中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习含答案

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中考数学规律探索题中考找规律题目有答案

中考规律探索1以下为全部整理类型;规律探索共两套试题;供参考学习使用一．选择题1．观察下列等式：31＝3;32＝9;33＝27;34＝81;35＝243;36＝729;37＝2187… 解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是 A ．0 B ．1 C ．3 D ．72. 把所有正奇数从小到大排列;并按如下规律分组：1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23;25;27;29;31;…;现用等式A M =i;j 表示正奇数M 是第i 组第j 个数从左往右数;如A 7=2;3;则A 2013= A ．45;77 B ．45;39 C ．32;46 D ．32;233.下表中的数字是按一定规律填写的;表中a 的值应是．4.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成;其中第1个图形的面积为2cm 2;第2个图形的面积为8 cm 2;第3个图形的面积为18 cm 2;……;第10个图形的面积为 A ．196 cm 2B ．200 cm 2C ．216 cm 2D ． 256 cm 25．如图;动点P 从0;3出发;沿所示的方向运动;每当碰到矩形的边时反弹;反弹时反射角等于入射角;当点P 第2013次碰到矩形的边时;点P 的坐标为 A 、1;4 B 、5;0 C 、6;4 D 、8;36．如图;下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律;图形中M 与m 、n 的关系是A ． M=mnB ． M=nm+1C ．M=mn+1D ．M=mn+17．我们知道;一元二次方程12-=x 没有实数根;即不存在一个实数的平方等于-1;若我们规定一个新数“”;使其满足12-=i 即方程12-=x 有一个根为;并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算;且原有的运算律和运算法则仍然成立;于是有,1i i =12-=i ;,).1(23i i i i i -=-=⋅=.1)1()(2224=-==i i 从而对任意正整数n;我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i 那么;20132012432i i i i i i +⋅⋅⋅++++的值为A ．0B ．1C ．-1D ．8．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成;其中第①个图形有1颗棋子;第②个图形一共有6颗棋子;第③个图形一共有16颗棋子;…;则第⑥个图形中棋子的颗数为A ．51B ．70C ．76D ．81图① 图②图③···第8题图二．填空题1．观察下列图形中点的个数;若按其规律再画下去;可以得到第n个图形中所有的个数为用含n的代数式表示．2．如图;在直角坐标系中;已知点A﹣3;0、B0;4;对△OAB连续作旋转变换;依次得到△1、△2、△3、△4…;则△2013的直角顶点的坐标为．3．如图;正方形ABCD的边长为1;顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1;由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…;以此类推;则第六个正方形A6B6C6D6周长是．4．直线上有2013个点;我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点;经过3次这样的操作后;直线上共有个点．5．如图;古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1;5;12;22…为五边形数;则第6个五边形数是．6 ．如图;是用火柴棒拼成的图形;则第n个图形需根火柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…;则1+3+5+…+2013的值是．8．如图12;一段抛物线：y＝－xx－30≤x≤3;记为C1;它与x轴交于点O;A1；将C1绕点A1旋转180°得C2;交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3;交x 轴于点A3；……如此进行下去;直至得C13．若P37;m在第13段抛物线C13上;则m =_________．9.直线上有2013个点;我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点;经过3次这样的操作后;直线上共有个点. 10．观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25;15×15=1×2×100+25;25×25=2×3×100+25;35×35=3×4×100+25;…………请猜测;第n个算式n为正整数应表示为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列;则位于第7行、第7列的数x是__ __．12、如下图;每一幅图中均含有若干个正方形;第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去;则第6幅图中含有个正方形；••••••①②③13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆; 第2个图形有10个小圆; 第3个图形有16个小圆; 第4个图形有24个小圆; ……;依次规律;第6个图形有个小圆． 14.已知一组数2;4;8;16;32;…;按此规律;则第n 个数是． 15、我们知道;经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bxa ≠0 1对于这样的抛物线：当顶点坐标为1;1时;a ＝__________；当顶点坐标为m ;m ;m ≠0时;a 与m 之间的关系式是__________；2继续探究;如果b ≠0;且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kxk ≠0上;请用含k 的代数式表示b ；3现有一组过原点的抛物线;顶点A 1;A 2;…;A n 在直线y ＝x 上;横坐标依次为1;2;…;n 为正整数;且n ≤12;分别过每个顶点作x 轴的垂线;垂足记为B 1;B 2;…;B n ;以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ;若这组抛物线中有一条经过D n ;求所有满足条件的正方形边长．16．如图;所有正三角形的一边平行于x 轴;一顶点在y 轴上;从内到外;它们的边长依次为2;4;6;8;…;顶点依次用1A 、2A 、3A 、4A 、…表示;其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距一个单位;则顶点3A 的坐标是 ;22A 的坐标是．第16题图17．如图;已知直线l ：y=33x ;过点A 0;1作y 轴的垂线交直线l 于点B ;过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1;过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去;则点A 2013的坐标为．18、如图;在平面直角坐标系中;一动点从原点O 出发;按向上;向右;向下;向右的方向不断地移动;每移动一个单位;得到点A 1 0;1;A 21;1;A 31;0;A 42;0;…那么点A 4n ＋1n 为自然数的坐标为用n 表示19．当白色小正方形个数n 等于1;2;3…时;由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________．用n 表示;n 是正整数20. 2013 衢州4分如图;在菱形ABCD 中;边长为10;∠A=60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点;可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点;可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点;可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…．则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是．21.一组按规律排列的式子：ａ２;43a ;65a ;87a ;….则第n 个式子是________22.观察下面的单项式：a;﹣2a 2;4a 3;﹣8a 4;…根据你发现的规律;第8个式子是． 23.如图;已知直线l ：y=x;过点M2;0作x 轴的垂线交直线l 于点N;过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x轴的垂线交直线l 于N 1;过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2;…；按此作法继续下去;则点M 10的坐标为．24.为庆祝“六一”儿童节;某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律;摆第n图;需用火柴棒的根数为．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、n+12 2、8052;0 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、 2 9、16097 10、10n-1+52=100nn-1+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、1－1；a ＝－1m或am ＋1＝0；2解：∵a ≠0 ∴y ＝ax 2＋bx ＝ax ＋2b a2－24b a ∴顶点坐标为－2ba;－24b a∵顶点在直线y ＝kx 上∴k －2ba＝－24b a∵b ≠0 ∴b ＝2k3解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上 ∴可设A n 的坐标为n ;n ;点D n 所在的抛物线顶点坐标为t ;t由12可得;点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正方形 ∴点D n 的坐标为2n ;n∴－1t2n 2＋2×2n ＝n∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数;且t ≤12;n ≤12∴n ＝3;6或9∴满足条件的正方形边长为3;6或916、0;31-;－8;－8. 17、()()201340260,40,2或注：以上两答案任选一个都对18、2n;1 19、n 2+4n 20、20；21、221na n n 为正整数22、-128a 8 23、884736;0 24、6n+2规律探索21、我们平常用的数是十进制数;如2639=2×103+6×102+3×101+9×100;表示十进制的数要用10个数码又叫数字：0;1;2;3;4;5;6;7;8;9..