第三章 误差分析理论
第3章 测量误差分析及处理
( 1 2 n ) i
3、几何综合法
绝对误差 相对误差 21 22 2n
2 i 2
i
2 2 2
1 2 n
第三节 随机误差
或然率曲线或概率密度曲线
令真值为A，算数平均值为L，观测值为l，误差△=l-A，偏差 i =l-L，则有
i li A
i li L
l
得： 将L代入 i
i
li nA nL 代入 nii
li nL
i
li nA
i
L
A
li L 得
i i
热能与动力工程 测试技术
第三章 测量误差分析及处理
第一节 误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即
真误差=观测值-真值
lA — 真误差 l — 观测值 A — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
由于系统误差一般有规律可循，其产生的原因一般也 是可预见的，所以系统误差一般可通过改进测量技术、 对测量结果加修正值等手段来减小。通常处理系统误差 的方法有以下几种： （1）消除系统误差产生的根源。 （2）在测量结果中加修正值。确定出较为准确的修正公 式、修正曲线或修正表格，以便修正测量结果。 （3）在测量过程中采取补偿措施。 例如：在用热电偶测温时，采用冷端温度补偿器或冷端 温度补偿元件来消除由于热电偶冷端温度变化所造成的 系统误差。 （4）采用可以消除系统误差的典型的测量技术。 如采用零值法、替代消除法,预检法等。
第三章系统误差
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
将两组数据混合排列成下表
若 K 2 3N 2 应怀疑存在系统误差
6、秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差
秩和检验是一种非参数检验法。它主要研究两个样本是否来 自同一总体，也就是检验两个总体是否相同的问题。严格地讲， 秩和检验只能解决两个总体分布的中心位臵是否相同的问题。 秩和检验最早是由wilcoxon做出的，后来Mann和Whitney算 出了小的n1和n2的T分布，并且找到了一般情况下的T的矩，证明 了对于大的T的n1和n2，T近似服从正态分布。
vi v i '
i 1 i 1 K
K
j k 1 n j k 1
v
n
j K
v ' ( l
j i 1
i
x )
j k 1
( l
n
j
x )
当测量次数足够多时有
v ' v
i 1 i j k 1
K
n
j
'0
设独立测得两组数据为：
x1, x2 , xn1
y1, y2 , yn 2
令变量
t (x y) n1n2 (n1 n2 2)
2 2 (n1 n2 )( n1S1 n2 S 2 )
由数理统计知，变量t是服从自由度为( n1 n2 2 )的t分布变量 其中
第三章稳态误差分析-55页PPT资料
H(s)
这里 R(s)H (s)C 0(s)是基于控制系统在理想工作情况下
E(s)0 得到的。
C0 (s)
(s)
N (s)
R(s)
1 R1(s) H (s) C0
-E1(s) H (s) E (s) G1(s)
+ G2(s)
-
C(s)
我们将偏差E(s) 代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说 的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。
引言
稳态误差是衡量控制系统精度的指标，用来说 明稳态响应性能的优劣。控制系统的输出应尽量准 确的跟随参考输入的变化，同时尽量不受扰动的影 响，它仅对稳定的系统才有意义。稳态误差不仅与 系统的类型（传递函数）有关，而且与输入信号有 关。
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1
误差和稳态误差定义
一、误差及稳态误差的定义 稳态误差指一个稳定的系统在给定输入或扰动作用下，经历过 渡过程进入稳态后的误差。
终值定理要求有理函数sE(s)在S右半平面和虚轴上解析， 或者说sE(s)的极点均在S左半平面，即只有稳定的系统，才可 计算稳态误差。
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8
⑤ 扰动作用下的偏差传递函数(作用在反馈回路)
R(s) E(s)
B(s) -
G(s)
H (s)
C(s)
+
N (s)
假定输入信号为零,系统等效方块图为:
1 R (s ) G 2 (s )H (s ) N (s )
