21|4|2y x =-m 的取值范围，可以转化为直 线2x y m =-+的图象与曲线21|4|2y x =-的图象有三个交点时实数m 的取值范围，作出两个函数 的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m 的取值范围；本题曲线21|4|2y x =- 画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．3．【2018湖北稳派教育高三上学期第二次联考】已知圆C的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线320x y-+=均与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)设点()0,1P，若直线y x m=+与圆C相交于M，N两点，且MPN∠为锐角，求实数m的取值范围．【答案】（1）()2224x y-+=；（2）1515222,(,222⎛⎫---+--⋃-+⎪⎪⎝⎭）．试题解析：（1）设圆C的标准方程为：故由题意得，解得，∴圆C 的标准方程为：．（2）由()22{24y x mx y=+-+=消去y整理得．∵直线y x m =+与圆C 相交于M ，N 两点，∴，解得，设，则．∴依题意得()()()()121212121111PM PN x x y y x x x m x m ⋅=+--=++-+-()()()212122110x x m x x m =+-++->，∴()()()221210m m m m +--+->，整理得210m m +->，解得或．又，∴15222m ----<<或152222m -+<<-+．故实数m 的取值范围是．点睛：（1）对于BAC ∠为锐角的问题（或点A 在以BC 为直径的圆外，或222AB AC BC >＋），都可转化为0AB AC ⋅>，然后坐标化，转化为代数运算处理．（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理．解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度．考向3 与距离有关的圆的最值问题【例4】【2018广西南宁模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知()221125x y -+=，22240x y -+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A ．55．15 C ．1215D ．1155 【答案】B【跟踪练习】1．【2018江西赣州红色七校一联】已知圆C ：（a<0）的圆心在直线 上，且圆C 上的点到直线的距离的最大值为，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】圆的方程为，圆心为①，圆C 上的点到直线的距离的最大值为②由①②得，a <0，故得 ， =3．点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用． 2．【2018山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学模拟】已知()2,0A ，直线4310x y ++=被圆()()22:313(3)C x y m m ++-=<所截得的弦长为43P 为圆C 上任意一点，则PA 的最大值为（ ）A ．2913B ．513+．7132913 【答案】D【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得： 22311(23=135m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭），解得： 2m =或163m = (舍去)，当2m =时， PA 的最大值2913PC r +=+，故选D ．3．【2017辽宁辽南协作校一模】圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -8=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．18 B ．6 C ．52 D ．42【答案】C点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．【2017安徽宣城二模】已知P 是圆224x y +=上一点，且不在坐标轴上， ()2,0A ， ()0,2B ，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则2AN BM +的最小值为__________．【答案】8【解析】设点()2cos ,2sin P θθ，则直线PA 的方程： ()sin 2cos 1y x θθ=--，则2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭同理2cos ,0sin 1N θθ⎛⎫-⎪-⎝⎭，则2AN BM + 2cos 4sin 6sin 1cos 1θθθθ=++--的最小值为8． 5．【2107吉林省延边州模拟】点N 是圆()2251x y ++=上的动点，以点()3,0A 为直角顶点的R t ABC ∆另外两顶,B C 在圆2225x y +=上，且BC 的中点为M ，则MN 的最大值为__________．【答案】1541+ 【解析】6．【2017山东济宁3月模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率31l ： 1x ya b+=被椭圆C 5 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线1l 与圆D ： 22640x y x y m +--+=相切： （i ）求圆D 的标准方程；（ii ）若直线2l 过定点()3,0，与椭圆C 交于不同的两点E 、F ，与圆D 交于不同的两点M 、N ，求EF MN ⋅的取值范围．【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）()()22325x y -+-=；（ii ）(]0,8．【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线1l 过定点(),0a ， ()0,b ，可得到225a b +=，再结合c a =，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（i ）利用圆的几何性质，求出圆心到直线1l 的距离等于半径，即可求出m 的值，即可求出圆D 的标准方程；（ii ）首先设直线2l 的方程为()3y k x =-，利用韦达定理即可求出弦长EF 的表达式，同理利用圆的几何关系可求出弦长MN 的表达式，即可得到EF MN ⋅的表达式，再用换元法29141,5t k ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，即可求出EF MN ⋅的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知得直线1l 过定点(),0a ， ()0,b ， 225a b +=，又2c a =， 222a b c =+，解得24a =， 21b =，故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）得直线1l 的方程为12xy +=，即220x y +-=，又圆D 的标准方程为()()223213x y m -+-=-，∴圆心为()3,2，圆的半径r ==∴圆D 的标准方程为()()22325x y -+-=．（ii ）由题可得直线2l 的斜率存在，设2l ： ()3y k x =-，与椭圆C 的两个交点为()11,E x y 、()22,F x y ，由()223,{1,4y k x x y =++=消去y 得()222214243640k x k x k +-+-=，由0∆>，得2105k ≤<， 21222414k x x k +=+， 212236414k x x k-=+， ∴EF ===．