在电子数字计算机中用的是二进制;只要两个数码：0和1..如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5;10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23;那么二进制中的1101等于十进制的数 ..2、从1开始;将连续的奇数相加;和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始;将前10个奇数即当最后一个奇数是19时;它们的和是 .. 3、小王利用计算机设计了一个计算程序;输入和输出的数据如下表：输入 (1)2345… 输出……那么;当输入数据是8时;输出的数据是A 、618B 、638C 、658D 、6784、如下左图所示;摆第一个“小屋子”要5枚棋子;摆第二个要11枚棋子;摆第三个要17枚棋子;则摆第30个“小屋子”要枚棋子.5、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子;观察图形的变化规律;写出第n 个小房子用了块石子6、如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去;那么通过观察;可以发现：1第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；2第n 个“上”字需用枚棋子..7、如图一串有黑有白;其排列有一定规律的珠子;被盒子遮住一部分;则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗.(1)(2)(3)第4题第7题图⑴ ⑵ ⑶1 2 348、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有个点;第n 个图形中有个点.. 9、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图2比图1多出2个“树枝”；图3比图2多出5个“树枝”；图4比图3多出10个“树枝”；照此规律;图7比图6多出个“树枝”..10、观察下面的点阵图和相应的等式;探究其中的规律：1在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；2通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式_____________________..11、用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形;则第n 次所搭图形的周长是_______________cm 用含n 的代数式表示..12、如图;都是由边长为1例如第1个图形的表面积为6个平方单位;第2个图形的表面积为18个平方单位;第3个图形的表面积是36..个图形的表面积个平方单位13、图1是一个水平摆放的小正方体木块;图2、3是由这样的小正方体木块叠放而成;按照这样的规律继续叠放下去;至第七个叠放的图形中;小正方体木块总数应是A 25B 66C 91D 12014、如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体;图⑴中有1个立方体;图⑵中有4个立方体;图⑶中有9个立方体;……按这样的规律叠放下去;第8个图中小立方体个数是 .15、图1是棱长为a 的小正方体;图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放;由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n 层;第n 层的小正方体的个数为s ．解答下列问题：1按照要求填表：2写出当n =10时;s= ．16、如图用火柴摆去系列图案;按这种方式摆下去;当每边摆10根时即10 n 时;需要的火柴棒总数为根；n1 2 3 4… s 1 3 6……………①1=12； ②1+3=22；③1+3+5=32； ④ ；⑤ ；第 ··· ···图1 图2 图3B 17、用火柴棒按如图的方式搭一行三角形;搭一个三角形需3支火柴棒;搭2个三角形需5支火柴棒;搭3个三角形需7支火柴棒;照这样的规律下去;搭n 个三角形需要S 支火柴棒;那么用n 的式子表示S 的式子是 _______ n 为正整数．18、;请观察下图：则第n 个图形中需用黑色瓷砖 ____ 19题图19、如图;用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面;观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时;白色瓷砖为块；当白色瓷砖为n 2n 为正整数块时;黑色瓷砖为块．20、观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形;寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体;其中1个看得见;0个看不见；如图2中：共有8个小立方体;其中7个看得见;1个看不见；如图3中：共有27个小立方体;其中有19个看得8个看不见；……;则第6个图中;看不见的小立方体有个..21、下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的． 1观察图形;填写下表：2推测第n 个图形中;正方形的个数为________;周长为______________都用含n 的代数式表示．22、观察下图;我们可以发现：图⑴中有1个正方形；图⑵中有5个正方形;图⑶中共有14个正方形;按照这种规律继续下去;图⑹中共有_______个正方形..23、某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的;现要在园地上建一个花坛阴影部分使花坛面积是园地面积的一半;以下图中设计不合要求．．．．的是第22题图 24;25<1>、 <3>26、2次把第1次铺的完全围起来;如图2；第3次把第23；…依此方法;第n 次铺完后;用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块块数为 . n 为正整数27、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律;拼成若干个图案： ⑴ 第4个图案中有白色地面砖块； ⑵ 第n 个图案中有白色地面砖块..28、分析如下图①;②;④中阴影部分的分布规律;按此规律在图③中画出其中的阴影部分.29、将一圆形纸片对折后再对折;得到图2;然后沿着图中的虚线剪开;得到两部分;其中一部分展开后的平面图形是30．如图1;小强拿一张正方形的纸;沿虚线对折一次得图2;再对折一次得图3;然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角;再DCB打开后的形状是A B C D31、用一条宽相等的足够长的纸条;打一个结;如图１所示;然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图２所示的正五边形ＡＢＣＤＥ;其中∠ＢＡＣ＝度.32、如图;一张长方形纸沿AB 对折;以AB 中点O 为顶点将平角五等分;并沿五等分的折线折叠;再沿CD 剪开;使展开后为正五角星正五边形对角线所构成的图形.则∠OCD 等于A ．108°B ．144°C ．126°D ．129°33、如图;把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是A B C D 第35题图34、将一张长方形的纸对折;如图5所示可得到一条折痕图中虚线. 继续对折;对折时每次折痕与上次的折痕保持平行;连续对折三次后;可以得到7条折痕;那么对折四次可以得到条折痕 .如果对折n 次;可以得到 _____________条折痕 ..35、观察图形：图中是边长为1;2;3 …的正方形：当边长n ＝1时;正方形被分成2个大小相等的小等腰直角三角形；当边长n ＝2时;正方形被分成8个大小相等的小等腰直角三角形；当边长n ＝3时;正方形被分成18个大小相等的小等腰直角三角形；以此类推：当边长为n 时;正方形被分成大小相等的小等腰直角三角形的个数是 ..36、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图;是一个正方体的平面展开图;若图中的“似”表示正方体的前面; “锦”表示右面; “程”表示下面.则“祝”、 “你”、“前”分别表示正方体的___________________.37、如图是一块长方形ABCD 的场地;长AB =102m;宽AD =51m;从A 、B 两处入口的中路宽都为1m;两小路汇合处路宽为2m;其余部分种植草坪;则草坪面积为A5050m 2 B4900m 2 Ｃ5000m 2Ｄ4998m 238、读一读;想一想;做一做：国际象棋、中国象棋和围棋号称为世界三大棋种.国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格;而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘;图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.① 在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”;她所在的位置可用“2;3”来表示;请说明“皇后Q ”所在的位置“2;3”的意义;并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置.②如图丙也是一个4×4的小方格棋盘;请在这个棋盘中放入四个“皇后Q ”;使这四个“皇后Q ”之间互不受对方控制在图丙中的某四个小方格中标出字母Q 即可._沿虚线剪开程前你祝似锦 AS D S CSB S 图１DEBA图２3 甲行乙3丙参考答案1、132、1003、C4、1795、 3n+1-3+nn+1或n+12+2n-16、118、22 24n+27、278、31;n2-n-19、8010、1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52；1+3+5+……+2n-1=n2 11、 4n 12、9013、C 14、64 5、110 21+2+3+……+n=nn+1/2 16、16517、s=2n+1 18、4n+6 19、16;4n+420、125 21、113、18；28、38； 25n+3;10n+8 22 、9123、B 24、B 25、A 26、8n-6 27、118 ；24n+228、29、C30、 C31、3632、A 33、C34、15 ；2n-1 35、 2n2 36、后面、上面、左面 37、C38、1 1;1;3;1;4;2;4;4；2。

中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。

2024贵州中考数学二轮复习专题题型五规律探索题专项训练 (含答案)