1 G 1 (s )G 2 (s )H (s ) 1 G 1 (s )G 2 (s )H (s )
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7
稳态误差的计算
④ 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差 e s s t l e i ( t ) m l s 0 s i( s m ) E l s 0 1 i G m 1 ( s s ) G ( 2 s ( ) s R ) H ( s ) l s 0 1 i s G m 1 2 ( ( s s G ) ) G H 2 ( ( s s ) ) N H ( ( s s ) )
第三章 平台惯导的误差分析 1
（3-2-37）
（3-2-38） （3-2-39） （3-2-40）
以上三式即为计算机坐标系相对地理坐标系的运动方程 式。
下面说明δθ 的物理意义。假设载体的真实位置在地球表面
的A点，导航计算机算出的载体的位置在B点，见图
Z
YC
ZC
XC
B
Nξ
O
δϕ A
ϕ
E
Y
Z N
YC
ξ
A EB
ZC XC
O
Y
λ
δλ
(ωCZ −ωCXψZ +ωCZψX )kC
（3-2-27）
即：
ω
∗ C
= ωC
+ψ
× ωC
（3-2-28）
再考虑平台漂移，则有：
ZC
ZP
ωC
ωP = ωC +ψ × ωC + ε （3-2-29）
ψ
ωC∗
ψ 转动可由右图表示：
O
YC
XPห้องสมุดไป่ตู้
YP
XC
根据定义
其中，⎛⎜⎝
dψ
dt
ωP
=
ωC
+
⎛ ⎜⎝
dψ
¾ E系与P系之间的关系
平台坐标系与地理坐标系误差角: φ
=
⎜⎛α ⎜β
⎟⎞ ⎟
,
⎜⎝ γ ⎟⎠
由上述分析可知,三次转动的坐标变换阵分别为:
⎛ cosγ sin γ 0⎞
CEP1
=
⎜ ⎜
−
sin
γ
cos γ
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0
0 1 ⎟⎠
⎛1
CEP 2
=
⎜ ⎜
第三章 测量误差基本知识
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
中误差 m 1
2 2 .7 n
2
3 .6
[例] 已知：七个三角形的闭合差f为：
-3″，-2″，8″，-5″，-2″，
5″，-9″
求：三角形闭合差的中误差mf 解：
f 180
其真值X应等于0。
二、观测值的改正值
观测值的改正值：算术平均值与观测值 之差称为观测值的改 v1 x l1 正数v。
v2 x l 2 .......... .... vn x l n
[ v ] n x [l ] [l ] [ v ] n [l ] 0 n
三、按观测值的改正值计算中误差
小结
一、已知真值X，则真 误差 一、真值不知，则
i X li
二、中误差
[l ] x n vi x li
二、中误差
[] m n
[vv] m n 1
白塞尔公式
二.用改正数v 计算算术平均值 （或然值）中误差Mx
算术平均值中误差为观测值的中误差 1 的 n 倍，即:
Байду номын сангаас
推导过程 设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为: 1 X l1
2 X l2 .......... ....... n X ln
（i=1，2，…，n）
将上列等式相加: 1 2 n nX (l1 l2 ln )
所以：
2 ( X x)
n2
2
2 22 2n 2(1 2 1 3 n 1 n ) 1 2 n n2
3随机误差
3- 22
误差分析与测量不确定度评定
第三章 随机误差
最佳估计的意义
由于无法做到无限多次测量，算术平均值只能作为真值的 算术平均值作为测量总体期望的最佳估计量，必须满足无
一个估计；
偏性、有效性、一致性；
ˆ 定义：设 ( X1 , X2 , X n ) 为未知参数 的估计量，
若对任意的 0
放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当
空气尘埃的漂浮、 稳压电源供电电 压的微小波动
测量环境方面的因素
采集干涉图像的摄 像头变焦倍数过小 造成较大的离散化 采样误差 3- 7
操作人员方面的因素
误差分析与测量不确定度评定
就数据整体而言，具有某种统计规律，这个规律可以用
3- 8
统计直方图来表示。
误差分析与测量不确定度评定
第三章 随机误差
统计直方图
50
统计直方图的分布特征与误 差源的影响程度有关；
40
x 0.1207 s 0.0024 3 0.6069 4 0.3703