又圆D 的圆心()3,2到直线2l ： 30kx y k --==∴圆D 截直线2l 所得弦长222251221k MN r d k +=-=+， ∴()()()()2224222221155112542811414k k k k EF MN k k k +-+-⋅=⨯=+++，设29141,5t k ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭， 214t k -=，则22211251148295025t EF MN t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅==-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵295025y x x =-+-的对称轴为259x =，在5,19⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 016y <≤， ∴21109502516t t ⎛⎫⎛⎫<-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴08EF MN <⋅≤．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属于难题． 考向4 与面积相关的最值问题【例5】 在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为_______________．【答案】45π【例6】动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线221y x =+总有公共点，则圆C 的面积的最小值_________________．【答案】4π【解析】设圆心为(,)a b ，半径为r ，|||1|r CF a ==+，即222(1)(1)a b a -+=+，即214a b =，∴圆心为21(,)4b b ，2114r b =+，圆心到直线221y x =++的距离为22|221|4142b b b d -++=≤+，∴2(223)b ≤-+或2b ≥，当2b =时，min 14124r =⨯+=，∴2min 4S r ππ==． 【跟踪练习】1．设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则ABO ∆面积的最小值为_____________． 【答案】3【解析】l 与圆相交所得弦的长为2，故弦心距2222213d m n ==-=+，所以22123m n mn +=≥，16mn ∴≤，l 与x 轴相交于点A 1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与y 轴相交于点B 1,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1111111632222AOB S OA OB m n mn ∆∴===≥⨯=． 2．【2017届高三七校联考期中考试】已知直线1:=-y x l 与圆M ：012222=-+-+y x y x 相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．30【解析】3)1()1(01222222=++-⇒=-+-+y x y x y x ，圆心M 到直线1:=-y x l 距离为212|111|=-+，BD 为过圆心M 且垂直于AC 的直径时，四边形ABCD 面积取最大值，为303221322121=⨯-⨯=⨯⨯BD AC ．3．【2017河南安阳二模】已知圆：，动点在圆：上，则面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B4．【2018河南洛阳模拟】已知两动圆2221:(3)F x y r +=和2222:(3)(4)(04)F x y r r +=-<<，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点,A B 满足：0MA MB =．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM ∆面积S 的最大值．【答案】（1）2214x y += ；（2）证明见解析，定点坐标为3(0,)5N -；（3）6425． 【解析】试题分析：（1）设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=> ，根据椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，由此求出轨迹方程；（2）先求出(0,1)M ，设1122(,),()A x y B x y ，当直线AB 斜率存在时设直线方程为y kx m =+ 与椭圆方程联立，由韦达定理计算1212(1)(1)0MA MB x x kx m kx m ⋅=++-+-=得35m -=，所以直线恒过定点3(0,)5N -，验证当直线AB 斜率不存在时也过此点即可；（3）将三角形面积分割成两部分进行计算，即ABM △面积212213225422514MNA MNB k S S S MN x x k ∆∆+=+=⋅-=⋅+，令254t k =+即可求出面积的最大值．试题解析： （1）设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=． （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814km x x k-+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m －1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =， 点A B 、的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++ （3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△＝1212MN x x -由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k=+ 因N 在椭圆内部，所以k R ∈，可设t 23249t t +32(2)94t t t=≥+92542t t +≥，∴6425S ≤（0k =时取到最大值）．所以ABM △面积S 的最大值为6425．考点：1．椭圆的定义与几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．基本不等式． 考向5 与圆有关的最值问题综合题【例7】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： （1）yx 的最大值和最小值；（2）y －x 的最大值和最小值； （3）x 2＋y 2的最大值和最小值．【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【例8】设Q P ,分别为()2622=-+y x 11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是________________．【答案】26【例9】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 ． 【答案】5【跟踪练习】1．【2018广西桂林柳州模拟】已知圆()221:24C x a y ++=和圆()222:1C x y b +-=只有一条公切线，若,a b R ∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．9 【答案】D【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2．