2024贵州中考数学二轮复习专题题型五规律探索题专项训练类型一数式规律(黔西南州3考，黔东南州2考)考向1数字累加型基础小练(1)若一列正整数：1，2，3，4，5，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________，这n (n ≥1)个数的和为________；(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________，这n (n ≥1)个数的和为________；(3)若一列数：2，4，6，8，10，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________，这n (n ≥1)个数的和为________；(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(6)若一列数：1，4，9，16，25，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(7)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(8)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(9)若一列数：4，7，10，13，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(10)若一列数：12，1，54，75，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数表示为________．典例精讲例1(2023云南)按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是()A.n 2a n ＋1B.n 2a n －1C.n n a n ＋1D.(n ＋1)2a n 针对演练1.按规律排列的一列数：－12，25，－38，411，－514，…，则第n 个数是________．考向2数字/数式循环规律典例精讲例2(万唯原创)根据如图所示的流程图计算，若x ＝3，则a 2023＝________．例2题图满分技法对于循环型的数字规律探索题求第n 个数的值：(1)先找出循环周期n ；(2)用N (设问中给出的第N 次变化)除以n ，当商b 余m (0≤m <n )时，第N 次变化对应的数即为一个循环变化中第m 次变化后所对应的数．针对演练2.若2022个数a 1、a 2、a 3、…、a 2022满足下列条件：a 1＝2，a 2＝－|a 1＋5|，a 3＝－|a 2＋5|，…，a 2022＝－|a 2021＋5|，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2022＝()A.－5047B.－5050C.－5055D.－5067考向3拆项类典例精讲例3观察下列等式：a 1＝11×4＝13×(1－14)；a 2＝14×7＝13×(14－17)；a 3＝17×10＝13×(17－110)；a 4＝110×13＝13×(110－113)；…；则a n ＝________；按照上述规律，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2022＝________．满分技法在求多个分数的和时，常考虑拆项相消法：(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；(2)k n （n ＋k ）＝1n －1n ＋k ；(3)1n （n ＋k ）＝(1n －1n ＋k )×1k.针对演练3.(2023眉山)观察下列等式：x1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2；x2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3；x3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4；…根据以上规律，计算x1＋x2＋x3＋…＋x2022－2023＝____________.考向4数阵规律典例精讲例4(2023十堰)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是()A.2025B.2023C.2023D.2020例4题图满分技法(1)数阵规律探究求某个数字的位置或者某个位置的数字时需分析数阵中的数字排列方式：①每行、列的个数；②相邻数据的变化特点，并且观察某行或列具有的某些特别的性质(如完全平方数，正整数)等；(2)对于“杨辉三角”型规律探究，常涉及到以下规律：①每个数等于它上方两数之和；②第n行数字之和为2n－1；③(a＋b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角形的第(n＋1)行中的每一项．针对演练4.(2023荆门)如图，将正整数按此规律排列成数表，则2023是表中第________行第________列．第4题图类型二图形规律(黔西南州5考，黔东南州2考)考向1图形累加型典例精讲例5(2023凉山州)如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，则第n个图形需要______根火柴棍．例5题图例6(2023贵州模拟)如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆，…，按此规律排列下去，第10个图形中圆的个数是________个．例6题图满分技法对于图形个数累加型规律探索题具体步骤如下：(1)数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；(2)寻找图形数量与序数n的关系；①相邻图形个数的差值相同，则第n个图形的个数是最高次项为一次的整式an＋b，然后代入2组数据即可求出a，b的值；②相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数是最高次项为二次的整式an2＋bn＋c，然后代入3组数据即可求出a，b，c的值．针对演练5.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为________．第5题图考向2图形递变规律典例精讲例7如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使得∠D1AC＝60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使得∠D2AC1＝60°，连接AC2，再以AC2为边作第四个菱形AC2C3D3，使得∠D3AC2＝60°，…，按照此规律继续作下去，则第n(n≥2)个菱形的面积是________．例7题图满分技法已知一个几何图形的边长(周长或面积)，通过一定变换确定第M次变换后的图形的边长(周长或面积)，解题步骤是：第一步：根据题意可得出第一次变换前图形的边长(周长或面积)；第二步：通过计算得到第一次变换后、第二次变换后、第三次变换后、第四次变换后图形的边长(周长或面积)，归纳出每次变换后的图形的边长(周长或面积)与序数n之间的关系式，并验证；第三步：根据第二步中的关系式，得到第M次变换后的图形的边长(周长或面积)．针对演练6.(2023烟台)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC ＝…＝∠LOM＝30°.若OA＝16，则OG的长为()A.27 4B.1 4C.932D.2738第6题图考向3图形循环规律典例精讲例8(2020三州联考17题3分)下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2020个图案与第1个至第4个中的第_______________________________个箭头方向相同(填序号)．例8题图针对演练7.(2022赤峰)一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2020的中点A2022，则点A2022表示的数为________．第7题图类型三图形坐标规律(黔东南州2021.16)典例精讲例9(2021黔东南州16题4分)把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为(0，1)，∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；…；按此规律继续下去，则点B2021的坐标为________．例9题图满分技法对于图形规律中求第n个点的坐标，有两种考查形式：一种是点坐标变换在同一象限内递推变化；另一种是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环变化．解决方法如下：(1)定类型：根据图形中点坐标的变换特点判断出属于哪一个类型(递推型或循环型)；(2)找规律：根据图形的递变规律分别求出第1、2、3、4个点的横坐标和纵坐标，用含n的代数式表示出第n个点的坐标．参考答案【基础小练】(1)n ，n （n ＋1）2；(2)2n －1，n 2；(3)2n ，n 2＋n ；(4)(－1)n ；(5)(－1)n ＋1；(6)n 2；(7)n 2＋1；(8)n 2－1；(9)3n ＋1；(10)2n －1n ＋1.【解析】观察这列数，可将1写成33.则这列数为12，33，54，75，…，从中得到规律：分子是连续奇数1，3，5，7，…，则第n 个数的分子是2n －1，分母比其序号大1，则第n个数的分母是n ＋1，∴第n 个数为2n －1n ＋1.典例精讲例1A 【解析】单项式的系数规律为1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，…，第n 个单项式的系数为n 2；a 的指数规律为2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1，5＝4＋1，…，第n 个单项式字母a 的指数为n ＋1，故第n 个单项式为n 2a n ＋1.针对演练1.(－1)n n 3n －1【解析】∵－12＝(－1)1×13×1－1，25＝(－1)2×23×2－1，－38＝(－1)3×33×3－1，411＝(－1)4×43×4－1，－514＝(－1)5×53×5－1，…，∴第n 个数是(－1)n n 3n －1.典例精讲例2－12【解析】将x ＝3代入，得a 1＝1－13＝23，a 2＝1－32＝－12，a 3＝1－(－2)＝3，a 4＝1－13＝23.…，依次类推，∴循环周期为3，∵2023÷3＝673……2，∴a 2023＝a 2＝－12.针对演练1.C 【解析】根据题意可得，a 1＝2，a 2＝－|2＋5|＝－7，a 3＝－|－7＋5|＝－2，a 4＝－|－2＋5|＝－3，a 5＝－|－3＋5|＝－2，a 6＝－|－2＋5|＝－3，…，由上可知，这2022个数a 1、a 2、a 3、…、a 2022从第三个数开始按－2，－3依次循环，故这2022个数中有1个2，1个－7，1010个－2，1010个－3，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2022＝2－7－2×1010－3×1010＝－5055.典例精讲例313×(13n －2－13n ＋1)，20226067【解析】由题意得，a n ＝13×(13n －2－13n ＋1)，当n ＝2022时，a 2022＝13×(16064－16067)，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2022＝13×(1－14＋13(14－17＋…＋13×(16064－16067)＝13×(1－14＋14－17＋…＋16064－16067)＝13×(1－16067)＝20226067.针对演练2.－12021【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2022－2023＝2023－12021－2023＝－12021.