30
若误差源的影响程度大致相 等，则统计直方图大致呈现正 态分布特征；
3- 21
误差分析与测量不确定度评定
第三章 随机误差
最佳估计的意义
由于无法做到无限多次测量，算术平均值只能作为真值的 算术平均值作为测量总体期望的最佳估计量，必须满足无
一个估计；
偏性、有效性、一致性；
ˆ ˆ 说明：ˆ1 ，ˆ2 的均值都是 ，是前提。如果 D(1 ) D(2 ) ， ˆ ˆ 也就是说，1 在 附近取值的概率比 2 要来得大，这就是 有效估计的直观意义。
第三章 误差分析
/jc/index.html
3.测量值使用
• （2）算术平均值 • 在单次测量不能满足精度要求时，必须用 多次测量值来计算真实值。普遍用到的是 算术平均值
1 n 1 x xi ( x1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 xn ) n i 1 n
/jc/index.html
/jc/index.html
3.2.1.2按误差的性质分类
• 3.粗大误差 定义：在一定测量条件下，测量示值明显偏离被测 实际值所形成的误差。粗大误差又叫疏失误差。 产生原因：有测量条件突然变化的客观原因，如测 量过程中供电电源的瞬时跳变；也有测量人员疏 忽的原因，如测错、读错、记错等。（就其性质 而言，粗大误差可能是过分大的系差，也可能是 过分大的随差。）
X X0 x 100% 100% X0 X0
（1-4）
• 用相对误差通常比其绝对误差能更好地说明不同测量的精 确程度，一般来说相对误差值小，其测量精度就高；相对 误差本身没有量纲。
/jc/index.html
3.引用误差
• 在评价检测系统的精度或不同的测量质量 时，利用相对误差作为衡量标准有时也不 很准确，这时就用到引用误差。 • 检测系统指示值的绝对误差Δx与系统量程L 之比值，称为检测系统测量值的引用误差γ。 引用误差通常仍以百分数表示。
• 最大引用误差是检测系统基本误差的主要形式， 故也常称为检测系统的基本误差。它是检测系统 的最主要质量指标，可很好地表征检测系统的测 量精确度。
/jc/index.html
5.精度等级
• 用最大引用误差去掉±号和百分号(％)后的 数字来表示精度等级，精度等级用符号G表 示。
/jc/index.html
3.2.1.2按误差的性质分类
第三章测试误差分析及处理
第三章测试误差分析及处理在机器学习领域，测试误差是对模型性能的评估指标，它反映了模型在新数据上的表现。
通过分析测试误差，我们可以发现模型的弱点，并采取相应的措施来提升模型的性能。
偏差是由于模型太简单而造成的错误，它表示了模型对于训练数据的错误拟合程度。
当模型具有高偏差时，会导致模型在训练集和测试集上的误差都较大。
方差代表了模型对于训练数据的紧密拟合程度，即模型对训练数据的变化的敏感程度。
当模型具有高方差时，会导致模型在训练集上表现很好，但在测试集上表现较差。
2.进行误差分析误差分析是通过观察模型在测试集上的错误情况来发现模型的弱点。
我们可以通过以下几个步骤进行误差分析：-分析误差类型：观察误差的类型，包括误分类、误差偏差方向的分布等。
3.处理测试误差根据误差分析的结果，我们可以采取一些措施来处理测试误差，提升模型的性能：-增加数据量：数据量不足可能导致模型过拟合。
通过增加数据量，可以减少模型的方差，提高泛化能力。
-调整模型复杂度：当模型具有高偏差时，可以增加模型的复杂度，如增加网络层数、增加神经元数量等。
-正则化：对于具有高方差的模型，可以采用正则化技术（如L1、L2正则化）来减小模型的方差，提高泛化能力。
-特征工程：对于模型在特定特征上出现的误差，可以对这些特征进行优化处理，如特征选择、特征提取、特征变换等。
-参数调优：对于模型中的超参数，可以通过交叉验证等方法进行调优，选择合适的参数组合。
4.使用验证集为了能够量化地评估模型的性能，并避免对测试集过拟合，我们通常需要划分出一个验证集。
在训练过程中，我们可以使用验证集来调整模型的超参数，以及用来评估模型的性能。
通过验证集，我们可以更准确地估计模型的测试误差，从而更好地进行误差分析和处理。
总结：测试误差分析及处理是机器学习模型中十分重要的一环。
通过分析测试误差，我们可以了解模型在新数据上的表现情况，发现模型的弱点，并采取相应措施来提升模型的性能。
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第三章误差分析理论测量的目的是确定被测量的量值，然而由于下列因素的存在：1．测量设备的不完善；2．测量方法的不完善；3．测量环境的影响；4．测量人员的能力有限；使得测量值与被测量的真值之间，不可避免地存在差异，这种差异的数值表现即为误差。
