与圆有关的最值问题K
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
抓住2个考点
突破3个考向
由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二 与圆有关的定值问题
【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C：x2 ＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y ＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标．
抓住2个考点
借助几何性质解决圆中的最值问题
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. (1)求xy－－21的最大、最小值； 解 法一 设 k＝xy－－21， 则 y－2＝kx－k，即 kx－y＋2－k＝0. ∵P(x，y)为圆 C 上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离 d＝|－2k1＋＋2k－2 k|＝|21－＋3kk2|≤1，
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∴3t＋＋1t＝－12.∴t＝－73， ∵CA＝ 1＋4＝ 5， ∴直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2 9－5＝4.
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思维升华
当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直 得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾 股定理解决问题.
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借助几何性质解决圆中的最值问题
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高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把 常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.
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类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
例 1 已知圆 C 经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心 C 在直线 y＝21x 上. (1)求圆 C 的方程； 解 点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为 y＝－x＋3，
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即|2－3k|≤ 1＋k2， 平方得 8k2－12k＋3≤0， 解得3－4 3≤k≤3＋4 3， 故xy－－21的最大值为3＋4 3，最小值为3－4 3；
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(2)求x－2y的最大、最小值.
解 设b＝x－2y，即x－2y－b＝0. ∵P(x，y)为圆C上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线的距离 d＝ 12|＋－（2－－b2| ）2＝|b＋52|≤1，即|b＋2|≤ 5， 则－2－ 5≤b≤ 5－2，
最值系列6之阿氏圆问题(一)-学生版
在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P 满足PA:PB＝1，则P 点轨迹为一条直线（即线段AB 的垂直平分线），如果这个比例不为1，P 点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。
接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k ≠1）时P 点的轨迹.对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P 且P 满足PA：PB＝k（k≠1），则动点P 的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：借助画板工具我们发现，动点P 在运动过程中，PA、PB 的长度都在变化，但是PA：PB 的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线则AB DBAC DC=．（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D，则AB DBAC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED 且AD 平分∠BDE，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PA kMB PB==，故M 点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PA kNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()()()222222222222222222222122102201x m y k x m yx m y k x m k yk x y m k m x k mm k mx y x mk++=-+++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．例1.如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则的最小值为，的最大值为.【答案】最小值为5，最大值为5例2.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC 于D、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．【分析】注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP 的△CPA，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12PA ．【总结】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．例3.如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM，BM 长度的3倍即为本题答案．例4.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，点P为弧AB上一动的最小值.解：如图所示，连接PB、CO，AD与CO相交于点M，当A、P、D的值最小.∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90º∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC是正方形,PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,PC＋PD的值最小，最小值为.练习题部分：1.如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是.，，MO＝2，∠POM＝90º，Q则的最小值为.3.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2PD＋PC的最小值是.4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，的最小值为，PD﹣PC的最大值为.（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．5．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD∽△ACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF＋FA的最小值.7.如图，点A、B上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P（1）求2PC＋PD的最小值；（2）求2PC＋3PD的最小值.8.问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP＋BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为．（2）在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小值为．（3）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP ＋PC的最小值为．（4）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．（5）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值．。
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析
与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。
利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题
利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，与圆有关的长度最值问题有以下题型：
思路分析：
已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问
的不等式，即可解出
=45，
2
45
=
2
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会
与圆有关的长度最值问题有以下题型：
到圆上距离最近为
③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离
动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转
+，最小值的距离为d，圆半径为r，则圆上的点到直线的距离的最大值为d r
时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解
圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题
例5 实数x 、y 满足22326x y x +=，则22y x +的最大值为 . 用消元法化为关于.
法二：令
2
y+
=k，
d－r.
纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.。
专题09 圆中的范围与最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。
2.5.3 与圆有关的最值问题专项
m1 13
4
| AC | 5 最短弦长为2 52 ( 5)2 4 5
4.有几何意义的代数式的最值 [例4]已知实数x, y满足y 9 x2 ,则 y 3的取值范围为_(___,_23_]__[_43_,__.)
x 1
解: y 9 x2化为x2 y2 9( y 0),表示圆心为(0,0),半径为3的上半圆周.
(1)求切线长|PA|的最小值.
(1) PA m in
|
PC
|2
m in
2
(2
2)2 2
6.
(2)求四边形PAOB面积的最小值.