典例精讲例4B 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32－1)＋1＝1985，根据数据的排列规律，第2n 行从右往左的数据依次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985＋2×(32－13)＝2023.针对演练2.64，5【解析】由图可知，第一行1个数字，第二行2个数字，第三行3个数字，…，则第n 行n 个数字，前n 行一共有n （n ＋1）2个数字，∵63（63＋1）2＜2023＜64（64＋1）2，2023－63（63＋1）2＝2023－2016＝5，∴2023是表中第64行第5列．典例精讲例52n ＋1【解析】由题图可知，拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3＋2＝5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3＋2×2＝7根火柴棍，…，拼成第n 个图形共需要3＋2×(n －1)＝2n ＋1根火柴棍．例6112【解析】因为第1个图形中一共有1×(1＋1)＋2＝4(个)圆，第2个图形中一共有2×(2＋1)＋2＝8(个)圆，第3个图形中一共有3×(3＋1)＋2＝14(个)圆，第4个图形中一共有4×(4＋1)＋2＝22(个)圆；可得第n 个图形中圆的个数是[n (n ＋1)＋2](个)；所以第10个图形中圆的个数10×(10＋1)＋2＝112(个)．针对演练1.440【解析】第1个图形，正三角形上的黑色棋子共3×1＝3(个)；第2个图形，正方形上的黑色棋子共4×2＝8(个)；第3个图形，正五边形上的黑色棋子共5×3＝15(个)；第4个图形，正六边形上的黑色棋子共6×4＝24(个)；…；第n 个图形，正(n ＋2)边形上的黑色棋子共n (n ＋2)(个)，∴第20个图需要黑色棋子的个数为20×22＝440(个)．典例精讲例72×(3)2n －1【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，连接CD 1交AC 1于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝12∠DAB ＝30°，OA ＝12AC ，∴OA ＝AB ·cos30°＝2×32＝3，OB ＝AB ·sin30°＝2×12＝1，∴AC ＝2OA ＝23，BD ＝2OB ＝2.同理AE ＝AC ·cos30°＝23×32＝3，CE ＝AC ·sin30°＝3，AC 1＝2AE ＝6＝2(3)2，CD 1＝2CE ＝23，…，∴第n (n ≥2)个菱形的对角线AC n －1＝2×(3)n ，C n －2D n －1＝2×(3)n－1，∴第n (n ≥2)个菱形的面积为12AC n －1·C n －2D n －1＝2×(3)2n －1.例7题解图针对演练3.A 【解析】∵∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OA ＝16，∴OB ＝OA ·cos30°＝16×32理可得OC ＝OB ·cos30°＝16×32×32＝16×(32)2，OD ＝OC ·cos30°＝16×(32)2×32＝16×(32)3，…，OG ＝16×(32)6＝274.典例精讲例83【解析】根据题意可知图案是每4个一循环，∵2020÷4＝504……3，∴是第3个图形．针对演练2.122019【解析】第一次落点为A 1处，点A 1表示的数为1；第二次落点为OA 1的中点A 2，点A 2表示的数为12；第三次落点为OA 2的中点A 3，点A 3表示的数为(12)2；…，则点A 2022表示的数为(12)2020，即点A 2022表示的数为122019.典例精讲例9(0，－(3)2018)【解析】由题意知，线段长依次为：OA ＝1，OB ＝OA ·tan60°＝3＝(3)1，OB 1＝OB ·tan60°＝3×3＝(3)2；OB 2＝OB 1·tan60°＝3×3×3＝(3)3，…，OB n ＝OB n －1×tan60°＝(3)n ＋1，坐标依次为A (0，1)，B (－3，0)，B 1(0，－(3)2)，B 2((3)3，0)，B 3(0，(3)4)，B 4(－(3)5，0)，B 5(0，－(3)6)，…，观察坐标发现B n 坐标中，当n 为奇数时，横坐标x ＝0，当n 为偶数时，纵坐标y ＝0，且不为0的坐标值从n ＝0开始，每4个数进行一次－，－，＋，＋循环，而2021是奇数且2021÷4＝504……1，∴B 2021的坐标为(0，－(3)2018)．。

初中数学(规律探索题)题库及答案

初中数学（规律探索题）题库及答案1．（2019•贺州）计算11111133557793739+++++⨯⨯⨯⨯⨯…的结果是 A ．1937B ．1939C ．3739D ．3839【答案】B【解析】原式=1111111*********(1)(1)22233557737373923939⨯-+-+-+-+++-=⨯-=．故选B ．【名师点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．2．（2019•常德）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是 A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A【解析】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4个数一循环.∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选A ．【名师点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．3．（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：11212312341213214321，，，，，，，，，，…，若第n 个数为57，则n =A ．50B ．60C ．62D ．71【答案】B【解析】11212312341213214321，，，，，，，，，，…，可写为：1121231234()()()1213214321，，，，，，，，，，….∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为12345667891011 11109877554321，，，，，，，，，，，.∴第n个数为57，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．4．（2019•株洲）从-1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K={a k，b k}（其中k=1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i={a i，b i}和M j={a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值A．10 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i={a i，b i}和M j={a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，∴S的最大值为5．故选C．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出a i+b i共有几个不同的值是解题的关键．5．（2019•济宁）已知有理数a≠1，我们把11a-称为a的差倒数，如：2的差倒数是112-=-1，-1的差倒数是111(1)2=--．如果a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5【答案】A【解析】∵a 1=-2，∴a 2=111(2)3=--，a 3=131213=-，a 4=1312-=-2，….∴这个数列以-2，13，32依次循环，且-2+13+32=-16.∵100÷3=33……1，∴a 1+a 2+…+a 100=33×（-16）-2=-152=-7.5，故选A ．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 6．（2019•达州）a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如2的差倒数为112-=-1，-1的差倒数111(1)2=--，已知a 1=5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……，依此类推，a 2019的值是 A ．5B ．-14C ．43D ．45【答案】D【解析】∵a 1=5，a 2=11111154a ==---，a 3=21141151()4a ==---，a 4=3114115a =--=5.……∴数列以5，-14，45三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴a 2019=a 3=45，故选D ．【名师点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．7．（2019•枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．8．（2019•武汉）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是A．2a2-2a B．2a2-2a-2 C．2a2-a D．2a2+a【答案】C【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；…∴2+22+23+…+2n=2n+1-2.∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250.∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，∴原式=2a2-a．故选C．【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．9．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是A ．（2，-2） B ．（1，0）C ．（，）D ．（0，-1）【答案】A【解析】∵四边形OABC 是正方形，且OA =1，∴A （0，1）. ∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1.∴A 1（2，2），A 2（1，0），A 3（2，-2），….发现是8次一循环，所以2019÷8=252……3，∴点A 2019的坐标为（2，-2），故选A ．【名师点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．10．（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），….2019÷4=504……3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选C．【名师点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．11．（2019•天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4.