一、误差概述测量是将被测的物理量与所规定的参考标准进行比较的过程。
例如，测量某一起重机械的外形尺寸大小，就是用米尺与其比较。
至于测量的标定就是为了提供进行比较的参考标准。
实验测定某一机械量，目的在于测出该机械量的真值。
但是在实测中，只能得到在一定程度上接近于真值的测量值，因此测量结果必然产生失真，这种失真则称为误差，即误差＝测量值－真值用符号表示为第一节误差的分类μ-=∆i x x真值：与给定的特定量的定义一致的值。
理论真值：已知的，如三角形内角和为180°约定真值：不确定的，根据多次测量给出，如平均值误差必然存在：误差产生的必然性已被大量实践所证实，也就是说，一切实验结果都会产生误差。
随着科技的发展，测量误差控制得越来越小，但不论小到什么程度误差总是存在的。
在实际测量中，对给定的测量任务只需达到规定的精度要求就行了，决不是精度愈高愈好，否则将导致浪费。
因此，在实际测量中，必须根据测量目的，全面考虑测量的可靠性、精度、经济性和使用简便性。
（一）按误差本身因次分类1.绝对误差某被测量的绝对误差定义为该量的测量值与真值之差，即：绝对误差＝测量值－真值绝对误差可为正或负。
例1：某一标准长度，其约定真值为X ＝100.02mm ，现有A 、B 两台仪器对其进行测量，测量结果如下：X A ＝100.05mm ，X B ＝100.00mm ，试比较两台仪器绝对误差的大小。
解：A仪器的测量误差为：V A ＝X A －X ＝100.05－100.02＝0.03mmB仪器的测量误差为：V B ＝X B －X ＝100.00－100.02＝-0.02mm由于|V A |>|V B |,所以B仪器的绝对误差小。
二、误差的分类（表示方法）例3.2：某电压表量程为50V，准确度级别为1.5级，在对其进行校准时，测30V的标准电压时其最大示值误差为1V，问该电压表是否处于合格状态？’＝1/50×100%=2%解：rα即α’＝2.0，根据实际测量得到的该表的准确度级别为2，达不到1.5级别要求，所以该电表处于不合格状态。
精度等级α：表征测试系统或装置在符合一定的计量要求情况下，能保持其误差在规定的极限范围内。
结果表明，用1.0级仪表比用0.5级仪表的示值相对误差反而小，所以更合适。
（二）测量误差根据其产生原因的分类1.仪器误差：由于仪器的结构、制造不完善，或调整、校正不当等原因而引起的。
（如仪器的结构、制造不完善）2.人为误差：由于测量工作者技术不熟练或其它主观原因而引起的。
（如测量人员视觉存在近视，斜视，弱听等，测量人员的精神状态的变化也会引入误差）3.环境误差：由于测量环境的影响或测量条件的变化而引起的。
（如温度变化引起传感器零漂等等）4.方法误差：由于测量方法不正确而引起的误差。
（如测量仪器的使用方法不对，压力表，航空用高度表）这种误差也称为理论误差和原理误差。
（三）测量误差根据其性质及变化规律的分类1)系统误差：保持一定数值或按一定规律变化的误差，称为系统误差。
例如，由于仪器标度尺刻划得不准确，测量时的温度与仪器的校正温度不相等，测量者观察仪器指针时习惯于斜视等原因引起的误差。
系统误差是有规律的，这种规律体现在每一次具体的测量之中。
因此，通过试验找到这种规律之后，就可以对测量值进行修正，以消除系统误差的影响。
2)随机误差：即使在相同的条件下，对同一个参数重复地进行多次测量，所得到的测定值也不可能完全相同。
这时，测量误差具有各不相同的数值与符号，这种误差称为随机误差。
随机误差反映了许多互相独立的因素有细微变化时的综合影响。
例如，在测量过程中，外界条件(温度、湿度、空气振动和电压波动)的瞬间变化，仪器内部或观测者视线的细微变化，都会导致随机误差的产生。
就个体而言，从单次测量结果来看时没有规律的，但就总体而言，即对一个量进行等精度的多次测量后就会发现，随机误差服从一定的统计规律。
3)疏失(粗大)误差：由于测量工作中的错误、疏忽大意等原因引起的误差，称为疏失(粗大)误差。
例如，仪器操作的错误，观察时读错了数字或小数点位置等等。
疏失(粗大)误差的数值和符号是没有任何规律的。
只要在测量时，做到认真仔细，反复核对数据，疏失误差是可以避免的。
加拿大魁北克省的铁桥多伦多大学Engineering ring根据误差的性质和特点将误差分为3类，但是各类误差之间在一定条件下可以相互转换，尤其是系统误差和随机误差。
三、测量的精密度、准确度和精度⏹在任何测量工作中，测量误差是不可避免的，测量值只是被测参数真值的某个近似值。
由于误差的性质不同，它们对测量值的影响程度也各不相同。
因此，在测量工作中，要使用精密度、准确度和精度等概念，用来判别测量误差的大小和好坏程度。