(2)S四
2SPAC
2
1 2
PA
2
2 PA 2 3
(3)求两切线的夹角的最大值；
(3)sin APC 2 | PC | 2
2 1 22
APC 30
APB 60
(弦长为2 r2 d 2 )
[例3]已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0，求 直线l被圆C截得的弦长最短时m的值及最短弦长.
析 : 直线可化为(x y 4) m(2x y 7) 0 直线过定点A(3,1).
当AC l时,弦长最短, 即( 2m 1) 2 1 1,得m 3 . l : 2x y 5 0
PQOP (x x0 )x0 ( y y0 ) y0 x0x y0 y x02 y02 0, x0 x y0 y r 2. 当P,Q重合时,Q(x0, y0 )亦满足上式. 2. 过圆(x-a)2 + (y-b)2 = r2上一点P(x0, y0)的切线方程为 (x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
有关圆的最值问题几种类型及方法
圆的最值问题一圆心到定直线的距离的最值问题例1 设P 是直线043:=-y x l 上的动点，PA,PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 的最小值是_____________.变式:已知）（y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA,PB 是圆：0222=-+y y x 的两条切线，A,B 是切点，若四边形PACB 最小面积是2，则k=_____________。
二圆上动点到定直线的距离的最值问题例2 圆012222=+--+y x y x上的点到直线2=-y x 距离的最大值是_______________。
变式：已知P 是圆122=+y x上的一点，Q 是直线052:=-+y x l 上的一点，求PQ 最小值。
三圆的切线长最值问题例3 从点P(m,3)向圆C:()()12222=+++y x 引切线，则切线长的最小值为_____________。
变式：由直线2+=x y 上的点向圆()()12y 422=++-x 引切线，怎切线的最小值为____________。
四与圆的弦长有关的最值问题例4 在圆06222=--+y x y x 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________。
变式：已知圆O 的方程是01028y 22=+--+y x x，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是_____。
五圆中“斜率”最值问题例3 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158y 22=+-+x x 。
若直线2y -=kx 上至少存在一点，使得以改点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则k 的最大值是_________________。
变式：如果实数x,y 满足等式(),1222=+-y x 那么13y -+x 的取值范围________________。
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，
(1 tt)) 1 (1 tt)(1 )(1 2 2 1 令sin 2 t (t 0) 则 tt 则PA PAPB PB 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 tt tt
2 ，即 sin
（当且仅当 t 2 2
2 时取等号） 2
|－a－a＋m| |m－2a| (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ， 2 2 ∵直线 l 是圆 C 的切线， |m－2a| ∴d＝r，即 ＝2 a. 2 ∴m＝2a± 2 2a. ∵直线 l 在圆 C 的下方， ∴m＝2a－2 2a＝( 2a－1)2－1. ∵a∈(0,4]，∴m∈－1，8－4 2.
类型四：向基本不等式转化
例4： 线l1，l2 , l1交圆C与E、F两点，l2交圆C与G、H两点， (1) EF GH的最大值 (2)求四边形EGFH面积的最大值。
E H
M
O
已知圆C： ( x 2) 2 y 2 4, 过点A(1,0)做两条相互垂直的直
y
C
N G
A
F
x
解：（1）令圆心C到弦EF的距离为 d1,到弦GH的距离为 d2
与圆有关的最值问题
一：圆上一点到直线距离的最值问题
二：抓住所求式的几何意义求最值
三：向函数问题转化 四：向基本不等式转化
类型一：圆上一点到直线距离的最值问题
则 | PQ | 的最小值为 最大值为
y
P
M Q
例1：已知P为直线y x 1上任一点，Q为圆C： ( x 3) 2 y 2 1上任一点，
变式2：由直线y x 1上一点向圆C： ( x 3) 2 y 2 1引切线， 则切线长的最小值为
y
PA PC r PC 1
2 2 2 2
P
PCmin 2 2
PAmin 7
O C
A
x
变式3：已知P点为直线y x 1上一动点，过P作圆 C： ( x 3) 2 y 2 1的切线PA, PB, A、B为切点， 则当PC为何值时，APB最大。
（2）∵ EF GH12 4 d 2 2 2
8 (d12 d 2 2 ) 2 7 2
（当且仅当 d1 d2 ， 2 时取等号） 2
小结 圆的最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法. 1.几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特 征及意义,则考虑利用图形来解决,这就是 2.代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的 函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的 最值.