第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7.第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10.第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13.…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．12．（2019•甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．13．（2019•武威）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是__________．【答案】13a+21b【解析】由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．14．a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1=4，第5个数a5=5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是__________．【答案】6【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知：a1+a2+a3=15，a2+a3+a4=15，a3+a4+a5=15，…，a n+a n+1+a n+2=15.可以推出：a1=a4=a7=…=a3n+1，a2=a5=a8=…=a3n+2，a3=a6=a9=…=a3n.所以a5=a2=5，则4+5+a3=15，解得a3=6.∵2019÷3=673，因此a2017=a3=6．故答案为：6．【名师点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．15．（2019•海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__________，这2019个数的和是__________．【答案】0；2【解析】由题意可得，这列数为：0，1，1，0，-1，-1，0，1，1，….∴前6个数的和是：0+1+1+0+（-1）+（-1）=0.∵2019÷6=336……3，∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）=2，故答案为：0；2．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．16．（2019•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是__________．【答案】-384【解析】∵一列数为1，-2，4，-8，16，-32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（-2）n-1.∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（-2）n-1、（-2）n、（-2）n+1.则（-2）n-1·（-2）n·（-2）n+1=412，即（-2）3n=（22）12，∴（-2）3n=224，∴3n=24，解得，n=8.∴这三个数的和是：（-2）7+（-2）8+（-2）9=（-2）7×（1-2+4）=（-128）×3=-384，故答案为：-384．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．17．（2019•安顺）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是__________．【答案】2019【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025-6=2019，故答案为：2019．【名师点睛】本题考查规律型——数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．18．（2019•黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是__________．【答案】625【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数.∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628，∴第20行第19个数是：628-3=625，故答案为：625．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n-1）．19．（2019•台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共__________个．【答案】3【解析】∵210÷3=70，∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210-70=140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140； ∵140÷3=46......2. ∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140-46=94个金蛋，重新编号为1，2，3， (94)∵94÷3=31……1，∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94-31=63个金蛋. ∵63<66.∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．故答案为：3．【名师点睛】此题主要考查了推理与论证，正确得出每次砸掉的和余下的金蛋个数是解题关键．20．（2019•滨州）观察下列一组数： a 1=13，a 2=35，a 3=69，a 4=1017，a 5=1533，…. 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n =__________．（用含n 的式子表示）【答案】1(1)22n n n +++ 【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n +1. 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为(1)2n n +. ∴a n =1(1)(1)22122n n n n n n +++=++，故答案为：1(1)22n n n +++．【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．21．（2019•怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是__________．【答案】n -1【解析】由题意“分数墙”的总面积=2×12+3×13+4×14+…+n ×1n=n -1，故答案为：n -1．【名师点睛】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2=60°，再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3=60°，再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4=60°……按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为__________．【答案】（-22017，2【解析】由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1A3的坐标为（-2，.A4的坐标为（-8，0），A5的坐标为（-8，-），A6的坐标为（16，-），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环.与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n-1，其纵坐标为0.与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为2n-.与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为2n-与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为-2n-1，纵坐标为0.与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为-2n-与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为-2n-∵2019÷6=336……3.∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2n-2=-22017，纵坐标为2.故答案为：（-22017，2【名师点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．23．（2019•连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为__________．【答案】（2，4，2）【解析】根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），故答案为：（2，4，2）．【名师点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．24．（2019•衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则OBOA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）5(【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB.∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC=.∵DC=1，BC=2，∴OBOA=12，故答案为：12．（2过C作CM⊥y轴于M，过M1作M1N⊥x轴，过F作FN1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD==CM=OA，DM=OB=ANC.∵AF=3，M1F=BC=2，∴AM1=AF-M1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM1（AAS），∴NM1=OA∵NM1∥FN1，∴11111553M N AMFN AFFN==，.∴FN1=5，∴AN1=5，∴ON1=OA+AN1=555+=，∴F（5，5）.同理.F1（55，.F2（55，.F3（55，.F4）.…F2019.【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．25．（2019•安徽）观察以下等式：第1个等式：211 111 =+.第2个等式：211 326 =+.第3个等式：211 5315 =+.第4个等式：211 7428 =+.第5个等式：211 9545 =+.……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．