⏹精密度是指在测量某一参数中测量值的密集(或重复性)程度。
⏹准确度是指测量值与真值符合的程度。
⏹精度是综合地反映精密度和准确度的指标，它反映了测量的总误差，即表达测量结果与被测量的真值的接近程度。
精度反映了测试系统中系统误差和随机误差的综合影响在一组测量中，尽管精密度很好，但准确度不一定很好。
反之，若准确度很好，但精密度也不一定很好。
只有精密度和准确度都好，精度才能达到所需的要求。
四、随机误差的分布规律在讨论随机误差的规律时，一般假设系统误差、疏失(粗大)误差已被消除。
大量试验结果表明，虽然个别的随机误差可能大也可能小，可能为正也可能为负，它们的发生具有随机性(偶然性)，但是它们的总体却符合统计规律。
重复测量的次数越多，这种规律性就越明显。
实践证明随机误差是遵循正态分布规律的。
随机误差的特性：1)对称性——绝对值相等的正负误差，其出现的概率相同；2)有限性——绝对值很大的误差出现的概率接近于零，亦即误差的绝对值有一定的限度；3)分布规律性——绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小；4)相互补偿性——随机误差的算术平均值随测量次数增加而趋于零。
因此，可以用增加测量次数来减小随机误差的影响。
第二节：直接测量与间接测量的误差分析在实际测量中，测量方法一般采用直接测量与间接测量两种方法。
所谓直接测量就是将被测量与标准量直接进行比较。
如用米尺测量起重机的工作幅度、用拉力计测量钢丝绳张力、用位移传感器测量构件变形位移等，都属于直接测量。
间接测量是指被测量不能或不易直接与标准量进行比较，而是通过另外几个可以直接测得的其他参数量与其构成某种函数关系式而求得。
如构件应力测量，是通过测量微应变，然后按一定的公式计算求得。
又如电机驱动功率的测量是通过分别测量输出轴的扭矩和转速，再通过公式计算求得。
诸如此类的测量都属于间接测量。
一、直接测量的误差分析1.测量结果的求取在直接测量中，测量的目的是要求如何从一组测量值中决定最接近真值的数值，也就是说通过有限次的测量求得一个最能代表这些测量数据的确定值。
由于随机误差具有相互补偿性，所以，当测量数据个数超过无穷大时，其算术平均值(数学期望值)不含有随机误差。
如果考虑随机误差的影响，可见算术平均值最能代表测量数据。
因此，可以知道真值的最佳估计就是测量数据的算术平均值。
2．直接测量误差分析1)测量的精密度参数在直接测量中，常用极差R 、标准偏差、变异系数、最大可能误差及概率误差等参数来描述测量精密度。
因此，这些参数被称为测量精密度参数。
①极差R ：极差R 是数据中最大值与最小值之差，即(3-10)式中：x max ——数据中的最大值；x min ——数据中的最小值。
极差R 是一种简单反映测量精密度的参数，反映实际情况的精密度较低，因为它没有利用最大值与最小值之间的其它数据作为评价数据。
min max x x R -=③最大可能误差与概率误差ρ误差之值出现在某一区间内的概率，可以通过式(3-4)来计算。
由于误差分布曲线是对称的，通常取对称区间[-b ，+b ]来估计值出现的概率，即是：一般令b ＝kσ，其中k 称为置信系数。
m δ)()(}|{|}{x d x p b x p b x b p b b∆∆=<∆=≤∆≤-⎰-当k ＝3时，p ＝99.7%,即误差介于±3σ范围内出现的概率为99.7％，这就是说随机误差的可能取值，几乎全部在±3σ之间。
同样当计算p ＝50%的区间时，k ＝0.6745，称为概率误差。
二、间接测量的误差分析间接测量的误差分析是在直接测量的误差分析基础上进行的，如何由直接测量的误差来计算间接测量的误差，此即误差传递规律问题。
1.间接测量结果的求取间接测量结果的求取就是把直接测量的各个参数，根据它们存在的一定函数关系，将直接测得的各参量的算术平均值代人该系数关系式，以求得间接测量的结果。
2.间接测量的误差分析间接测量中经常遇到这样两个问题：一种是已知直接测量值的误差，求间接测量的误差。
另一种是给定间接测量值的误差，求各直接测量值允许的最大误差。
1)由直接测量的误差计算间接测量的误差间接测量值y 与各直接测量参数x 1，x 2，…，x n 之间的关系用函数关系式表示为：y=f (x 1，x 2，…，x n )若各个直接误差导致间接误差为，则有：y ＋=f (x 1＋，x 2＋，…，x n ＋)i x ∆y ∆y ∆1x ∆2x ∆n x ∆例：测量一圆柱体的直径D 和高度H ，欲通过函数关系求出其体积，测量结果如下，试求圆柱体的体积及其偏差范围（置信概率为95％）。
4/2H D V π=n 12345D 9.810.010.19.910.2H1039997101100。