【2017甘肃兰州高三第一次诊断性考试】已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设为圆上一点，由题意知，，即，，，，，所以所在直线倾斜角为30，所以的纵坐标为，的横坐标为，所以，故选D ．3．【2018黑龙江海林朝鲜中学】已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线2223230x y x y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]1,2 【答案】B4．【2017吉林吉林大学附中高三第七次模拟】已知圆C ： (()22311x y +-=和两点()0A t -，，()0(0)B t t >，，若圆C 上存在点P ，使得·0PA PB =，则t 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 【答案】D【解析】由题意可得点P 的轨迹方程是以AB 位直径的圆，当两圆外切时有：min min 11t t =+⇒=，即t 的最小值为1．本题选择D 选项．点睛：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围5．【2017天津河西区二模】若直线20ax by -+=（0a >， 0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A ．32+ C ．14 D ．32+【答案】A【解析】由题意得()()22124x y ++-= ，所以直线20ax by -+=过圆心，即220,22a b a b --+=+= ，因此111121213332222a b b a a b a b a b ⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ ，选A ． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．6．【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会上学期第一次联考】从直线y x =上一动点出发的两条射线恰与圆()22:21C x y +-=都相切，则这两条射线夹角的最大值为__________．【答案】2π 【解析】当动点与圆心连线与y=x 垂直时，两条射线夹角的最大，如图，易得夹角的最大值为2π．答案： 2π 7．若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________．【答案】[1,1]-过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM ==2||12OM ≤， 解得||2OM ≤M （0x ，1），所以20||12OM x =+≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-．8．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，10】圆222240x y ax a +++-=和圆2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 ． 【答案】19．【2017江苏苏北三市（连云港、徐州、宿迁）高三年级第三次调研】在平面直角坐标系中，圆：．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是__________．【答案】(或)【解析】由于原C 存在以G 位中点的弦AB ，且AB=2GO ，故 ， 如图所示，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需，即，连结CB ，由可得： ， ．10．【2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．【答案】。
专题09 圆中的范围与最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。
2.5.3 与圆有关的最值问题专项
m1 13
4
| AC | 5 最短弦长为2 52 ( 5)2 4 5
4.有几何意义的代数式的最值 [例4]已知实数x, y满足y 9 x2 ,则 y 3的取值范围为_(___,_23_]__[_43_,__.)
x 1
解: y 9 x2化为x2 y2 9( y 0),表示圆心为(0,0),半径为3的上半圆周.
(1)求切线长|PA|的最小值.
(1) PA m in
|
PC
|2
m in
2
(2
2)2 2
6.
(2)求四边形PAOB面积的最小值.
(2)S四
2SPAC
2
1 2
PA
2
2 PA 2 3
(3)求两切线的夹角的最大值；
(3)sin APC 2 | PC | 2
2 1 22
APC 30
APB 60
(弦长为2 r2 d 2 )
[例3]已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0，求 直线l被圆C截得的弦长最短时m的值及最短弦长.
析 : 直线可化为(x y 4) m(2x y 7) 0 直线过定点A(3,1).
当AC l时,弦长最短, 即( 2m 1) 2 1 1,得m 3 . l : 2x y 5 0
PQOP (x x0 )x0 ( y y0 ) y0 x0x y0 y x02 y02 0, x0 x y0 y r 2. 当P,Q重合时,Q(x0, y0 )亦满足上式. 2. 过圆(x-a)2 + (y-b)2 = r2上一点P(x0, y0)的切线方程为 (x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
与圆有关的最值取值范围问题,附详细答案
与圆相关的最值（取值范围）问题，附详尽答案姓名1. 在座标系中，点 A 的坐标为 (3， 0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC=2．设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 _________．2. 如图，在边长为 1 的等边 △ OAB 中，以边 AB 为直径作 ⊙ D ，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O ， C 为半圆 AB 上不与 A 、 B 重合的一动点，射线AC 交 ⊙ O 于点 E ， BC=a ， AC=b ．（ 1）求证： AE=b+ a ；（ 2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是对于 x 的方程： x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求 m 的取值范围．3. 如图，∠ BAC=60 °，半径长为 1 的圆 O 与∠ BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、AC 于 D 、 E 两点，连结DE ，则线段 DE 长度的最大值为 (). A ．3 B ． 63 3C ．D ．3 324.如图， A 点的坐标为（﹣ 2， 1），以 A 为圆心的⊙A 切 x 轴于点 B， P（ m， n）为⊙A 上的一个动点，请研究 n+m 的最大值．5.如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90 °， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.6.如图是某种圆形装置的表示图，圆形装置中，⊙ O 的直径 AB=5，AB 的不一样侧有定点 C 和动点 P，tan ∠ CAB= ．其运动过程是：点 P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与PB的延伸线交于点Q．（1）当 PC=时，CQ与⊙O相切；此时CQ=．（2）当点 P 运动到与点 C 对于 AB 对称时，求 CQ的长；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长．（4）在点 P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为。