【解析】（1）第6个等式为：21111666=+，故答案为：21111666=+．（2）21121(21) n n n n=+--.证明：∵右边=112112(21)(21)21nn n n n n n-++==---=左边．∴等式成立.故答案为：21121(21)n n n n=+--．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出21121(21)n n n n=+--的规律，并熟练加以运用．26．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①.则2S=2+22+…+22018+22019②.②-①得2S-S=S=22019-1.∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①.则2S=2+22+…+210②.②-①得2S-S=S=210-1.∴S=1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①.则3S=32+33+34+35+…+311②.②-①得2S =311-1.所以S =11312-. 即3+32+33+34+…+310=11312-. 故答案为：11312-．（3）设S =1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n ①. 则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②. ②-①得：（a -1）S =a n +1-1.a =1时，不能直接除以a -1，此时原式等于n +1.a 不等于1时，a -1才能做分母，所以S =111n a a +--.即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n=111n a a +--．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法． 27．（2019•张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n ．所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1=1，a 2=3，公差为d =2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为5，第5项是__________．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，a n-a n-1=d，…．所以a2=a1+d.a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d.a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d.……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n=a1+__________d．（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？【解析】（1）根据题意得，d=10-5=5．∵a3=15，a4=a3+d=15+5=20，a5=a4+d=20+5=25，故答案为：5；25．（2）∵a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d.a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……∴a n=a1+（n-1）d，故答案为：n-1．（3）根据题意得.等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：a n=-5-2（n-1）.则-5-2（n-1）=-4041.解之得：n=2019.∴-4041是等差数列-5，-7，-9，…的项，它是此数列的第2019项．【名师点睛】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．。

中考数学专题训练01：规律探索题(含答案)

专题训练(一)[规律探索题]1.如图1-1所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n 个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为()图1-1A.28B.29C.30D.312.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,那么计算71+72+73+…+72020的结果的个位数字是()A.9B.7C.6D.03.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值为 ()图1-2A.180B.182C.184D.1864.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑨个图形中菱形的个数为()图1-3A.73B.81C.91D.1095.请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),(1-x)(1+x+x2+x3),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是()A.1-x n+1B.1+x n+1C.1-x nD.1+x n6.图1-4中的图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成的,其中第①个图形有1颗棋子,第②个图形一共有6颗棋子,第③个图形一共有16颗棋子,…,则第⑥个图形中棋子的颗数为()图1-4A.51B.70C.76D.817.如图1-5,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为()图1-5A.(√2)n-1B.2n-1C .(√2)nD .2n8.按一定规律排列的一列数依次为:23,1,87,119,1411,1713,…,按此规律,这列数中的第100个数是 .9.已知a 1=-32,a 2=55,a 3=-710,a 4=917,a 5=-1126,…,则a 8= .10.如图1-6,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…;按照此规律,第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为个.图1-611.观察下面的单项式:a ,-2a 2,4a 3,-8a 4,…,根据你发现的规律,第8个式子是 .12.观察下列各式:√1+13=2√13,√2+14=3√14,√3+15=4√15,…,请你将所发现的规律用含自然数n (n ≥1)的代数式表达出来: .13.图1-7是将正三角形按一定规律排列的,则第五个图形中正三角形的个数是 .图1-714.观察下列等式:42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;…,则第n (n 是正整数)个等式为 .15.如图1-8,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A (-1,1),B (0,-2),C (1,0).点P (0,2)绕点A 旋转180°得到点P 1,点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2,点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3,点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4,…,按此作法进行下去,则点P 2017的坐标为 .图1-816.如图1-9,直线l为y=√3x,过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴,与直线l交于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴,交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…,按此作法进行下去,则点A n的坐标为.图1-917.正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图1-10所示的方式放置.点A1,A2,A3…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B n的坐标是.(n为正整数)图1-10参考答案1.C[解析] 第1个图形有(4×1)朵,第2个图形有(4×2)朵,第3个图形有(4×3)朵, …,第n个图形有4n朵,所以由4n=120得n=30.2.D3.C[解析] 观察各正方形中的4个数可知,1+14=3×5,3+32=5×7,5+58=7×9,故11+m=(11+2)×(11+4),解得m=184.4.C[解析] 整个图形可以看作是由两部分组成,各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现:第①个第②个第③个第④个…第个上半1=124=229=3216=42…n2部分下半2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 …n+1部分由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为:n2+n+1.当n=9时,有n2+n+1=92+9+1=91,∴第⑨个图形中菱形的个数为91.5.A[解析] 利用多项式乘多项式法则计算,归纳总结得到一般性规律,即可得到结果.观察可知,第一个式子的结果是:1-x2,第二个式子的结果是:1-x3,第三个式子的结果是:1-x4,…,第n个式子的结果是:1-x n+1.6.C[解析] 通过观察图形得到第①个图形中棋子的颗数为1=1+5×0;第②个图形中棋子的颗数为1+5×1=6;第③个图形中棋子的颗数为1+5+10=1+5×3=16;…所以第个图形中棋子的颗数为1+5n (n -1)2,然后把n=6代入计算即可.7.B 8.299201 [解析] 分别寻找分子、分母蕴含的规律,第n 个数可以表示为3n -12n+1,当n=100时,第100个数是299201.9.1765 [解析] 由前5项可得a n =(-1)n ·2n+1n 2+1,当n=8时,a 8=(-1)8·2×8+182+1=1765.10.(9n+3) [解析] 由图形及数字规律可知,第n 个图中正方形的个数为5n+1,等边三角形的个数为4n+2,所以其和为5n+1+4n+2=9n+3.11.-128a 8 [解析] 根据单项式可知n 为双数时a 的前面要加上负号,而a 的系数为2n-1,a 的指数为n.第8个式子为-27a 8=-128a 8.12.√n +1n+2=(n+1)√1n+2 [解析] 观察所给出的二次根式,确定变化规律:左边被开方数由两项组成,第一项为序号,第二项为序号加2的倒数;右边也为两部分,根号外为序号加1,根号内为序号加2的倒数的算术平方根,即√n +1n+2=(n+1)√1n+2.13.485 [解析] 由图可以看出:第一个图形中有5个正三角形,第二个图形中有5×3+2=17(个)正三角形,第三个图形中有17×3+2=53(个)正三角形,由此得出第四个图形中有53×3+2=161(个)正三角形,第五个图形中有161×3+2=485(个)正三角形.14.(n+3)2-n 2=3×(2n+3) [解析] 确定规律,写出一般式.∵42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;∴第n 个式子为:(n+3)2-n 2=3×(2n+3).15.(-2,0) [解析] 根据旋转可得:P 1(-2,0),P 2(2,-4),P 3(0,4),P 4(-2,-2),P 5(2,-2),P 6(0,2),故6次旋转为一个循环,2017÷6=336……1,故P 2017(-2,0).16.(2n-1,0) [解析] 由点A 1坐标为(1,0),过点A 1作x 轴的垂线交直线y=√3x 于点B 1,可知B 1点的坐标为(1,√3).以原点O为圆心,OB1长为半径画弧与x轴交于点A2,所以OA2=OB1,所以OA2=√12+(√3)2=2,因此点A2的坐标为(2,0),同理,可求得B2的坐标为(2,2√3),点A3的坐标为(4,0),B3(4,4√3)……所以点A n的坐标为(2n-1,0).17.(2n-1,2n-1)[解析] 当x=0时,y=x+1=1,∴点A1的坐标为(0,1).∵四边形A1B1C1O为正方形,∴点B1的坐标为(1,1).当x=1时,y=x+1=2,∴点A2的坐标为(1,2).∵四边形A2B2C2C1为正方形,∴点B2的坐标为(3,2).同理,可得点A3的坐标为(3,4),点B3的坐标为(7,4),…,点A n的坐标为(2n-1-1,2n-1),点B n的坐标为(2n-1,2n-1).故答案为(2n-1,2n-1).。