PQ PC r 2 2 1 PQ PC r 2 2 1
O
C
x
N
变式1：已知A(0， 1)，B(2， 3), Q为圆C： ( x 3) 2 y 2 1上任一点， 则SQAB的最小值为
y
B
A Q O
C
x
SVQAB
1 AB hQ 2hQ 2(2 2 1) 4 2 2
2 2
求下列各式的最值： (1) x 2 y (3)(x 2) 2 ( y 1) 2 y 1 (2) x2 (4) | x y 1 |
例2：若实数x, y满足x 2 y 2 2 x 4 y 0, 求下列各式的最值： (1) x 2 y
解：令 x 2 y z 则 y 2 x 2 z 由题意，当直线的纵截距最小时， z最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离
S四边形PACB SPAC SPBC 2SPAC
SPAC SPAB 2SPAB 1 2 PA AC PA 2
y
1 2 PA AC PA 2
P A
CB
由变式2可知， PAmin 7 故四边形PACB面积的最小值为
O
B
C
x
7
作业：已知圆 x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的 圆心为 C，直线 l：y＝x＋m. (1)若 m＝4，求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值； (2)若直线 l 是圆心下方的切线，当 a 在(0,4]变化时，求 m 的取值范围．
【解答】 (1)∵x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0， ∴(x＋a)2＋(y－a)2＝4a. ∴圆心为 C(－a，a)，半径为 r＝2 a. 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t，圆心 C 到直线 l 的距离为 d. m＝4 时，直线 l：x－y＋4＝0， |－a－a＋4| 圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ 2|a－2|， 2 t2＝(2 a)2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10. ∴当 a＝3 时，直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值为 2 10.
方法小 结
总结：求圆上动点到定 直线的距离的最值可转 化为
求圆心到定直线的距离
若直线与圆相离，则圆 上点与直线的
最大距离dmax d / r
最小距离dmin d / r
（其中d / 表示圆心到定直线的距 离）
类型二：抓住所求式的几何意义求最值
例2：若实数x, y满足x y 2 x 4 y 3 0,
例2：
2 2
已知圆C：x y 2 x 4 y 3 0, 从圆C外一点P( x, y )向该圆 引一条切线，切点为M , O为坐标原点，且有 PM PO，求 使得 PM取得最小值的点 P的坐标。
y
C
O
x
P
y
APB APC
sin APC 1 PC
O
P A C
x
PCmin 2 2
B
PC 2 2时，APB最大。
变式4： P作圆C： 已知P为直线y x 1上一动点，过 ( x 3) 2 y 2 1 的切线PA, PB，A、B为切点，则四边形 PACB面积的最小 值为
1 1
C
O
y
x
d
5 z 5
5
故z 0或 10
由题意， zmax 0 即x-2y的最大值为0．
zmin 10 即x-2y的最大值为-10．
例2：若实数x, y满足x y 2 x 4 y 0,
2 2
求下列各式的最值： y 1 (2) x2
C
y
A
·
O
x
1 k [2, ) (, ] 2
则EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
又d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 8 (d12 d22 ) 8 1 14 由 2 2 2 2
2 （当且仅当 d1 d2 ， 时取等号） 2
8 1 14 则EF+GH 2 2
动点到定点距离平方的最值问题；
x2 y 2 1
类型三：向函数问题转化
例3（ 2010全国理科）
已知圆O： x2 y 2 1 ，PA、PB为该圆的两条切线，
A、B为两切点，则 PA PB的最小值为
A O P B
解：令APB 2
( (0, )) 2
PA PB PA PB cos 2
y
C
O
x y 1 [4 10, 4 10]
x
方法小 结
①形如
y b xa
形式的最值问题，可转化为动直线
斜率的最值问题； ②形如 t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线
截距的最值问题；
③形如 m ( x a) 2 ( y b) 2 形式的最值问题，可转化为圆心
1 tan 22 2 22 2 22 2 cos cos 2 2 cos cos cos 2 2 (1 sin sin )(1 )(1 2sin 2sin ) )) cos 2 cos cos cos 2 (1 (1 sin )(1 2sin ， PA PA PB PB 22 2 PA PB 22 2 22 2 tan tan sin sin sin sin tan sin sin PA PB
例2：若实数x, y满足x 2 y 2 2 x 4 y 0, 求下列各式的最值： (3)(x 2) 2 ( y 1) 2
C
O
y
A
·
x
15 2
50,15 2 50
例2：若实数x, y满足x 2 y 2 2 x 4 y 3 0, 求下列各式的最值： (4) | x y 1|