中考数学圆中最值问题专题含答案
点圆关系问题三、利用坐标特性进行转换【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (0，1)、B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，点P 在以D(4，4)为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则 t 的最大值是 .【解析】如图，连接AP ，∵点A(0，1)、点B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，∴AB=(1+t)−1=t ，AC=1−(1−t)=t ，∴AB=AC ，∵∠BPC=90∘，∴AP=21BC=AB=t ， 要t 最大，就是点A 到⊙D 上的一点的距离最大，∴点P 在AD 延长线上，∵A(0，1)，D(4，4)，∴AD=()51-4162=+， ∴t 的最大值是AP=AD−PD=5+1=6，最小值为4.故答案为：6，练习5-1如图，已知直线y=43x −3与x 轴、y 轴分别交于A. B 两点，P 是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB.则△PAB 面积的最大值是( ) A. 8 B. 12 C. 221 D. 217【解析】∵直线y=43x −3与x 轴、y 轴分别交于A. B 两点， ∴A 点的坐标为(4，0)，B 点的坐标为(0，−3)，3x −4y−12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，过C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ，则由三角形面积公式得：21×AB×CM=21×OA×OC+21×OA×OB ， ∴5×CM=4×1+3×4，∴CM=516， ∴圆C 上点到直线y=43x−3的最大距离是1+516=521， ∴△PAB 面积的最大值是21×5×516=221， 故选：C.练习5-2如图，直线y=43x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是以C(1，0)为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA ，PB ，则△PAB 面积的最小值是( )A. 5B. 10C. 15D. 20【解答】作CH ⊥AB 于H 交⊙O 于E. F.∵C(1，0)，直线AB 的解析式为y=43x +3， ∴直线CH 的解析式为y=34-x +34， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=3433434x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=51254y x ，∴H(−54，512)， ∴CH=22)512()541(++=3， ∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA=4，OB=3，AB=5，∴EH=3−1=2，当点P 与E 重合时，△PAB 的面积最小，最小值=21×5×2=5，练习5-3如图，已知直线y=343-x 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA 、PB ，当△PAB 的面积最大时，点P 的坐标为________．【解析】过C 作CM ⊥AB 于M ，交x 轴于E ，连接AC ，MC 的延长线交⊙C 于D ，作DN ⊥x 轴于N ，∵直线y=343 x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点， 令x=0，得y=-3，令y=9，得x=4 ∴A(4，0)，B(0，−3)，∴OA=4，OB=3，∴AB=则由三角形面积公式得，21×AB×CM=21×OA×BC ， ∴ 21×5×CM=21×4×(1+3)， ∴CM=516∴BM=∴圆C 上点到直线y=343 x 的最大距离是DM=1+ 516 = 521 当P 点在D 这个位置时，△PAB 的面积最大， ∵∠CMB=∠COE=90°，∠OCE=∠MCB ，∴△COE ∽△CMB ，∴∴∴OE=43，CE=45， ∴ED=1+45=49∵DN ⊥x 轴，∴DN ∥OC ，∴△COE ∽△DNE ，∴ ，即∴DN=59，NE=2027∴ON=NE−OE=2027−43=53∴D(−53，59)∴当△PAB 的面积最大时，点P 的坐标为(−53，59)故答案为：(−53，59)练习5-4在平面直角坐标系xOy 中，A(-m,0) ，B(m,0) （其中m>0 ），点P 在以点C(3,4)为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足∠APB=90°，（1）线段OP 的长等于________（用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为________．【解析】（1）∵OA=OB=m ，∴OP=21AB=m ； （2）连结OC 交⊙C 于D ，则OD 最短，∵OC==5，∴OD=OC －r=5－2=3．∴m 的最小值为3．故答案为（1）m ；（2）3．练习5-5如图，在平面直角坐标系中，点P 是以C(-72，)为圆心，1为半径的⊙O 上的一个动点，已知A(-1，0)，B(1，0)，连接PA ，PB ，则PA 2+PB 2的最小值是 .【解析】P （x,y ），根据两点间距离公式PA 2=（x+1）2+y 2PB 2=（x-1）2+y 2OP 2=x 2+y 2当点P 处于OC 与圆的交点上是，OP 取得最值所以OP 最小值为CO-CP=15【经典例题6】如图，抛物线y=41x 2-4与x 轴交于A ，B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ 。
高中数学微专题2与圆有关的最值问题新人教A版选择性必修第一册
意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
类型1 与距离有关的最值问题
【例1】
(1)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有4个点到直线x－y－2＝0的距离
为1，则实数r的取值范围为(
A．(
√
2＋1，＋∞)
C．(0， 2－1)
)
B．( 2－1， 2＋1)
＋|PO|2)，
11
∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为 π，最
2
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小值为 π．最值问题
【例3】 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离
的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系
式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不
等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形
∴将①代入②，得|PA|2 ＋|PB|2 ＋|PO|2 ＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋
22．
∵P(x，y)是内切圆上的点，∴0≤x≤2，
∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18．
又三个圆的面积之和为π
2
2
＋π
2
2
＋π
2
2
π
＝ (|PA|2 ＋|PB|2