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案其中第①个图案用了9根木棍第①个图案用了14根木棍第①个图案用了19根木棍第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去所作正方形的顶点均在格点上其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，，若12a =，则2023a 的值是（） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是第23个智慧优数是．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳氢元素组成的有机化合物在生产生活中可作为燃料润滑剂等原料也可用于动植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷乙烷丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示如十一烷十二烷……）等甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示按照此规律十二烷的化学式为．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯分别对应着编号为1-100的100个开关灯分为“亮”和“不亮”两种状态每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为（用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片第2个图案中有6个白色圆片第3个图案中有8个白色圆片第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍得到22A OB △ …．依次类推得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现完成填空：第①行数的第10个数为取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上点123B B B 、、在直线()0y x =≥上若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是．参考答案一单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案其中第①个图案用了9根木棍第①个图案用了14根木棍第①个图案用了19根木棍第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍第①个图案用了45214+⨯=根木棍第①个图案用了45319+⨯=根木棍第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去所作正方形的顶点均在格点上其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ，故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化解答本题的关键是仔细观察图象得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，，若12a =，则2023a 的值是（） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径再计算弧长即可．【详解】解：由图可知曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=．故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致故202023在第20列即20b = 向前递推到第1列时分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算熟练掌握运算法则找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点即2A 到()91,1A 第3圈有16个点即10A 到()252,2A 依次类推第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确故选B ．【点睛】本题考查图形与规律利用所给的图形找到规律是解题的关键．二填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是第23个智慧优数是．【答案】 15 45【分析】根据新定义列举出前几个智慧优数找到规律进而即可求解．【详解】解：依题意当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义平方差公式的应用找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳氢元素组成的有机化合物在生产生活中可作为燃料润滑剂等原料也可用于动植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷乙烷丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示如十一烷十二烷……）等甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示按照此规律十二烷的化学式为．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数氢原子的个数找到规律即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解．【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯分别对应着编号为1-100的100个开关灯分为“亮”和“不亮”两种状态每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中各个数因数的个数完全平方数的因数为奇数个从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数故有10盏灯被按奇数次为“亮”的状态故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解完全平方数理解因数的意义完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为（用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时有()2114+=个三角形当2n =时有()2216+=个三角形当3n =时有()2318+=个三角形第n 个图案有()2122n n +=+个三角形每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时有()2114+=个三角形当2n =时有()2216+=个三角形当3n =时有()2318+=个三角形第n 个图案有()2122n n +=+个三角形每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +．故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片第2个图案中有6个白色圆片第3个图案中有8个白色圆片第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解．【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍得到22A OB △ …．依次类推得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上故点2023A 在第四象限且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环每旋转6次点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子抽象出相应的数字规律进行作答即可．【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标从而可计算出1234,,,S S S S …的高进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==．故答案为：2023253．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律找出数字之间的排列规律利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得故2023A 点坐标为()2023,1-．故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题考查了二次函数的图象和性质正方形的性质等知识数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现完成填空：第①行数的第10个数为取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化找其中的规律是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．。

中考重点题型突破之规律探索题(含答案)

中考重点题型突破之规律探索题（专项训练）1、如图（1）所示，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3...在直线y=x+1上，以OA1为边作第一个正方形OA1B1C1，使点C1在x轴的正半轴上，得到正方形OA1B1C1的对角线的交点G1;以C1A2为边作第二个正方形C1A2B2C2，使点C2在x轴的正半轴上，得到正方形C1A2B2C2的对角线的交点 G2; ...依次作下去，则第n个正方形C1-nAnBnCn的对角线的交点Gn的坐标是_______________.2A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，OA=OB=1，过点O作OM1⊥AB于点M1;过点M1作M1A1⊥OA于点A1;过点A1作A1M2⊥AB 于点M2;过点M2作M2A2⊥OA于点 A2…以此类推，点 M2019的坐标为____________.( 1 )( 2 )3、如图（3）所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°,BC=1，CD1为斜边AB上的中线，过点D1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1交CD1于点D₂;过点D₂作 D2E2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3;…依次作下去，可以得到点 D4、点 D5、…点 Dn，分别记△BD1E1、△BD2E2、△BD3E3…△BDnEn的面积为S1、S2、S3、…Sn，则第n个三角形△BDn En的面积Sn=__________________.4、如图（4AOB如图放置，点A的坐标为(-1，0)，每一次将△AOB绕着点 0顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2022的坐标为_____________. ( 3 )( 4 )5、如图（5）所示，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，且OA1=l，以点A1为直角顶点,逆时针方向作Rt△A1OA2，使A1A2=OA1;再以点A2为直角顶点，逆时针方向作Rt△A2OA3，使A2A3=OA2;再以点A3为直角顶点，逆时针方向作Rt△A3OA4，使A3A4=OA3;…;依次进行作下去，则点A2022的坐标为__________.6、如图（6）所示，在△OAA1中，∠AOA1=30°，∠A=90°，AA1=1，以OA1为边作Rt△OA1A2使∠A1OA2=30°，∠OA1A2=90°;再以 OA2为边作Rt△OA2A3，使∠A2OA3=30°，∠OA2A3=90°;再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠A3OA4=30°，∠OA3A4=90°,…，如此继续，可以依次得到Rt△OA1A2，Rt△OA2A3，Rt△OA3A4,…，Rt△OA1-nAn,则OA2020=________________.( 5 )( 6 )7、如图（7）所示,四边形OA 1B 1C 1;是边长为1的正方形，点A 1C 1;分别在x,y 轴的负半轴上,连接 OB 1以OB 1的长为边长作正方形OA ₂B ₂C 2，点 A 2在y 轴的负半轴上,点C ₂在x 轴的正半轴上;连接OB 2，以OB 2的长为边长作正方形0 A 3B 3C 3，点A 3，C 3分别在x,y 轴的正半轴上……依此规律下去，点B 2023的坐标为___________________.8、如图（8）所示，直线y=313x 31+-分别与x 轴、y 轴相交于点P ，Q,在Rt△OPQ 中从左向右依次作正方形A 1B 1C 1C 2,正方形A ₂B ₂C ₂C33，正方形A 3B 3;C 3;C 4… …正方形 A n B n C n C 1n +分别取每个正方形各边的中点，按如图把正方形分解成若干个三角形和四边形,每个正方形中间的四边形(阴影部分)的面积分别记为S 1，S 2 ,33,…,S n ,则S n =_____________.( 7 )( 8 )9、如图(9)所示,已知OB1= B1B2= B₂B3= …= B1-nBn=1,分别过点B1,B2,B3,…,Bn作x轴的垂线,与反比例函数y=x4(x>0)的图象交于点A1,A2,A3,…An,连接A1A2,A₂A3,A3A4,…,A1-nAn,分别过点A2,A3,A4,…,An作A1B1,A2B2,A₃B3,…,A1-nB1-n的垂线,垂足分别为C1，C2,C3…,C1-n.若△A1A₂C1，的面积为S1，△A2A3C₂的面积为S2，……△A2023A2024C2023的面积为S2023，则S1+S2+S3+…+S2023=___________________.10、如图(10)所示,已知直线y=x+1与x轴交于点B,与y轴交于点A,过点A作直线AB的垂线，交x轴于点C，以AC为直角边向右作等腰直角三角形ACD1，∠ACD1=90°,过点D1作AC的平行线,交直线AB于点A1，交x轴于点C1，再以A1C1为直角边向右作等腰直角三角形A1C1D₂，∠A1C1D₂=90°……按照此方式作下去,点D2023的坐标为________________.( 9 ) (10 )11、如图（11）所示,在平面直角坐标系中,B1(0,1),B₂(0,3),B3(0,6),B4(0,10),…以B1B₂为对角线作第一个正方形A1B1C1B2,以B2B3为对角线作第二个正方形 A2B2C₂B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…如果所作正方形的对角线Bn B1n+都在y轴上，且BnB1n+的长度依次增加1个单位长度,顶点An都在第一象限内(n≥1,且n为整数),那么用含有n的代数式表示An的坐标为_________________.12、如图(12)所示,在平面直角坐标系中,动点P按箭头所示方向依次运动,第1次从点(-1,0)运动到点(0,1),第2次运动到点(1,0),第3次运动到点(2,-2),…按这样的运动规律,动点P第2022 次运动到点的坐标是_______________.(12 )(11 )参考答案1、 ()2n 2-n 2,123--⨯2、 ⎪⎭⎫⎝⎛-2019201921211， 3、21n 23）（+ 4、()022022，- 5、()1010101022--，6、()201920192020332或10102020332或3341010⎪⎭⎫ ⎝⎛7、），（10111011228、2n 2432-⎪⎭⎫⎝⎛⨯9、1012202310、）（202220222,123-⨯11、()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2n 12n 12，12、（2021,0）。

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。

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中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习类型一数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．第2题图41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ …根据上述规律，则第2019个式子的值是______．8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝63364. 类型二图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n 的坐标是________．第5题图(2n，3)【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．第6题图(6058，1)【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC 的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，P4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P2019(6058，1)．第6题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是________．第7题图(2019，－1) 【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为________．第8题图(－1，－1) 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．第9题图3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可得：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n －1×32＝3n －1 3.∴B n 到ON 的距离h n ＝ 3n －1 3.10. 如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为________．第10题图(21010－2，21009) 【解析】由A (0，2)和A 1(2，4)可知直线AA 1的解析式为y ＝x ＋2，由图可知点A 1，A 2，…，A n 的纵坐标分别为22，23，…，2n ＋1，将y ＝2n ＋1代入y ＝x ＋2，得2n ＋1＝x ＋2，∴x ＝2n ＋1－2，∴点A n 的坐标为(2n ＋1－2，2n ＋1)，由图可知O 2n 横坐标与A n 的横坐标相同，O 2n 纵坐标是A n 的纵坐标的12，∴O 2n 的坐标为(2n ＋1－2，2n)，∴当n ＝1009时，O 2018的坐标为(21010－2，21009)．真题反馈：1. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．2. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6743. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．534. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n5. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2019次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)6. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．8. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．9. 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.10. 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n 次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 019的坐标是.11.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5 ①52-4×22=9 ②72-4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．12.(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2) (3)。